Běžné integrály v teorii kvantového pole jsou všechny variace a zobecnění Gaussovy integrály do komplexní roviny a do více dimenzí.[1]
Variace jednoduchého Gaussova integrálu Gaussův integrál První integrál, který má široké uplatnění mimo teorii kvantového pole, je Gaussův integrál.
G ≡ ∫ − ∞ ∞ E − 1 2 X 2 d X {displaystyle Gequiv int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 přes 2} x ^ {2}}, dx} Ve fyzice je faktor 1/2 v argumentu exponenciálu běžný.
Poznámka:
G 2 = ( ∫ − ∞ ∞ E − 1 2 X 2 d X ) ⋅ ( ∫ − ∞ ∞ E − 1 2 y 2 d y ) = 2 π ∫ 0 ∞ r E − 1 2 r 2 d r = 2 π ∫ 0 ∞ E − w d w = 2 π . {displaystyle G ^ {2} = left (int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 over 2} x ^ {2}}, dxight) cdot left (int _ {- infty} ^ {infty } e ^ {- {1 nad 2} y ^ {2}}, dyight) = 2pi int _ {0} ^ {infty} re ^ {- {1 nad 2} r ^ {2}}, dr = 2pi int _ {0} ^ {infty} e ^ {- w}, dw = 2pi.} Tím získáváme
∫ − ∞ ∞ E − 1 2 X 2 d X = 2 π . {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 přes 2} x ^ {2}}, dx = {sqrt {2pi}}.} Mírné zobecnění Gaussova integrálu ∫ − ∞ ∞ E − 1 2 A X 2 d X = 2 π A {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 over 2} ax ^ {2}}, dx = {sqrt {2pi over a}}} kde jsme se zmenšili
X → X A {displaystyle x o {x nad {sqrt {a}}}} Integrály exponentů a dokonce i mocniny X ∫ − ∞ ∞ X 2 E − 1 2 A X 2 d X = − 2 d d A ∫ − ∞ ∞ E − 1 2 A X 2 d X = − 2 d d A ( 2 π A ) 1 2 = ( 2 π A ) 1 2 1 A {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} x ^ {2} e ^ {- {1 nad 2} ax ^ {2}}, dx = -2 {d nad da} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- {1 nad 2} ax ^ {2}}, dx = -2 {d nad da} vlevo ({2pi nad a} vpravo) ^ {1 nad 2} = vlevo ({2pi nad a} ight) ^ {1 nad 2} {1 nad a}} a
∫ − ∞ ∞ X 4 E − 1 2 A X 2 d X = ( − 2 d d A ) ( − 2 d d A ) ∫ − ∞ ∞ E − 1 2 A X 2 d X = ( − 2 d d A ) ( − 2 d d A ) ( 2 π A ) 1 2 = ( 2 π A ) 1 2 3 A 2 {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} x ^ {4} e ^ {- {1 nad 2} ax ^ {2}}, dx = left (-2 {d over da} ight) left (-2 {d over da} ight) int _ {- infty} ^ {infty} e ^ {- {1 over 2} ax ^ {2}}, dx = left (-2 {d over da} ight) left (-2 {d over da} ight) left ({2pi over a} ight) ^ {1 over 2} = left ({2pi over a} ight) ^ {1 over 2} {3 over a ^ {2}}} Obecně
∫ − ∞ ∞ X 2 n E − 1 2 A X 2 d X = ( 2 π A ) 1 2 1 A n ( 2 n − 1 ) ( 2 n − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 = ( 2 π A ) 1 2 1 A n ( 2 n − 1 ) ! ! {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} x ^ {2n} e ^ {- {1 nad 2} ax ^ {2}}, dx = left ({2pi over a} ight) ^ {1 over {2 }} {1 nad ^ {n}} vlevo (2n-1ight) vlevo (2n-3ight) cdots 5cdot 3cdot 1 = vlevo ({2pi nad a} ight) ^ {1 nad {2}} {1 nad a ^ {n}} vlevo (2n-1ight) !!} Všimněte si, že integrály exponentů a liché mocniny x jsou 0, kvůli zvláštní symetrie.
Integrály s lineárním členem v argumentu exponenta ∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 2 A X 2 + J X ) d X {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} exp left (- {1 over 2} ax ^ {2} + Jxight) dx} Tento integrál lze provést dokončením čtverce:
( − 1 2 A X 2 + J X ) = − 1 2 A ( X 2 − 2 J X A + J 2 A 2 − J 2 A 2 ) = − 1 2 A ( X − J A ) 2 + J 2 2 A {displaystyle left (- {1 over 2} ax ^ {2} + Jxight) = - {1 over 2} aleft (x ^ {2} - {2Jx over a} + {J ^ {2} over a ^ {2 }} - {J ^ {2} nad a ^ {2}} ight) = - {1 nad 2} aleft (x- {J nad a} ight) ^ {2} + {J ^ {2} nad 2a} } Proto:
∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 2 A X 2 + J X ) d X = exp ( J 2 2 A ) ∫ − ∞ ∞ exp [ − 1 2 A ( X − J A ) 2 ] d X = exp ( J 2 2 A ) ∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 2 A w 2 ) d w = ( 2 π A ) 1 2 exp ( J 2 2 A ) {displaystyle {egin {aligned} int _ {- infty} ^ {infty} exp left (- {1 over 2} ax ^ {2} + Jxight), dx & = exp left ({J ^ {2} over 2a} ight ) int _ {- infty} ^ {infty} exp left [- {1 over 2} aleft (x- {J over a} ight) ^ {2} ight], dx [8pt] & = exp left ({J ^ {2} nad 2a} ight) int _ {- infty} ^ {infty} exp vlevo (- {1 nad 2} aw ^ {2} ight), dw [8pt] & = vlevo ({2pi nad a} ight) ^ {1 nad 2} exp vlevo ({J ^ {2} nad 2a} ight) konec {zarovnáno}}} Integrály s imaginárním lineárním členem v argumentu exponenta Integrál
∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 2 A X 2 + i J X ) d X = ( 2 π A ) 1 2 exp ( − J 2 2 A ) {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} exp left (- {1 over 2} ax ^ {2} + iJxight) dx = left ({2pi over a} ight) ^ {1 over 2} exp left (- {J ^ {2} více než 2a} ight)} je úměrná Fourierova transformace Gaussian kde J je konjugovaná proměnná z X .
Opětovným dokončením čtverce vidíme, že Fourierova transformace Gaussian je také Gaussian, ale v konjugované proměnné. Větší A je užší Gaussian v X a širší Gaussian v J . Toto je ukázka princip nejistoty .
