Podmíněná konvergence - Conditional convergence

v matematika, a série nebo integrální se říká, že je podmíněně konvergentní pokud konverguje, ale ne absolutně konvergovat.

Definice

Přesněji řečeno série ${ textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n}}$ říká se podmíněně konvergovat -li ${ textstyle lim _ {m rightarrow infty} , sum _ {n = 0} ^ {m} a_ {n}}$ existuje a je konečným číslem (ne ∞ nebo −∞), ale ${ textstyle sum _ {n = 0} ^ { infty} left | a_ {n} right | = infty.}$

Klasickým příkladem je střídavé řady dána

{ displaystyle 1- {1 nad 2} + {1 nad 3} - {1 nad 4} + {1 nad 5} - cdots = součet limity _ {n = 1} ^ { infty } {(- 1) ^ {n + 1} nad n},}

který konverguje k

{ displaystyle ln (2)}

, ale není absolutně konvergentní (viz Harmonická řada ).

Bernhard Riemann dokázal, že podmíněně konvergentní řada může být přeskupeny konvergovat k jakékoli hodnotě, včetně ∞ nebo −∞; vidět Věta o Riemannově řadě. The Lévy – Steinitzova věta identifikuje množinu hodnot, ve kterých je řada výrazů Rⁿ může konvergovat.

Typickým podmíněně konvergentním integrálem je integrál na nezáporné reálné ose ${ textstyle sin (x ^ {2})}$ (vidět Fresnelovy integrály ).

Viz také

Reference

Walter Rudin, Principy matematické analýzy (McGraw-Hill: New York, 1964).