Binomický (polynomický) - Binomial (polynomial)

v algebra, a binomický je polynomiální to je součet dvou členů, z nichž každý je a monomiální.^[1] Je to nejjednodušší druh polynomu po monomiích.

Definice

Binomial je polynom, který je součtem dvou monomials. Dvojčlen v jednom neurčitém (také známém jako a univariate binomial) lze napsat ve formě

${ displaystyle ax ^ {m} -bx ^ {n} ,,}$

kde A a b jsou čísla, a m a n jsou odlišné nezáporná celá čísla a X je symbol, který se nazývá neurčitý nebo z historických důvodů a proměnná. V kontextu Laurentovy polynomy, a Laurent binomický, často jednoduše nazývané a binomický, je podobně definován, ale exponenty m a n může být negativní.

Obecněji lze napsat dvojčlen^[2] tak jako:

${ displaystyle ax_ {1} ^ {n_ {1}} dotsb x_ {i} ^ {n_ {i}} - bx_ {1} ^ {m_ {1}} dotsb x_ {i} ^ {m_ {i }}}$

Některé příklady dvojčlenů jsou:

${ displaystyle 3x-2x ^ {2}}$

${ displaystyle xy + yx ^ {2}}$

${ displaystyle 0,9x ^ {3} + pi y ^ {2}}$

Operace na jednoduchých dvojčlenech

• Dvojčlen X² − y² může být započteno jako produkt dvou dalších dvojčlenů:

${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = (x + y) (x-y).}$

Tohle je speciální případ obecnějšího vzorce:

${ displaystyle x ^ {n + 1} -y ^ {n + 1} = (x-y) součet _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} , y ^ {n-k}.}$

Při práci nad komplexními čísly to lze také rozšířit na:

${ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = x ^ {2} - (iy) ^ {2} = (x-iy) (x + iy).}$

• Produkt dvojice lineárních dvojčlenů (sekera + b) a (cx + d) je trinomiální:

${ displaystyle (ax + b) (cx + d) = acx ^ {2} + (reklama + bc) x + bd.}$

• Binomiál zvednutý k n^th Napájení, zastoupená jako (x + y)ⁿ lze rozšířit pomocí binomická věta nebo ekvivalentně pomocí Pascalův trojúhelník. Například čtverec (x + y)² dvojčlenu (x + y) se rovná součtu čtverců dvou členů a dvojnásobku součinu těchto členů, tj.:

${ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}.}$

Čísla (1, 2, 1), která se objevují jako multiplikátory výrazů v této expanzi, jsou binomické koeficienty dva řádky dolů od horní části Pascalova trojúhelníku. Expanze n^th síla používá čísla n řádky dolů od horní části trojúhelníku.

• Aplikace výše uvedeného vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu je „(m, n)-formula "pro generování Pytagorejské trojnásobky:

Pro m , nechť A = n² − m², b = 2mn, a C = n² + m²; pak A² + b² = C².

• Binomiály, které jsou součty nebo rozdíly kostek, lze započítat do polynomů nižšího řádu následovně:

${ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} = (x + y) (x ^ {2} -xy + y ^ {2})}$

${ displaystyle x ^ {3} -y ^ {3} = (x-y) (x ^ {2} + xy + y ^ {2})}$

Viz také

• Dokončení náměstí
• Binomická distribuce
• Seznam faktoriálních a binomických témat (který obsahuje velké množství souvisejících odkazů)

Poznámky

Reference

• Bostock, L.; Chandler, S. (1978). Čistá matematika 1. Oxford University Press. p. 36. ISBN  0-85950-092-6.