Tento integrál je také známý jako Hubbard-Stratonovichova transformace používá se v teorii pole.
Integrály se složitým argumentem exponenta Integrál zájmu je (pro příklad aplikace viz Vztah mezi Schrödingerovou rovnicí a dráhovou integrální formulací kvantové mechaniky )
∫ − ∞ ∞ exp ( 1 2 i A X 2 + i J X ) d X . {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} exp left ({1 over 2} iax ^ {2} + iJxight) dx.} Nyní to předpokládáme A a J může být složité.
Dokončení náměstí
( 1 2 i A X 2 + i J X ) = 1 2 i A ( X 2 + 2 J X A + ( J A ) 2 − ( J A ) 2 ) = − 1 2 A i ( X + J A ) 2 − i J 2 2 A . {displaystyle left ({1 over 2} iax ^ {2} + iJxight) = {1 over 2} ialeft (x ^ {2} + {2Jx over a} + left ({J over a} ight) ^ {2} -levá ({J nad a} ight) ^ {2} ight) = - {1 nad 2} {a nad i} vlevo (x + {J nad a} ight) ^ {2} - {iJ ^ {2} nad 2a}.} Analogicky s předchozími integrály
∫ − ∞ ∞ exp ( 1 2 i A X 2 + i J X ) d X = ( 2 π i A ) 1 2 exp ( − i J 2 2 A ) . {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} exp left ({1 over 2} iax ^ {2} + iJxight) dx = left ({2pi i over a} ight) ^ {1 over 2} exp left ({ -iJ ^ {2} více než 2a} noc).} Tento výsledek platí jako integrace do komplexní roviny, pokud A je nenulová a má polopozitivní imaginární část. Vidět Fresnelovy integrály .
Gaussovy integrály ve vyšších dimenzích Jednorozměrné integrály lze zobecnit na více dimenzí.[2]
∫ exp ( − 1 2 X ⋅ A ⋅ X + J ⋅ X ) d n X = ( 2 π ) n det A exp ( 1 2 J ⋅ A − 1 ⋅ J ) {displaystyle int exp left (- {frac {1} {2}} xcdot Acdot x + Jcdot xight) d ^ {n} x = {sqrt {frac {(2pi) ^ {n}} {det A}}} exp vlevo ({1 nad 2} Jcdot A ^ {- 1} cdot Jight)} Tady A je skutečně pozitivní definitivní symetrická matice .
Tento integrál provádí diagonalizace z A s ortogonální transformace
D = Ó − 1 A Ó = Ó T A Ó {displaystyle D = O ^ {- 1} AO = O ^ {T} AO} kde D je diagonální matice a Ó je ortogonální matice . To odděluje proměnné a umožňuje integraci provést jako n jednorozměrné integrace.
To je nejlépe ilustrováno na dvourozměrném příkladu.
Příklad: Jednoduchá Gaussova integrace ve dvou dimenzích Gaussovský integrál ve dvou dimenzích je
∫ exp ( − 1 2 A i j X i X j ) d 2 X = ( 2 π ) 2 det A {displaystyle int exp left (- {frac {1} {2}} A_ {ij} x ^ {i} x ^ {j} ight) d ^ {2} x = {sqrt {frac {(2pi) ^ {2 }} {det A}}}} kde A je dvourozměrná symetrická matice se složkami specifikovanými jako
A = [ A C C b ] {displaystyle A = {egin {bmatrix} a & c c & bend {bmatrix}}} a použili jsme Konvence Einsteinova součtu .
Diagnostikovat matici Prvním krokem je diagonalizovat matice.[3]
A i j X i X j ≡ X T A X = X T ( Ó Ó T ) A ( Ó Ó T ) X = ( X T Ó ) ( Ó T A Ó ) ( Ó T X ) {displaystyle A_ {ij} x ^ {i} x ^ {j} ekv. x ^ {T} Ax = x ^ {T} vlevo (OO ^ {T} ight) Aleft (OO ^ {T} ight) x = vlevo (x ^ {T} Oight) vlevo (O ^ {T} AOight) vlevo (O ^ {T} xight)} kde, protože A je skutečný symetrická matice , můžeme si vybrat Ó být ortogonální , a tedy také a unitární matice . Ó lze získat z vlastní vektory z A . Vybíráme si Ó takové, že: D ≡ ÓT AO
Vlastní čísla A Chcete-li najít vlastní vektory A jeden nejprve najde vlastní čísla λ z A dána
[ A C C b ] [ u proti ] = λ [ u proti ] . {displaystyle {egin {bmatrix} a & c c & bend {bmatrix}} {egin {bmatrix} u vend {bmatrix}} = lambda {egin {bmatrix} u vend {bmatrix}}.} Vlastní čísla jsou řešením charakteristický polynom
( A − λ ) ( b − λ ) − C 2 = 0 {displaystyle (a-lambda) (b-lambda) -c ^ {2} = 0} λ 2 − λ ( A + b ) + A b − C 2 = 0 {displaystyle lambda ^ {2} -lambda (a + b) + ab-c ^ {2} = 0} které se nacházejí pomocí kvadratická rovnice :
λ ± = 1 2 ( A + b ) ± 1 2 ( A + b ) 2 − 4 ( A b − C 2 ) . {displaystyle lambda _ {pm} = {1 nad 2} (a + b) pm {1 nad 2} {sqrt {(a + b) ^ {2} -4 (ab-c ^ {2})}}}. } λ ± = 1 2 ( A + b ) ± 1 2 A 2 + 2 A b + b 2 − 4 A b + 4 C 2 . {displaystyle lambda _ {pm} = {1 nad 2} (a + b) pm {1 nad 2} {sqrt {a ^ {2} + 2ab + b ^ {2} -4ab + 4c ^ {2}}} .} λ ± = 1 2 ( A + b ) ± 1 2 ( A − b ) 2 + 4 C 2 . {displaystyle lambda _ {pm} = {1 nad 2} (a + b) pm {1 nad 2} {sqrt {(a-b) ^ {2} + 4c ^ {2}}}.} Vlastní vektory A Substituce vlastních čísel zpět do vlastních vektorových rovnic se získá
proti = − ( A − λ ± ) u C , proti = − C u ( b − λ ± ) . {displaystyle v = - {left (a-lambda _ {pm} ight) u over c}, qquad v = - {cu over left (b-lambda _ {pm} ight)}.} Z charakteristické rovnice víme
A − λ ± C = C b − λ ± . {displaystyle {a-lambda _ {pm} nad c} = {c nad b-lambda _ {pm}}.} Všimněte si také
A − λ ± C = − b − λ ∓ C . {displaystyle {a-lambda _ {pm} nad c} = - {b-lambda _ {mp} nad c}.} Vlastní vektory lze psát jako:
[ 1 η − A − λ − C η ] , [ − b − λ + C η 1 η ] {displaystyle {egin {bmatrix} {frac {1} {eta}} - {frac {a-lambda _ {-}} {ceta}} konec {bmatrix}}, qquad {egin {bmatrix} - {frac {b -lambda _ {+}} {ceta}} {frac {1} {eta}} konec {bmatrix}}} pro dva vlastní vektory. Tady η je normalizační faktor daný
η = 1 + ( A − λ − C ) 2 = 1 + ( b − λ + C ) 2 . {displaystyle eta = {sqrt {1 + left ({frac {a-lambda _ {-}} {c}} ight) ^ {2}}} = {sqrt {1 + left ({frac {b-lambda _ { +}} {c}} ight) ^ {2}}}.} Je snadno ověřitelné, že dva vlastní vektory jsou navzájem kolmé.
