Euler – Maclaurin vzorec - Euler–Maclaurin formula - Wikipedia

v matematika, Euler – Maclaurin vzorec je vzorec pro rozdíl mezi integrální a úzce souvisí součet. Lze jej použít k aproximaci integrálů konečnými součty nebo naopak k vyhodnocení konečných součtů a nekonečná řada pomocí integrálů a mechanismu počet. Například mnoho asymptotických expanzí je odvozeno od vzorce a Faulhaberův vzorec protože součet sil je okamžitým důsledkem.

Vzorec byl objeven nezávisle na Leonhard Euler a Colin Maclaurin kolem roku 1735. Euler to potřeboval k výpočtu pomalu konvergujících nekonečných řad, zatímco Maclaurin to používal k výpočtu integrálů. Později to bylo zobecněno na Darbouxův vzorec.

Vzorec

Li ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ jsou přirozená čísla a ${ displaystyle f (x)}$ je nemovitý nebo komplex oceňují spojitá funkce pro reálná čísla ${ displaystyle x}$ v interval ${ displaystyle [m, n]}$, pak integrál

${ displaystyle I = int _ {m} ^ {n} f (x) , dx}$

lze aproximovat součtem (nebo naopak)

${ displaystyle S = f (m + 1) + cdots + f (n-1) + f (n)}$

(vidět obdélníková metoda ). Euler-Maclaurinův vzorec poskytuje výrazy pro rozdíl mezi součtem a integrálem, pokud jde o vyšší deriváty ${ displaystyle f ^ {(k)} (x)}$ vyhodnocen v koncových bodech intervalu, to znamená kdy ${ displaystyle x = m}$ a ${ displaystyle x = n}$.

Výslovně pro ${ displaystyle p}$ pozitivní celé číslo a funkce ${ displaystyle f (x)}$ to je ${ displaystyle p}$ krát průběžně diferencovatelné na intervalu ${ displaystyle [m, n]}$, my máme

${ displaystyle SI = sum _ {k = 1} ^ {p} {{ frac {B_ {k}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (n) -f ^ {( k-1)} (m))} + R_ {p},}$

kde ${ displaystyle B_ {k}}$ je ${ displaystyle k}$th Bernoulliho číslo (s ${ displaystyle B_ {1} = 1/2}$) a ${ displaystyle R_ {p}}$ je chybový termín což závisí na ${ displaystyle n}$, ${ displaystyle m}$, ${ displaystyle p}$, a ${ displaystyle f}$ a je obvykle malý pro vhodné hodnoty ${ displaystyle p}$.

Vzorec je často psán s tím, že dolní index bere pouze sudé hodnoty, protože lichá Bernoulliho čísla jsou nulová kromě ${ displaystyle B_ {1}}$. V tomto případě máme^[1][2]

${ displaystyle sum _ {i = m} ^ {n} f (i) = int _ {m} ^ {n} f (x) , dx + { frac {f (n) + f (m) } {2}} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor p / 2 rfloor} { frac {B_ {2k}} {(2k)!}} (F ^ {(2k-1)} (n) -f ^ {(2k-1)} (m)) + R_ {p},}$

nebo alternativně

${ displaystyle sum _ {i = m + 1} ^ {n} f (i) = int _ {m} ^ {n} f (x) , dx + { frac {f (n) -f ( m)} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { lfloor p / 2 rfloor} { frac {B_ {2k}} {(2k)!}} (f ^ {(2k-1 )} (n) -f ^ {(2k-1)} (m)) + R_ {p}.}$

Zbývající termín

Zbývající člen vzniká, protože integrál se obvykle nerovná přesně součtu. Vzorec lze odvodit opakovanou aplikací integrace po částech do následujících intervalů ${ displaystyle [r, r + 1]}$ pro ${ displaystyle r = m, m + 1, ldots, n-1}$. Hraniční členy v těchto integracích vedou k hlavním členům vzorce a zbylé integrály tvoří zbytek.

