Logaritmická diferenciace - Logarithmic differentiation

v počet, logaritmická diferenciace nebo diferenciace logaritmy je metoda zvyklá na odlišit funkce zaměstnáním logaritmická derivace funkce F,^[1]

${displaystyle (ln f) '= {frac {f'} {f}} quad implikuje quad f '= fcdot (ln f)'.}$

Tato technika se často provádí v případech, kdy je snazší odlišit logaritmus funkce než samotné funkce. Obvykle k tomu dochází v případech, kdy je zájmová funkce složena z produktu z řady částí, takže logaritmická transformace ji promění v součet samostatných částí (což je mnohem snazší odlišit). To může být také užitečné, když je aplikováno na funkce, které jsou zvýšeny na sílu proměnných nebo funkcí. Logaritmická diferenciace závisí na řetězové pravidlo stejně jako vlastnosti logaritmy (zejména přirozený logaritmus nebo logaritmus k základně E ) k přeměně produktů na součty a rozdělení na odčítání.^[2][3] Princip lze alespoň částečně implementovat do rozlišení téměř všech diferencovatelné funkce, za předpokladu, že tyto funkce jsou nenulové.

Přehled

Pro funkci

${displaystyle y = f (x) ,!}$

logaritmická diferenciace obvykle začíná převzetím přirozeného logaritmu nebo logaritmu do základny E, na obou stranách, nezapomeňte vzít absolutní hodnoty:^[4]

${displaystyle ln | y | = ln | f (x) |.,!}$

Po implicitní diferenciace:^[5]

${displaystyle {frac {1} {y}} {frac {dy} {dx}} = {frac {f '(x)} {f (x)}}.}$

Násobení y poté se provede eliminace 1 /y a nechat jen dy/dx na levá strana:

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = y imes {frac {f '(x)} {f (x)}} = f' (x).}$

Metoda se používá, protože vlastnosti logaritmů poskytují cesty k rychlému zjednodušení diferenciace komplikovaných funkcí.^[6] S těmito vlastnostmi lze manipulovat po převzetí přirozených logaritmů na obou stranách a před předběžnou diferenciací. Nejčastěji používané zákony logaritmu jsou^[3]

${displaystyle ln (ab) = ln (a) + ln (b), qquad ln left ({frac {a} {b}} ight) = ln (a) -ln (b), qquad ln (a ^ {n }) = nln (a).}$

Obecný případ

Použitím zápis velkého pí,

${displaystyle f (x) = prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {alpha _ {i} (x)}.}$

Výsledkem aplikace přirozených logaritmů je (s zápis velkého sigma )

${displaystyle ln (f (x)) = součet _ {i} alfa _ {i} (x) cdot ln (f_ {i} (x)),}$

a po diferenciaci,

${displaystyle {frac {f '(x)} {f (x)}} = součet _ {i} vlevo [alpha _ {i}' (x) cdot ln (f_ {i} (x)) + alfa _ { i} (x) cdot {frac {f_ {i} '(x)} {f_ {i} (x)}} vpravo].}$

Přeskupit, abyste získali derivaci původní funkce,

${displaystyle f '(x) = overbrace {prod _ {i} (f_ {i} (x)) ^ {alpha _ {i} (x)}} ^ {f (x)} imb overbrace {sum _ {i } vlevo {alpha _ {i} '(x) cdot ln (f_ {i} (x)) + alpha _ {i} (x) cdot {frac {f_ {i}' (x)} {f_ {i} (x)}} ight}} ^ {[ln (f (x))] '}.}$

Deriváty vyšších řádů

Použitím Vzorec Faà di Bruno, logaritmická derivace n-tého řádu je,

${displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} ln f (x) = součet _ {m_ {1} + 2m_ {2} + cdots + nm_ {n} = n} {frac {n!} { m_ {1} !, m_ {2} !, cdots, m_ {n}!}} cdot {frac {(-1) ^ {m_ {1} + cdots + m_ {n} -1} (m_ {1} + cdots + m_ {n} -1)!} {f (x) ^ {m_ {1} + cdots + m_ {n}}}} cdot prod _ {j = 1} ^ {n} left ({frac { f ^ {(j)} (x)} {j!}} ight) ^ {m_ {j}}.}$

