Věta o extrémní hodnotě - Extreme value theorem

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Kontinuální funkce ${ displaystyle f (x)}$ na uzavřeném intervalu ${ displaystyle [a, b]}$ zobrazující absolutní maximum (červená) a absolutní min (modrá).

v počet, věta o extrémní hodnotě uvádí, že pokud má skutečnou hodnotu funkce ${ displaystyle f}$ je kontinuální na Zavřeno interval ${ displaystyle [a, b]}$, pak ${ displaystyle f}$ musí dosáhnout a maximum a a minimální, každý alespoň jednou. To znamená, že existují čísla ${ displaystyle c}$ a ${ displaystyle d}$ v ${ displaystyle [a, b]}$ takové, že:

${ Displaystyle f (c) geq f (x) geq f (d) quad forall x in [a, b]}$

Příbuzná věta je věta o omezenosti který uvádí, že spojitá funkce F v uzavřeném intervalu [A,b] je ohraničený v tomto intervalu. To znamená, že existují reálná čísla m a M takové, že:

${ displaystyle m$

Věta o extrémní hodnotě obohacuje teorém omezenosti tím, že říká, že je nejen ohraničená funkcí, ale také dosahuje své nejmenší horní hranice jako svého maxima a své největší spodní hranice jako svého minima.

Věta o extrémní hodnotě se používá k prokázání Rolleova věta. Ve formulaci kvůli Karl Weierstrass, tato věta říká, že spojitá funkce z neprázdného kompaktní prostor do a podmnožina z reálná čísla dosahuje maxima a minima.

Dějiny

Věta o extrémní hodnotě byla původně prokázána Bernard Bolzano ve 30. letech 19. století v díle Teorie funkcí ale práce zůstala nepublikovaná až do roku 1930. Bolzanův důkaz spočíval v tom, že se ukázalo, že spojitá funkce v uzavřeném intervalu byla ohraničená, a poté v tom, že funkce dosáhla maximální a minimální hodnoty. Oba důkazy zahrnovaly to, co je dnes známé jako Bolzano – Weierstrassova věta.^[1] Výsledek objevil také Weierstrass v roce 1860.^{[Citace je zapotřebí ]}

Funkce, na které se věta nevztahuje

Následující příklady ukazují, proč musí být funkční doména uzavřena a ohraničena, aby se věta mohla použít. Každý nedokáže v daném intervalu dosáhnout maxima.

1. ${ displaystyle f (x) = x}$ definováno přes ${ displaystyle [0, infty)}$ není omezen shora.
2. ${ displaystyle f (x) = { frac {x} {1 + x}}}$ definováno přes ${ displaystyle [0, infty)}$ je ohraničený, ale nedosahuje své nejméně horní hranice ${ displaystyle 1}$.
3. ${ displaystyle f (x) = { frac {1} {x}}}$ definováno přes ${ displaystyle (0,1]}$ není omezen shora.
4. ${ displaystyle f (x) = 1-x}$ definováno přes ${ displaystyle (0,1]}$ je ohraničený, ale nikdy nedosáhne své nejméně horní hranice ${ displaystyle 1}$.

Definování ${ displaystyle f (0) = 0}$ v posledních dvou příkladech ukazuje, že obě věty vyžadují kontinuitu ${ displaystyle [a, b]}$.

Zobecnění na metrické a topologické prostory

Při pohybu ze skutečné linie ${ displaystyle mathbb {R}}$ na metrické prostory a obecně topologické prostory, vhodné zobecnění uzavřeného ohraničeného intervalu je a kompaktní sada. Sada ${ displaystyle K}$ je považován za kompaktní, pokud má následující vlastnost: z každé kolekce otevřené sady ${ displaystyle U _ { alpha}}$ takhle ${ textstyle bigcup U _ { alpha} supset K}$konečná podkolekce ${ displaystyle U _ { alpha _ {1}}, ldots, U _ { alpha _ {n}}}$lze zvolit tak, že ${ textstyle bigcup _ {i = 1} ^ {n} U _ { alpha _ {i}} supset K}$. Toto se obvykle stručně uvádí jako „každý otevřený obal ${ displaystyle K}$ má konečnou subcover " Heine – Borelův teorém tvrdí, že podmnožina skutečné linie je kompaktní právě tehdy, když je uzavřená i ohraničená. Odpovídajícím způsobem má metrický prostor Vlastnictví Heine – Borel pokud je každá uzavřená a ohraničená množina také kompaktní.