Konstrukce ortogonální matice Ortogonální matice je konstruována přiřazením normalizovaných vlastních vektorů jako sloupců v ortogonální matici
Ó = [ 1 η − b − λ + C η − A − λ − C η 1 η ] . {displaystyle O = {egin {bmatrix} {frac {1} {eta}} & - {frac {b-lambda _ {+}} {ceta}} - {frac {a-lambda _ {-}} {ceta }} & {frac {1} {eta}} end {bmatrix}}.} Všimněte si, že det (Ó ) = 1 .
Pokud definujeme
hřích ( θ ) = − A − λ − C η {displaystyle sin (heta) = - {frac {a-lambda _ {-}} {ceta}}} pak lze napsat ortogonální matici
Ó = [ cos ( θ ) − hřích ( θ ) hřích ( θ ) cos ( θ ) ] {displaystyle O = {egin {bmatrix} cos (heta) & - sin (heta) sin (heta) & cos (heta) konec {bmatrix}}} což je jednoduše rotace vlastních vektorů s inverzí:
Ó − 1 = Ó T = [ cos ( θ ) hřích ( θ ) − hřích ( θ ) cos ( θ ) ] . {displaystyle O ^ {- 1} = O ^ {T} = {egin {bmatrix} cos (heta) & sin (heta) - sin (heta) & cos (heta) konec {bmatrix}}.} Diagonální matice Diagonální matice se stane
D = Ó T A Ó = [ λ − 0 0 λ + ] {displaystyle D = O ^ {T} AO = {egin {bmatrix} lambda _ {-} & 0 0 & lambda _ {+} end {bmatrix}}} s vlastními vektory
[ 1 0 ] , [ 0 1 ] {displaystyle {egin {bmatrix} 1 0end {bmatrix}}, qquad {egin {bmatrix} 0 1end {bmatrix}}} Numerický příklad A = [ 2 1 1 1 ] {displaystyle A = {egin {bmatrix} 2 & 1 1 & 1end {bmatrix}}} Vlastní čísla jsou
λ ± = 3 2 ± 5 2 . {displaystyle lambda _ {pm} = {3 nad 2} odpoledne {{sqrt {5}} nad 2}.} Vlastní vektory jsou
1 η [ 1 − 1 2 − 5 2 ] , 1 η [ 1 2 + 5 2 1 ] {displaystyle {1 over eta} {egin {bmatrix} 1 - {1 over 2} - {{sqrt {5}} over 2} end {bmatrix}}, qquad {1 over eta} {egin {bmatrix} {1 přes 2} + {{sqrt {5}} přes 2} 1end {bmatrix}}} kde
η = 5 2 + 5 2 . {displaystyle eta = {sqrt {{5 nad 2} + {{sqrt {5}} nad 2}}}.} Pak
Ó = [ 1 η 1 η ( 1 2 + 5 2 ) 1 η ( − 1 2 − 5 2 ) 1 η ] Ó − 1 = [ 1 η 1 η ( − 1 2 − 5 2 ) 1 η ( 1 2 + 5 2 ) 1 η ] {displaystyle {egin {aligned} O & = {egin {bmatrix} {frac {1} {eta}} a {frac {1} {eta}} vlevo ({1 nad 2} + {{sqrt {5}} nad 2 } ight) {frac {1} {eta}} vlevo (- {1 nad 2} - {{sqrt {5}} nad 2} ight) a {1 nad eta} konec {bmatrix}} O ^ {- 1} & = {egin {bmatrix} {frac {1} {eta}} a {frac {1} {eta}} vlevo (- {1 přes 2} - {{sqrt {5}} přes 2} noc) {frac {1} {eta}} vlevo ({1 nad 2} + {{sqrt {5}} nad 2} ight) & {frac {1} {eta}} konec {bmatrix}} konec {zarovnáno}}} Diagonální matice se stane
D = Ó T A Ó = [ λ − 0 0 λ + ] = [ 3 2 − 5 2 0 0 3 2 + 5 2 ] {displaystyle D = O ^ {T} AO = {egin {bmatrix} lambda _ {-} & 0 0 & lambda _ {+} end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} {3 over 2} - {{sqrt {5 }} nad 2} & 0 0 a {3 nad 2} + {{sqrt {5}} nad 2} konec {bmatrix}}} s vlastními vektory
[ 1 0 ] , [ 0 1 ] {displaystyle {egin {bmatrix} 1 0end {bmatrix}}, qquad {egin {bmatrix} 0 1end {bmatrix}}} Změňte měřítko proměnných a integrujte je Pomocí diagonalizace lze zapsat integrál
∫ exp ( − 1 2 X T A X ) d 2 X = ∫ exp ( − 1 2 ∑ j = 1 2 λ j y j 2 ) d 2 y {displaystyle int exp left (- {frac {1} {2}} x ^ {T} Axight) d ^ {2} x = int exp left (- {frac {1} {2}} součet _ {j = 1 } ^ {2} lambda _ {j} y_ {j} ^ {2} ight), d ^ {2} y} kde
y = Ó T X . {displaystyle y = O ^ {T} x.} Protože transformace souřadnic je jednoduše rotace souřadnic, Jacobian determinant transformace je výnos
d y 2 = d X 2 {displaystyle dy ^ {2} = dx ^ {2}} Nyní lze provést integraci.
