Trigonometrie - Trigonometry
Trigonometrie |
---|
![]() |
Odkaz |
Zákony a věty |
Počet |
Trigonometrie (z řecký trigon, „trojúhelník“ a metron „opatření“[1]) je pobočkou matematika který studuje vztahy mezi délkami stran a úhly z trojúhelníky. Pole se objevilo v Helenistický svět během 3. století před naším letopočtem z aplikací geometrie na astronomické studie.[2] Řekové se zaměřili na výpočet akordů, zatímco matematici v Indii vytvořili nejdříve známé tabulky hodnot pro trigonometrické poměry (nazývané také trigonometrické funkce ) jako sinus.[3]
V průběhu historie byla trigonometrie používána v oblastech, jako je geodézie, geodetické, nebeská mechanika, a navigace.[4]
Trigonometrie je známá pro jeho mnoho identit,[5][6] což jsou rovnice používané k přepisování trigonometrických výrazů k řešení rovnic, k nalezení užitečnějšího výrazu nebo k objevení nových vztahů.[7]
Dějiny

Sumerský astronomové studovali úhel měření pomocí dělení kruhů na 360 stupňů.[9] Oni a později Babyloňané, studoval poměry stran podobný trojúhelníky a objevil některé vlastnosti těchto poměrů, ale neproměnil to v systematickou metodu pro hledání stran a úhlů trojúhelníků. The starověcí Núbijci použil podobnou metodu.[10]
Ve 3. století před naším letopočtem Helenističtí matematici jako Euklid a Archimedes studoval vlastnosti akordy a vepsané úhly v kruzích a dokázali věty, které jsou ekvivalentní moderním trigonometrickým vzorcům, ačkoli je prezentovaly spíše geometricky než algebraicky. V roce 140 př. Hipparchus (z Nicaea, Malá Asie) dal první tabulky akordů, analogické k moderní tabulky sinusových hodnot, a použil je k řešení problémů v trigonometrii a sférická trigonometrie.[11] Ve 2. století nl řecko-egyptský astronom Ptolemaios (z Alexandrie v Egyptě) sestavil podrobné trigonometrické tabulky (Ptolemaiova tabulka akordů ) v knize 1, kapitole 11 jeho Almagest.[12] Ptolemaios použit akord délku definovat jeho trigonometrické funkce, malý rozdíl od sinus konvence, kterou používáme dnes.[13] (Hodnotu, kterou nazýváme sin (θ), zjistíme tak, že v Ptolemaiově tabulce vyhledáme délku akordu pro dvojnásobek zájmového úhlu (2θ) a poté tuto hodnotu dělíme dvěma.) Před vytvořením podrobnějších tabulek uběhla staletí a Ptolemaiova pojednání zůstalo v provozu pro provádění trigonometrických výpočtů v astronomii po dalších 1200 let ve středověku byzantský, islámský a později západoevropské světy.
Moderní sinusová konvence je poprvé doložena v Surya Siddhanta a jeho vlastnosti byly dále dokumentovány 5. stoletím (AD) Indický matematik a astronom Aryabhata.[14] Tato řecká a indická díla byla přeložena a rozšířena o středověcí islámští matematici. Do 10. století používali islámští matematici všech šest trigonometrických funkcí, uváděli své hodnoty v tabulkách a aplikovali je na problémy v sférická geometrie.[15][16] The Peršan polymath Nasir al-Din al-Tusi byl popsán jako tvůrce trigonometrie jako samostatné matematické disciplíny.[17][18][19] Nasir al-Din al-Tusi byl první, kdo zacházel s trigonometrií jako s matematickou disciplínou nezávislou na astronomii, a vyvinul sférickou trigonometrii do dnešní podoby.[20] Uvedl šest odlišných případů pravoúhlého trojúhelníku ve sférické trigonometrii a ve svých Na obrázku sektoru, uvedl zákon sinusů pro rovinné a sférické trojúhelníky, objevil zákon tečen pro sférické trojúhelníky a poskytl důkazy pro oba tyto zákony.[21] Dosažené znalosti o trigonometrických funkcích a metodách západní Evropa přes Latinské překlady Ptolemaiovy řečtiny Almagest stejně jako díla Perskí a arabští astronomové jako Al Battani a Nasir al-Din al-Tusi.[22] Jednou z prvních prací o trigonometrii severoevropského matematika je De Triangulis do 15. století Němec matematik Regiomontanus, který byl vyzván k psaní, a poskytl kopii Almagesttím, že Byzantský řecký učenec kardinál Basilios Bessarion s nímž žil několik let.[23] Ve stejné době, další překlad Almagest z řečtiny do latiny dokončil Kréťan Jiří z Trebizondu.[24] Trigonometrie byla v severní Evropě v 16. století stále tak málo známá Mikuláš Koperník věnoval dvě kapitoly Deolutionibus orbium coelestium vysvětlit jeho základní pojmy.