Koncept spojité funkce lze rovněž zobecnit. Vzhledem k topologickým prostorům ${ displaystyle V, W}$, funkce ${ displaystyle f: V až W}$ se říká, že je spojitá, pokud pro každou otevřenou sadu ${ displaystyle U podmnožina W}$, ${ displaystyle f ^ {- 1} (U) podmnožina V}$ je také otevřený. Vzhledem k těmto definicím lze ukázat, že spojité funkce zachovávají kompaktnost:^[2]

Teorém. Li ${ displaystyle V, W}$ jsou topologické prostory, ${ displaystyle f: V až W}$ je spojitá funkce a ${ displaystyle K podmnožina V}$ je tedy kompaktní ${ displaystyle f (K) podmnožina W}$ je také kompaktní.

Zejména pokud ${ displaystyle W = mathbb {R}}$, pak z této věty vyplývá ${ displaystyle f (K)}$ je uzavřený a ohraničený pro jakoukoli kompaktní sadu ${ displaystyle K}$z čehož vyplývá, že ${ displaystyle f}$ dosáhne svého supremum a infimum na jakékoli (neprázdné) kompaktní sadě ${ displaystyle K}$. Máme tedy následující zobecnění věty o extrémní hodnotě:^[2]

Teorém. Li ${ displaystyle K}$ je kompaktní sada a ${ displaystyle f: K to mathbb {R}}$ je tedy spojitá funkce ${ displaystyle f}$ je omezený a existuje ${ displaystyle p, q v K}$ takhle ${ textstyle f (p) = sup _ {x v K} f (x)}$ a ${ textstyle f (q) = inf _ {x v K} f (x)}$.

O něco obecněji to platí i pro horní polokontinuální funkci. (vidět compact space # Funkce a kompaktní prostory ).

Prokazující věty

Podíváme se na důkaz pro horní hranice a maximálně F. Aplikováním těchto výsledků na funkci -F, existence dolní meze a výsledek za minimum F následuje. Všimněte si také, že vše v důkazu se děje v kontextu reálná čísla.

Nejprve dokážeme teorém o omezenosti, což je krok v důkazu věty o extrémní hodnotě. Základní kroky zahrnuté v důkazu věty o extrémní hodnotě jsou:

1. Prokázat teorém omezenosti.
2. Najděte sekvenci tak, aby byla obraz konverguje k supremum z F.
3. Ukažte, že existuje a subsekvence který konverguje k bodu v doména.
4. Pomocí kontinuity můžete ukázat, že obraz subsekvence konverguje k nadřazenosti.

Důkaz věty o omezenosti

Prohlášení Li ${ displaystyle f (x)}$ je nepřetržitě zapnuto ${ displaystyle [a, b]}$ pak je to ohraničeno ${ displaystyle [a, b]}$

Předpokládejme funkci ${ displaystyle f}$ není na intervalu výše ohraničen ${ displaystyle [a, b]}$. Pak pro každé přirozené číslo ${ displaystyle n}$, existuje ${ displaystyle x_ {n} v [a, b]}$ takhle ${ displaystyle f (x_ {n})> n}$. To definuje a sekvence ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$. Protože ${ displaystyle [a, b]}$ je ohraničený, Bolzano – Weierstrassova věta znamená, že existuje konvergentní subsekvence ${ displaystyle (x_ {n_ {k}}) _ {k in mathbb {N}}}$ z ${ displaystyle ({x_ {n}})}$. Označte jeho limit ${ displaystyle x}$. Tak jako ${ displaystyle [a, b]}$ je uzavřen, obsahuje ${ displaystyle x}$. Protože ${ displaystyle f}$ je spojitá v ${ displaystyle x}$, víme, že ${ displaystyle f (x _ {{n} _ {k}})}$ konverguje ke skutečnému číslu ${ displaystyle f (x)}$ (tak jako ${ displaystyle f}$ je postupně kontinuální na ${ displaystyle x}$). Ale ${ displaystyle f (x _ {{n} _ {k}})> n_ {k} geq k}$ pro každého ${ displaystyle k}$, což z toho vyplývá ${ displaystyle f (x _ {{n} _ {k}})}$ rozchází se ${ displaystyle + infty}$ rozpor. Proto, ${ displaystyle f}$ je ohraničen výše na ${ displaystyle [a, b]}$. ${ displaystyle Box}$

