Taylor série - Taylor series - Wikipedia

Jak stoupá stupeň Taylorova polynomu, přibližuje se ke správné funkci. Tento obrázek ukazuje hřích X a jeho Taylorovy aproximace polynomy stupně 1, 3, 5, 7, 9, 11, a 13 na X = 0.

v matematika, Taylor série a funkce je nekonečný součet výrazů, které jsou vyjádřeny z hlediska funkce deriváty v jednom bodě. U většiny běžných funkcí jsou funkce a součet jejích Taylorových řad blízko tohoto bodu stejné. Taylorovy řady jsou pojmenovány po Brook Taylor který je představil v roce 1715.

Pokud je nula bodem, kde se uvažují deriváty, Taylorova řada se také nazývá a Řada Maclaurin, po Colin Maclaurin, který v 18. století hojně využíval tento speciální případ Taylorovy řady.

The částečný součet vytvořený n první podmínky Taylorovy řady jsou polynomiální stupně n tomu se říká nth Taylorův polynom funkce. Taylorovy polynomy jsou aproximace funkce, které se obecně zlepšují jako n zvyšuje. Taylorova věta poskytuje kvantitativní odhady chyby způsobené použitím těchto aproximací. Pokud je Taylorova řada funkce konvergentní, jeho součet je omezit z nekonečná posloupnost Taylorových polynomů. Funkce se může lišit od součtu její Taylorovy řady, i když je její Taylorova řada konvergentní. Funkce je analytický v určitém okamžiku X pokud se rovná součtu jeho Taylorovy řady v některých otevřený interval (nebo otevřete disk v složité letadlo ) obsahující X. To znamená, že funkce je analytická v každém bodě intervalu (nebo disku).

Definice

Taylor série a nemovitý nebo funkce s komplexní hodnotou F (X) to je nekonečně diferencovatelné v a nemovitý nebo komplexní číslo A je výkonová řada

${ displaystyle f (a) + { frac {f '(a)} {1!}} (xa) + { frac {f' '(a)} {2!}} (xa) ^ {2} + { frac {f '' '(a)} {3!}} (xa) ^ {3} + cdots,}$

kde n! označuje faktoriál z n. V kompaktnějším provedení sigma notace, toto lze psát jako

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (x-a) ^ {n},}$

kde F⁽ⁿ⁾(A) označuje nth derivát z F hodnocena v bodě A. (Derivace řádu nula z F je definován jako F sám a (X − A)⁰ a 0! jsou definovány jako 1.)

Když A = 0, série se také nazývá a Řada Maclaurin.^[1]

Příklady

Série Taylor pro všechny polynomiální je samotný polynom.

Série Maclaurin pro 1/1 − X je geometrické řady

${ displaystyle 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + cdots,}$

takže Taylorova série pro 1/X na A = 1 je

${ displaystyle 1- (x-1) + (x-1) ^ {2} - (x-1) ^ {3} + cdots.}$

Integrací výše uvedené řady Maclaurin najdeme řadu Maclaurin pro ln (1 - X), kde ln označuje přirozený logaritmus:

${ displaystyle -x - { tfrac {1} {2}} x ^ {2} - { tfrac {1} {3}} x ^ {3} - { tfrac {1} {4}} x ^ {4} - cdots.}$

Odpovídající Taylorova řada pro ln X na A = 1 je

${ displaystyle (x-1) - { tfrac {1} {2}} (x-1) ^ {2} + { tfrac {1} {3}} (x-1) ^ {3} - { tfrac {1} {4}} (x-1) ^ {4} + cdots,}$

a obecněji odpovídající Taylorova řada pro ln X v libovolném nenulovém bodě A je:

${ displaystyle ln a + { frac {1} {a}} (xa) - { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { left (xa right) ^ {2}} {2}} + cdots.}$

Série Maclaurin pro exponenciální funkce E^X je

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} & = { frac {x ^ {0}} { 0!}} + { Frac {x ^ {1}} {1!}} + { Frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3! }} + { frac {x ^ {4}} {4!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} + cdots & = 1 + x + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + { frac {x ^ {5}} { 120}} + cdots. End {zarovnáno}}}$

Výše uvedená expanze platí, protože derivace E^X s ohledem na X je také E^X, a E⁰ se rovná 1. To ponechává podmínky (X − 0)ⁿ v čitateli a n! ve jmenovateli pro každý termín v nekonečném součtu.

