Tuple - Tuple

v matematika, a n-tice je konečný seřazený seznam (sekvence) elementy. An n-tuple je sekvence (nebo objednaný seznam) n prvky, kde n je nezáporný celé číslo. Existuje pouze jedna n-tice, označovaná jako prázdná n-tice. An n-tuple je definováno indukčně pomocí konstrukce objednaný pár.

Matematici obvykle píší n-tice uvedením prvků v závorkách "( )"a oddělené čárkami; například (2, 7, 4, 1, 7) označuje n-tici. Někdy se k obklopení prvků používají jiné symboly, například hranaté závorky „[]“ nebo hranaté závorky „⟨⟩“. Závorky „{}“ se používají pouze při definování polí v některých programovacích jazycích, ale ne v matematických výrazech, protože jsou standardní notací pro sady. Termín n-tice může často nastat při diskusi o jiných matematických objektech, jako je např vektory.

v počítačová věda, n-tice mají mnoho podob. Nejvíce napsané Funkcionální programování jazyky implementují n-tice přímo jako typy produktů,^[1] úzce spojena s algebraické datové typy, porovnávání vzorů, a destrukční úkol.^[2] Mnoho programovacích jazyků nabízí alternativu k n-ticím, známým jako typy záznamů, obsahující neuspořádané prvky, ke kterým má přístup štítek.^[3] Několik programovacích jazyků kombinuje seřazené typy n-tice produktů a neuspořádané typy záznamů do jediné konstrukce, jako v C struktury a Haskell záznamy. Relační databáze mohou formálně identifikovat své řádky (záznamy) jako n-tice.

N-tice se vyskytují také v relační algebra; při programování sémantický web s Rámec popisu zdrojů (RDF); v lingvistika;^[4] a v filozofie.^[5]

Etymologie

Termín vznikl jako abstrakce posloupnosti: single, pair / double, triple, quadruple, quintuple, sextuple, septuple, octuple, ..., n–Tuple, ..., kde jsou předpony převzaty z latinský názvy číslic. Jedinečná n-tice se nazývá nulová n-tice nebo prázdná n-tice. 1-tice se nazývá single (nebo singleton), 2-tice se nazývá uspořádaný pár nebo pár a 3-tice se nazývá trojice (nebo triplet). Číslo n může být jakýkoli nezáporný celé číslo. Například a komplexní číslo lze reprezentovat jako 2-n-tinu realů, a čtveřice může být reprezentován jako 4-tice, an octonion může být reprezentován jako n-tice, a sedenion může být reprezentován jako 16 n-tic.

Ačkoli tato použití zacházejí –Uple jako přípona byla původní přípona –Plej jako v „trojnásobném“ (trojnásobném) nebo „decuplovém“ (desetinásobném). To pochází z středověká latina Plus (což znamená „více“) související s řecký –Πλοῦς, který nahradil klasickou a pozdní antiku –Složitý (ve smyslu „složený“), jako v „duplexu“.^[6][A]

Názvy n-tic konkrétních délek

Délka n-tice, ${ displaystyle n}$	název	Alternativní názvy
0	prázdná n-tice	nulová n-tice / prázdná sekvence / jednotka
1	monuple	svobodný / jedináček / monad
2	pár	dvojitý / objednaný pár / dva-dva / duad / twin / dual
3	trojnásobný	výšky / triplet / triáda / objednaný triple
4	čtyřnásobek	quad / tetrad
5	pětinásobný	pentuple / quint / pentad
6	šestnáct	šestinásobek
7	násobit sedmi	sedmička
8	osmidílný	octa / oktet
9	nonuple
10	desateronásobný
11	undecuple	hendecuple
12	duodecuple
13	tredecuple
14	quattuordecuple
15	pětinásobný
16	sexdecuple
17	septendecuple
18	octodecuple
19	novemdecuple
20	vigintuple
21	nevigintuple
22	duovigintuple
23	trevigintuple
24	quattuorvigintuple
25	quinvigintuple
26	sexvigintuple
27	septenvigintuple
28	octovigintuple
29	novemvigintuple
30	trigintuple
31	neopravitelný
40	čtyřnásobný
41	unquadragintuple
50	quinquagintuple
60	sexagintuple
70	septuagintuple
80	osmistupec
90	neomezený
100	stonásobný
1,000	milluple

Vlastnosti

Obecné pravidlo pro identitu dvou n-tuples je

${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}) = (b_ {1}, b_ {2}, ldots, b_ {n})}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle a_ {1} = b_ {1}, { text {}} a_ {2} = b_ {2}, { text {}} ldots, { text {}} a_ {n} = b_ {n}.}$

Tuple má tedy vlastnosti, které ji odlišují od a soubor.