Díky tomu jsou první čtyři deriváty,

${displaystyle {frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} ln f (x) = {frac {f '' (x)} {f (x)}} - vlevo ({frac {f ' (x)} {f (x)}} ight) ^ {2}}$

${displaystyle {frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} ln f (x) = {frac {f '' '(x)} {f (x)}} - 3 {frac {f' (x) f '' (x)} {f (x) ^ {2}}} + 2left ({frac {f '(x)} {f (x)}} ight) ^ {3}}$

${displaystyle {frac {d ^ {4}} {dx ^ {4}}} ln f (x) = {frac {f '' '(x)} {f (x)}} - 4 {frac {f '(x) f' '' (x)} {f (x) ^ {2}}} - 3left ({frac {f '' (x)} {f (x)}} ight) ^ {2} + 12 {frac {f '(x) ^ {2} f' '(x)} {f (x) ^ {3}}} - 6left ({frac {f' (x)} {f (x)}}) ight) ^ {4}}$

Aplikace

produkty

A přirozený logaritmus se aplikuje na produkt dvou funkcí

${displaystyle f (x) = g (x) h (x) ,!}$

transformovat produkt na součet

${displaystyle ln (f (x)) = ln (g (x) h (x)) = ln (g (x)) + ln (h (x)).,!}$

Rozlišování aplikací řetěz a součet výnosy pravidel

${displaystyle {frac {f '(x)} {f (x)}} = {frac {g' (x)} {g (x)}} + {frac {h '(x)} {h (x) }},}$

a po přeskupení výnosy^[7]

${displaystyle f '(x) = f (x) imes {Bigg {} {frac {g' (x)} {g (x)}} + {frac {h '(x)} {h (x)}} {Bigg}} = g (x) h (x) imes {Bigg {} {frac {g '(x)} {g (x)}} + {frac {h' (x)} {h (x)} } {Bigg}}.}$

Kvocienty

A přirozený logaritmus se aplikuje na kvocient dvou funkcí

${displaystyle f (x) = {frac {g (x)} {h (x)}} ,!}$

transformovat dělení na odčítání

${displaystyle ln (f (x)) = ln {Bigg (} {frac {g (x)} {h (x)}} {Bigg)} = ln (g (x)) - ln (h (x)) ,!}$

Rozlišování aplikací řetěz a součet výnosy pravidel

${displaystyle {frac {f '(x)} {f (x)}} = {frac {g' (x)} {g (x)}} - {frac {h '(x)} {h (x) }},}$

a po přeskupení výnosy

${displaystyle f '(x) = f (x) imes {Bigg {} {frac {g' (x)} {g (x)}} - {frac {h '(x)} {h (x)}} {Bigg}} = {frac {g (x)} {h (x)}} obrázky {Bigg {} {frac {g '(x)} {g (x)}} - {frac {h' (x) } {h (x)}} {Bigg}}.}$

Po vynásobení a použití Společným jmenovatelem vzorec je výsledek stejný jako po použití pravidlo kvocientu přímo do ${displaystyle f (x)}$.

Složený exponent

Pro funkci formuláře

${displaystyle f (x) = g (x) ^ {h (x)} ,!}$

The přirozený logaritmus transformuje umocňování na produkt

${displaystyle ln (f (x)) = ln vlevo (g (x) ^ {h (x)} ight) = h (x) ln (g (x)) ,!}$

Rozlišování aplikací řetěz a produkt výnosy pravidel

${displaystyle {frac {f '(x)} {f (x)}} = h' (x) ln (g (x)) + h (x) {frac {g '(x)} {g (x) }},}$

a po přeskupení výnosy

${displaystyle f '(x) = f (x) imes {Bigg {} h' (x) ln (g (x)) + h (x) {frac {g '(x)} {g (x)}} {Bigg}} = g (x) ^ {h (x)} obrázky {Bigg {} h '(x) ln (g (x)) + h (x) {frac {g' (x)} {g ( x)}} {Bigg}}.}$

Stejného výsledku lze dosáhnout přepsáním F ve smyslu exp a použití pravidla řetězu.

Viz také

• Derivát Darboux
• Maurer – Cartanova forma
• Lež skupina
• Seznam témat logaritmu
• Seznam logaritmických identit

Poznámky