Dějiny

Řecký filozof Zeno považoval problém sečtení nekonečné řady za účelem dosažení konečného výsledku, ale odmítl jej jako nemožnost;^[2] výsledek byl Zenův paradox. Později, Aristoteles navrhl filozofické řešení paradoxu, ale matematický obsah byl zjevně nevyřešen, dokud nebyl přijat Archimedes, jak tomu bylo před Aristotelem presokratickým atomistou Democritus. Bylo to přes Archimeda způsob vyčerpání že k dosažení konečného výsledku lze provést nekonečné množství postupných dělení.^[3] Liu Hui nezávisle použil podobnou metodu o několik století později.^[4]

Ve 14. století byly dány první příklady použití Taylorovy řady a blízce souvisejících metod Madhava ze Sangamagramy.^[5][6] Ačkoli žádný záznam o jeho práci přežije, spisy později Indičtí matematici naznačují, že našel řadu zvláštních případů Taylorovy řady, včetně případů pro trigonometrické funkce z sinus, kosinus, tečna, a arkustangens. The Kerala School of Astronomy and Mathematics dále rozšiřoval svá díla o různá rozšíření řady a racionální aproximace až do 16. století.

V 17. století James Gregory také pracoval v této oblasti a vydal několik sérií Maclaurin. Teprve v roce 1715 však konečně poskytl obecný způsob konstrukce těchto řad pro všechny funkce, pro které existují Brook Taylor,^[7] po kom je nyní řada pojmenována.

Série Maclaurin byla pojmenována po Colin Maclaurin, profesor v Edinburghu, který publikoval zvláštní případ Taylorova výsledku v 18. století.

Analytické funkce

Funkce E^(−1/X2) není analytický na X = 0: Taylorova řada je shodně 0, i když funkce není.

Li F (X) je dána konvergentní výkonovou řadou v otevřeném disku (nebo intervalu v reálné linii) se středem na b ve složité rovině se říká, že je analytický na tomto disku. Tak pro X na tomto disku, F je dána konvergentní výkonovou řadou

${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} (x-b) ^ {n}.}$

Rozlišování podle X výše uvedený vzorec n časy, pak nastavení X = b dává:

${ displaystyle { frac {f ^ {(n)} (b)} {n!}} = a_ {n}}$

a tak rozšíření výkonové řady souhlasí s Taylorovou řadou. Funkce je tedy analytická na otevřeném disku se středem na b právě tehdy, když jeho Taylorova řada konverguje k hodnotě funkce v každém bodě disku.

Li F (X) se rovná součtu jeho Taylorovy řady pro všechny X v komplexní rovině se tomu říká celý. Polynomy, exponenciální funkce E^Xa trigonometrické funkce sine a kosinus, jsou příklady celých funkcí. Mezi příklady funkcí, které nejsou celé, patří odmocnina, logaritmus, trigonometrická funkce tečna a její inverze arktan. Pro tyto funkce Taylorova řada ne konvergovat -li X je daleko od b. To znamená Taylorovu sérii rozchází se na X pokud je vzdálenost mezi X a b je větší než poloměr konvergence. Taylorovu řadu lze použít k výpočtu hodnoty celé funkce v každém bodě, pokud je hodnota funkce a všech jejích derivátů známa v jednom bodě.

Mezi použití řady Taylor pro analytické funkce patří:

1. Dílčí součty ( Taylorovy polynomy ) řady lze použít jako aproximaci funkce. Tyto aproximace jsou dobré, pokud je zahrnuto dostatečně mnoho termínů.
2. Diferenciaci a integraci výkonových řad lze provádět po jednotlivých úsecích, a je proto obzvláště snadná.
3. An analytická funkce je jedinečně rozšířen na a holomorfní funkce na otevřeném disku v složité letadlo. Díky tomu je strojní zařízení komplexní analýza dostupný.
4. (Zkrácenou) řadu lze použít k numerickému výpočtu hodnot funkcí (často přepracováním polynomu do Čebyševova forma a jeho vyhodnocení pomocí Clenshawův algoritmus ).
5. Algebraické operace lze provádět snadno na reprezentaci výkonových řad; například, Eulerův vzorec vyplývá z Taylorových řad expanzí pro trigonometrické a exponenciální funkce. Tento výsledek má zásadní význam v oborech jako harmonická analýza.
6. Aproximace používající prvních několik výrazů Taylorovy řady mohou pro omezenou doménu umožnit jinak neřešitelné problémy; tento přístup se často používá ve fyzice.

Aproximační chyba a konvergence

Sinusová funkce (modrá) je těsně aproximována jeho Taylorovým polynomem stupně 7 (růžová) pro celé období soustředěné na počátek.

Taylorovy polynomy pro ln (1 + X) poskytují pouze přesné přibližné hodnoty v rozsahu −1 < X ≤ 1. Pro X > 1„Taylorovy polynomy vyššího stupně poskytují horší aproximace.

Taylorovy aproximace pro ln (1 + X) (Černá). Pro X > 1, aproximace se liší.