Zbývající člen má přesný výraz, pokud jde o periodizované Bernoulliho funkce ${ displaystyle P_ {k} (x)}$. Bernoulliho polynomy lze definovat rekurzivně pomocí ${ displaystyle B_ {0} (x) = 1}$ a pro ${ displaystyle k geq 1}$,

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {k} '(x) & = kB_ {k-1} (x), int _ {0} ^ {1} B_ {k} (x) , dx & = 0. end {zarovnáno}}}$

Periodizované Bernoulliho funkce jsou definovány jako

${ displaystyle P_ {k} (x) = B_ {k} (x- lfloor x rfloor),}$

kde ${ displaystyle lfloor x rfloor}$ označuje největší celé číslo menší nebo rovno ${ displaystyle x}$ (aby ${ displaystyle x- lfloor x rfloor}$ vždy leží v intervalu ${ displaystyle [0,1)}$).

S touto notací, zbytek termín ${ displaystyle R_ {p}}$ rovná se

${ displaystyle R_ {p} = (- 1) ^ {p + 1} int _ {m} ^ {n} f ^ {(p)} (x) { frac {P_ {p} (x)} {p!}} , dx.}$

Když ${ displaystyle k> 0}$, lze ukázat, že

${ displaystyle | B_ {k} (x) | leq { frac {2 cdot k!} {(2 pi) ^ {k}}} zeta (k),}$

kde ${ displaystyle zeta}$ označuje Funkce Riemann zeta; jedním z přístupů k prokázání této nerovnosti je získání Fourierovy řady pro polynomy ${ displaystyle B_ {k} (x)}$. Vazby je dosaženo pro sudé ${ displaystyle k}$ když ${ displaystyle x}$ je nula. Termín ${ displaystyle zeta (k)}$ lze vynechat pro liché ${ displaystyle k}$ ale důkaz je v tomto případě složitější (viz Lehmer).^[3] Pomocí této nerovnosti lze odhadnout velikost zbývajícího členu jako

${ displaystyle | R_ {p} | leq { frac {2 zeta (p)} {(2 pi) ^ {p}}} int _ {m} ^ {n} | f ^ {(p )} (x) | , dx.}$

Případy nízkého řádu

Bernoulliho čísla z ${ displaystyle B_ {1}}$ na ${ displaystyle B_ {7}}$ jsou ${ displaystyle { tfrac {1} {2}}, { tfrac {1} {6}}, 0, - { tfrac {1} {30}}, 0, { tfrac {1} {42} }, 0.}$ Proto případy nízkého řádu vzorce Euler-Maclaurin jsou:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} součet _ {i = m} ^ {n} f (i) - int _ {m} ^ {n} f (x) , dx & = { frac {f ( m) + f (n)} {2}} + int _ {m} ^ {n} f '(x) P_ {1} (x) , dx & = { frac {f (m) + f (n)} {2}} + { frac {1} {6}} { frac {f '(n) -f' (m)} {2!}} - int _ {m} ^ {n} f '' (x) { frac {P_ {2} (x)} {2!}} , dx & = { frac {f (m) + f (n)} {2} } + { frac {1} {6}} { frac {f '(n) -f' (m)} {2!}} + int _ {m} ^ {n} f '' '(x ) { frac {P_ {3} (x)} {3!}} , dx & = { frac {f (m) + f (n)} {2}} + { frac {1} {6}} { frac {f '(n) -f' (m)} {2!}} - { frac {1} {30}} { frac {f '' '(n) -f' '' (m)} {4!}} - int _ {m} ^ {n} f ^ {(4)} (x) { frac {P_ {4} (x)} {4!}} , dx & = { frac {f (m) + f (n)} {2}} + { frac {1} {6}} { frac {f '(n) -f' (m) } {2!}} - { frac {1} {30}} { frac {f '' '(n) -f' '' (m)} {4!}} + Int _ {m} ^ {n} f ^ {(5)} (x) { frac {P_ {5} (x)} {5!}} , dx & = { frac {f (m) + f (n) } {2}} + { frac {1} {6}} { frac {f '(n) -f' (m)} {2!}} - { frac {1} {30}} { frac {f '' '(n) -f' '' (m)} {4!}} + { frac {1} {42}} { frac {f ^ {(5)} (n) -f ^ {(5)} (m)} {6!}} - int _ {m} ^ {n} f ^ {(6)} (x) { frac {P_ {6} (x)} {6 !}} , dx & = { frac {f (m) + f (n)} {2}} + { frac {1} {6}} { frac {f '(n) -f '(m)} {2!}} - { frac {1} {30}} { frac {f' '' (n) -f '' '(m)} {4!}} + { frac {1} {42}} { frac {f ^ {(5)} (n) -f ^ {(5)} (m)} {6!}} + int _ {m} ^ {n} f ^ {(7)} (x) { frac {P_ {7} (x)} {7!}} , dx. end {zarovnáno}}}$

