Dirichletův integrál - Dirichlet integral

v matematika, existuje několik integrály známý jako Dirichletův integrál, po německém matematikovi Peter Gustav Lejeune Dirichlet, z nichž jeden je nesprávný integrál z funkce sinc přes kladnou skutečnou čáru:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin x} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}.}$

Tento integrál není absolutně konvergentní, význam ${ displaystyle { Biggl |} { frac { sin x} {x}} { Biggl |}}$ není Lebesgue-integrovatelný, a tak Dirichletův integrál je nedefinován ve smyslu Lebesgueova integrace. Je však definována ve smyslu nevhodného Riemannův integrál nebo zobecněný Riemann nebo Henstock – Kurzweil integrální.^[1][2] Hodnotu integrálu (ve smyslu Riemanna nebo Henstocka) lze odvodit různými způsoby, včetně Laplaceovy transformace, dvojité integrace, diferenciace pod integrálním znaménkem, konturové integrace a Dirichletova jádra.

Hodnocení

Laplaceova transformace

Nechat ${ displaystyle f (t)}$ být funkcí definovanou kdykoli ${ displaystyle t geq 0}$. Pak jeho Laplaceova transformace darováno

${ displaystyle { mathcal {L}} {f (t) } = F (s) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} f (t) , dt,}$

pokud integrál existuje.^[3]

Vlastnost Laplaceova transformace užitečná pro vyhodnocení nesprávných integrálů je

${ displaystyle { mathcal {L}} { Biggl [} { frac {f (t)} {t}} { Biggl]} = int _ {s} ^ { infty} F (u) , du,}$

pokud ${ displaystyle lim _ {t rightarrow 0} { frac {f (t)} {t}}}$ existuje.

Tuto vlastnost lze použít k vyhodnocení Dirichletova integrálu následujícím způsobem:

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin t} {t}} , dt & = lim _ {s rightarrow 0} int _ {0 } ^ { infty} e ^ {- st} { frac { sin t} {t}} , dt = lim _ {s rightarrow 0} { mathcal {L}} { Biggl [} { frac { sin t} {t}} { Biggl]} [6pt] & = lim _ {s rightarrow 0} int _ {s} ^ { infty} { frac {du} { u ^ {2} +1}} = lim _ {s rightarrow 0} arctan u { Biggl |} _ {s} ^ { infty} [6pt] & = lim _ {s rightarrow 0} { Biggl [} { frac { pi} {2}} - arctan (s) { Biggl]} = { frac { pi} {2}}, end {zarovnáno}}}$

protože ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin t } = { frac {1} {s ^ {2} +1}}}$ je Laplaceova transformace funkce ${ displaystyle sin t}$. (Derivaci najdete v části „Diferenciace pod integrálním znaménkem“.)

Dvojitá integrace

Vyhodnocení Dirichletova integrálu pomocí Laplaceovy transformace je ekvivalentní pokusu o vyhodnocení stejného dvojitého určitého integrálu dvěma různými způsoby, obrácením pořadí integrace, a to:

${ displaystyle left (I_ {1} = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} sin t , dt , ds right ) = left (I_ {2} = int _ {0} ^ { infty} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- st} sin t , ds , dt right) ,}$

${ displaystyle left (I_ {1} = int _ {0} ^ { infty} { frac {1} {s ^ {2} +1}} , ds = { frac { pi} { 2}} right) = left (I_ {2} = int _ {0} ^ { infty} { frac { sin t} {t}} , dt right), { text {provided }} s> 0.}$

Diferenciace pod integrálním znaménkem (Feynmanův trik)

Nejprve přepište integrál jako funkci přídavné proměnné ${ displaystyle a}$. Nechat

${ displaystyle f (a) = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- omega} { frac { sin omega} { omega}} , d omega.}$

Abychom mohli vyhodnotit Dirichletův integrál, musíme určit${ displaystyle f (0)}$.

Rozlišujte s ohledem na ${ displaystyle a}$ a použít Leibnizovo pravidlo pro diferenciaci pod integrálním znaménkem získat

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {df} {da}} & = { frac {d} {da}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} { frac { sin omega} { omega}} , d omega = int _ {0} ^ { infty} { frac { částečné} { částečné a}} e ^ {- a omega} { frac { sin omega} { omega}} , d omega [6pt] & = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} sin omega , d omega. end {zarovnáno}}}$

Nyní pomocí Eulerova vzorce ${ displaystyle e ^ {i omega} = cos omega + i sin omega,}$ lze vyjádřit sinusoidu z hlediska komplexních exponenciálních funkcí. Máme tedy

${ displaystyle sin ( omega) = { frac {1} {2i}} vlevo (e ^ {i omega} -e ^ {- i omega} vpravo).}$