Na obrázku vpravo je přesná aproximace hřích X kolem bodu X = 0. Růžová křivka je polynom stupně sedm:

${ displaystyle sin left (x right) cca x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} - { frac {x ^ {7}} {7!}}. !}$

Chyba v této aproximaci není větší než |X|⁹/9!. Zejména pro −1 < X < 1, chyba je menší než 0,000003.

Naproti tomu je také zobrazen obrázek funkce přirozeného logaritmu ln (1 + X) a některé jeho Taylorovy polynomy kolem A = 0. Tyto aproximace konvergují k funkci pouze v oblasti −1 < X ≤ 1; mimo tuto oblast jsou Taylorovy polynomy vyššího stupně horší aproximace funkce.

The chyba vzniklé při aproximaci funkce jejím nTaylorův polynom tého stupně se nazývá zbytek nebo reziduální a je označen funkcí R_n(X). Taylorovu větu lze použít k získání vazby na velikost zbytku.

Obecně platí, že Taylorovy řady nemusí být konvergentní vůbec. A ve skutečnosti je množina funkcí s konvergentní Taylorovou řadou a hubená sada v Fréchetový prostor z plynulé funkce. A to i v případě, že Taylorova řada funkcí F konverguje, jeho limit se obecně nemusí rovnat hodnotě funkce F (X). Například funkce

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} e ^ {- { frac {1} {x ^ {2}}}} & { text {if}} x neq 0 0 & { text {if}} x = 0 end {cases}}}$

je nekonečně diferencovatelné na X = 0, a má tam všechny deriváty nula. V důsledku toho Taylor série F (X) o X = 0 je shodně nula. Nicméně, F (X) není nulová funkce, takže se nerovná jeho Taylorově řadě kolem počátku. Tím pádem, F (X) je příkladem a neanalytická plynulá funkce.

v skutečná analýza, tento příklad ukazuje, že existují nekonečně diferencovatelné funkce F (X) jehož Taylorovy řady jsou ne rovná F (X) i když konvergují. Naproti tomu holomorfní funkce studoval v komplexní analýza vždy mají konvergentní Taylorovu řadu a dokonce i Taylorovu řadu meromorfní funkce, které by mohly mít singularity, nikdy nekonvergují k hodnotě odlišné od samotné funkce. Složitá funkce E^−1/z2, ale nepřibližuje se k 0, když z se blíží k 0 podél imaginární osy, takže tomu tak není kontinuální v komplexní rovině a její Taylorova řada není definována na 0.

Obecněji se každá posloupnost reálných nebo komplexních čísel může jevit jako koeficienty v Taylorově řadě nekonečně diferencovatelné funkce definované na reálné ose, důsledek Borelovo lemma. V důsledku toho poloměr konvergence Taylorovy řady může být nula. Na reálné linii jsou dokonce definovány nekonečně diferencovatelné funkce, jejichž Taylorovy řady mají všude rádius konvergence 0.^[8]

Funkci nelze zapsat jako Taylorovu řadu se středem na a jedinečnost; v těchto případech lze často dosáhnout rozšíření řady, pokud dovolíme i záporné síly proměnné X; vidět Laurentova řada. Například, F (X) = E^−1/X2 lze psát jako série Laurent.

Zobecnění

Existuje však zevšeobecnění^[9][10] Taylorovy řady, která konverguje k hodnotě samotné funkce pro libovolnou ohraničený spojitá funkce na (0,∞), pomocí počtu z konečné rozdíly. Konkrétně jeden má následující větu, kvůli Einar Hille, to pro každého t > 0,

${ displaystyle lim _ {h na 0 ^ {+}} součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n!}} { frac { Delta _ {h} ^ {n} f (a)} {h ^ {n}}} = f (a + t).}$

Tady Δⁿ
_h je noperátor konečných rozdílů s velikostí kroku h. Řada je přesně Taylorovou řadou, až na to, že se místo diferenciace objevují rozdělené rozdíly: řada je formálně podobná Newtonova řada. Když funkce F je analytický ve společnosti A, pojmy v řadě konvergují k pojmům Taylorovy řady a v tomto smyslu zobecňují obvyklou Taylorovu řadu.

Obecně platí, že pro jakoukoli nekonečnou sekvenci A_i, platí tato identita výkonové řady:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {u ^ {n}} {n!}} Delta ^ {n} a_ {i} = e ^ {- u} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {u ^ {j}} {j!}} a_ {i + j}.}$

Takže zejména

${ displaystyle f (a + t) = lim _ {h až 0 ^ {+}} e ^ {- { frac {t} {h}}} součet _ {j = 0} ^ { infty } f (a + jh) { frac { vlevo ({ frac {t} {h}} vpravo) ^ {j}} {j!}}.}$

Série vpravo je očekávaná hodnota z F (A + X), kde X je Poissonovo distribuováno náhodná proměnná to má hodnotu jh s pravděpodobností E^−t/h·(t/h)^j/j!. Proto,

${ displaystyle f (a + t) = lim _ {h až 0 ^ {+}} int _ {- infty} ^ { infty} f (a + x) dP _ {{ frac {t} {h}}, h} (x).}$

The zákon velkých čísel znamená, že identita platí.^[11]

Seznam Maclaurinových sérií některých běžných funkcí

Následuje několik důležitých rozšíření řady Maclaurin.^[12] Všechna tato rozšíření jsou platná pro složité argumenty X.