Aplikace

Basilejský problém

The Basilejský problém je určit součet

${ displaystyle 1 + { frac {1} {4}} + { frac {1} {9}} + { frac {1} {16}} + { frac {1} {25}} + cdots = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n ^ {2}}}.}$

Euler vypočítal tuto částku na 20 desetinných míst pouze s několika členy vzorce Euler-Maclaurin v roce 1735. To ho pravděpodobně přesvědčilo, že součet se rovná ${ displaystyle pi ^ {2} / 6}$, což prokázal ve stejném roce.^[4]

Součty zahrnující polynom

Li ${ displaystyle f}$ je polynomiální a ${ displaystyle p}$ je dostatečně velká, pak zbývající část zmizí. Například pokud ${ displaystyle f (x) = x ^ {3}}$, můžeme si vybrat ${ displaystyle p = 2}$ získat po zjednodušení

${ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} i ^ {3} = left ({ frac {n (n + 1)} {2}} right) ^ {2}.}$

Aproximace integrálů

Vzorec poskytuje prostředek k aproximaci konečného integrálu. Nechat ${ displaystyle a$ být koncovými body intervalu integrace. Opravit ${ displaystyle N}$, počet bodů, které se mají použít v aproximaci, a označit odpovídající velikost kroku pomocí ${ displaystyle h = (b-a) / (N-1)}$. Soubor ${ displaystyle x_ {i} = a + (i-1) h}$, aby ${ displaystyle x_ {1} = a}$ a ${ displaystyle x_ {N} = b}$. Pak:^[5]

${ displaystyle { begin {sladěno} I & = int _ {a} ^ {b} f (x) , dx & sim h left ({ frac {f (x_ {1})} { 2}} + f (x_ {2}) + cdots + f (x_ {N-1}) + { frac {f (x_ {N})} {2}} vpravo) + { frac {h ^ {2}} {12}} [f '(x_ {1}) - f' (x_ {N})] - { frac {h ^ {4}} {720}} [f '' '(x_ {1}) - f '' '(x_ {N})] + cdots. End {zarovnáno}}}$

Toto lze považovat za rozšíření lichoběžníkové pravidlo zahrnutím opravných podmínek. Všimněte si, že tato asymptotická expanze obvykle není konvergentní; tam jsou nějaké ${ displaystyle p}$, v závislosti na ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle h}$, takže pojmy minulé objednávky ${ displaystyle p}$ rychle rostou. Zbývající termín tedy obecně vyžaduje zvláštní pozornost.^[5]

Rovněž se podrobně používá vzorec Euler – Maclaurin analýza chyb v numerická kvadratura. Vysvětluje to vynikající výkon lichoběžníkové pravidlo na hladké periodické funkce a je používán v určitých metody extrapolace. Clenshaw – Curtisova kvadratura je v podstatě změna proměnných k seslání libovolného integrálu, pokud jde o integrály periodických funkcí, kde je Euler-Maclaurinův přístup velmi přesný (v tom konkrétním případě má Euler-Maclaurinův vzorec formu diskrétní kosinová transformace ). Tato technika je známá jako periodická transformace.

Asymptotická expanze součtů

V kontextu výpočtu asymptotické expanze částek a série, obvykle nejužitečnější formou vzorce Euler-Maclaurin je

${ displaystyle sum _ {n = a} ^ {b} f (n) sim int _ {a} ^ {b} f (x) , dx + { frac {f (b) + f (a )} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} , { frac {B_ {2k}} {(2k)!}} Left (f ^ {(2k-1)} (b) -f ^ {(2k-1)} (a) vpravo),}$

kde ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ jsou celá čísla.^[6] Expanze často zůstává v platnosti i po vyčerpání limitů ${ displaystyle a rightarrow - infty}$ nebo ${ displaystyle b rightarrow + infty}$ nebo oboje. V mnoha případech lze integrál na pravé straně vyhodnotit v uzavřená forma ve smyslu základní funkce i když součet na levé straně nemůže. Pak lze všechny členy v asymptotické řadě vyjádřit pomocí základních funkcí. Například,