∫ exp ( − 1 2 X T A X ) d 2 X = ∫ exp ( − 1 2 ∑ j = 1 2 λ j y j 2 ) d 2 y = ∏ j = 1 2 ( 2 π λ j ) 1 2 = ( ( 2 π ) 2 ∏ j = 1 2 λ j ) 1 2 = ( ( 2 π ) 2 det ( Ó − 1 A Ó ) ) 1 2 = ( ( 2 π ) 2 det ( A ) ) 1 2 {displaystyle {egin {aligned} int exp left (- {frac {1} {2}} x ^ {T} Axight) d ^ {2} x & = int exp left (- {frac {1} {2}} součet _ {j = 1} ^ {2} lambda _ {j} y_ {j} ^ {2} ight) d ^ {2} y & = prod _ {j = 1} ^ {2} vlevo ({2pi nad lambda _ {j}} ight) ^ {1 nad 2} & = vlevo ({(2pi) ^ {2} nad prod _ {j = 1} ^ {2} lambda _ {j}} ight) ^ {1 nad 2} & = left ({(2pi) ^ {2} nad det {left (O ^ {- 1} AOight)}} ight) ^ {1 nad 2} & = left ({(2pi) ^ { 2} nad det {left (Aight)}} ight) ^ {1 over 2} end {aligned}}} což je inzerované řešení.
Integrály se složitými a lineárními pojmy ve více dimenzích S dvojrozměrným příkladem je nyní snadné vidět zobecnění na komplexní rovinu a na více dimenzí.
Integrály s lineárním členem v argumentu ∫ exp ( − 1 2 X ⋅ A ⋅ X + J ⋅ X ) d n X = ( 2 π ) n det A exp ( 1 2 J ⋅ A − 1 ⋅ J ) {displaystyle int exp left (- {frac {1} {2}} xcdot Acdot x + Jcdot xight) d ^ {n} x = {sqrt {frac {(2pi) ^ {n}} {det A}}} exp vlevo ({1 nad 2} Jcdot A ^ {- 1} cdot Jight)} Integrály s imaginárním lineárním členem ∫ exp ( − 1 2 X ⋅ A ⋅ X + i J ⋅ X ) d n X = ( 2 π ) n det A exp ( − 1 2 J ⋅ A − 1 ⋅ J ) {displaystyle int exp left (- {frac {1} {2}} xcdot Acdot x + iJcdot xight) d ^ {n} x = {sqrt {frac {(2pi) ^ {n}} {det A}}} exp vlevo (- {1 nad 2} Jcdot A ^ {- 1} cdot Jight)} Integrály se složitým kvadratickým termínem ∫ exp ( i 2 X ⋅ A ⋅ X + i J ⋅ X ) d n X = ( 2 π i ) n det A exp ( − i 2 J ⋅ A − 1 ⋅ J ) {displaystyle int exp left ({frac {i} {2}} xcdot Acdot x + iJcdot xight) d ^ {n} x = {sqrt {frac {(2pi i) ^ {n}} {det A}}} exp left (- {i over 2} Jcdot A ^ {- 1} cdot Jight)} Integrály s diferenciálními operátory v argumentu Jako příklad zvažte integrál[4]
∫ exp [ ∫ d 4 X ( − 1 2 φ A ^ φ + J φ ) ] D φ {displaystyle int exp left [int d ^ {4} xleft (- {frac {1} {2}} varphi {hat {A}} varphi + Jvarphi ight) ight] Dvarphi} kde A ^ {displaystyle {hat {A}}} φ {displaystyle varphi} J funkce vesmírný čas , a D φ {displaystyle Dvarphi}
∫ exp [ ∫ d 4 X ( − 1 2 φ A ^ φ + J φ ) ] D φ ∝ exp ( 1 2 ∫ d 4 X d 4 y J ( X ) D ( X − y ) J ( y ) ) {displaystyle int exp left [int d ^ {4} xleft (- {frac {1} {2}} varphi {hat {A}} varphi + Jvarphi ight) ight] Dvarphi; propto; exp left ({1 over 2} int d ^ {4} x; d ^ {4} yJ (x) D (xy) J (y) ight)} kde
A ^ D ( X − y ) = δ 4 ( X − y ) {displaystyle {hat {A}} D (x-y) = delta ^ {4} (x-y)} a D (X − y )propagátor , je inverzní k A ^ {displaystyle {hat {A}}} δ 4 ( X − y ) {displaystyle delta ^ {4} (x-y)} Diracova delta funkce .
Výnos podobných argumentů
∫ exp [ ∫ d 4 X ( − 1 2 φ A ^ φ + i J φ ) ] D φ ∝ exp ( − 1 2 ∫ d 4 X d 4 y J ( X ) D ( X − y ) J ( y ) ) , {displaystyle int exp left [int d ^ {4} xleft (- {frac {1} {2}} varphi {hat {A}} varphi + iJvarphi ight) ight] Dvarphi; propto; exp left (- {1 přes 2 } int d ^ {4} x; d ^ {4} yJ (x) D (xy) J (y) ight),} a
∫ exp [ i ∫ d 4 X ( 1 2 φ A ^ φ + J φ ) ] D φ ∝ exp ( − i 2 ∫ d 4 X d 4 y J ( X ) D ( X − y ) J ( y ) ) . {displaystyle int exp left [iint d ^ {4} xleft ({frac {1} {2}} varphi {hat {A}} varphi + Jvarphi ight) ight] Dvarphi; propto; exp left (- {i přes 2} int d ^ {4} x; d ^ {4} yJ (x) D (xy) J (y) ight).} Vidět Cesta-integrální formulace výměny virtuálních částic pro použití tohoto integrálu.
Integrály, které lze aproximovat metodou nejstrmějšího klesání V kvantové teorii pole n-dimenzionální integrály formy
∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 ℏ F ( q ) ) d n q {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} exp left (- {1 over hbar} f (q) ight) d ^ {n} q} objevují se často. Tady ℏ {displaystyle hbar} snížila Planckovu konstantu af je funkce s kladným minimem v q = q 0 {displaystyle q = q_ {0}} metoda nejstrmějšího klesání .
Pro malé hodnoty Planckovy konstanty lze f rozšířit o jeho minimum
∫ − ∞ ∞ exp [ − 1 ℏ ( F ( q 0 ) + 1 2 ( q − q 0 ) 2 F ′ ′ ( q − q 0 ) + ⋯ ) ] d n q {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} exp left [- {1 over hbar} left (fleft (q_ {0} ight) + {1 over 2} left (q-q_ {0} ight) ^ {2 } f ^ {prime prime} left (q-q_ {0} ight) + cdots ight) ight] d ^ {n} q} Tady F ′ ′ {displaystyle f ^ {prime prime}}
Pokud zanedbáme výrazy vyššího řádu, lze tento integrál výslovně integrovat.