Exponenciální funkce

The exponenciální funkce E^X (modře) a součet prvního n + 1 z hlediska Taylorovy řady na 0 (červeně).

The exponenciální funkce ${ displaystyle e ^ {x}}$ (se základnou E ) má řadu Maclaurin

${ displaystyle e ^ {x} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + Cdots}$.

Sbližuje se pro všechny X.

Přirozený logaritmus

The přirozený logaritmus (se základnou E ) má řadu Maclaurin

${ displaystyle { begin {zarovnáno} ln (1-x) & = - sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n}} = - x- { frac {x ^ {2}} {2}} - { frac {x ^ {3}} {3}} - cdots, ln (1 + x) & = sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} { frac {x ^ {n}} {n}} = x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} - cdots. end {zarovnáno}}}$

Sbíhají se pro ${ displaystyle | x | <1}$. (Kromě toho série pro ln (1 - X) konverguje pro X = −1a série pro ln (1 + X) konverguje pro X = 1.)

Geometrická řada

The geometrické řady a jeho deriváty mají řadu Maclaurin

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {1-x}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} x ^ {n} { frac {1} { (1-x) ^ {2}}} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} nx ^ {n-1} { frac {1} {(1-x) ^ {3 }}} & = sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {(n-1) n} {2}} x ^ {n-2}. end {zarovnáno}}}$

Všechny jsou konvergentní pro ${ displaystyle | x | <1}$. Jedná se o speciální případy binomická řada uvedené v další části.

Binomická řada

The binomická řada je výkonová řada

${ displaystyle (1 + x) ^ { alpha} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { binom { alpha} {n}} x ^ {n}}$

jejichž koeficienty jsou zobecněné binomické koeficienty

${ displaystyle { binom { alpha} {n}} = prod _ {k = 1} ^ {n} { frac { alpha -k + 1} {k}} = { frac { alpha ( alpha -1) cdots ( alpha -n + 1)} {n!}}.}$

(Li n = 0, tento produkt je prázdný produkt a má hodnotu 1.) Konverguje pro ${ displaystyle | x | <1}$ pro jakékoli reálné nebo komplexní číslo α.

Když α = −1, jedná se v podstatě o nekonečnou geometrickou řadu zmíněnou v předchozí části. Zvláštní případy α = 1/2 a α = −1/2 dát odmocnina funkce a její inverzní:

${ displaystyle { begin {aligned} (1 + x) ^ { frac {1} {2}} & = 1 + { tfrac {1} {2}} x - { tfrac {1} {8} } x ^ {2} + { tfrac {1} {16}} x ^ {3} - { tfrac {5} {128}} x ^ {4} + { tfrac {7} {256}} x ^ {5} - ldots, (1 + x) ^ {- { frac {1} {2}}} & = 1 - { tfrac {1} {2}} x + { tfrac {3} {8}} x ^ {2} - { tfrac {5} {16}} x ^ {3} + { tfrac {35} {128}} x ^ {4} - { tfrac {63} {256 }} x ^ {5} + ldots. end {zarovnáno}}}$

Když jen lineární člen je zachován, zjednodušuje se to na binomická aproximace.

Trigonometrické funkce

Obvyklý trigonometrické funkce a jejich inverze mají následující řadu Maclaurinů:

${ displaystyle { begin {aligned} sin x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} && = x - { frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {5}} {5!}} - cdots && { text {pro všechny }} x [6pt] cos x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} x ^ {2n} && = 1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} - cdots && { text {pro všechny}} x [6pt] tan x & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2n} (- 4) ^ {n} vlevo (1-4 ^ {n} vpravo)} {(2n)!}} X ^ {2n-1} && = x + { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {2x ^ {5}} {15}} + cdots && { text {for}} | x | <{ frac { pi} {2}} [6pt] sec x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(- 1) ^ {n} E_ {2n}} {(2n)!}} X ^ {2n} && = 1 + { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {5x ^ {4 }} {24}} + cdots && { text {for}} | x | <{ frac { pi} {2}} [6pt] arcsin x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1} && = x + { frac {x ^ {3}} {6}} + { frac {3x ^ {5}} {40}} + cdots && { text {for}} | x | leq 1 [6pt] arccos x & = { frac { pi} {2}} - arcsin x & = { frac { pi} {2}} - sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(2n) !} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1} && = { frac { pi} {2}} - x - { frac { x ^ {3}} {6}} - { frac {3x ^ {5}} {4 0}} - cdots && { text {for}} | x | leq 1 [6pt] arctan x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} x ^ {2n + 1} && = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {5}} {5} } - cdots && { text {for}} | x | leq 1, x neq pm i end {zarovnáno}}}$

Všechny úhly jsou vyjádřeny v radiány. Čísla B_k objevit se v expanzích opálení X jsou Bernoulliho čísla. The E_k v expanzi sek X jsou Eulerova čísla.

