Sečená čára - Secant line

Informace o sekunční trigonometrické funkci viz Secant (trigonometrie).

v geometrie, a sekán a křivka je čára který protíná křivku minimálně ve dvou odlišných bodů.[1]Slovo sekán pochází z latinský slovo pečovat, význam řezat.[2] V případě a kruh, sekans protne kruh přesně ve dvou bodech. A akord je skutečný úsečka určeno těmito dvěma body, tj interval na sekán, jehož konce jsou v těchto pozicích.[3]

Kruhy

Další informace: Kruh § akordy
Společné úsečky a úsečky na kružnici, včetně sekans

Přímka může protínat kruh v nule, jednom nebo dvou bodech. Přímka protínající se ve dvou bodech se nazývá a sekanční čára, v jednom bodě a tečna a v žádném bodě an vnější linie. A akord kruhu je úsečka, která spojuje dva odlišné body kruhu. Akord je proto obsažen v jedinečné sečanové linii a každá sečanová linie určuje jedinečný akord.

V přísné moderní léčbě rovinná geometrie, výsledky, které se zdají být zřejmé a byly převzaty (bez prohlášení) uživatelem Euklid v jeho zacházení, jsou obvykle prokázány.

Například, Věta (Elementární kruhová spojitost):[4] Li je kruh a čára, která obsahuje bod A to je uvnitř a bod B to je mimo pak je sekaná linka pro .

V některých situacích mohou výsledky frázování ve smyslu sekansových čar namísto akordů pomoci sjednotit výroky. Jako příklad toho zvažte výsledek:[5]

Pokud dvě sekundy obsahují akordy AB a CD v kruhu a protínají se v bodě P to není na kruhu, pak délky úseček uspokojí AP⋅PB = CP⋅PD.

Pokud jde o bod P leží uvnitř kruhu, jedná se o Euklida III.35, ale pokud je bod mimo kruh, výsledek není obsažen v Elementech. Nicméně, Robert Simson Následující Christopher Clavius demonstroval tento výsledek, někdy nazývaný věta o secant-secant, ve svých komentářích k Euklidovi.[6]

Křivky

Při práci s křivkami komplikovanějšími než jednoduché kružnice vzniká možnost, že se čára, která splňuje křivku ve dvou odlišných bodech, může setkat s křivkou v dalších bodech. Někteří autoři definují sečnickou přímku ke křivce jako přímku, která splňuje křivku ve dvou odlišných bodech. Tato definice ponechává otevřenou možnost, že přímka může mít další průsečíky s křivkou. Když je takto formulováno, jsou definice sekanční čáry pro kružnice a křivky totožné a možnost dalších průsečíků pro kružnici prostě nenastane.

Sekanty a tangenty

Secants mohou být zvyklí přibližný the tečna linka na a křivka, v určitém okamžiku P, pokud existuje. Definujte secant na křivku dvěma bodů, P a Q, s P pevné a Q proměnná. Tak jako Q přístupy P podél křivky, pokud sklon secant se blíží a mezní hodnota, pak tento limit definuje sklon tečny na P.[1] Sekanční linie PQ jsou aproximace k tečné přímce. V počtu je tato myšlenka geometrickou definicí derivát.

Tečna v bodě P je sečna přímky křivky

Tečná čára ke křivce v bodě P může být sečna přímky k této křivce, pokud protíná křivku v alespoň jednom jiném bodě než P. Jiným způsobem, jak se na to dívat, je uvědomit si, že je tečna v bodě P je místní vlastnost, záleží pouze na křivce v bezprostředním sousedství P, zatímco je sekanční linie je a globální vlastnost, protože je třeba prozkoumat celou doménu funkce produkující křivku.

Sady a n-secants

Koncept sekanční linie lze použít v obecnějším prostředí než euklidovský prostor. Nechat K. být konečnou sadou k body v nějakém geometrickém nastavení. Linka bude nazývána n- sekans K. pokud to obsahuje přesně n body K..[7] Například pokud K. je sada 50 bodů uspořádaných na kružnici v euklidovské rovině, přímka spojující dva z nich by byla 2-sekanta (nebo bisecant) a čára procházející pouze jedním z nich by byla 1-sečna (nebo unisecant). Unisecant v tomto příkladu nemusí být tečna kružnice.

Tato terminologie se často používá v geometrie dopadu a diskrétní geometrie. Například Věta Sylvester – Gallai geometrie dopadu uvádí, že pokud n body euklidovské geometrie nejsou kolineární pak musí existovat 2-sekans z nich. A originál problém s výsadbou sadů diskrétní geometrie žádá o vázání na počet 3-secants konečné sady bodů.

Konečnost sady bodů není v této definici zásadní, pokud může každý řádek protínat sadu pouze v konečném počtu bodů.

Viz také

  • Eliptická křivka křivka, pro kterou má každý sekans třetí průsečík, ze kterého lze definovat většinu zákona o skupině
  • Věta o střední hodnotě, že každý sekans grafu hladké funkce má paralelní tečnou čáru
  • Kvadrisecant, přímka, která protíná čtyři body křivky (obvykle prostorová křivka)
  • Šikmé letadlo, trojrozměrný ekvivalent sekanční linie
  • Šikmá odrůda, spojení sekančních linií a tečných linií k dané projektivní odrůdě

Reference

  1. ^ A b Protter, Murray H.; Protter, Philip E. (1988), Kalkul s analytickou geometrií, Jones & Bartlett Learning, s. 62, ISBN  9780867200935.
  2. ^ Redgrove, Herbert Stanley (1913), Experimentální menurace: Elementární testovací kniha indukční geometrie, Van Nostrand, s. 167.
  3. ^ Gullberg, Jan (1997), Matematika: Od narození čísel W. W. Norton & Company, str. 387, ISBN  9780393040029.
  4. ^ Venema, Gerard A. (2006), Základy geometrie, Pearson / Prentice-Hall, str. 229, ISBN  978-0-13-143700-5
  5. ^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometrie, W. H. Freeman & Co., str. 482, ISBN  0-7167-0456-0
  6. ^ Heath, Thomas L. (1956), Třináct knih Euklidových prvků (sv. 2), Dover, s. 73
  7. ^ Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projektivní geometrie přes konečná pole Oxford University Press, s.70, ISBN  0-19-853526-0

externí odkazy