Proto,

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {df} {da}} & = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} sin omega , d omega = - int _ {0} ^ { infty} e ^ {- a omega} { frac {e ^ {i omega} -e ^ {- i omega}} {2i}} d omega [6pt] & = - { frac {1} {2i}} int _ {0} ^ { infty} left [e ^ {- omega (ai)} - e ^ {- omega (a + i)} right] d omega [6pt] & = - { frac {1} {2i}} left [{ frac {-1} {ai}} e ^ {- omega (ai )} - { frac {-1} {a + i}} e ^ {- omega (a + i)} doprava] { Biggl |} _ {0} ^ { infty} [6 bodů] & = - { frac {1} {2i}} left [0- left ({ frac {-1} {ai}} + { frac {1} {a + i}} right) right ] = - { frac {1} {2i}} vlevo ({ frac {1} {ai}} - { frac {1} {a + i}} vpravo) [6pt] & = - { frac {1} {2i}} left ({ frac {a + i- (ai)} {a ^ {2} +1}} right) = - { frac {1} {a ^ { 2} +1}}. End {zarovnáno}}}$

Integrace s ohledem na ${ displaystyle a}$ dává

${ displaystyle f (a) = int { frac {-da} {a ^ {2} +1}} = A- arctan a,}$

kde ${ displaystyle A}$ je konstanta integrace, kterou je třeba určit. Od té doby ${ displaystyle lim _ {a to infty} f (a) = 0,}$ ${ displaystyle A = lim _ {a to infty} arctan (a) = { frac { pi} {2}},}$ pomocí hodnoty jistiny. To znamená

${ displaystyle f (a) = { frac { pi} {2}} - arctan {a}.}$

Konečně pro ${ displaystyle a = 0}$, my máme ${ displaystyle f (0) = { frac { pi} {2}} - arctan (0) = { frac { pi} {2}}}$, jako dříve.

Komplexní integrace

Stejného výsledku lze dosáhnout komplexní integrací. Zvážit

${ displaystyle f (z) = { frac {e ^ {iz}} {z}}.}$

Jako funkce komplexní proměnné ${ displaystyle z}$, má na počátku jednoduchý pól, který brání použití Jordanovo lemma, jejichž další hypotézy jsou splněny.

Definujte pak novou funkci^[4]

${ displaystyle g (z) = { frac {e ^ {iz}} {z + i varepsilon}}.}$

Pól byl posunut od skutečné osy, takže ${ displaystyle g (z)}$ lze integrovat podél polokruhu o poloměru ${ displaystyle R}$ se středem na ${ displaystyle z = 0}$ a uzavřeno na skutečné ose. Jeden pak vezme limit ${ displaystyle varepsilon rightarrow 0}$.

Komplexní integrál je podle věty o zbytku nulový, protože uvnitř integrační cesty nejsou žádné póly

${ displaystyle 0 = int _ { gamma} g (z) , dz = int _ {- R} ^ {R} { frac {e ^ {ix}} {x + i varepsilon}} , dx + int _ {0} ^ { pi} { frac {e ^ {i (Re ^ {i theta} + theta)}} {Re ^ {i theta} + i varepsilon}} iR , d theta.}$

Druhý termín zmizí jako ${ displaystyle R}$ jde do nekonečna. Pokud jde o první integrál, lze použít jednu verzi Sokhotski – Plemeljova věta pro integrály přes skutečnou linii: pro a komplex -hodnotená funkce F definované a průběžně diferencovatelné na reálné linii a reálných konstantách ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ s ${ displaystyle a <0$ jeden najde

${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0 ^ {+}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (x)} {x pm i varepsilon}} , dx = mp i pi f (0) + { mathcal {P}} int _ {a} ^ {b} { frac {f (x)} {x}} , dx,}$

kde ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ označuje Hodnota Cauchyho jistiny. Zpět k výše uvedenému původnímu výpočtu lze psát

${ displaystyle 0 = { mathcal {P}} int { frac {e ^ {ix}} {x}} , dx- pi i.}$

Tím, že vezmete imaginární část na obou stranách a všimnete si, že funkce ${ displaystyle sin (x) / x}$ je dokonce, dostaneme

${ displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = 2 int _ {0} ^ {+ infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx.}$

Konečně,

${ displaystyle lim _ { varepsilon až 0} int _ { varepsilon} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (x)} {x}} , dx = { frac { pi} {2}}.}$

Případně vyberte jako integrační obrys pro ${ displaystyle f}$ spojení horních polorovin polokruhů poloměrů ${ displaystyle varepsilon}$ a ${ displaystyle R}$ společně se dvěma segmenty skutečné linie, které je spojují. Na jedné straně je integrál kontury nulový, nezávisle na ${ displaystyle varepsilon}$ a ${ displaystyle R}$; na druhé straně jako ${ displaystyle varepsilon až 0}$ a ${ displaystyle R to infty}$ imaginární část integrálu konverguje k ${ displaystyle 2I + Im { big (} ln 0- ln ( pi i) { big)} = 2I- pi}$ (tady ${ displaystyle ln z}$ je libovolná větev logaritmu v horní polorovině), vedoucí k ${ displaystyle I = { frac { pi} {2}}}$.