Hyperbolické funkce

The hyperbolické funkce mají řadu Maclaurin úzce spojenou se sérií pro odpovídající trigonometrické funkce:

${ displaystyle { begin {aligned} sinh x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}} && = x + { frac {x ^ {3}} {3!}} + { frac {x ^ {5}} {5!}} + cdots && { text {pro všechny}} x [6 bodů] cosh x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n}} {(2n)!}} && = 1 + { frac {x ^ {2}} {2! }} + { frac {x ^ {4}} {4!}} + cdots && { text {pro všechny}} x [6pt] tanh x & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {B_ {2n} 4 ^ {n} vlevo (4 ^ {n} -1 vpravo)} {(2n)!}} x ^ {2n-1} && = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {2x ^ {5}} {15}} - { frac {17x ^ {7}} {315}} + cdots && { text { for}} | x | <{ frac { pi} {2}} [6pt] operatorname {arsinh} x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1 ) ^ {n} (2n)!} {4 ^ {n} (n!) ^ {2} (2n + 1)}} x ^ {2n + 1} &&&& { text {pro}} | x | leq 1 [6pt] operatorname {artanh} x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {2n + 1}} {2n + 1}} &&&& { text { for}} | x | leq 1, x neq pm 1 end {zarovnáno}}}$

Čísla B_k objevit se v seriálu pro tanh X jsou Bernoulliho čísla.

Výpočet Taylorovy řady

Existuje několik metod pro výpočet Taylorovy řady velkého počtu funkcí. Lze se pokusit použít definici Taylorovy řady, ačkoli to často vyžaduje zobecnění formy koeficientů podle snadno zjevného vzoru. Alternativně lze k vytvoření Taylorovy řady funkcí použít manipulace, jako je substituce, násobení nebo dělení, sčítání nebo odčítání standardní Taylorovy řady, a to na základě Taylorovy řady jako mocninové řady. V některých případech lze také Taylorovu řadu odvodit opakovanou aplikací integrace po částech. Obzvláště výhodné je použití systémy počítačové algebry vypočítat Taylorovu řadu.

První příklad

Aby bylo možné vypočítat 7. stupeň Maclaurinova polynomu pro funkci

${ displaystyle f (x) = ln ( cos x), quad x v vlevo (- { frac { pi} {2}}, { frac { pi} {2}} vpravo )}$ ,

jeden může nejprve přepsat funkci jako

${ displaystyle f (x) = ln { bigl (} 1 + ( cos x-1) { bigr)} !}$.

Taylorova řada pro přirozený logaritmus je (pomocí velká O notace )

${ displaystyle ln (1 + x) = x - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {3}} {3}} + {O} vlevo (x ^ {4} vpravo) !}$

a pro kosinusovou funkci

${ displaystyle cos x-1 = - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} - { frac {x ^ {6}} {720}} + {O} vlevo (x ^ {8} vpravo) !}$.

Druhá řada expanze má nulu konstantní termín, což nám umožňuje nahradit druhou řadu do první a snadno vynechat výrazy vyššího řádu než 7. stupeň pomocí velkého Ó notace:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} f (x) & = ln { bigl (} 1 + ( cos x-1) { bigr)} & = ( cos x-1) - { tfrac {1} {2}} ( cos x-1) ^ {2} + { tfrac {1} {3}} ( cos x-1) ^ {3} + {O} left (( cos x-1) ^ {4} right) & = left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} - { frac {x ^ {6}} {720}} + {O} vlevo (x ^ {8} vpravo) vpravo) - { frac {1} {2}} vlevo (- { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} + {O} vlevo (x ^ {6} vpravo) vpravo) ^ {2} + { frac {1} {3}} left (- { frac {x ^ {2}} {2}} + O left (x ^ {4} right) right) ^ {3} + {O } left (x ^ {8} right) & = - { frac {x ^ {2}} {2}} + { frac {x ^ {4}} {24}} - { frac {x ^ {6}} {720}} - { frac {x ^ {4}} {8}} + { frac {x ^ {6}} {48}} - { frac {x ^ {6 }} {24}} + O left (x ^ {8} right) & = - { frac {x ^ {2}} {2}} - { frac {x ^ {4}} { 12}} - { frac {x ^ {6}} {45}} + O vlevo (x ^ {8} vpravo). End {zarovnáno}} !}$

Protože kosinus je sudá funkce, koeficienty pro všechny zvláštní síly X, X³, X⁵, X⁷, ... musí být nula.

