Vektor (matematika a fyzika) - Vector (mathematics and physics)

v matematika a fyzika, a vektor je prvek a vektorový prostor.

Pro mnoho konkrétních vektorových prostorů vektory dostaly specifická jména, která jsou uvedena níže.

Historicky byly vektory zavedeny v roce geometrie a fyzika (obvykle v mechanika ) před formalizací konceptu vektorového prostoru. Proto se často mluví o vektorech, aniž bychom specifikovali vektorový prostor, do kterého patří. Konkrétně v a Euklidovský prostor, jeden zvažuje prostorové vektory, také zvaný Euklidovské vektory které se používají k reprezentaci veličin, které mají velikost i směr, a mohou být přidané, odečteno a zmenšen (tj. vynásobeno a reálné číslo ) pro vytvoření vektorového prostoru.^[1]

Vektory v euklidovské geometrii

V klasickém Euklidovská geometrie (tj., syntetická geometrie ), vektory byly zavedeny (v průběhu 19. století) jako třídy ekvivalence pod vybavenost, z objednané páry bodů; dva páry (A, B) a (C, D) být vyrovnaný, pokud jsou body A, B, D, C, v tomto pořadí tvoří a rovnoběžník. Taková třída ekvivalence se nazývá a vektor, přesněji, a Euklidovský vektor.^[2] Třída ekvivalence (A, B) je často označován ${displaystyle {overrightarrow {AB}}.}$

A Euklidovský vektor je tedy třída ekvivalence směrovaných segmentů se stejnou velikostí (např. délka úsečka (A, B)) a stejný směr (např. směr z A na B).^[3] Ve fyzice se euklidovské vektory používají k vyjádření fyzikálních veličin, které mají velikost i směr, ale nejsou umístěny na konkrétním místě, na rozdíl od skaláry, které nemají žádný směr.^[4] Například, rychlost, síly a akcelerace jsou reprezentovány vektory.

V moderní geometrii jsou euklidovské prostory často definovány od lineární algebra. Přesněji řečeno euklidovský prostor E je definována jako množina, ke které je přidružen vnitřní produktový prostor konečné dimenze nad reálemi ${displaystyle {overrightarrow {E}},}$ a a skupinová akce z aditivní skupina z ${displaystyle {overrightarrow {E}},}$ který je volný, uvolnit a tranzitivní (Vidět Afinní prostor pro podrobnosti o této konstrukci). Prvky ${displaystyle {overrightarrow {E}}}$ jsou nazývány překlady.

Bylo prokázáno, že dvě definice euklidovských prostorů jsou ekvivalentní a že třídy ekvivalence pod ekvipolencí lze identifikovat pomocí překladů.

Někdy jsou euklidovské vektory považovány bez odkazu na euklidovský prostor. V tomto případě je euklidovský vektor prvkem normovaného vektorového prostoru konečné dimenze nad reálemi nebo typicky prvkem ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ vybavené Tečkovaný produkt. To dává smysl, protože sčítání v takovém vektorovém prostoru působí volně a přechodně na samotný vektorový prostor. To znamená ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ je euklidovský prostor, který má sám sebe jako přidružený vektorový prostor a bodový součin jako vnitřní součin.

Euklidovský prostor ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ se často prezentuje jako the Euklidovský prostor dimenze n. To je motivováno skutečností, že každý euklidovský prostor dimenze n je izomorfní do euklidovského prostoru ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Přesněji řečeno, vzhledem k takovému euklidovskému prostoru lze zvolit libovolný bod Ó jako původ. Podle Gram – Schmidtův proces, jeden může také najít ortonormální základ přidruženého vektorového prostoru (základ tak, že vnitřní součin dvou základních vektorů je 0, pokud jsou různé, a 1, pokud jsou stejné). To definuje Kartézské souřadnice jakéhokoli bodu P prostoru, jako souřadnice na tomto základě vektoru ${displaystyle {overrightarrow {OP}}.}$ Tyto volby definují izomorfismus daného euklidovského prostoru ${displaystyle mathbb {R} ^ {n},}$ mapováním libovolného bodu k n-tuple jeho kartézských souřadnic a každý jeho vektor vektor souřadnic.