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(z + k) ^ {2}}} sim underbrace { int _ {0} ^ { infty} { frac {1} {(z + k) ^ {2}}} , dk} _ {= 1 / z} + { frac {1} {2z ^ {2}}} + sum _ {t = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2t}} {z ^ {2t + 1}}}.}$

Zde se levá strana rovná ${ displaystyle psi ^ {(1)} (z)}$, jmenovitě prvního řádu funkce polygammy definován ${ displaystyle psi ^ {(1)} (z) = (d / dz) ^ {2} ( log gama (z))}$; the funkce gama ${ Displaystyle Gamma (z)}$ je rovný ${ displaystyle (z-1)!}$ -li ${ displaystyle z}$ je kladné celé číslo. To má za následek asymptotickou expanzi pro ${ displaystyle psi ^ {(1)} (z)}$. Tato expanze zase slouží jako výchozí bod pro jednu z derivací přesných odhadů chyb pro Stirlingova aproximace z faktoriál funkce.

Příklady

Li s je celé číslo větší než 1, máme:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {s}}} přibližně { frac {1} {s-1}} + { frac {1} {2}} - { frac {1} {(s-1) n ^ {s-1}}} + { frac {1} {2n ^ {s}}} + sum _ {i = 1} { frac {B_ {2i}} {(2i)!}} vlevo [{ frac {(s + 2i-2)!} {(s-1)!}} - { frac {(s + 2i -2)!} {(S-1)! N ^ {s + 2i-1}}} right].}$

Shromažďování konstant do hodnoty Funkce Riemann zeta, můžeme napsat asymptotickou expanzi:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {s}}} sim zeta (s) - { frac {1} {(s-1) n ^ {s-1}}} + { frac {1} {2n ^ {s}}} - sum _ {i = 1} { frac {B_ {2i}} {(2i)!}} { frac {(s + 2i-2)!} {(s-1)! n ^ {s + 2i-1}}}.}$

Pro s rovné 2 to zjednodušuje na

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {2}}} sim zeta (2) - { frac {1} {n}} + { frac {1} {2n ^ {2}}} - sum _ {i = 1} { frac {B_ {2i}} {n ^ {2i + 1}}},}$

nebo

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k ^ {2}}} sim { frac { pi ^ {2}} {6}} - { frac {1} {n}} + { frac {1} {2n ^ {2}}} - { frac {1} {6n ^ {3}}} + { frac {1} {30n ^ {5} }} - { frac {1} {42n ^ {7}}} + cdots.}$

Když s = 1, odpovídající technika dává asymptotickou expanzi pro harmonická čísla:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {1} {k}} sim gamma + log n + { frac {1} {2n}} - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2k}} {2kn ^ {2k}}},}$

kde ${ displaystyle gamma přibližně 0,5772156649015328606065}$ je Euler – Mascheroniho konstanta.

Důkazy

Odvození matematickou indukcí

Načrtneme argument uvedený v Apostolu.^[1]

The Bernoulliho polynomy B_n(X) a periodické Bernoulliho funkce P_n(X) pro n = 0, 1, 2, ... byly představeny výše.

Prvních několik Bernoulliho polynomů je

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {0} (x) & = 1, B_ {1} (x) & = x - { frac {1} {2}}, B_ {2} (x) & = x ^ {2} -x + { frac {1} {6}}, B_ {3} (x) & = x ^ {3} - { frac {3} {2}} x ^ {2} + { frac {1} {2}} x, B_ {4} (x) & = x ^ {4} -2x ^ {3} + x ^ {2} - { frac {1} {30}}, & vdots end {zarovnáno}}}$

Hodnoty B_n(0) jsou Bernoulliho čísla B_n. Všimněte si, že pro n ≠ 1 my máme

${ displaystyle B_ {n} = B_ {n} (0) = B_ {n} (1),}$

a pro n = 1,

${ displaystyle B_ {1} = B_ {1} (0) = - B_ {1} (1).}$

Funkce P_n souhlasit s Bernoulliho polynomy na intervalu [0, 1] a jsou periodicky s obdobím 1. Dále, kromě případů, kdy n = 1, jsou také spojité. Tím pádem,