∫ − ∞ ∞ exp [ − 1 ℏ ( F ( q ) ) ] d n q ≈ exp [ − 1 ℏ ( F ( q 0 ) ) ] ( 2 π ℏ ) n det F ′ ′ . {displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} exp left [- {1 over hbar} (f (q)) ight] d ^ {n} qbleshox exp left [- {1 over hbar} left (fleft (q_ { 0} ight) ight) ight] {sqrt {(2pi hbar) ^ {n} nad det f ^ {prime prime}}}.} Integrály, které lze aproximovat metodou stacionární fáze Běžný integrál je cestový integrál formy
∫ exp ( i ℏ S ( q , q ˙ ) ) D q {displaystyle int exp left ({i over hbar} Sleft (q, {dot {q}} ight) ight) Dq} kde S ( q , q ˙ ) {displaystyle Sleft (q, {dot {q}} ight)} akce a integrál je přes všechny možné cesty, kterými se může částice ubírat. Na hranici malého ℏ {displaystyle hbar} aproximace stacionární fáze . V této aproximaci je integrál nad cestou, ve které je akce minimální. Proto tato aproximace obnovuje klasický limit z mechanika .
Fourierovy integrály Diracova delta distribuce The Diracova delta distribuce v vesmírný čas lze psát jako Fourierova transformace [5]
∫ d 4 k ( 2 π ) 4 exp ( i k ( X − y ) ) = δ 4 ( X − y ) . {displaystyle int {frac {d ^ {4} k} {(2pi) ^ {4}}} exp (ik (x-y)) = delta ^ {4} (x-y).} Obecně pro jakoukoli dimenzi N {displaystyle N}
∫ d N k ( 2 π ) N exp ( i k ( X − y ) ) = δ N ( X − y ) . {displaystyle int {frac {d ^ {N} k} {(2pi) ^ {N}}} exp (ik (x-y)) = delta ^ {N} (x-y).} Fourierovy integrály forem Coulombova potenciálu Laplacian 1 / r I když nejde o integrál, identita je trojrozměrná Euklidovský prostor
− 1 4 π ∇ 2 ( 1 r ) = δ ( r ) {displaystyle - {1 over 4pi} abla ^ {2} left ({1 over r} ight) = delta left (mathbf {r} ight)} kde
r 2 = r ⋅ r {displaystyle r ^ {2} = mathbf {r} cdot mathbf {r}} je důsledkem Gaussova věta a lze je použít k odvození integrálních identit. Příklad viz Podélná a příčná vektorová pole .
Tato identita naznačuje, že Fourierův integrál reprezentace 1 / r je
∫ d 3 k ( 2 π ) 3 exp ( i k ⋅ r ) k 2 = 1 4 π r . {displaystyle int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} {exp vlevo (imathbf {k} cdot mathbf {r} ight) nad k ^ {2}} = {1 nad 4pi r}.} Yukawa Potential: Coulombův potenciál s hmotou The Yukawa potenciál ve třech rozměrech lze reprezentovat jako integrál nad a Fourierova transformace [6]
∫ d 3 k ( 2 π ) 3 exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = E − m r 4 π r {displaystyle int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} {exp vlevo (imathbf {k} cdot mathbf {r} ight) nad k ^ {2} + m ^ {2} } = {e ^ {- mr} nad 4pi r}} kde
r 2 = r ⋅ r , k 2 = k ⋅ k . {displaystyle r ^ {2} = mathbf {r} cdot mathbf {r}, qquad k ^ {2} = mathbf {k} cdot mathbf {k}.} Vidět Statické síly a výměna virtuálních částic pro použití tohoto integrálu.
V malé meze m se integrál redukuje na 1 / 4πr
K odvození této poznámky k výsledku:
∫ d 3 k ( 2 π ) 3 exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = ∫ 0 ∞ k 2 d k ( 2 π ) 2 ∫ − 1 1 d u E i k r u k 2 + m 2 = 2 r ∫ 0 ∞ k d k ( 2 π ) 2 hřích ( k r ) k 2 + m 2 = 1 i r ∫ − ∞ ∞ k d k ( 2 π ) 2 E i k r k 2 + m 2 = 1 i r ∫ − ∞ ∞ k d k ( 2 π ) 2 E i k r ( k + i m ) ( k − i m ) = 1 i r 2 π i ( 2 π ) 2 i m 2 i m E − m r = 1 4 π r E − m r {displaystyle {egin {aligned} int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} {frac {exp left (imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)} {k ^ { 2} + m ^ {2}}} & = int _ {0} ^ {infty} {frac {k ^ {2} dk} {(2pi) ^ {2}}} int _ {- 1} ^ {1 } du {e ^ {ikru} nad k ^ {2} + m ^ {2}} & = {2 nad r} int _ {0} ^ {infty} {frac {kdk} {(2pi) ^ {2 }}} {sin (kr) nad k ^ {2} + m ^ {2}} & = {1 nad ir} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {kdk} {(2pi) ^ { 2}}} {e ^ {ikr} nad k ^ {2} + m ^ {2}} & = {1 nad ir} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {kdk} {(2pi) ^ {2}}} {e ^ {ikr} nad (k + im) (k-im)} & = {1 nad ir} {frac {2pi i} {(2pi) ^ {2}}} {frac {im} {2im}} e ^ {- mr} & = {frac {1} {4pi r}} e ^ {- mr} konec {zarovnáno}}} Modifikovaný Coulombův potenciál s hmotou ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 ( k ^ ⋅ r ^ ) 2 exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = E − m r 4 π r { 1 + 2 m r − 2 ( m r ) 2 ( E m r − 1 ) } {displaystyle int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} vlevo (mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {r}} ight) ^ {2} {frac {exp left (imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)} {k ^ {2} + m ^ {2}}} = {frac {e ^ {- mr}} {4pi r}} vlevo {1+ {frac {2} {mr}} - {frac {2} {(mr) ^ {2}}} vlevo (e ^ {mr} -1ight) ight}} kde klobouk označuje jednotkový vektor v trojrozměrném prostoru. Odvození tohoto výsledku je následující:
∫ d 3 k ( 2 π ) 3 ( k ^ ⋅ r ^ ) 2 exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = ∫ 0 ∞ k 2 d k ( 2 π ) 2 ∫ − 1 1 d u u 2 E i k r u k 2 + m 2 = 2 ∫ 0 ∞ k 2 d k ( 2 π ) 2 1 k 2 + m 2 { 1 k r hřích ( k r ) + 2 ( k r ) 2 cos ( k r ) − 2 ( k r ) 3 hřích ( k r ) } = E − m r 4 π r { 1 + 2 m r − 2 ( m r ) 2 ( E m r − 1 ) } {displaystyle {egin {aligned} int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} vlevo (mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {r}} ight) ^ {2 } {frac {exp left (imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)} {k ^ {2} + m ^ {2}}} & = int _ {0} ^ {infty} {frac {k ^ { 2} dk} {(2pi) ^ {2}}} int _ {- 1} ^ {1} duu ^ {2} {frac {e ^ {ikru}} {k ^ {2} + m ^ {2} }} & = 2int _ {0} ^ {infty} {frac {k ^ {2} dk} {(2pi) ^ {2}}} {frac {1} {k ^ {2} + m ^ {2 }}} vlevo {{frac {1} {kr}} sin (kr) + {frac {2} {(kr) ^ {2}}} cos (kr) - {frac {2} {(kr) ^ { 3}}} sin (kr) ight} & = {frac {e ^ {- mr}} {4pi r}} vlevo {1+ {frac {2} {mr}} - {frac {2} {(mr ) ^ {2}}} vlevo (e ^ {mr} -1ight) ight} konec {zarovnáno}}} Všimněte si, že v malém m limit integrál jde k výsledku pro Coulombův potenciál, protože termín v závorkách jde 1 .
