Pořadí integrace (počet) - Order of integration (calculus)

v počet, výměna pořadí integrace je metodika, která se transformuje iterované integrály (nebo více integrálů prostřednictvím použití Fubiniho věta ) funkcí na jiné, snad jednodušší, integrály změnou pořadí, ve kterém jsou integrace prováděny. V některých případech lze pořadí integrace platně zaměnit; v jiných to nejde.

Problémové prohlášení

Problémem zkoušky je vyhodnocení integrálu formuláře

${displaystyle iint _ {D} f (x, y) dx, dy,}$

kde D je nějaká dvourozměrná oblast v xy-letadlo. Pro některé funkce F přímá integrace je proveditelná, ale tam, kde to není pravda, lze integrál někdy redukovat na jednodušší formu změnou pořadí integrace. Potíž s touto výměnou je určování změny v popisu domény D.

Metoda je použitelná i pro ostatní více integrálů.^[1][2]

Někdy, i když je úplné vyhodnocení obtížné nebo možná vyžaduje numerickou integraci, lze dvojitý integrál redukovat na jednu integraci, jak je znázorněno dále. Redukce na jednu integraci umožňuje numerické hodnocení mnohem jednodušší a efektivnější.

Vztah k integraci po částech

Obrázek 1: Integraci přes trojúhelníkovou oblast lze provést pomocí svislých nebo vodorovných pruhů jako prvního kroku. Toto je pohled shora, dívající se dolů z osy z do roviny x-y. Šikmá čára je křivka y = x.

Zvažte iterovaný integrál

${displaystyle int _ {a} ^ {z}, int _ {a} ^ {x}, h (y), dy, dx}$,

kterou napíšeme pomocí prefixového zápisu běžně viděného ve fyzice:

${displaystyle int _ {a} ^ {z} dx, int _ {a} ^ {x}, h (y), dy}$.

V tomto výrazu je druhý integrál vypočítán jako první vzhledem k y a x je udržováno konstantní - pruh šířky dx je integrován nejprve přes y-direction (pruh šířky dx ve směru x je integrován vzhledem k proměnné y ve směru y), sčítání nekonečného množství obdélníků šířky dy podél osy y. Toto tvoří trojrozměrný řez dx široký podél osy x, od y = a do y = x podél osy y a ve směru z z = f (x, y). Všimněte si, že pokud je tloušťka dx nekonečně malá, x se mění pouze nekonečně na řezu. Můžeme předpokládat, že x je konstantní.^[3] Tato integrace je znázorněna na levém panelu na obrázku 1, ale je nepohodlná, zejména pokud je funkce h (y) není snadno integrovatelný. Integrál lze redukovat na jedinou integraci obrácením pořadí integrace, jak je znázorněno na pravém panelu obrázku. K dosažení této výměny proměnných je pás šířky dy je nejprve integrován z linky x = y do limitu x = za poté je výsledek integrován z y = a na y = z, což má za následek:

${displaystyle int _ {a} ^ {z} dx int _ {a} ^ {x} h (y) dy = int _ {a} ^ {z} h (y) dy int _ {y} ^ {z} dx = int _ {a} ^ {z} vlevo (z-yight) h (y), dy.}$

Tento výsledek lze považovat za příklad vzorce pro integrace po částech, jak je uvedeno níže:^[4]

${displaystyle int _ {a} ^ {z} f (x) g '(x), dx = vlevo [f (x) g (x) ight] _ {a} ^ {z} -int _ {a} ^ {z} f '(x) g (x), dx!}$

Náhradní:

${displaystyle f (x) = int _ {a} ^ {x} h (y), dy {ext {and}} g '(x) = 1.}$

Což dává výsledek.

Integrály hlavní hodnoty

Pro aplikaci do integrály principiální hodnoty, viz Whittaker a Watson,^[5] Gakhov,^[6] Lu,^[7] nebo Zwillinger.^[8] Viz také diskuse o transformaci Poincaré-Bertranda v Obolashvili.^[9] Příklad, kde nelze vyměnit pořadí integrace, uvádí Kanwal:^[10]

${displaystyle {frac {1} {(2pi i) ^ {2}}} int _ {L} ^ {*} {frac {d {au} _ {1}} {{au} _ {1} -t} } int _ {L} ^ {*} g (au) {frac {d au} {au - au _ {1}}} = {frac {1} {4}} g (t),}$

zatímco:

${displaystyle {frac {1} {(2pi i) ^ {2}}} int _ {L} ^ {*} g (au) d au left (int _ {L} ^ {*} {frac {d au _ {1}} {left (au _ ​​{1} -tight) left (au - au _ {1} ight)}} ight) = 0.}$

Druhý formulář se hodnotí pomocí a částečný zlomek rozšíření a vyhodnocení pomocí Sokhotski – Plemeljův vzorec:^[11]