Poháněn požadavky navigace a rostoucí potřeba přesných map velkých zeměpisných oblastí, trigonometrie přerostla v hlavní obor matematiky.[25] Bartholomaeus Pitiscus byl první, kdo toto slovo použil, a vydal své Trigonometrie v roce 1595.[26] Gemma Frisius popsal poprvé metodu triangulace stále se používá při průzkumu. to bylo Leonhard Euler kdo plně začleněn komplexní čísla do trigonometrie. Práce skotských matematiků James Gregory v 17. století a Colin Maclaurin v 18. století měli vliv na vývoj trigonometrická řada.[27] Také v 18. století Brook Taylor definoval generál Taylor série.[28]
Trigonometrické poměry

Trigonometrické poměry jsou poměry mezi hranami pravého trojúhelníku. Tyto poměry jsou dány následujícím trigonometrické funkce známého úhlu A, kde A, b a C viz délky stran na přiloženém obrázku:
- Kosinus funkce (cos), definovaná jako poměr hodnoty přilehlý noha (strana trojúhelníku spojující úhel s pravým úhlem) k přeponě.
- Tečna funkce (tan), definovaná jako poměr opačné nohy k sousední noze.
The přepona je strana naproti úhlu 90 stupňů v pravém trojúhelníku; je to nejdelší strana trojúhelníku a jedna ze dvou stran sousedících s úhlem A. The sousední noha je druhá strana, která sousedí s úhlem A. The opačná strana je strana, která je naproti úhlu A. Podmínky kolmý a základna se někdy používají pro opačnou a sousední stranu. Viz níže pod Mnemotechnika.
Protože libovolné dva pravé trojúhelníky se stejným ostrým úhlem A jsou podobný[29], hodnota trigonometrického poměru závisí pouze na úhlu A.
The reciproční těchto funkcí se jmenuje kosekans (csc), sekán (s) a kotangens (dětská postýlka):
Kosinus, kotangens a kosekans jsou tak pojmenovány, protože se jedná o sinus, tangens a secan doplňkového úhlu zkráceně na „co-“.[30]
S těmito funkcemi lze pomocí prakticky odpovídat na všechny otázky týkající se libovolných trojúhelníků sinusový zákon a zákon kosinů.[31] Tyto zákony lze použít k výpočtu zbývajících úhlů a stran libovolného trojúhelníku, jakmile jsou známy dvě strany a jejich zahrnutý úhel nebo dva úhly a strana nebo tři strany.
Mnemotechnika
Běžné použití mnemotechnika je pamatovat si fakta a vztahy v trigonometrii. Například sinus, kosinus, a tečna poměry v pravém trojúhelníku si lze zapamatovat tak, že je a jejich odpovídající strany reprezentujete jako řetězce písmen. Například mnemotechnická pomůcka je SOH-CAH-TOA:[32]
- Sine = Ódvojité ÷ Hypotenuse
- Cosine = Asousedící ÷ Hypotenuse
- Tangent = Ódvojité ÷ Asousedící
Jedním ze způsobů, jak si zapamatovat písmena, je ozvat se foneticky (tj. SOH-CAH-TOA, který se vyslovuje „so-ka-prst-u ' /soʊk…ˈtoʊə/). Další metodou je rozbalení písmen do věty, například „Some Óld Hippie Cnic Adalší Hippie Trippin ' Ón Acid ".[33]
Jednotkový kruh a běžné trigonometrické hodnoty

Trigonometrické poměry lze také vyjádřit pomocí jednotkový kruh, což je kružnice o poloměru 1 se středem v počátku v rovině.[34] V tomto nastavení je koncová strana úhlu A umístěn v standardní pozice protne jednotkovou kružnici v bodě (x, y), kde a .[34] Toto znázornění umožňuje výpočet běžně nalezených trigonometrických hodnot, jako jsou hodnoty v následující tabulce:[35]
Funkce | 0 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
sinus | 0 | 1 | 0 | ||||||
kosinus | 1 | 0 | -1 | ||||||
tečna | 0 | nedefinováno | 0 | ||||||
sekán | 1 | nedefinováno | -1 | ||||||
kosekans | nedefinováno | 1 | nedefinováno | ||||||
kotangens | nedefinováno | 0 | nedefinováno |
Trigonometrické funkce reálných nebo komplexních proměnných
Za použití jednotkový kruh, lze rozšířit definice trigonometrických poměrů na všechny pozitivní a negativní argumenty[36] (vidět trigonometrická funkce ).