Druhý příklad

Předpokládejme, že chceme Taylorovu řadu na 0 funkce

${ displaystyle g (x) = { frac {e ^ {x}} { cos x}}. !}$

Máme pro exponenciální funkci

${ displaystyle e ^ {x} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + Cdots !}$

a stejně jako v prvním příkladu

${ displaystyle cos x = 1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { frac {x ^ {4}} {4!}} - cdots !}$

Předpokládejme, že výkonová řada je

${ displaystyle { frac {e ^ {x}} { cos x}} = c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + cdots !}$

Pak se násobení jmenovatelem a substituce řady kosinových výtěžků

${ displaystyle { begin {aligned} e ^ {x} & = left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + cdots right) cos x & = left (c_ {0} + c_ {1} x + c_ {2} x ^ {2} + c_ {3} x ^ {3} + c_ {4} x ^ {4} + cdots right) left (1 - { frac {x ^ {2}} {2!}} + { frac {x ^ {4}} {4!}} - cdots right) & = c_ {0} - { frac {c_ {0}} {2}} x ^ {2} + { frac {c_ {0}} {4!}} x ^ {4} + c_ {1} x - { frac {c_ {1}} {2}} x ^ {3} + { frac {c_ {1}} {4!}} x ^ {5} + c_ {2} x ^ {2} - { frac {c_ {2}} {2}} x ^ {4} + { frac {c_ {2}} {4!}} x ^ {6} + c_ {3} x ^ {3} - { frac {c_ {3}} {2}} x ^ {5} + { frac {c_ {3}} {4!}} X ^ {7} + c_ {4} x ^ {4} + cdots end {zarovnáno}} !}$

Shromažďování podmínek až do výnosů čtvrtého řádu

${ displaystyle e ^ {x} = c_ {0} + c_ {1} x + vlevo (c_ {2} - { frac {c_ {0}} {2}} vpravo) x ^ {2} + vlevo (c_ {3} - { frac {c_ {1}} {2}} vpravo) x ^ {3} + vlevo (c_ {4} - { frac {c_ {2}} {2}} + { frac {c_ {0}} {4!}} vpravo) x ^ {4} + cdots !}$

Hodnoty ${ displaystyle c_ {i}}$ lze najít porovnáním koeficientů s horním výrazem pro ${ displaystyle e ^ {x}}$, poddajný:

${ displaystyle { frac {e ^ {x}} { cos x}} = 1 + x + x ^ {2} + { frac {2x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {4}} {2}} + cdots. !}$

Třetí příklad

Zde používáme metodu zvanou „nepřímá expanze“ k rozšíření dané funkce. Tato metoda využívá známou Taylorovu expanzi exponenciální funkce. Aby se rozšířil (1 + X)E^X jako série Taylor v X, používáme známou Taylorovu řadu funkcí E^X:

${ displaystyle e ^ {x} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {x ^ {3}} {3!}} + { Frac {x ^ {4}} {4!}} + Cdots.}$

Tím pádem,

${ displaystyle { begin {aligned} (1 + x) e ^ {x} & = e ^ {x} + xe ^ {x} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac { x ^ {n}} {n!}} + sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n + 1}} {n!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} + Sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n + 1}} { n!}} & = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {(n-1)!}} = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {1} {n!} } + { frac {1} {(n-1)!}} vpravo) x ^ {n} & = 1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {n + 1} {n!}} X ^ {n} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {n + 1} {n!}} X ^ {n}. End {zarovnaný}}}$

Taylorovy řady jako definice

Klasicky, algebraické funkce jsou definovány algebraickou rovnicí a transcendentální funkce (včetně těch diskutovaných výše) jsou definovány nějakou vlastností, která pro ně platí, například a diferenciální rovnice. Například exponenciální funkce je funkce, která je všude stejná jako její vlastní derivace, a na počátku má hodnotu 1. Dá se však stejně dobře definovat analytická funkce jeho Taylorovou sérií.

Taylorovy řady se používají k definování funkcí a "operátory „v různých oblastech matematiky. Zejména to platí v oblastech, kde se klasické definice funkcí rozpadají. Například pomocí Taylorovy řady lze rozšířit analytické funkce na sady matic a operátorů, jako je například exponenciální matice nebo maticový logaritmus.

V jiných oblastech, jako je formální analýza, je pohodlnější pracovat přímo s výkonová řada oni sami. Lze tedy definovat řešení diferenciální rovnice tak jako mocenská řada, kterou, jak doufáme, dokázat, je Taylorova řada požadovaného řešení.