${displaystyle int _ {L} ^ {*} {frac {d au _ {1}} {au _ {1} -t}} = int _ {L} ^ {*} {frac {d au _ {1} } {au _ {1} -t}} = pi i.}$

Zápis ${displaystyle int _ {L} ^ {*}}$ označuje a Hodnota Cauchyho jistiny. Viz Kanwal.^[10]

Základní věty

Diskuse o základech pro obrácení pořadí integrace se nachází v knize Fourierova analýza autor: T.W. Körner.^[12] Svou diskusi uvádí příkladem, kde výměna integrace vede ke dvěma různým odpovědím, protože podmínky níže uvedené věty II nejsou splněny. Zde je příklad:

${displaystyle int _ {1} ^ {infty} {frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {left (x ^ {2} + y ^ {2} ight) ^ {2}}} dy = vlevo [{frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ight] _ {1} ^ {infty} = - {frac {1} {1 + x ^ {2}}} vlevo [ xgeq 1ight].}$

${displaystyle int _ {1} ^ {infty} left (int _ {1} ^ {infty} {frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {left (x ^ {2} + y ^ {2 } ight) ^ {2}}} dyight) dx = - {frac {pi} {4}}.}$

${displaystyle int _ {1} ^ {infty} left (int _ {1} ^ {infty} {frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {left (x ^ {2} + y ^ {2 } ight) ^ {2}}} dxight) dy = {frac {pi} {4}}.}$

Níže jsou uvedeny dvě základní věty o přípustnosti výměny od Chaudhryho a Zubaira:^[13]

Věta I — Nechat F(X, y) být spojitá funkce konstantního znaménka definovaná pro a ≤ x <∞, c ≤ y <∞a necháme integrály

${displaystyle J (y): = int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dx}$           a           ${displaystyle J ^ {*} (x) = int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dy}$

považovány za funkce příslušného parametru za, respektive, spojité pro c ≤ y <∞, a ≤ x <∞. Pak pokud alespoň jeden z iterovaných integrálů

${displaystyle int _ {c} ^ {infty} left (int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dxight) dy}$           a           ${displaystyle int _ {a} ^ {infty} left (int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dyight) dx}$

konverguje, druhý integrál také konverguje a jejich hodnoty se shodují.

Věta II — Nechat F(X, y) být spojitý pro a ≤ x <∞, c ≤ y <∞a necháme integrály

${displaystyle J (y): = int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dx}$           a           ${displaystyle J ^ {*} (x) = int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dy}$

být v každém konečném intervalu rovnoměrně konvergentní c ≤ y a na každém konečném intervalu a ≤ x . Pak pokud alespoň jeden z iterovaných integrálů

${displaystyle int _ {c} ^ {infty} left (int _ {a} ^ {infty} | f (x, y) | dxight) dy}$           a           ${displaystyle int _ {a} ^ {infty} left (int _ {c} ^ {infty} | f (x, y) | dyight) dx}$

konverguje, iterované integrály

${displaystyle int _ {c} ^ {infty} left (int _ {a} ^ {infty} f (x, y) dxight) dy}$           a           ${displaystyle int _ {a} ^ {infty} left (int _ {c} ^ {infty} f (x, y) dyight) dx}$

také konvergují a jejich hodnoty jsou stejné.

Nejdůležitější věta pro aplikace je citována z Protter a Morrey:^[14]

Teorém — Předpokládat F je region daný ${displaystyle F = left {(x, y): aleq xleq b, p (x) leq yleq q (x) ight},}$ kde p a q jsou spojité a p(X) ≤ q(X) pro a ≤ x ≤ b. Předpokládejme to F(X, y) svítí nepřetržitě F. Pak

${displaystyle iint _ {F} f (x, y) dA = int _ {a} ^ {b} int _ {p (x)} ^ {q (x)} f (x, y), dy dx.}$

Odpovídající výsledek platí, pokud je uzavřená oblast F má zastoupení ${displaystyle F = left {(x, y): cleq yleq d, r (y) leq xleq s (y) ight}}$ kde r(y) ≤ s(y) pro c ≤ y ≤ d. V takovém případě,

${displaystyle iint _ {F} f (x, y) dA = int _ {c} ^ {d} int _ {r (y)} ^ {s (y)} f (x, y), dx dy.}$

Jinými slovy, oba iterované integrály, jsou-li vypočítatelné, se rovnají dvojnému integrálu, a proto se navzájem rovnají.

Viz také

• Fubiniho věta

Odkazy a poznámky

externí odkazy

• Paul's Online Math Notes: Calculus III
• Dobré 3D obrázky zobrazující výpočet „Double Integrals“ pomocí iterovaných integrálů, Katedra matematiky na Oregonské státní univerzitě.
• Problémy s UCLA Ronem Miechem Složitější příklady změny pořadí integrace (viz Problémy 33, 35, 37, 39, 41 a 43)
• Web Duane Nykamp University of Minnesota