Grafy trigonometrických funkcí
Následující tabulka shrnuje vlastnosti grafů šesti hlavních trigonometrických funkcí:[37][38]
Funkce | Doba | Doména | Rozsah | Graf |
---|---|---|---|---|
sinus | ![]() | |||
kosinus | ![]() | |||
tečna | ![]() | |||
sekán | ![]() | |||
kosekans | ![]() | |||
kotangens | ![]() |
Inverzní trigonometrické funkce
Protože šest hlavních trigonometrických funkcí je periodických, nejsou injekční (nebo 1: 1), a proto nejsou invertibilní. Podle omezující doménou trigonometrické funkce, mohou však být invertovatelné.[39]:48ff
Názvy inverzních trigonometrických funkcí, spolu s jejich doménami a rozsahem, najdete v následující tabulce:[39]:48ff[40]:521ff
název | Obvyklá notace | Definice | Doména X pro skutečný výsledek | Rozsah obvyklé hodnoty jistiny (radiány ) | Rozsah obvyklé hodnoty jistiny (stupňů ) |
---|---|---|---|---|---|
arcsine | y = arcsin (X) | X = hřích (y) | −1 ≤ X ≤ 1 | −π/2 ≤ y ≤ π/2 | −90° ≤ y ≤ 90° |
arckosin | y = arccos (X) | X = cos (y) | −1 ≤ X ≤ 1 | 0 ≤ y ≤ π | 0° ≤ y ≤ 180° |
arkustangens | y = arctan (X) | X = opálení (y) | všechna reálná čísla | −π/2 < y < π/2 | −90° < y < 90° |
arkotangens | y = arccot (X) | X = dětská postýlka (y) | všechna reálná čísla | 0 < y < π | 0° < y < 180° |
arcsecant | y = arcsec (X) | X = sek (y) | X ≤ −1 nebo 1 ≤ X | 0 ≤ y < π/2 nebo π/2 < y ≤ π | 0° ≤ y <90 ° nebo 90 ° < y ≤ 180° |
arccosecant | y = arccsc (X) | X = csc (y) | X ≤ −1 nebo 1 ≤ X | −π/2 ≤ y <0 nebo 0 < y ≤ π/2 | −90° ≤ y <0 ° nebo 0 ° < y ≤ 90° |
Reprezentace mocninných řad
Pokud jsou považovány za funkce reálné proměnné, lze trigonometrické poměry představovat pomocí nekonečná řada. Například sinus a kosinus mají následující reprezentace:[41]
S těmito definicemi lze definovat trigonometrické funkce komplexní čísla.[42] Pokud jsou rozšířeny jako funkce skutečných nebo komplexních proměnných, následující vzorec platí pro komplexní exponenciál:
Tato komplexní exponenciální funkce, napsaná pomocí trigonometrických funkcí, je obzvláště užitečná.[43][44]
Výpočet trigonometrických funkcí
Trigonometrické funkce byly mezi nejčasnější použití pro matematické tabulky.[45] Tyto tabulky byly začleněny do učebnic matematiky a studenti se učili hledat hodnoty a jak na to interpolovat mezi uvedenými hodnotami získáte vyšší přesnost.[46] Pravidla snímku měl speciální stupnice pro trigonometrické funkce.[47]
Vědecké kalkulačky mít tlačítka pro výpočet hlavních trigonometrických funkcí (sin, cos, tan a někdy cis a jejich inverze).[48] Většina z nich umožňuje výběr metod měření úhlu: stupňů, radiány a někdy gradians. Většina počítačů programovací jazyky poskytují knihovny funkcí, které obsahují trigonometrické funkce.[49] The jednotka s plovoucí desetinnou čárkou hardware zabudovaný do mikroprocesorových čipů používaných ve většině osobních počítačů má vestavěné pokyny pro výpočet trigonometrických funkcí.[50]
Další trigonometrické funkce
Kromě šesti dříve uvedených poměrů existují i další trigonometrické funkce, které byly historicky důležité, i když dnes se zřídka používají. Mezi ně patří akord (CDR (θ) = 2 hříchy (θ/2)), versine (versin (θ) = 1 - cos (θ) = 2 hříchy2(θ/2)) (který se objevil v prvních tabulkách[51]), krycí plachta (Coverin (θ) = 1 - hřích (θ) = proti (π/2 − θ)), haversine (haversin (θ) = 1/2versin (θ) = hřích2(θ/2)),[52] the exsecant (exsec (θ) = s (θ) − 1) a exkantant (excsc (θ) = exsec (π/2 − θ) = csc (θ) − 1). Vidět Seznam trigonometrických identit pro více vztahů mezi těmito funkcemi.