Alternativní důkaz

Prohlášení Li ${ displaystyle f (x)}$ je nepřetržitě zapnuto ${ displaystyle [a, b]}$ pak je ohraničeno ${ displaystyle [a, b]}$

Důkaz Zvažte sadu ${ displaystyle B}$ bodů ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, b]}$ takhle ${ displaystyle f (x)}$ je omezen na ${ displaystyle [a, x]}$. Poznamenáváme to ${ displaystyle a}$ je jedním z takových bodů, protože ${ displaystyle f (x)}$ je omezen na ${ displaystyle [a, a]}$ podle hodnoty ${ displaystyle f (a)}$. Li ${ displaystyle e> a}$ je další bod, pak všechny body mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle e}$ také patří ${ displaystyle B}$. Jinými slovy ${ displaystyle B}$ je interval uzavřený na jeho levém konci znakem ${ displaystyle a}$.

Nyní ${ displaystyle f}$ je spojitá vpravo na ${ displaystyle a}$, proto existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle | f (x) -f (a) | <1}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, a + delta]}$. Tím pádem ${ displaystyle f}$ je ohraničen ${ displaystyle f (a) -1}$ a ${ displaystyle f (a) +1}$ na intervalu ${ displaystyle [a, a + delta]}$ takže všechny tyto body patří ${ displaystyle B}$.

Zatím to víme ${ displaystyle B}$ je interval nenulové délky uzavřený na jeho levém konci znakem ${ displaystyle a}$.

Další, ${ displaystyle B}$ je ohraničen výše ${ displaystyle b}$. Proto ta sada ${ displaystyle B}$ má nadřazenost ${ displaystyle [a, b]}$ ; řekněme tomu ${ displaystyle s}$. Z nenulové délky ${ displaystyle B}$ to můžeme odvodit ${ displaystyle s> a}$.

Předpokládat ${ displaystyle s$. Nyní ${ displaystyle f}$ je spojitá v ${ displaystyle s}$, proto existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle | f (x) -f (s) | <1}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [s- delta, s + delta]}$ aby ${ displaystyle f}$ je omezen na tento interval. Vyplývá to však z nadřazenosti ${ displaystyle s}$ že existuje bod patřící k ${ displaystyle B}$, ${ displaystyle e}$ řekněme, což je větší než ${ displaystyle s- delta / 2}$. Tím pádem ${ displaystyle f}$ je omezen na ${ displaystyle [a, e]}$ který se překrývá ${ displaystyle [s- delta, s + delta]}$ aby ${ displaystyle f}$ je omezen na ${ displaystyle [a, s + delta]}$. To však odporuje nadřazenosti ${ displaystyle s}$.

Musíme tedy mít ${ displaystyle s = b}$. Nyní ${ displaystyle f}$ je spojitá vlevo na ${ displaystyle s}$, proto existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle | f (x) -f (s) | <1}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [s- delta, s]}$ aby ${ displaystyle f}$ je omezen na tento interval. Vyplývá to však z nadřazenosti ${ displaystyle s}$ že existuje bod patřící k ${ displaystyle B}$, ${ displaystyle e}$ řekněme, což je větší než ${ displaystyle s- delta / 2}$. Tím pádem ${ displaystyle f}$ je omezen na ${ displaystyle [a, e]}$ který se překrývá ${ displaystyle [s- delta, s]}$ aby ${ displaystyle f}$ je omezen na ${ displaystyle [a, s]}$.  ∎