1. Tuple může obsahovat více instancí stejného prvku, takže
   n-tice ${ displaystyle (1,2,2,3) neq (1,2,3)}$; ale nastavit ${ displaystyle {1,2,2,3 } = {1,2,3 }}$.
2. Tuple elements are ordered: tuple ${ displaystyle (1,2,3) neq (3,2,1)}$, ale nastaveno ${ displaystyle {1,2,3 } = {3,2,1 }}$.
3. N-tice má konečný počet prvků, zatímco množina nebo a multiset může mít nekonečné množství prvků.

Definice

Existuje několik definic n-tic, které jim dávají vlastnosti popsané v předchozí části.

N-tice jako funkce

Pokud se jedná o sady, an n-tuple lze považovat za funkce, F, jehož doménou je implicitní sada indexů prvků n-tice, Xa jehož doména, Y, je sada prvků n-tice. Formálně:

${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {n}) equiv (X, Y, F)}$

kde:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X & = {1,2, dots, n } = {i in mathbb {N} mid 1 leq i leq n } Y & = {a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n} } F & = {(1, a_ {1}), (2, a_ {2}), ldots, (n, a_ {n}) }. end {zarovnáno}}}$

V mírně méně formální notaci se říká:

${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, tečky, a_ {n}): = (F (1), F (2), tečky, F (n)).}$

Pomocí této definice ${ displaystyle n}$-tuples, z toho vyplývá, že existuje pouze jeden ${ displaystyle 0}$-tuple, the prázdná funkce.

Tice jako vnořené uspořádané páry

Další způsob modelování n-tic v Teorii množin je vnořený objednané páry. Tento přístup předpokládá, že pojem uspořádaného páru již byl definován; tedy n-tice

1. N-tice (tj. Prázdná n-tice) je představována prázdnou sadou ${ displaystyle emptyset}$.
2. An n-tuple, s n > 0, lze definovat jako uspořádaný pár jeho prvního vstupu a (n − 1)-tuple (který obsahuje zbývající položky, když n > 1):

   ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}) = (a_ {1}, (a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ { n}))}$

Tuto definici lze rekurzivně aplikovat na (n − 1)-tuple:

${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}) = (a_ {1}, (a_ {2}, (a_ {3}, ( ldots, (a_ {n}, emptyset) ldots))))}$

Například:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} (1,2,3) & = (1, (2, (3, emptyset))) (1,2,3,4) & = (1, (2 , (3, (4, emptyset)))) end {zarovnáno}}}$

Varianta této definice začíná „odlepovat“ prvky od druhého konce:

1. N-tice je prázdná množina ${ displaystyle emptyset}$.
2. Pro n > 0:

   ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}) = ((a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ { n-1}), a_ {n})}$

Tuto definici lze použít rekurzivně:

${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, ldots, a_ {n}) = (( ldots (((( emptyset, a_ {1}), a_ {2}), a_ {3}), ldots), a_ {n})}$

Například:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} (1,2,3) & = (((( prázdná sada, 1), 2), 3) (1,2,3,4) & = (((( prázdná sada, 1), 2), 3), 4) end {zarovnáno}}}$

Tice jako vnořené sady

Použitím Kuratowského zastoupení pro objednaný pár, druhou definici výše lze přeformulovat z hlediska čistého teorie množin:

1. N-tice (tj. Prázdná n-tice) je představována prázdnou sadou ${ displaystyle emptyset}$;
2. Nechat ${ displaystyle x}$ být n-tuple ${ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n})}$a nechte ${ displaystyle x rightarrow b equiv (a_ {1}, a_ {2}, ldots, a_ {n}, b)}$. Pak, ${ displaystyle x rightarrow b equiv { {x }, {x, b } }}$. (Šipka doprava, ${ displaystyle rightarrow}$, lze číst jako „navazující na“.)

