Vnější derivát - Exterior derivative
Část série článků o | |||||
Počet | |||||
---|---|---|---|---|---|
| |||||
Specializované | |||||
![]() | Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace.Července 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
Na diferencovatelné potrubí, vnější derivace rozšiřuje koncept rozdíl funkce do diferenciální formy vyššího stupně. Vnější derivát poprvé popsal ve své současné podobě autor Élie Cartan v roce 1899. Umožňuje přirozené, metrické nezávislé zobecnění Stokesova věta, Gaussova věta, a Greenova věta z vektorového počtu.
Pokud je rozdíl k-forma je považována za měření toku nekonečně malým množstvím k-rovnoběžník v každém bodě potrubí lze jeho vnější derivaci považovat za měření čistého toku přes hranici (k + 1)- rovnoběžník v každém bodě.
Definice
Vnější derivát a diferenciální forma stupně k (také diferenciální k-formát, nebo jen k-forma pro stručnost zde) je diferenciální forma titulu k + 1.
Li F je plynulá funkce (A 0-form), pak vnější derivace F je rozdíl z F . To znamená df je jedinečný 1-formulář tak, že pro každý hladký vektorové pole X, df (X) = dX F , kde dX F je směrový derivát z F ve směru X.
Vnější produkt diferenciálních forem (označený stejným symbolem ∧) je definován jako jejich bodově vnější produkt.
Existuje celá řada ekvivalentních definic vnější derivace generála k-formulář.
Pokud jde o axiomy
Vnější derivát je definován jako jedinečný ℝ-lineární mapování z k-formuje se (k + 1)-formy, které mají následující vlastnosti:
- df je rozdíl z F pro 0-formulář F .
- d(df ) = 0 pro 0-formulář F .
- d(α ∧ β) = da ∧ β + (−1)p (α ∧ dβ) kde α je p-formulář. To znamená, d je antiderivace stupně 1 na vnější algebra různých forem.
Druhá definující vlastnost má větší obecnost: d(da) = 0 pro všechny k-formulář α; stručněji, d2 = 0. Třetí definující vlastnost implikuje jako zvláštní případ, že pokud F je funkce a α a je k- tedy forma d( fα) = d( F ∧ α) = df ∧ α + F ∧ da protože funkce je a 0-form, a skalární násobení a vnější produkt jsou ekvivalentní, když jeden z argumentů je skalární.
Z hlediska místních souřadnic
Alternativně lze pracovat zcela v a lokální souřadnicový systém (X1, ..., Xn). Souřadnicové diferenciály dx1, ..., dxn tvoří základ prostoru jednoho tvaru, každý spojený se souřadnicí. Vzhledem k multi-index Já = (i1, ..., ik) s 1 ≤ ip ≤ n pro 1 ≤ p ≤ k (a označující dxi1 ∧ ... ∧ dxik s zneužití notace dxJá), vnější derivace (jednoduché) k-formulář
přes ℝn je definován jako
(za použití Konvence Einsteinova součtu ). Definice vnější derivace je rozšířena lineárně generálovi k-formulář
kde každá ze složek multi-indexu Já přejet všechny hodnoty v {1, ..., n}. Všimněte si, že kdykoli i se rovná jedné ze složek multi-indexu Já pak dxi ∧ dxJá = 0 (vidět Vnější produkt ).
Definice vnější derivace v lokálních souřadnicích vyplývá z předchozího definice z hlediska axiomů. Opravdu, s k-formulář φ jak je definováno výše,
Zde jsme tlumočili G jako 0-form, a poté aplikoval vlastnosti vnější derivace.
Tento výsledek se vztahuje přímo k obecnému k-formulář ω tak jako
Zejména pro a 1-formulář ω, součásti dω v lokální souřadnice jsou
Pozor: Existují dvě konvence týkající se významu . Většina současných autorů[Citace je zapotřebí ]mít konvenci, že
zatímco ve starších textech jako Kobayashi a Nomizu nebo Helgason
Pokud jde o invariantní vzorec
Alternativně lze uvést explicitní vzorec[Citace je zapotřebí ] pro vnější derivaci a k-formulář ω, když je spárován s k + 1 libovolně hladký vektorová pole PROTI0,PROTI1, ..., PROTIk:
kde [PROTIi, PROTIj] označuje Ležící závorka[je třeba další vysvětlení ] a klobouk označuje vynechání tohoto prvku:
Zejména když ω je 1-forma, kterou máme dω(X, Y) = dX(ω(Y)) − dY(ω(X)) − ω([X, Y]).
Poznámka: S konvencemi např. Kobayashi – Nomizu a Helgason se vzorec liší faktorem 1/k + 1:
Příklady
Příklad 1. Zvážit σ = u dx1 ∧ dx2 přes 1-formální základ dx1, ..., dxn pro skalární pole u. Vnější derivát je:
Poslední vzorec snadno vyplývá z vlastností vnější produkt. A to, dxi ∧ dxi = 0.
Příklad 2. Nechat σ = u dx + proti dy být 1-forma definována nad ℝ2. Použitím výše uvedeného vzorce na každý výraz (zvažte X1 = X a X2 = y) máme následující součet,
Stokesova věta o potrubích
Li M je kompaktní hladký orientovatelný n-dimenzionální potrubí s hranicí a ω je (n − 1)-formovat dál M, pak zobecněná forma Stokesova věta tvrdí, že:
Intuitivně, pokud na to někdo myslí M protože je rozdělen do nekonečně malých oblastí a jeden přidává tok přes hranice všech regionů, vnitřní hranice se všechny ruší, takže celkový tok přes hranici M.