Důkaz věty o extrémní hodnotě

Podle věty o omezenosti F je shora omezen, tedy, Dedekindova úplnost reálných čísel, nejmenší horní mez (supremum) M z F existuje. Je nutné najít bod d v [A,b] takové, že M = F(d). Nechat n být přirozené číslo. Tak jako M je nejméně horní hranice, M – 1/n není horní mez pro F. Proto existuje d_n v [A,b] aby M – 1/n < F(d_n). To definuje sekvenci {d_n}. Od té doby M je horní mez pro F, my máme M – 1/n < F(d_n) ≤ M pro všechny n. Posloupnost {F(d_n)} konverguje k M.

The Bolzano – Weierstrassova věta říká nám, že existuje podsekce {${ displaystyle d_ {n_ {k}}}$}, který konverguje k některým d a jako [A,b] je uzavřen, d je v [A,b]. Od té doby F je spojitá v d, sekvence {F(${ displaystyle d_ {n_ {k}}}$)} konverguje k F(d). Ale {F(d_nk)} je subsekvence {F(d_n)}, který konverguje k M, tak M = F(d). Proto, F dosáhne své nadvlády M na d. ∎

Alternativní důkaz věty o extrémní hodnotě

Sada {y ∈ R : y = f (X) pro některé X ∈ [A,b]} je omezená množina. Proto je jeho nejmenší horní mez existuje vlastnost nejméně horní hranice reálných čísel. Nechat M = sup (F(X)) na [A, b]. Pokud to nemá smysl X na [A, b] aby F(X) = M pakF(X) < M na [A, b]. Proto 1 / (M − F(X)) je nepřetržitý na [A, b].

Ke každému kladnému číslu ε, vždy se nějaký najde X v [A, b] takové, že M − F(X) < ε protože M je nejmenší horní mez. Proto 1 / (M − F(X)) > 1/ε, což znamená, že 1 / (M − F(X)) není omezen. Protože každá spojitá funkce na [A, b] je ohraničeno, což je v rozporu se závěrem, že 1 / (M − F(X)) byl nepřetržitý dne [A, b]. Proto musí existovat bod X v [A, b] takové, že F(X) = M. ∎

Důkaz použití hyperrealů

V prostředí nestandardní počet, nechť N být nekonečný hyperinteger. Interval [0, 1] má přirozené hyperreálné prodloužení. Zvažte jeho oddíl do N podintervaly stejné infinitezimální délka 1 /N, s dělícími body X_i = i /N tak jako i "běží" od 0 do N. Funkce ƒ je také přirozeně rozšířeno na funkci ƒ* definováno u hyperrealů mezi 0 a 1. Všimněte si, že ve standardním nastavení (když N je konečný), bod s maximální hodnotou ƒ lze vždy vybrat mezi N+1 body X_iindukcí. Proto, tím princip přenosu existuje hyperinteger i₀ takové, že 0 ≤ i₀ ≤ N a ${ displaystyle f ^ {*} (x_ {i_ {0}}) geq f ^ {*} (x_ {i})}$ pro všechny i = 0, …, N. Zvažte skutečný bod

${ displaystyle c = mathbf {st} (x_ {i_ {0}})}$

kde Svatý je standardní funkce dílu. Libovolný skutečný bod X leží ve vhodném dílčím intervalu oddílu, jmenovitě ${ displaystyle x in [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$, aby Svatý(X_i) = X. Přihlašování Svatý k nerovnosti ${ displaystyle f ^ {*} (x_ {i_ {0}}) geq f ^ {*} (x_ {i})}$, získáváme ${ displaystyle mathbf {st} (f ^ {*} (x_ {i_ {0}})) geq mathbf {st} (f ^ {*} (x_ {i}))}$. Kontinuitou ƒ my máme

${ displaystyle mathbf {st} (f ^ {*} (x_ {i_ {0}})) = f ( mathbf {st} (x_ {i_ {0}})) = f (c)}$.

