Ohraničená funkce - Bounded function

Schematické znázornění omezené funkce (červená) a neomezené funkce (modrá). Intuitivně zůstává graf omezené funkce v horizontálním pásmu, zatímco graf neomezené funkce nikoli.

v matematika, a funkce F na některých definováno soubor X s nemovitý nebo komplex se nazývá hodnoty ohraničený pokud je sada jeho hodnot ohraničený. Jinými slovy, tady existuje skutečné číslo M takhle

{ displaystyle | f (x) | leq M}

pro všechny X v X. Funkce, která je ne ohraničený se říká, že je neomezený.

Li F má skutečnou hodnotu a F(X) ≤ A pro všechny X v X, pak se říká, že funkce je ohraničený (od) výše podle A. Li F(X) ≥ B pro všechny X v X, pak se říká, že funkce je ohraničený (od) dole podle B. Funkce se skutečnou hodnotou je omezena právě tehdy, pokud je omezena shora a zdola.

Důležitým zvláštním případem je a ohraničená sekvence, kde X je považována za sadu N z přirozená čísla. Tak a sekvence F = (A₀, A₁, A₂, ...) je omezený, pokud existuje reálné číslo M takhle

{ displaystyle | a_ {n} | leq M}

pro každé přirozené číslo n. Sada všech ohraničených sekvencí tvoří sekvenční prostor ${ displaystyle l ^ { infty}}$ .

Definici omezenosti lze zobecnit na funkce f: X → Y přijímání hodnot v obecnějším prostoru Y vyžadováním toho obrázku f (X) je ohraničená množina v Y.

Související pojmy

Slabší než omezenost je místní omezenost. Rodina omezených funkcí může být jednotně ohraničený.

A ohraničený operátor T: X → Y není omezenou funkcí ve smyslu definice této stránky (pokud T = 0), ale má slabší vlastnost zachování omezenosti: Ohraničené sady M ⊆ X jsou mapovány na ohraničené množiny T (M) ⊆ Y. Tuto definici lze rozšířit na jakoukoli funkci F : X → Y -li X a Y umožňují koncept ohraničené množiny. Omezenost lze určit také pohledem na graf.

Příklady

Funkce sin: R → R je omezený.
Funkce ${ displaystyle f (x) = (x ^ {2} -1) ^ {- 1}}$ definováno pro všechny skutečné X až na -1 a 1 je neomezený. Tak jako X se blíží -1 nebo 1, hodnoty této funkce se zvětšují a zvětšují. Tuto funkci lze omezit, pokud považujeme její doménu například za [2, ∞) nebo (−∞, −2].

Funkce ${ textstyle f (x) = (x ^ {2} +1) ^ {- 1}}$ definováno pro všechny skutečné X je ohraničený.
The inverzní trigonometrická funkce arkustangens definovaný jako: y = $arctan (X)$ nebo X = $opálení (y)$ je vzrůstající pro všechna reálná čísla X a ohraničený - $π$ /2 < y < $π$ /2 radiány
Každý spojitá funkce F : [0, 1] → R je omezený. Obecněji řečeno, jakákoli spojitá funkce z a kompaktní prostor do metrického prostoru je ohraničen.
Všechny funkce s komplexní hodnotou F : C → C což jsou celý jsou neomezené nebo konstantní v důsledku Liouvilleova věta. Složitý hřích zejména: C → C musí být neomezený, protože je celý.
Funkce F který má hodnotu 0 pro X racionální číslo a 1 pro X iracionální číslo (srov. Dirichletova funkce ) je ohraničený. Funkce tedy nemusí být „hezká“, aby mohla být ohraničena. Sada všech ohraničených funkcí definovaných v [0, 1] je mnohem větší než sada spojité funkce v tomto intervalu.

Ohraničená funkce - Bounded function

Související pojmy

Příklady

Viz také