Aplikace
Astronomie
Po celá staletí se sférická trigonometrie používala k lokalizaci sluneční, měsíční a hvězdné polohy,[53] předpovídat zatmění a popisovat oběžné dráhy planet.[54]
V moderní době je technika triangulace se používá v astronomie měřit vzdálenost k blízkým hvězdám,[55] stejně jako v satelitní navigační systémy.[16]

Historicky se trigonometrie používá k lokalizaci zeměpisných šířek a délek plachetnic, vykreslování kurzů a výpočtu vzdáleností během plavby.[56]
Trigonometrie se stále používá v navigaci prostředky, jako je Globální Polohovací Systém a umělá inteligence pro autonomní vozidla.[57]
Geodetické
V zemi geodetické, trigonometrie se používá při výpočtu délek, ploch a relativních úhlů mezi objekty.[58]
Ve větším měřítku se trigonometrie používá v zeměpis k měření vzdáleností mezi orientačními body.[59]
Periodické funkce

Funkce sinus a kosinus jsou základem teorie periodické funkce,[60] například ty, které popisují zvuk a světlo vlny. Fourier zjistil, že každý kontinuální, periodická funkce lze popsat jako nekonečný součet trigonometrických funkcí.
I neperiodické funkce lze reprezentovat jako integrální sinusů a kosinů prostřednictvím Fourierova transformace. To má aplikace pro kvantovou mechaniku[61] a komunikace[62], mimo jiné pole.
Optika a akustika
Trigonometrie je užitečná v mnoha fyzikální vědy,[63] počítaje v to akustika,[64] a optika[64]. V těchto oblastech se používají k popisu zvuk a světelné vlny a řešení problémů souvisejících s hranicemi a přenosy.[65]
Další aplikace
Mezi další pole, která používají trigonometrii nebo trigonometrické funkce, patří hudební teorie,[66] geodézie, audio syntéza,[67] architektura,[68] elektronika,[66] biologie,[69] lékařské zobrazování (CT a ultrazvuk ),[70] chemie,[71] teorie čísel (a tedy kryptologie ),[72] seismologie,[64] meteorologie,[73] oceánografie,[74] komprese obrazu,[75] fonetika,[76] ekonomika,[77] elektrotechnika, strojírenství, stavební inženýrství,[66] počítačová grafika,[78] kartografie,[66] krystalografie[79] a vývoj her.[78]
Totožnosti

Trigonometrie byla známá pro mnoho identit, tj. Rovnic, které platí pro všechny možné vstupy.[80]
Identity zahrnující pouze úhly jsou známy jako trigonometrické identity. Další rovnice, známé jako identity trojúhelníku,[81] vztahují jak strany, tak úhly daného trojúhelníku.