Podélný potenciál s hmotou ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 k ^ k ^ exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = 1 2 E − m r 4 π r ( [ 1 − r ^ r ^ ] + { 1 + 2 m r − 2 ( m r ) 2 ( E m r − 1 ) } [ 1 + r ^ r ^ ] ) {displaystyle int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} mathbf {hat {k}} mathbf {hat {k}} {frac {exp left (imathbf {k} cdot mathbf { r} ight)} {k ^ {2} + m ^ {2}}} = {1 nad 2} {frac {e ^ {- mr}} {4pi r}} vlevo (vlevo [mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight] + left {1+ {frac {2} {mr}} - {2 over (mr) ^ {2}} left (e ^ {mr} -1ight ) ight} left [mathbf {1} + mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]} kde klobouk označuje jednotkový vektor v trojrozměrném prostoru. Odvození tohoto výsledku je následující:
∫ d 3 k ( 2 π ) 3 k ^ k ^ exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 [ ( k ^ ⋅ r ^ ) 2 r ^ r ^ + ( k ^ ⋅ θ ^ ) 2 θ ^ θ ^ + ( k ^ ⋅ ϕ ^ ) 2 ϕ ^ ϕ ^ ] exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = E − m r 4 π r { 1 + 2 m r − 2 ( m r ) 2 ( E m r − 1 ) } { 1 − 1 2 [ 1 − r ^ r ^ ] } + ∫ 0 ∞ k 2 d k ( 2 π ) 2 ∫ − 1 1 d u E i k r u k 2 + m 2 1 2 [ 1 − r ^ r ^ ] = 1 2 E − m r 4 π r [ 1 − r ^ r ^ ] + E − m r 4 π r { 1 + 2 m r − 2 ( m r ) 2 ( E m r − 1 ) } { 1 2 [ 1 + r ^ r ^ ] } = 1 2 E − m r 4 π r ( [ 1 − r ^ r ^ ] + { 1 + 2 m r − 2 ( m r ) 2 ( E m r − 1 ) } [ 1 + r ^ r ^ ] ) {displaystyle {egin {aligned} int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} mathbf {hat {k}} mathbf {hat {k}} {frac {exp left (imathbf { k} cdot mathbf {r} ight)} {k ^ {2} + m ^ {2}}} & = int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} vlevo [vlevo (mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {r}} ight) ^ {2} mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} + vlevo (mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {heta}} ight) ^ {2} mathbf {hat {heta}} mathbf {hat {heta}} + left (mathbf {hat {k}} cdot mathbf {hat {phi}} ight) ^ {2} mathbf { hat {phi}} mathbf {hat {phi}} ight] {frac {exp left (imathbf {k} cdot mathbf {r} ight)} {k ^ {2} + m ^ {2}}} & = { frac {e ^ {- mr}} {4pi r}} vlevo {1+ {frac {2} {mr}} - {2 nad (mr) ^ {2}} vlevo (e ^ {mr} -1 večer) vpravo } left {mathbf {1} - {1 over 2} left [mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight] ight} + int _ {0} ^ {infty} {frac {k ^ {2} dk} {(2pi) ^ {2}}} int _ {- 1} ^ {1} du {frac {e ^ {ikru}} {k ^ {2} + m ^ {2} }} {1 přes 2} vlevo [mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight] & = {1 přes 2} {frac {e ^ {- mr}} {4pi r}} left [mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight] + {e ^ {- mr} over 4pi r} le ft {1+ {frac {2} {mr}} - {2 nad (mr) ^ {2}} vlevo (e ^ {mr} -1ight) ight} vlevo {{1 nad 2} vlevo [mathbf {1} + mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight] ight} & = {1 přes 2} {frac {e ^ {- mr}} {4pi r}} vlevo (vlevo [mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight] + vlevo {1+ {frac {2} {mr}} - {2 nad (mr) ^ {2}} vlevo (e ^ {mr} -1ight) ight} left [mathbf {1} + mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight] ight) end {aligned}}} Všimněte si, že v malém m omezit integrál na
1 2 1 4 π r [ 1 − r ^ r ^ ] . {displaystyle {1 přes 2} {1 přes 4pi r} left [mathbf {1} -mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight].} Příčný potenciál s hmotou ∫ d 3 k ( 2 π ) 3 [ 1 − k ^ k ^ ] exp ( i k ⋅ r ) k 2 + m 2 = 1 2 E − m r 4 π r { 2 ( m r ) 2 ( E m r − 1 ) − 2 m r } [ 1 + r ^ r ^ ] {displaystyle int {frac {d ^ {3} k} {(2pi) ^ {3}}} vlevo [mathbf {1} -mathbf {hat {k}} mathbf {hat {k}} ight] {exp vlevo ( imathbf {k} cdot mathbf {r} ight) nad k ^ {2} + m ^ {2}} = {1 nad 2} {e ^ {- mr} nad 4pi r} vlevo {{2 nad (mr) ^ {2}} left (e ^ {mr} -1ight) - {2 over mr} ight} left [mathbf {1} + mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight]} V malém limitu mr jde integrál
1 2 1 4 π r [ 1 + r ^ r ^ ] . {displaystyle {1 přes 2} {1 přes 4pi r} left [mathbf {1} + mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} ight].} Na velkou vzdálenost integrál odpadne jako inverzní krychle r
1 4 π m 2 r 3 [ 1 + r ^ r ^ ] . {displaystyle {frac {1} {4pi m ^ {2} r ^ {3}}} vlevo [mathbf {1} + mathbf {hat {r}} mathbf {hat {r}} vpravo].} Pro aplikace tohoto integrálu viz Darwin Lagrangian a Darwinova interakce ve vakuu .