V této formulaci:

${ displaystyle { begin {array} {lclcl} () &&& = & emptyset &&&& (1) & = & () rightarrow 1 & = & { {() }, {() , 1 } } &&& = & { { emptyset }, { emptyset, 1 } } &&&& (1,2) & = & (1) rightarrow 2 & = & { {(1) }, {(1), 2 } } &&& = & { { { { emptyset }, { emptyset, 1 } } }, &&&& { { { emptyset }, { emptyset, 1 } }, 2 } } &&&& (1,2,3) & = & (1 , 2) rightarrow 3 & = & { {(1,2) }, {(1,2), 3 } } &&& = & { { { { { { emptyset }, { emptyset, 1 } } }, &&&& { { { emptyset }, { emptyset, 1 } }, 2 } } } , &&&& { { { { { prázdná sada }, { prázdná sada, 1 } } }, &&&& { { { prázdná sada }, { prázdná sada , 1 } }, 2 } }, 3 } } konec {pole}}}$

n-tuples of m-sady

v diskrétní matematika, zvláště kombinatorika a konečný teorie pravděpodobnosti, n-tuple vznikají v kontextu různých problémů s počítáním a jsou považovány neformálněji za seřazené seznamy délek n.^[7] n-tuples, jejichž záznamy pocházejí ze sady m prvky se také nazývají ujednání s opakováním, permutace multisetu a v nějaké neanglické literatuře variace s opakováním. Počet n-tuples of an m-set je mⁿ. To vyplývá z kombinatorické pravidlo produktu.^[8] Li S je konečná sada mohutnost m, toto číslo je mohutností n-složit Kartézská síla S × S × ... S. N-tice jsou prvky této sady produktů.

Teorie typů

v teorie typů, běžně používaný v programovací jazyky, n-tice má typ produktu; to opravuje nejen délku, ale také základní typy každé komponenty. Formálně:

${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}): { mathsf {T}} _ {1} times { mathsf {T}} _ {2} times ldots times { mathsf {T}} _ {n}}$

a projekce jsou term konstruktory:

${ displaystyle pi _ {1} (x): { mathsf {T}} _ {1}, ~ pi _ {2} (x): { mathsf {T}} _ {2}, ~ ldots, ~ pi _ {n} (x): { mathsf {T}} _ {n}}$

N-tice s označenými prvky použitými v relační model má typ záznamu. Oba tyto typy lze definovat jako jednoduchá rozšíření jednoduše zadaný lambda kalkul.^[9]

Pojem n-tice v teorii typů a v teorii množin souvisí takto: Pokud vezmeme v úvahu přirozenost Modelka teorie typů a použít Scottovy závorky k označení sémantické interpretace, pak model sestává z několika množin ${ displaystyle S_ {1}, S_ {2}, ldots, S_ {n}}$ (poznámka: použití kurzívy, která odlišuje sady od typů) takové, že:

${ displaystyle [! [{ mathsf {T}} _ {1}] !] = S_ {1}, ~ [! [{ mathsf {T}} _ {2}] !] = S_ {2}, ~ ldots, ~ [! [{ Mathsf {T}} _ {n}] !] = S_ {n}}$

a výklad základních pojmů je:

${ displaystyle [! [x_ {1}] !] v [! [{ mathsf {T}} _ {1}] !], ~ [! [x_ {2}] !] in [! [{ mathsf {T}} _ {2}] !], ~ ldots, ~ [! [x_ {n}] !] v [! [{ mathsf {T }} _ {n}] !]}$.

The n-tuple teorie typů má přirozený výklad jako n-tuple teorie množin:^[10]

${ displaystyle [! [(x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})] !] = (, [! [x_ {1}] !], [! [x_ {2}] !], ldots, [! [x_ {n}] !] ,)}$

The typ jednotky má jako sémantickou interpretaci n-tici.

Viz také

• Arity
• Exponenciální objekt
• Formální jazyk
• OLAP: Multidimenzionální výrazy
• primární k-tuple
• Vztah (matematika)
• Sekvence
• Tuplespace

Poznámky

Reference

Zdroje

• D'Angelo, John P .; West, Douglas B. (2000), Matematické myšlení / řešení problémů a důkazy (2. vyd.), Prentice-Hall, ISBN  978-0-13-014412-6
• Keith Devlin, Radost sad. Springer Verlag, 2. vydání, 1993, ISBN  0-387-94094-4, s. 7–8
• Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy, Základy školní teorie množin, Elsevier Studies in Logic Vol. 67, 2. vydání, přepracované, 1973, ISBN  0-7204-2270-1, str. 33
• Gaisi Takeuti, W. M. Zaring, Úvod do teorie axiomatické množinySpringer GTM 1, 1971, ISBN  978-0-387-90024-7, str. 14
• George J. Tourlakis, Poznámky k přednášce v logice a teorii množin. Svazek 2: Teorie množin, Cambridge University Press, 2003, ISBN  978-0-521-75374-6, s. 182–193

externí odkazy

• Slovníková definice n-tice na Wikislovníku