Identity trojúhelníku
V následujících totožnostech A, B a C jsou úhly trojúhelníku a A, b a C jsou délky stran trojúhelníku oproti příslušným úhlům (jak je znázorněno na obrázku).[82]
Zákon sinusů
The sinusový zákon (známé také jako „sinusové pravidlo“) pro libovolný trojúhelník uvádí:[83]
kde je oblast trojúhelníku a R je poloměr opsaná kružnice trojúhelníku:
Zákon kosinů
The zákon kosinů (známý jako kosinový vzorec nebo „kosinové pravidlo“) je rozšíření Pythagorovy věty na libovolné trojúhelníky:[83]
nebo ekvivalentně:
Zákon tečen
The zákon tečen, vyvinutý společností François Viète, je alternativou k zákonu kosinusů při řešení neznámých hran trojúhelníku a poskytuje jednodušší výpočty při použití trigonometrických tabulek.[84] Je to dáno:
Plocha
Vzhledem ke dvěma stranám A a b a úhel mezi stranami C, je plocha trojúhelníku dána polovinou součinu délek dvou stran a sinu úhlu mezi oběma stranami:[83]
Heronův vzorec je další metoda, kterou lze použít k výpočtu plochy trojúhelníku. Tento vzorec uvádí, že pokud má trojúhelník strany délek A, b, a C, a pokud je semiperimetr
pak je plocha trojúhelníku:[85]
- ,
kde R je poloměr obvod trojúhelníku.
Trigonometrické identity
Pythagorovy identity
Následující trigonometrický identity souvisí s Pythagorova věta a podržte pro jakoukoli hodnotu:[86]
Eulerův vzorec
Eulerův vzorec, který uvádí, že , produkuje následující analytická identity pro sinus, kosinus a tangens ve smyslu E a imaginární jednotka i:
Další trigonometrické identity
Mezi další běžně používané trigonometrické identity patří identity polovičního úhlu, identity úhlového součtu a rozdílu a identity součtu produktu.[29]
Viz také
Reference
- ^ "trigonometrie". Online slovník etymologie.
- ^ R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2. vyd., The Gale Group (2002)
- ^ Boyer, Carl Benjamin (1991). Dějiny matematiky (2. vyd.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
- ^ Charles William Hackley (1853). Pojednání o trigonometrii, rovině a sféře: s aplikací na navigaci a geodetiku, námořní a praktickou astronomii a geodézii, s logaritmickými, trigonometrickými a námořními tabulkami. G. P. Putnam.
- ^ Mary Jane Sterling (24. února 2014). Trigonometrie pro figuríny. John Wiley & Sons. p. 185. ISBN 978-1-118-82741-3.
- ^ PR Halmos (1. prosince 2013). Chci být matematikem: Automatografie. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1084-9.
- ^ Ron Larson; Robert P. Hostetler (10. března 2006). Trigonometrie. Cengage Learning. p. 230. ISBN 0-618-64332-X.
- ^ Boyer (1991). „Řecká trigonometrie a menurace“. Dějiny matematiky. p.162.
- ^ Aaboe, Asger (2001). Epizody z raných dějin astronomie. New York: Springer. ISBN 0-387-95136-9
- ^ Otto Neugebauer (1975). Historie starověké matematické astronomie. 1. Springer-Verlag. p. 744. ISBN 978-3-540-06995-9.
- ^ Thurston, 235–236.
- ^ Toomer, G. (1998), Ptolemaiosův Almagest, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00260-6
- ^ Thurston, 239–243.
- ^ Boyer p. 215
- ^ Gingerich, Owene. „Islámská astronomie.“ Scientific American 254,4 (1986): 74-83
- ^ A b Michael Willers (13. února 2018). Armchair Algebra: Vše, co potřebujete vědět od celých čísel po rovnice. Prodej knih. p. 37. ISBN 978-0-7858-3595-0.
- ^ "Al-Tusi_Nasir biografie". MacTutor Historie archivu matematiky. Citováno 2018-08-05.
Jedním z nejdůležitějších matematických příspěvků al-Tusiho bylo vytvoření trigonometrie jako samostatné matematické disciplíny, nikoli pouze jako nástroje pro astronomické aplikace. V Pojednání o čtyřúhelníku al-Tusi dal první existující expozici celého systému roviny a sférické trigonometrie. Tato práce je skutečně první v historii trigonometrie jako nezávislé větve čisté matematiky a první, ve které je uvedeno všech šest případů pravoúhlého sférického trojúhelníku.
- ^ „cambridge historie vědy“. Říjen 2013.
- ^ electricpulp.com. "ṬUSI, NAṢIR-AL-DIN i. Životopis - Encyclopaedia Iranica". www.iranicaonline.org. Citováno 2018-08-05.
Jeho hlavní příspěvek v matematice (Nasr, 1996, s. 208-214) se říká v trigonometrii, kterou poprvé sestavil jako novou samostatnou disciplínu. Za jeho rozvoj vděčí také sférická trigonometrie, která zahrnuje koncept šesti základních vzorců pro řešení sférických pravoúhlých trojúhelníků.