Úhlová integrace ve válcových souřadnicích Existují dva důležité integrály. Úhlovou integraci exponenciálu ve válcových souřadnicích lze zapsat pomocí Besselových funkcí prvního druhu[7] [8]
∫ 0 2 π d φ 2 π exp ( i p cos ( φ ) ) = J 0 ( p ) {displaystyle int _ {0} ^ {2pi} {dvarphi over 2pi} exp left (ipcos (varphi) ight) = J_ {0} (p)} a
∫ 0 2 π d φ 2 π cos ( φ ) exp ( i p cos ( φ ) ) = i J 1 ( p ) . {displaystyle int _ {0} ^ {2pi} {dvarphi over 2pi} cos (varphi) exp left (ipcos (varphi) ight) = iJ_ {1} (p).} Pro aplikace těchto integrálů viz Magnetická interakce mezi proudovými smyčkami v jednoduchém plazmatu nebo elektronovém plynu .
Besselovy funkce Integrace válcového propagátoru s hmotou První síla Besselovy funkce ∫ 0 ∞ k d k k 2 + m 2 J 0 ( k r ) = K. 0 ( m r ) . {displaystyle int _ {0} ^ {infty} {k; dk nad k ^ {2} + m ^ {2}} J_ {0} left (kright) = K_ {0} (mr).} Viz Abramowitz a Stegun.[9]
Pro m r ≪ 1 {displaystyle mrll 1} [10]
K. 0 ( m r ) → − ln ( m r 2 ) + 0.5772. {displaystyle K_ {0} (mr) o -ln vlevo ({mr nad 2} nocí) +0,5772.} Pro použití tohoto integrálu viz Dva linkové náboje zabudované do plazmy nebo elektronového plynu .
Čtverce Besselových funkcí Integrace propagátoru do válcových souřadnic je[7]
∫ 0 ∞ k d k k 2 + m 2 J 1 2 ( k r ) = Já 1 ( m r ) K. 1 ( m r ) . {displaystyle int _ {0} ^ {infty} {k; dk nad k ^ {2} + m ^ {2}} J_ {1} ^ {2} (kr) = I_ {1} (mr) K_ {1 }(pan).} Pro malého pana se integrál stává
∫ Ó ∞ k d k k 2 + m 2 J 1 2 ( k r ) → 1 2 [ 1 − 1 8 ( m r ) 2 ] . {displaystyle int _ {o} ^ {infty} {k; dk nad k ^ {2} + m ^ {2}} J_ {1} ^ {2} (kr) o {1 nad 2} vlevo [1- { 1 nad 8} (mr) ^ {2} ight].} U velkého pana se integrál stává
∫ Ó ∞ k d k k 2 + m 2 J 1 2 ( k r ) → 1 2 ( 1 m r ) . {displaystyle int _ {o} ^ {infty} {k; dk nad k ^ {2} + m ^ {2}} J_ {1} ^ {2} (kr) o {1 nad 2} vlevo ({1 nad mr} ight).} Pro aplikace tohoto integrálu viz Magnetická interakce mezi proudovými smyčkami v jednoduchém plazmatu nebo elektronovém plynu .
Obecně
∫ 0 ∞ k d k k 2 + m 2 J ν 2 ( k r ) = Já ν ( m r ) K. ν ( m r ) ℜ ( ν ) > − 1. {displaystyle int _ {0} ^ {infty} {k; dk nad k ^ {2} + m ^ {2}} J_ {u} ^ {2} (kr) = I_ {u} (mr) K_ {u } (mr) qquad Re (u)> - 1.} Integrace přes funkci magnetické vlny Dvojrozměrný integrál přes funkci magnetické vlny je[11]
2 A 2 n + 2 n ! ∫ 0 ∞ d r r 2 n + 1 exp ( − A 2 r 2 ) J 0 ( k r ) = M ( n + 1 , 1 , − k 2 4 A 2 ) . {displaystyle {2a ^ {2n + 2} nad n!} int _ {0} ^ {infty} {dr}; r ^ {2n + 1} exp vlevo (-a ^ {2} r ^ {2} vpravo) J_ {0} (kr) = Mleft (n + 1,1, - {k ^ {2} nad 4a ^ {2}} ight).} Tady je M konfluentní hypergeometrická funkce . Pro použití tohoto integrálu viz Hustota náboje se šíří vlnovou funkcí .