Proto ƒ(C) ≥ ƒ(X), pro všechny skutečné X, dokazování C být maximálně ƒ.^[3]

Důkaz o prvních zásadách

Prohlášení Li ${ displaystyle f (x)}$ je nepřetržitě zapnuto ${ displaystyle [a, b]}$ pak dosáhne svého nadvlády ${ displaystyle [a, b]}$

Důkaz Podle věty o omezenosti ${ displaystyle f (x)}$ je ohraničen výše na ${ displaystyle [a, b]}$ a vlastnost úplnosti reálných čísel má nadřazenost ${ displaystyle [a, b]}$. Říkejme tomu ${ displaystyle M}$nebo ${ displaystyle M [a, b]}$. Je zřejmé, že omezení ${ displaystyle f}$ do podintervalu ${ displaystyle [a, x]}$ kde ${ displaystyle x leq b}$ má supremum ${ displaystyle M [a, x]}$ což je menší nebo rovno ${ displaystyle M}$, a to ${ displaystyle M [a, x]}$ zvyšuje z ${ displaystyle f (a)}$ na ${ displaystyle M}$ tak jako ${ displaystyle x}$ zvyšuje z ${ displaystyle a}$ na ${ displaystyle b}$.

Li ${ displaystyle f (a) = M}$ pak jsme hotovi. Předpokládejme tedy, že ${ displaystyle f (a)$ a nechte ${ displaystyle d = M-f (a)}$. Zvažte sadu ${ displaystyle L}$ bodů ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, b]}$ takhle ${ displaystyle M [a, x]$.

Jasně ${ displaystyle a v L}$ ; navíc pokud ${ displaystyle e> a}$ je další bod v ${ displaystyle L}$ pak všechny body mezi ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle e}$ také patří ${ displaystyle L}$ protože ${ displaystyle M [a, x]}$ monotónně roste. Proto ${ displaystyle L}$ je neprázdný interval uzavřený na jeho levém konci znakem ${ displaystyle a}$.

Nyní ${ displaystyle f}$ je spojitá vpravo na ${ displaystyle a}$, proto existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle | f (x) -f (a) |$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, a + delta]}$. Tím pádem ${ displaystyle f}$ je méně než ${ displaystyle M-d / 2}$ na intervalu ${ displaystyle [a, a + delta]}$ takže všechny tyto body patří ${ displaystyle L}$.

Další, ${ displaystyle L}$ je ohraničen výše ${ displaystyle b}$ a proto má v ${ displaystyle [a, b]}$ : řekněme tomu ${ displaystyle s}$. Z výše uvedeného to vidíme ${ displaystyle s> a}$. To ukážeme ${ displaystyle s}$ je bod, který hledáme, tj. bod, kde ${ displaystyle f}$ dosáhne svého nadvlády, nebo jinými slovy ${ displaystyle f (s) = M}$.

Předpokládejme opak viz. ${ displaystyle f (s)$. Nechat ${ displaystyle d = M-f (s)}$ a zvažte následující dva případy:

(1)    ${ displaystyle s$. Tak jako ${ displaystyle f}$ je spojitá v ${ displaystyle s}$, tady existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle | f (x) -f (s) |$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [s- delta, s + delta]}$. Tohle znamená tamto ${ displaystyle f}$ je méně než ${ displaystyle M-d / 2}$ na intervalu ${ displaystyle [s- delta, s + delta]}$. Vyplývá to však z nadřazenosti ${ displaystyle s}$ že existuje bod, ${ displaystyle e}$ řekněme, patřící k ${ displaystyle L}$ což je větší než ${ displaystyle s- delta}$. Podle definice ${ displaystyle L}$, ${ displaystyle M [a, e]$. Nechat ${ displaystyle d_ {1} = M-M [a, e]}$ pak pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, e]}$, ${ displaystyle f (x) leq M-d_ {1}}$. Brát ${ displaystyle d_ {2}}$ být minimem ${ displaystyle d / 2}$ a ${ displaystyle d_ {1}}$, my máme ${ displaystyle f (x) leq M-d_ {2}}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, s + delta]}$.