- ^ "trigonometrie". Encyklopedie Britannica. Citováno 2008-07-21.
- ^ Berggren, J. Lennart (2007). „Matematika ve středověkém islámu“. Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu: Zdrojová kniha. Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
- ^ Boyer str. 237, 274
- ^ "Regiomontanus biografie". History.mcs.st-and.ac.uk. Citováno 2017-03-08.
- ^ N.G. Wilson (1992). Od Byzance po Itálii. Řecká studia v italské renesanci, Londýn. ISBN 0-7156-2418-0
- ^ Grattan-Guinness, Ivor (1997). Duha matematiky: Dějiny matematických věd. W.W. Norton. ISBN 978-0-393-32030-5.
- ^ Robert E. Krebs (2004). Průkopnické vědecké experimenty, vynálezy a objevy středověku a renesance. Greenwood Publishing Group. p. 153. ISBN 978-0-313-32433-8.
- ^ William Bragg Ewald (2007). Od Kanta k Hilbertovi: zdrojová kniha základů matematiky. Oxford University Press USA. p. 93. ISBN 0-19-850535-3
- ^ Kelly Dempski (2002). Zaměřte se na křivky a povrchy. p. 29. ISBN 1-59200-007-X
- ^ A b James Stewart; Lothar Redlin; Saleem Watson (16. ledna 2015). Algebra a trigonometrie. Cengage Learning. p. 448. ISBN 978-1-305-53703-3.
- ^ Dick Jardine; Amy Shell-Gellasch (2011). Matematické časové kapsle: Historické moduly pro učebnu matematiky. MAA. p. 182. ISBN 978-0-88385-984-1.
- ^ Krystle Rose Forseth; Christopher Burger; Michelle Rose Gilman; Deborah J. Rumsey (7. dubna 2008). Pre-kalkul pro figuríny. John Wiley & Sons. p. 218. ISBN 978-0-470-16984-1.
- ^ Weisstein, Eric W. „SOHCAHTOA“. MathWorld.
- ^ Věta vhodnější pro střední školy je „“Some Óld Horse Cjá A''Hopping Tskrz Óur Alley ". Foster, Jonathan K. (2008). Paměť: velmi krátký úvod. Oxford. p. 128. ISBN 978-0-19-280675-8.
- ^ A b David Cohen; Lee B. Theodore; David Sklar (17. července 2009). Precalculus: Přístup orientovaný na problémy, vylepšené vydání. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4460-5.
- ^ W. Michael Kelley (2002). The Complete Idiot's Guide to Calculus. Alfa knihy. p. 45. ISBN 978-0-02-864365-6.
- ^ Jenny Olive (18. září 2003). Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students. Cambridge University Press. p. 175. ISBN 978-0-521-01707-7.
- ^ Mary P Attenborough (30. června 2003). Matematika pro elektrotechniku a výpočetní techniku. Elsevier. p. 418. ISBN 978-0-08-047340-6.
- ^ Ron Larson; Bruce H. Edwards (10. listopadu 2008). Počet jedné proměnné. Cengage Learning. p. 21. ISBN 978-0-547-20998-2.
- ^ A b Elizabeth G. Bremigan; Ralph J. Bremigan; John D. Lorch (2011). Matematika pro učitele středních škol. MAA. ISBN 978-0-88385-773-1.
- ^ Martin Brokate; Pammy Manchanda; Abul Hasan Siddiqi (3. srpna 2019). Kalkul pro vědce a inženýry. Springer. ISBN 9789811384646.
- ^ Serge Lang (14. března 2013). Komplexní analýza. Springer. p. 63. ISBN 978-3-642-59273-7.
- ^ Silvia Maria Alessio (9. prosince 2015). Digitální zpracování signálu a spektrální analýza pro vědce: koncepty a aplikace. Springer. p. 339. ISBN 978-3-319-25468-5.
- ^ K. RAJA RAJESWARI; B. VISVESVARA RAO (24. března 2014). SIGNÁLY A SYSTÉMY. Učení PHI. p. 263. ISBN 978-81-203-4941-4.
- ^ John Stillwell (23. července 2010). Matematika a její historie. Springer Science & Business Media. p. 313. ISBN 978-1-4419-6053-5.