Taylorova řada v několika proměnných

Taylorovu řadu lze také zobecnit na funkce více než jedné proměnné s^[13][14]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} T (x_ {1}, ldots, x_ {d}) & = sum _ {n_ {1} = 0} ^ { infty} cdots sum _ {n_ { d} = 0} ^ { infty} { frac {(x_ {1} -a_ {1}) ^ {n_ {1}} cdots (x_ {d} -a_ {d}) ^ {n_ {d }}} {n_ {1}! cdots n_ {d}!}} , left ({ frac { partial ^ {n_ {1} + cdots + n_ {d}} f} { částečné x_ {1} ^ {n_ {1}} cdots částečné x_ {d} ^ {n_ {d}}}} right) (a_ {1}, ldots, a_ {d}) & = f ( a_ {1}, ldots, a_ {d}) + sum _ {j = 1} ^ {d} { frac { částečné f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { částečné x_ {j}}} (x_ {j} -a_ {j}) + { frac {1} {2!}} sum _ {j = 1} ^ {d} sum _ {k = 1} ^ {d} { frac { částečné ^ {2} f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { částečné x_ {j} částečné x_ {k}}} (x_ {j} -a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k}) & qquad qquad + { frac {1} {3!}} sum _ {j = 1} ^ {d} sum _ {k = 1} ^ {d} sum _ {l = 1} ^ {d} { frac { částečné ^ {3} f (a_ {1}, ldots, a_ {d})} { částečné x_ {j} částečné x_ {k} částečné x_ {l}}} (x_ {j} -a_ {j}) (x_ {k} -a_ {k}) (x_ {l} -a_ {l }) + cdots end {zarovnáno}}}$

Například pro funkci ${ displaystyle f (x, y)}$ to záleží na dvou proměnných, X a y, Taylorova řada do druhého řádu kolem bodu (A, b) je

${ displaystyle f (a, b) + (xa) f_ {x} (a, b) + (yb) f_ {y} (a, b) + { frac {1} {2!}} { velký (} (xa) ^ {2} f_ {xx} (a, b) +2 (xa) (yb) f_ {xy} (a, b) + (yb) ^ {2} f_ {yy} (a, b) { Big)}}$

kde dolní indexy označují příslušné částečné derivace.

Rozšíření Taylorovy řady druhého řádu skalární funkce více než jedné proměnné lze zapsat kompaktně jako

${ displaystyle T ( mathbf {x}) = f ( mathbf {a}) + ( mathbf {x} - mathbf {a}) ^ { mathsf {T}} Df ( mathbf {a}) + { frac {1} {2!}} ( mathbf {x} - mathbf {a}) ^ { mathsf {T}} left {D ^ {2} f ( mathbf {a}) right } ( mathbf {x} - mathbf {a}) + cdots,}$

kde D F (A) je spád z F hodnoceno na X = A a D² F (A) je Hesenská matice. Uplatnění multi-indexová notace stane se Taylorova řada pro několik proměnných

${ displaystyle T ( mathbf {x}) = součet _ {| alfa | geq 0} { frac {( mathbf {x} - mathbf {a}) ^ { alpha}} { alfa !}} left ({ mathrm { částečné} ^ { alpha}} f right) ( mathbf {a}),}$

což je třeba chápat jako stále zkrácenější multi-index verze první rovnice tohoto odstavce s úplnou analogií s případem jedné proměnné.

Příklad

Aproximace Taylorovy řady druhého řádu (oranžově) funkce F (X,y) = E^X ln (1 + y) kolem původu.

Aby bylo možné vypočítat expanzi Taylorovy řady druhého řádu kolem bodu (A, b) = (0, 0) funkce

${ displaystyle f (x, y) = e ^ {x} ln (1 + y),}$

jeden nejprve spočítá všechny potřebné parciální derivace:

${ displaystyle { begin {sladěno} f_ {x} & = e ^ {x} ln (1 + y) [6pt] f_ {y} & = { frac {e ^ {x}} {1 + y}} [6pt] f_ {xx} & = e ^ {x} ln (1 + y) [6pt] f_ {yy} & = - { frac {e ^ {x}} { (1 + y) ^ {2}}} [6pt] f_ {xy} & = f_ {yx} = { frac {e ^ {x}} {1 + y}}. End {zarovnáno}} }$

Vyhodnocení těchto derivátů na počátku dává Taylorovy koeficienty

${ displaystyle { begin {aligned} f_ {x} (0,0) & = 0 f_ {y} (0,0) & = 1 f_ {xx} (0,0) & = 0 f_ {yy} (0,0) & = - 1 f_ {xy} (0,0) & = f_ {yx} (0,0) = 1. end {zarovnáno}}}$