Proto ${ displaystyle M [a, s + delta]$ aby ${ displaystyle s + delta v L}$. To však odporuje nadřazenosti ${ displaystyle s}$ a doplňuje důkaz.

(2)    ${ displaystyle s = b}$. Tak jako ${ displaystyle f}$ je spojitá vlevo na ${ displaystyle s}$, tady existuje ${ displaystyle delta> 0}$ takhle ${ displaystyle | f (x) -f (s) |$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [s- delta, s]}$. Tohle znamená tamto ${ displaystyle f}$ je méně než ${ displaystyle M-d / 2}$ na intervalu ${ displaystyle [s- delta, s]}$. Vyplývá to však z nadřazenosti ${ displaystyle s}$ že existuje bod, ${ displaystyle e}$ řekněme, patřící k ${ displaystyle L}$ což je větší než ${ displaystyle s- delta}$. Podle definice ${ displaystyle L}$, ${ displaystyle M [a, e]$. Nechat ${ displaystyle d_ {1} = M-M [a, e]}$ pak pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, e]}$, ${ displaystyle f (x) leq M-d_ {1}}$. Brát ${ displaystyle d_ {2}}$ být minimem ${ displaystyle d / 2}$ a ${ displaystyle d_ {1}}$, my máme ${ displaystyle f (x) leq M-d_ {2}}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle [a, b]}$. To je v rozporu s nadřazeností ${ displaystyle M}$ a doplní důkaz. ∎

Rozšíření na polokontinuální funkce

Pokud je kontinuita funkce F je oslaben na polokontinuita, pak odpovídá odpovídající polovina věty o omezenosti a věta o extrémní hodnotě a hodnoty –∞ nebo + ∞ z prodloužená řada reálných čísel lze povolit jako možné hodnoty. Přesněji:

Teorém: Pokud je funkce F : [A,b] → [–∞, ∞) je horní polokontinuální, což znamená

${ displaystyle limsup _ {y až x} f (y) leq f (x)}$

pro všechny X v [A,b], pak F je ohraničen výše a dosahuje své nadvlády.

Důkaz: Li F(X) = –∞ pro všechny X v [A,b], pak je supremum také –∞ a věta je pravdivá. Ve všech ostatních případech je důkazem mírná úprava výše uvedených důkazů. V důkazu věty o omezenosti je horní polokontinuita F na X pouze naznačuje, že limit lepší subsekvence {F(X_nk)} je výše ohraničen F(X) <∞, ale to stačí k získání rozporu. V důkazu věty o extrémní hodnotě je horní polokontinuita F na d znamená, že limit nadřazený subsekvenci {F(d_nk)} je výše ohraničen F(d), ale to stačí k závěru, že F(d) = M. ∎

Aplikování tohoto výsledku na -F dokazuje:

Teorém: Pokud je funkce F : [A,b] → (–∞, ∞] je nižší polokontinuální, což znamená

${ displaystyle liminf _ {y až x} f (y) geq f (x)}$

pro všechny X v [A,b], pak F je ohraničen níže a dosahuje svého infimum.

Funkce se skutečnou hodnotou je horní i dolní polokontinuální, právě když je spojitá v obvyklém smyslu. Tyto dvě věty tedy implikují teorém o omezenosti a větu o extrémní hodnotě.

Reference

Další čtení

• Adams, Robert A. (1995). Calculus: A Complete Course. Čtení: Addison-Wesley. 706–707. ISBN  0-201-82823-5.
• Protter, M. H.; Morrey, C. B. (1977). „Věty o omezenosti a extrémní hodnotě“. První kurz reálné analýzy. New York: Springer. 71–73. ISBN  0-387-90215-5.

externí odkazy

• Důkaz věty o extrémní hodnotě na cut-the-uzel
• "Věta o omezenosti". PlanetMath.
• „Věta o extrémní hodnotě“. PlanetMath.
• Věta o extrémní hodnotě Jacqueline Wandzura s dalšími příspěvky Stephena Wandzury, Demonstrační projekt Wolfram.
• Weisstein, Eric W. „Věta o extrémní hodnotě“. MathWorld.
• Systém Mizar důkaz: http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15