- ^ Martin Campbell-Kelly; Emeritní profesor výpočetní techniky Martin Campbell-Kelly; Hostující kolegyně z oddělení výpočetní techniky Mary Croarken; Raymondova povodeň; Eleanor Robson (2. října 2003). Historie matematických tabulek: od Sumeru po tabulky. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850841-0.
- ^ George S. Donovan; Beverly Beyreuther Gimmestad (1980). Trigonometrie s kalkulačkami. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-284-1.
- ^ Ross Raymond Middlemiss (1945). Pokyny pro pravidla snímků po spuštění a Mannheimu po spuštění. Společnost Frederick Post.
- ^ Bonnier Corporation (duben 1974). Populární věda. Bonnier Corporation. p. 125.
- ^ Steven S Skiena; Miguel A. Revilla (18. dubna 2006). Výzvy k programování: Příručka pro výcvik v soutěži o programování. Springer Science & Business Media. p. 302. ISBN 978-0-387-22081-9.
- ^ Příručka vývojáře softwaru pro architekturu Intel® 64 a IA-32 Kombinované svazky: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B a 3C (PDF). Intel. 2013.
- ^ Boyer (1991, str. xxiii – xxiv)
- ^ Nielsen (1966, str. xxiii – xxiv)
- ^ Olinthus Gregory (1816). Prvky rovinné a sférické trigonometrie: s jejich aplikací na výšky a vzdálenosti Projekce sféry, vytáčení, astronomie, řešení rovnic a geodetické operace. Baldwin, Cradock a Joy.
- ^ Neugebauer, Otto. „Matematické metody ve starověké astronomii.“ Bulletin of the American Mathematical Society 54.11 (1948): 1013-1041.
- ^ Michael Seeds; Dana Backman (5. ledna 2009). Astronomy: The Solar System and Beyond. Cengage Learning. p. 254. ISBN 978-0-495-56203-0.
- ^ John Sabine (1800). Praktický matematik, obsahující logaritmy, geometrie, trigonometrie, menurace, algebra, navigace, sféra a přírodní filozofie atd.. p. 1.
- ^ Mordechai Ben-Ari; Francesco Mondada (25. října 2017). Prvky robotiky. Springer. p. 16. ISBN 978-3-319-62533-1.
- ^ George Roberts Perkins (1853). Rovinná trigonometrie a její aplikace na menuraci a zeměměřičství: doplněno všemi potřebnými logaritmickými a trigonometrickými tabulkami. D. Appleton & Company.
- ^ Charles W. J. Withers; Hayden Lorimer (14. prosince 2015). Geografové: Biobibliografická studia. A&C Black. p. 6. ISBN 978-1-4411-0785-5.
- ^ H. G. ter Morsche; J. C. van den Berg; E. M. van de Vrie (7. srpna 2003). Fourierovy a Laplaceovy transformace. Cambridge University Press. p. 61. ISBN 978-0-521-53441-3.
- ^ Bernd Thaller (8. května 2007). Vizuální kvantová mechanika: Vybraná témata s počítačem generovanými animacemi kvantově-mechanických jevů. Springer Science & Business Media. p. 15. ISBN 978-0-387-22770-2.
- ^ M. Rahman (2011). Aplikace Fourierových transformací na zobecněné funkce. WIT Stiskněte. ISBN 978-1-84564-564-9.
- ^ Lawrence Bornstein; Basic Systems, Inc (1966). Trigonometrie pro fyzikální vědy. Appleton-Century-Crofts.
- ^ A b C John J. Schiller; Marie A. Wurster (1988). College Algebra and Trigonometry: Basics Through Precalculus. Scott, Foresman. ISBN 978-0-673-18393-4.
- ^ Dudley H. Towne (5. května 2014). Vlnové jevy. Dover Publications. ISBN 978-0-486-14515-0.
- ^ A b C d E. Richard Heineman; J. Dalton Tarwater (1. listopadu 1992). Rovinná trigonometrie. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-028187-5.
- ^ Mark Kahrs; Karlheinz Brandenburg (18. dubna 2006). Aplikace digitálního zpracování signálu na zvuk a akustiku. Springer Science & Business Media. p. 404. ISBN 978-0-306-47042-4.
- ^ Kim Williams; Michael J. Ostwald (9. února 2015). Architektura a matematika od starověku do budoucnosti: Svazek I: Starověk do 1500. Birkhäuser. p. 260. ISBN 978-3-319-00137-1.