Dirichletovo jádro

Nechat

${ displaystyle D_ {n} (x) = 1 + 2 součet _ {k = 1} ^ {n} cos (2kx) = { frac { sin [(2n + 1) x]} { sin (X)}}}$

být Dirichletovo jádro.^[5]

Z toho okamžitě vyplývá${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} D_ {n} (x) dx = { frac { pi} {2}}.}$

Definovat

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} {x}} - { frac {1} { sin (x)}} & x neq 0 [6pt] 0 & x = 0 end {cases}}}$

Jasně, ${ displaystyle f}$ je spojitý, když ${ displaystyle x neq 0}$, aby byla vidět jeho kontinuita na 0 Pravidlo společnosti L'Hopital:

${ displaystyle lim _ {x až 0} { frac { sin (x) -x} {x sin (x)}} = lim _ {x až 0} { frac { cos ( x) -1} { sin (x) + x cos (x)}} = lim _ {x to 0} { frac {- sin (x)} {2 cos (x) -x sin (x)}} = 0.}$

Proto, ${ displaystyle f}$ splňuje požadavky Riemann-Lebesgue Lemma. To znamená

${ displaystyle lim _ { lambda to infty} int _ {a} ^ {b} f (x) sin ( lambda x) dx = 0 Rightarrow lim _ { lambda to infty } int _ {a} ^ {b} { frac { sin ( lambda x)} {x}} dx = lim _ { lambda to infty} int _ {a} ^ {b} { frac { sin ( lambda x)} { sin (x)}} dx.}$

(Zde použitá forma Riemann-Lebesgue Lemma je prokázána v citovaném článku.)

Zvolte limity ${ displaystyle a = 0}$ a ${ displaystyle b = pi / 2}$. To bychom rádi řekli

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { infty} { frac { sin (t)} {t}} dt = & lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { lambda { frac { pi} {2}}} { frac { sin (t)} {t}} dt [6pt] = & lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac { sin ( lambda x)} {x}} dx [6pt] = & lim _ { lambda to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac { sin ( lambda x)} { sin (x)}} dx [6pt] = & lim _ {n to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} { frac { sin ((2n + 1) x)} { sin (x )}} dx [6pt] = & lim _ {n to infty} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} D_ {n} (x) dx = { frac { pi} {2}} end {zarovnáno}}}$

Abychom tak mohli učinit, musíme ospravedlnit přepnutí skutečného limitu dovnitř ${ displaystyle lambda}$ na integrální limit v ${ displaystyle n}$. To je ve skutečnosti oprávněné, pokud můžeme ukázat, že limit skutečně existuje, což nyní děláme.

Použitím integrace po částech, my máme:

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} { frac { sin (x)} {x}} dx = int _ {a} ^ {b} { frac {d (1- cos ( x))} {x}} dx = left. { frac {1- cos (x)} {x}} right | _ {a} ^ {b} + int _ {a} ^ {b } { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} dx}$

Nyní, jako ${ displaystyle a až 0}$ a ${ displaystyle b to infty}$ termín vlevo konverguje bez problémů. Viz seznam limitů trigonometrických funkcí. Nyní to ukazujeme ${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} dx}$ je naprosto integrovatelný, což znamená, že limit existuje.^[6]

Nejprve se snažíme spojit integrál blízko počátku. Pomocí Taylorovy řady expanze kosinu asi na nulu,

${ displaystyle 1- cos (x) = 1- součet _ {k geq 0} { frac {x ^ {2k}} {2k!}} = - součet _ {k geq 1} { frac {x ^ {2k}} {2k!}}.}$

Proto,

${ displaystyle left | { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} right | = left | - sum _ {k geq 0} { frac {x ^ { 2k}} {2 (k + 1)!}} Vpravo | leq sum _ {k geq 0} { frac {| x | ^ {k}} {k!}} = E ^ {| x |}.}$

Rozdělení integrálu na kousky, máme

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} vlevo | { frac {1- cos (x)} {x ^ {2}}} vpravo | dx leq int _ {- infty} ^ {- varepsilon} { frac {2} {x ^ {2}}} dx + int _ {- varepsilon} ^ { varepsilon} e ^ {| x |} dx + int _ { varepsilon} ^ { infty} { frac {2} {x ^ {2}}} dx leq K,}$

pro nějakou konstantu ${ displaystyle K> 0}$. To ukazuje, že integrál je absolutně integrovatelný, což znamená, že původní integrál existuje a přepíná se z něj ${ displaystyle lambda}$ na ${ displaystyle n}$ bylo ve skutečnosti oprávněné a důkaz je úplný.

Viz také

• Dirichletova distribuce
• Dirichletův princip
• Funkce Sinc
• Fresnelovy integrály

Poznámky

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Dirichlet Integrals“. MathWorld.