Specifické vektory ve vektorovém prostoru

• Nulový vektor (někdy také nazývané nulový vektor a označeno ${displaystyle mathbf {0}}$^[5]), aditivní identita ve vektorovém prostoru. V normovaný vektorový prostor, je to jedinečný vektor normy nula. V Euklidovský vektorový prostor, je to jedinečný vektor délky nula.^[6]
• Základ vektoru, prvek daného základ vektorového prostoru.
• Jednotkový vektor, vektor v normovaném vektorovém prostoru, jehož norma je 1 nebo a Euklidovský vektor délky jedna.^[6]
• Izotropní vektor nebo nulový vektor, ve vektorovém prostoru s a kvadratická forma, nenulový vektor, jehož forma je nula. Pokud existuje nulový vektor, kvadratická forma se říká an izotropní kvadratická forma.

Vektory ve specifických vektorových prostorech

• Sloupec vektor, matice pouze s jedním sloupcem. Vektory sloupců s pevným počtem řádků tvoří vektorový prostor.
• Řádek vektor, matice pouze s jedním řádkem. Vektory řádků s pevným počtem sloupců tvoří vektorový prostor.
• Vektor souřadnic, n-tuple z souřadnice vektoru na a základ z n elementy. Pro vektorový prostor nad a pole F, tyto n-tuples tvoří vektorový prostor ${displaystyle F ^ {n}}$ (kde operace jsou bodové sčítání a skalární násobení).
• Posunutí vektoru, vektor, který určuje změnu polohy bodu vzhledem k předchozí poloze. Vektory posunutí patří do vektorového prostoru překlady.
• Vektor pozice bodu, vektor posunutí od referenčního bodu (nazývaného původ) do té míry. Vektor pozice představuje polohu bodu v a Euklidovský prostor nebo afinní prostor.
• Rychlost vektoru, derivace vektoru polohy s ohledem na čas. Nezáleží na volbě původu, a proto patří do vektorového prostoru překladů.
• Pseudovektor, také zvaný axiální vektor, prvek dvojí vektorového prostoru. V vnitřní produktový prostor, vnitřní produkt definuje izomorfismus mezi prostorem a jeho duálem, což může ztěžovat rozlišení pseudo vektoru od vektoru. Rozdíl se projeví, když se změní souřadnice: matice použitá pro změnu souřadnic pseudovektorů je přemístit toho vektorů.
• Tečný vektor, prvek tečný prostor a křivka, a povrch nebo, obecněji, a diferenciální potrubí v daném bodě (tyto tečné prostory jsou přirozeně vybaveny strukturou vektorového prostoru)
• Normální vektor nebo jednoduše normální, v euklidovském prostoru nebo obecněji ve vnitřním prostoru produktu, vektor, který je kolmý na tečný prostor v bodě. Normály jsou pseudovektory, které patří do duálu tečného prostoru.
• Spád, vektor souřadnic parciálních derivací a funkce několika reálných proměnných. V euklidovském prostoru dává gradient velikost a směr maximálního nárůstu a skalární pole. Gradient je pseudo vektor, který je normální vůči a křivka úrovně.
• Čtyři-vektor, v teorii relativity, vektor ve čtyřrozměrném reálném vektorovém prostoru zvaném Minkowskiho prostor

Tice, které nejsou ve skutečnosti vektory

Sada ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ z n-tice z n reálná čísla mají přirozenou strukturu vektorového prostoru definovanou sčítáním jednotlivých složek a skalární násobení. Pokud se takové n-tice používají k reprezentaci některých dat, je běžné je volat vektory, i když přidání vektoru pro tato data nic neznamená, což může terminologii dělat matoucí. Podobně některé fyzické jevy zahrnují směr a velikost. Často jsou reprezentovány vektory, i když se na ně operace vektorových prostorů nevztahují.

• Vektor rotace, a Euklidovský vektor jehož směr je směr osy a otáčení a velikost je úhel rotace.
• Hamburgery vektor, vektor, který představuje velikost a směr mřížkového zkreslení dislokace v krystalové mřížce
• Intervalový vektor, v teorii hudební množiny, pole, které vyjadřuje intervenální obsah množiny třídy hřiště
• Vektor pravděpodobnosti, ve statistikách vektor s nezápornými položkami, které jsou součtem jedné.
• Náhodný vektor nebo vícerozměrná náhodná proměnná, v statistika, sada nemovitý -hodnota náhodné proměnné to může být korelovaný. Nicméně, a náhodný vektor může také odkazovat na a náhodná proměnná který bere své hodnoty ve vektorovém prostoru.
• Vektorový vztah, binární relace určená logickým vektorem.

Vektory v algebrách

Každý algebra nad polem je vektorový prostor, ale prvky algebry se obecně nenazývají vektory. V některých případech se však nazývají vektory, hlavně z historických důvodů.