- ^ Dan Foulder (15. července 2019). Základní dovednosti pro biologii maturity. Hodder Education. p. 78. ISBN 978-1-5104-6003-4.
- ^ Luciano Beolchi; Michael H. Kuhn (1995). Medical Imaging: Analýza multimodality 2D / 3D obrazů. IOS Press. p. 122. ISBN 978-90-5199-210-6.
- ^ Marcus Frederick Charles Ladd (2014). Symetrie krystalů a molekul. Oxford University Press. p. 13. ISBN 978-0-19-967088-8.
- ^ Gennadij I. Arkhipov; Vladimir N. Chubarikov; Anatoly A. Karatsuba (22. srpna 2008). Trigonometrické součty v teorii a analýze čísel. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-019798-3.
- ^ Studijní příručka ke kurzu meteorologické matematiky: nejnovější revize, 1. února 1943. 1943.
- ^ Mary Sears; Daniel Merriman; Oceánografická instituce Woods Hole (1980). Oceánografie, minulost. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90497-9.
- ^ „Standard JPEG (JPEG ISO / IEC 10918-1 ITU-T doporučení T.81)“ (PDF). Mezinárodní telekomunikační unie. 1993. Citováno 6. dubna 2019.
- ^ Kirsten Malmkjaer (4. prosince 2009). Encyklopedie Routledge Linguistics. Routledge. p. 1. ISBN 978-1-134-10371-3.
- ^ Kamran Dadkhah (11. ledna 2011). Základy matematické a výpočetní ekonomie. Springer Science & Business Media. p. 46. ISBN 978-3-642-13748-8.
- ^ A b Christopher Griffith (12. listopadu 2012). Vývoj flash her v reálném světě: Jak postupovat podle osvědčených postupů a udržovat zdravý rozum. CRC Press. p.153. ISBN 978-1-136-13702-0.
- ^ John Joseph Griffin (1841). Systém krystalografie s jeho aplikací na mineralogii. R. Griffin. p.119.
- ^ Dugopolski (červenec 2002). Trigonometrie I / E Sup. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-78666-8.
- ^ REDAKČNÍ RADA V&S (6. ledna 2015). CONCISE SLOVNÍK MATEMATIKY. Vydavatelé V&S. p. 288. ISBN 978-93-5057-414-0.
- ^ Přednáška 3 | Kvantové zapletení, část 1 (Stanford), Leonard Susskind, trigonometrie za pět minut, zákon hříchu, cos, Eulerův vzorec 2006-10-09.
- ^ A b C Cynthia Y. Young (19. ledna 2010). Precalculus. John Wiley & Sons. p. 435. ISBN 978-0-471-75684-2.
- ^ Ron Larson (29. ledna 2010). Trigonometrie. Cengage Learning. p. 331. ISBN 978-1-4390-4907-5.
- ^ Richard N. Aufmann; Vernon C. Barker; Richard D. Nation (5. února 2007). College trigonometrie. Cengage Learning. p. 306. ISBN 978-0-618-82507-3.
- ^ Peterson, John C. (2004). Technická matematika s kalkulem (ilustrované vydání). Cengage Learning. p. 856. ISBN 978-0-7668-6189-3. Výňatek ze stránky 856
Bibliografie
- Boyer, Carl B. (1991). Dějiny matematiky (Druhé vydání.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
- "Trigonometrické funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Christopher M. Linton (2004). Od Eudoxuse k Einsteinovi: Historie matematické astronomie. Cambridge University Press.
- Nielsen, Kaj L. (1966), Logaritmické a trigonometrické tabulky na pět míst (2. vyd.), New York, USA: Barnes & Noble, LCCN 61-9103
- Weisstein, Eric W. „Vzorky trigonometrického sčítání“. MathWorld.
externí odkazy
Prostředky knihovny o Trigonometrie |
- Khan Academy: trigonometrie, online mikro přednášky zdarma
- Trigonometrie Alfred Monroe Kenyon a Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. Na obrázcích je uveden plný text.
- Puzzle trigonometrie Benjamina Bannekera v Konvergence
- Daveův krátký kurz trigonometrie David Joyce z Clarkova univerzita
- Trigonometrie, autor Michael Corral, Zahrnuje základní trigonometrii, distribuováno pod licencí GNU Free Documentation License