Další vlastnosti
Uzavřené a přesné formy
A k-formulář ω je nazýván Zavřeno -li dω = 0; uzavřené formy jsou jádro z d. ω je nazýván přesný -li ω = da pro některé (k − 1)-formulář α; přesné formy jsou obraz z d. Protože d2 = 0, každý přesný formulář je uzavřen. The Poincaré lemma uvádí, že ve smluvním regionu platí obráceně.
de Rhamova kohomologie
Protože vnější derivát d má vlastnost, která d2 = 0, lze jej použít jako rozdíl (coboundary) definovat de Rhamova kohomologie na potrubí. The k-th de Rham cohomology (group) is the vector space of closed k-formy modulo přesně k-formuláře; jak je uvedeno v předchozí části, Poincaréovo lemma uvádí, že tyto vektorové prostory jsou pro kontraktivní oblast triviální, protože k > 0. Pro hladké potrubí, integrace forem dává přirozený homomorfismus od de Rhamovy kohomologie po singulární kohomologii ℝ. Věta o de Rhamovi ukazuje, že tato mapa je ve skutečnosti izomorfismem, dalekosáhlým zobecněním Poincarého lematu. Jak naznačuje zobecněná Stokesova věta, vnější derivace je „dvojí“ hraniční mapa na singulárních jednoduchostech.
Přirozenost
Vnější derivát je v technickém smyslu přirozený: pokud F : M → N je plynulá mapa a Ωk je kontravariantní hladký funktor který přiřadí každému potrubí prostor k-formy na potrubí, pak dojíždí následující diagram
tak d( F∗ω) = F∗dω, kde F∗ označuje zarazit z F . Z toho vyplývá F∗ω(·), podle definice, je ω( F∗(·)), F∗ být tlačit kupředu z F . Tím pádem d je přirozená transformace z Ωk na Ωk+1.
Vnější derivace ve vektorovém počtu
Většina vektorový počet operátoři jsou speciální případy pojmu vnější diferenciace nebo k nim mají blízké vztahy.
Spád
A plynulá funkce F : M → ℝ na skutečném rozlišitelném potrubí M je 0-formulář. Vnější derivát toho 0-forma je 1-formulář df.
Když vnitřní produkt ⟨·,·⟩ je definován, spád ∇F funkce F je definován jako jedinečný vektor v PROTI takový, že jeho vnitřní produkt s jakýmkoli prvkem PROTI je směrový derivát F podél vektoru, to je takové, že
To znamená
kde ♯ označuje hudební izomorfismus ♯ : PROTI∗ → PROTI zmíněno dříve, které je indukováno vnitřním produktem.
The 1-formulář df je část kotangenský svazek, který dává lokální lineární aproximaci na F v kotangensním prostoru v každém bodě.
Divergence
Vektorové pole PROTI = (proti1, proti2, ... protin) na ℝn má odpovídající (n − 1)-formulář
kde označuje vynechání tohoto prvku.
(Například když n = 3, tj. v trojrozměrném prostoru, 2-formulář ωPROTI je místně skalární trojitý produkt s PROTI.) Integrál ωPROTI přes hyperplochu je tok z PROTI přes ten nadpovrch.
Vnější derivát toho (n − 1)-forma je n-formulář
Kučera
Vektorové pole PROTI na ℝn má také odpovídající 1-formulář
- ,
Lokálně, ηPROTI je bodový produkt s PROTI. Integrál ηPROTI podél cesty je práce udělal proti −PROTI po té cestě.
Když n = 3, v trojrozměrném prostoru, vnější derivace 1-formulář ηPROTI je 2-formulář
Invariantní formulace operátorů ve vektorovém počtu
Standardní vektorový počet operátory lze zobecnit na libovolné pseudo-Riemannovo potrubí, a napsáno v souřadnicovém zápisu takto:
kde ⋆ je Operátor hvězd Hodge, ♭ a ♯ jsou hudební izomorfismy, F je skalární pole a F je vektorové pole.
Všimněte si, že výraz pro kučera vyžaduje ♯ jednat ⋆d(F♭), což je forma titulu n − 2. Přirozené zobecnění ♯ na k-formy libovolného stupně umožňují, aby tento výraz měl smysl pro všechny n.
Viz také
- Vnější kovariantní derivát
- komplex de Rham
- Diskrétní vnější počet
- Greenova věta
- Derivát lži
- Stokesova věta
- Fraktální derivát
Poznámky
Reference
- Cartan, Élie (1899). „Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff“. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 3 (ve francouzštině). Paříž: Gauthier-Villars. 16: 239–332. ISSN 0012-9593. JFM 30.0313.04. Citováno 2. února 2016.
- Conlon, Lawrence (2001). Diferencovatelné potrubí. Basilej, Švýcarsko: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
- Darling, R. W. R. (1994). Diferenciální formy a souvislosti. Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
- Flanders, Harley (1989). Diferenciální formy s aplikacemi na fyzikální vědy. New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
- Loomis, Lynn H .; Sternberg, Shlomo (1989). Pokročilý počet. Boston: Jones a Bartlett. str.304 –473 (kap. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
- Ramanan, S. (2005). Globální počet. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
- Spivak, Michael (1971). Kalkul na rozdělovačích potrubích. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
- Warner, Frank W. (1983), Základy rozlišitelných potrubí a Lieových skupin, Postgraduální texty z matematiky, 94Springer, ISBN 0-387-90894-3