• Vektorové čtveřice, a čtveřice s nulovou skutečnou částí
• Multivektorový nebo p-vektor, prvek vnější algebra vektorového prostoru.
• Spinors, také zvaný vektory rotace, byly rozšířeny pro rozšíření pojmu vektor rotace. Ve skutečnosti rotační vektory představují rotace jamek lokálně, ale ne globálně, protože a uzavřená smyčka v prostoru rotace vektory mohou vyvolat křivku v prostoru rotací, která není smyčkou. Také potrubí vektorů rotace je orientovatelný, zatímco rozdělovač rotací není. Spinory jsou prvky vektorového podprostoru některých Cliffordova algebra.
• Wittův vektor, nekonečná posloupnost prvků komutativního kruhu, která patří k algebra nad tímto prstenem, a byl zaveden pro manipulaci nést šíření v operacích na p-adic čísla.

Viz také

• Vektor (disambiguation)

Vektorové prostory s větší strukturou

• Odstupňovaný vektorový prostor, typ vektorového prostoru, který zahrnuje zvláštní strukturu gradace
• Normovaný vektorový prostor, vektorový prostor, na kterém je definována norma
• Hilbertův prostor
• Objednaný vektorový prostor, vektorový prostor vybavený částečným řádem
• Super vektorový prostor, název pro Z₂-gradovaný vektorový prostor
• Symplektický vektorový prostor, vektorový prostor V vybavený nedegenerovanou, zkosenou symetrickou, bilineární formou
• Topologický vektorový prostor, směs topologické struktury s algebraickým konceptem vektorového prostoru

Vektorová pole

A vektorové pole je funkce s vektorovou hodnotou že má obecně doménu stejné dimenze (jako a potrubí ) jako jeho codomain,

• Konzervativní vektorové pole, vektorové pole, které je gradientem pole skalárního potenciálu
• Hamiltonovské vektorové pole, vektorové pole definované pro jakoukoli energetickou funkci nebo hamiltonián
• Zabíjení vektorové pole, vektorové pole na Riemannově potrubí
• Solenoidové vektorové pole, vektorové pole s nulovou divergencí
• Vektorový potenciál, vektorové pole, jehož zvlnění je dané vektorové pole
• Vektorový tok, soubor úzce souvisejících pojmů toku určeného vektorovým polem

Smíšený

• Ricciho počet
• Vektorová analýza, učebnice vektorového počtu od Wilson, poprvé publikováno v roce 1901, které hodně přispělo ke standardizaci zápisu a slovní zásoby trojrozměrné lineární algebry a vektorového počtu
• Vektorový svazek, topologická konstrukce, která upřesňuje představu rodiny vektorových prostorů parametrizovaných jiným prostorem
• Vektorový počet, obor matematiky zabývající se diferenciací a integrací vektorových polí
• Vektorový rozdíl nebo del, operátor diferenciálního vektoru představovaný symbolem nabla ${displaystyle abla}$
• Vektor Laplacian, vektorový Laplaceův operátor, označený ${displaystyle abla ^ {2}}$, je diferenciální operátor definovaný nad vektorovým polem
• Vektorová notace, běžná notace používaná při práci s vektory
• Vektorový operátor, typ diferenciálního operátoru používaného ve vektorovém počtu
• Vektorový produkt, nebo křížový produkt, operace na dvou vektorech v trojrozměrném euklidovském prostoru, produkující třetí trojrozměrný euklidovský vektor
• Vektorové projekce, také známý jako vektorové rozlišení nebo vektorová složka, lineární mapování produkující vektor rovnoběžný s druhým vektorem
• Funkce s vektorovou hodnotou, a funkce který má vektorový prostor jako a codomain
• Vektorizace (matematika), lineární transformace, která převádí matici na vektor sloupce
• Vektorové autoregrese, ekonometrický model používaný k zachycení vývoje a vzájemných závislostí mezi více časovými řadami
• Vektorový boson, boson s kvantovým počtem spinů rovným 1
• Vektorové opatření, funkce definovaná na rodině množin a přijímání vektorových hodnot splňujících určité vlastnosti
• Vektorový mezon, mezon s celkovou rotací 1 a lichou paritou
• Vektorové kvantování, kvantovací technika používaná při zpracování signálu
• Vektorové soliton osamělá vlna s více složkami spojenými dohromady, která si udržuje svůj tvar během šíření
• Vektorová syntéza, typ zvukové syntézy

Poznámky