Dosazením těchto hodnot do obecného vzorce

${ displaystyle { begin {zarovnáno} T (x, y) = & f (a, b) + (xa) f_ {x} (a, b) + (yb) f_ {y} (a, b) & {} + { frac {1} {2!}} left ((xa) ^ {2} f_ {xx} (a, b) +2 (xa) (yb) f_ {xy} (a, b ) + (yb) ^ {2} f_ {yy} (a, b) vpravo) + cdots end {zarovnáno}}}$

vyrábí

${ displaystyle { begin {zarovnáno} T (x, y) & = 0 + 0 (x-0) +1 (y-0) + { frac {1} {2}} { Big (} 0 ( x-0) ^ {2} +2 (x-0) (y-0) + (- 1) (y-0) ^ {2} { Big)} + cdots & = y + xy- { frac {y ^ {2}} {2}} + cdots end {zarovnáno}}}$

Od té doby ln (1 + y) je analytický v |y| < 1, my máme

${ displaystyle e ^ {x} ln (1 + y) = y + xy - { frac {y ^ {2}} {2}} + cdots, qquad | y | <1.}$

Srovnání s Fourierovou řadou

Trigonometrický Fourierova řada umožňuje vyjádřit a periodická funkce (nebo funkce definovaná v uzavřeném intervalu [A,b]) jako nekonečný součet trigonometrické funkce (sines a kosiny ). V tomto smyslu je Fourierova řada analogická s Taylorovou řadou, protože druhá umožňuje vyjádřit funkci jako nekonečný součet pravomoci. Tyto dvě řady se však navzájem liší v několika relevantních otázkách:

• Konečné zkrácení Taylorovy řady F (X) o věci X = A jsou přesně stejné F na A. Naproti tomu Fourierova řada je počítána integrací v celém intervalu, takže obecně neexistuje žádný takový bod, kde jsou všechny konečné zkrácení řady přesné.
• Výpočet Taylorovy řady vyžaduje znalost funkce na libovolném malém sousedství bodu, zatímco výpočet Fourierovy řady vyžaduje znalost funkce v celé její doméně interval. V určitém smyslu by se dalo říci, že Taylorova řada je „lokální“ a Fourierova řada je „globální“.
• Taylorova řada je definována pro funkci, která má nekonečně mnoho derivací v jednom bodě, zatímco Fourierova řada je definována pro libovolný integrovatelná funkce. Zejména by tato funkce nemohla být nikde diferencovatelná. (Například, F (X) může být Funkce Weierstrass.)
• Konvergence obou řad má velmi odlišné vlastnosti. I když má Taylorova řada kladný poloměr konvergence, výsledná řada se nemusí shodovat s funkcí; ale pokud je funkce analytická, pak řada konverguje bodově k funkci a jednotně na každou kompaktní podmnožinu konvergenčního intervalu. Pokud jde o Fourierovu řadu, pokud je funkce čtvercově integrovatelný pak se řada sblíží kvadratický průměr, ale k zajištění bodové nebo jednotné konvergence jsou zapotřebí další požadavky (například pokud je funkce periodická a třídy C¹ pak je konvergence jednotná).
• Nakonec v praxi chceme aproximovat funkci konečným počtem členů, řekněme Taylorovým polynomem nebo částečným součtem trigonometrické řady. V případě Taylorovy řady je chyba velmi malá v sousedství bodu, kde se počítá, zatímco ve vzdáleném bodě může být velmi velká. V případě Fourierovy řady je chyba distribuována po doméně funkce.

Viz také

• Asymptotická expanze
• Generující funkce
• Madhava série
• Newtonova rozdělená rozdílová interpolace
• Padé přibližný
• Série Puiseux
• Operátor řazení

Poznámky

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1970), Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami, New York: Dover Publications, Devátý tisk
• Thomas, George B., Jr.; Finney, Ross L. (1996), Kalkul a analytická geometrie (9. vydání), Addison Wesley, ISBN  0-201-53174-7
• Greenberg, Michael (1998), Pokročilá inženýrská matematika (2. vyd.), Prentice Hall, ISBN  0-13-321431-1

externí odkazy

• "Taylorova řada", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Taylor Series". MathWorld.
• Taylorův polynom - praktický úvod
• Madhava ze Sangamagrammy
• "diskuse o Parker-Sochacki metodě "
• Další Taylor vizualizace - kde můžete zvolit bod aproximace a počet derivací
• Taylorova řada byla znovu použita pro numerické metody na Numerické metody pro vysokoškoláka STEM
• Popelka 2: Taylor expanze
• Taylor série
• Inverzní trigonometrické funkce Taylorovy řady
• "Essence of Calculus: Taylor series" - přes Youtube.