Viz také Reference ^ A. Zee (2003). Teorie kvantového pole v kostce . Univerzita Princeton. ISBN 0-691-01019-6 ^ Frederick W. Byron a Robert W. Fuller (1969). Matematika klasické a kvantové fyziky . Addison-Wesley. ISBN 0-201-00746-0 ^ Herbert S. Wilf (1978). Matematika pro fyzikální vědy ISBN 0-486-63635-6 ^ Zee, str. 21-22. ^ Zee, str. 23. ^ Zee, str. 26, 29. ^ A b Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Jurij Veniaminovič ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [říjen 2014]. Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabulka integrálů, sérií a produktů Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5 LCCN 2014010276 .^ Jackson, John D. (1998). Klasická elektrodynamika (3. vydání) . Wiley. ISBN 0-471-30932-X ^ M. Abramowitz a I. Stegun (1965). Příručka matematických funkcí ISBN 0486-61272-4 ^ Jackson, str. 116 ^ Abramowitz a Stegun, oddíl 11.4.28 
![{displaystyle {egin {aligned} int _ {- infty} ^ {infty} exp left (- {1 over 2} ax ^ {2} + Jxight), dx & = exp left ({J ^ {2} over 2a} ight ) int _ {- infty} ^ {infty} exp left [- {1 over 2} aleft (x- {J over a} ight) ^ {2} ight], dx [8pt] & = exp left ({J ^ {2} nad 2a} ight) int _ {- infty} ^ {infty} exp vlevo (- {1 nad 2} aw ^ {2} ight), dw [8pt] & = vlevo ({2pi nad a} ight) ^ {1 nad 2} exp vlevo ({J ^ {2} nad 2a} ight) konec {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70339555c7cfe2e9f4a72d4ce69f1ef4453b3618)
![int expleft [int d ^ 4x vlevo (-frac {1} {2} varphi klobouk A varphi + J varphi ight) ight] Dvarphi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/460de24ce7d3cc04ca135dd19131951d5ba69162)
![{displaystyle int exp left [int d ^ {4} xleft (- {frac {1} {2}} varphi {hat {A}} varphi + Jvarphi ight) ight] Dvarphi; propto; exp left ({1 over 2} int d ^ {4} x; d ^ {4} yJ (x) D (xy) J (y) ight)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e34ab56be6e9dddf0a9aa4f311c53f4c51eed7)
![int expleft [int d ^ 4x vlevo (-frac 1 2 varphi klobouk A varphi + i J varphi ight) ight] Dvarphi; propto; exp left (- {1over 2} int d ^ 4x; d ^ 4y J (x) D (x - y) J (y) ight),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb42be62a36ea9f64e3dbad84d40fcb32207ff82)
![{displaystyle int exp left [iint d ^ {4} xleft ({frac {1} {2}} varphi {hat {A}} varphi + Jvarphi ight) ight] Dvarphi; propto; exp left (- {i přes 2} int d ^ {4} x; d ^ {4} yJ (x) D (xy) J (y) ight).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eb4772e5501f24af95a79c52b739bce4c17a82)
![int_{-infty}^{infty} expleft[ -{1 over hbar} left( fleft( q_0 ight) + {1over 2} left( q-q_0ight)^2f^{prime prime} left( q-q_0ight) + cdots ight ) ight] d^nq](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c7b4968eb9e8a1c058c01b72026295608565c3)
![int_{-infty}^{infty} expleft[ -{1 over hbar} (f(q)) ight] d^nq approx expleft[ -{1 over hbar} left( fleft( q_0 ight) ight ) ight] sqrt{ (2 pi hbar )^n over det f^{prime prime} }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eba633ce9f0389c5ca6af92228a18beab782b93)
![int frac{d^3 k}{(2pi)^3} mathbf{hat{k}} mathbf{hat{k}} frac{exp left ( imathbf{k} cdot mathbf{r} ight )}{k^2 +m^2 } = {1over 2} frac{e^{-mr}}{4pi r} left (left[ mathbf{1}- mathbf{hat{r}} mathbf{hat{r}} ight] + left{1 + frac{2}{mr} - {2 over (mr)^2} left(e^{mr} -1 ight) ight } left[mathbf{1}+ mathbf{hat{r}} mathbf{hat{r}}ight] ight )](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/269613b0badd1f2f8d1803e244f8f4f0d2476f93)
![egin{align}
int frac{d^3 k}{(2pi)^3} mathbf{hat k} mathbf{hat k} frac{exp left (imathbf k cdot mathbf r ight)}{k^2 +m^2} &= int frac{d^3 k}{(2pi)^3} left[ left( mathbf{hat k}cdot mathbf{hat r}ight)^2mathbf{hat r} mathbf{hat r} + left( mathbf{hat k}cdot mathbf{hat heta}ight)^2mathbf{hat heta} mathbf{hat heta} + left( mathbf{hat k}cdot mathbf{hat phi}ight)^2mathbf{hat phi} mathbf{hat phi} ight] frac{exp left (imathbf k cdot mathbf r ight )}{k^2 +m^2 }
&=frac{e^{-mr}}{4 pi r}left{ 1+ frac{2}{mr}- {2over (mr)^2 } left( e^{mr} -1 ight) ight } left{mathbf 1 - {1over 2} left[mathbf 1 - mathbf{hat r} mathbf{hat r}ight] ight} + int_0^{infty} frac{k^2 dk}{(2pi)^2 } int_{-1}^{1} du frac{e^{ikru}}{k^2 + m^2} {1over 2} left[ mathbf 1 - mathbf{hat r} mathbf{hat r} ight]
&={1over 2} frac{e^{-mr}}{4 pi r} left[ mathbf 1 - mathbf{hat r} mathbf{hat r} ight]+ {e^{-mr} over 4 pi r } left{ 1+frac{2}{mr} - {2over (mr)^2} left( e^{mr} -1 ight) ight } left{ {1over 2} left[mathbf 1 + mathbf{hat r} mathbf{hat r}ight] ight}
&={1over 2} frac{e^{-mr}}{4pi r} left (left[ mathbf{1}- mathbf{hat{r}} mathbf{hat{r}} ight] + left{1 + frac{2}{mr} - {2 over (mr)^2} left(e^{mr} -1 ight) ight } left[mathbf{1}+ mathbf{hat{r}} mathbf{hat{r}}ight] ight )
end{align}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b186b7cf79f747ac106547a25b4c8f27407ab24)
![{1over 2} {1 over 4 pi r } left[ mathbf 1 - mathbf{hat r} mathbf{hat r} ight].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c38e982b576ea3398166a359d432c892aac37fd)
![int frac{d^3 k}{(2pi)^3} left[mathbf{1} - mathbf{hat{k}} mathbf{hat{k}} ight] { exp left ( i mathbf{k} cdot mathbf{r}ight ) over k^2 +m^2 } = {1over 2} {e^{-mr} over 4 pi r} left{ {2 over (mr)^2 } left( e^{mr} -1 ight) - {2over mr} ight } left[mathbf{1} + mathbf{hat{r}} mathbf{hat{r}}ight]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e9912d48f12733a4a2c14c65be61b35ed4d023)
![{1over 2} {1 over 4 pi r } left[mathbf 1 + mathbf{hat r} mathbf{hat r}ight].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adfb28ff636f84346674533a4261f61fd8cdf47)
![frac{1}{4 pi m^2r^3 }left[mathbf 1 + mathbf{hat r} mathbf{hat r}ight].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eaf7ee08f4624fab70dac29c3fe1ae9295687dc)
![int_o^{infty} {k; dk over k^2 +m^2} J_1^2 (kr) o {1over 2 }left[ 1 - {1over 8} (mr)^2 ight].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12094b15be99cdf437b2e9615b23ae2a9636cd09)