${ displaystyle P_ {n} (0) = P_ {n} (1) = B_ {n} quad (n neq 1)}$

Nechat k být celé číslo a vzít v úvahu integrál

${ displaystyle int _ {k} ^ {k + 1} f (x) , dx = int _ {k} ^ {k + 1} u , dv,}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} u & = f (x), du & = f '(x) , dx, dv & = P_ {0} (x) , dx && ({ text {od}) } P_ {0} (x) = 1), v & = P_ {1} (x). End {zarovnáno}}}$

Integrace po částech, dostaneme

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {k} ^ {k + 1} f (x) , dx & = { bigl [} uv { bigr]} _ {k} ^ {k + 1} - int _ {k} ^ {k + 1} v , du & = { bigl [} f (x) P_ {1} (x) { bigr]} _ {k} ^ {k + 1} - int _ {k} ^ {k + 1} f '(x) P_ {1} (x) , dx & = B_ {1} (1) f (k + 1) -B_ { 1} (0) f (k) - int _ {k} ^ {k + 1} f '(x) P_ {1} (x) , dx. End {zarovnáno}}}$

Použitím ${ displaystyle B_ {1} (0) = - 1/2}$, ${ displaystyle B_ {1} (1) = 1/2}$a sečtením výše uvedeného z k = 0 na k = n − 1, dostaneme

${ displaystyle { begin {sladěno} int _ {0} ^ {n} f (x) , dx & = int _ {0} ^ {1} f (x) , dx + dotsb + int _ {n-1} ^ {n} f (x) , dx & = { frac {f (0)} {2}} + f (1) + dotsb + f (n-1) + { frac {f (n)} {2}} - int _ {0} ^ {n} f '(x) P_ {1} (x) , dx. end {zarovnáno}}}$

Přidání (F(n) − F(0)) / 2 na obě strany a přeskupení, máme

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) = int _ {0} ^ {n} f (x) , dx + { frac {f (n) -f (0) } {2}} + int _ {0} ^ {n} f '(x) P_ {1} (x) , dx.}$

To je str = 1 případě součtového vzorce. Abychom pokračovali v indukci, použijeme integraci po částech na chybový termín:

${ displaystyle int _ {k} ^ {k + 1} f '(x) P_ {1} (x) , dx = int _ {k} ^ {k + 1} u , dv,}$

kde

${ displaystyle { begin {aligned} u & = f '(x), du & = f' '(x) , dx, dv & = P_ {1} (x) , dx, v & = { frac {1} {2}} P_ {2} (x). end {zarovnáno}}}$

Výsledkem integrace po částech je

${ displaystyle { begin {aligned} { bigl [} uv { bigr]} _ {k} ^ {k + 1} - int _ {k} ^ {k + 1} v , du & = left [{ frac {f '(x) P_ {2} (x)} {2}} right] _ {k} ^ {k + 1} - { frac {1} {2}} int _ { k} ^ {k + 1} f '' (x) P_ {2} (x) , dx & = { frac {B_ {2}} {2}} (f '(k + 1) - f '(k)) - { frac {1} {2}} int _ {k} ^ {k + 1} f' '(x) P_ {2} (x) , dx. end {zarovnáno }}}$

Shrnutí z k = 0 na k = n − 1 a jeho nahrazení za chybový termín nižšího řádu vede k str = 2 případ vzorce,

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} f (k) = int _ {0} ^ {n} f (x) , dx + { frac {f (n) + f (0) } {2}} + { frac {B_ {2}} {2}} (f '(n) -f' (0)) - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {n} f '' (x) P_ {2} (x) , dx.}$

Tento proces lze iterovat. Tímto způsobem získáme důkaz součtového vzorce Euler-Maclaurin, který lze formalizovat matematická indukce, ve kterém se indukční krok spoléhá na integraci po částech a na identity pro periodické Bernoulliho funkce.

Viz také

• Cesàro součet
• Eulerův součet
• Gauss – Kronrodův kvadraturní vzorec
• Darbouxův vzorec
• Součet Euler – Boole

Poznámky

Reference