Pravidlo kvocientu - Quotient rule

v počet, pravidlo kvocientu je metoda hledání derivát a funkce to je poměr dvou rozlišitelných funkcí.^[1][2][3] Nechat ${ displaystyle f (x) = g (x) / h (x),}$ kde oba ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle h}$ jsou rozlišitelné a ${ displaystyle h (x) neq 0.}$ Pravidlo kvocientu uvádí, že derivace ${ displaystyle f (x)}$ je

${ displaystyle f '(x) = { frac {g' (x) h (x) -g (x) h '(x)} {[h (x)] ^ {2}}}.}$

Příklady

1. Základní příklad:

   ${ displaystyle { begin {aligned} { frac {d} {dx}} { frac {e ^ {x}} {x ^ {2}}} & = { frac { left ({ frac { d} {dx}} e ^ {x} right) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) left ({ frac {d} {dx}} x ^ {2} right) } {(x ^ {2}) ^ {2}}} & = { frac {(e ^ {x}) (x ^ {2}) - (e ^ {x}) (2x)} { x ^ {4}}} & = { frac {e ^ {x} (x-2)} {x ^ {3}}}. end {zarovnáno}}}$

2. Pravidlo kvocientu lze použít k nalezení derivace ${ displaystyle f (x) = tan x = { tfrac { sin x} { cos x}}}$ jak následuje.

   ${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {d} {dx}} tan x & = { frac {d} {dx}} { frac { sin x} { cos x}} & = { frac { left ({ frac {d} {dx}} sin x right) ( cos x) - ( sin x) left ({ frac {d} {dx}} cos x right)} { cos ^ {2} x}} & = { frac { cos ^ {2} x + sin ^ {2} x} { cos ^ {2} x}} & = { frac {1} { cos ^ {2} x}} = sec ^ {2} x. end {zarovnáno}}}$

Důkazy

Důkaz z definice derivátu a mezních vlastností

Nechat ${ displaystyle f (x) = g (x) / h (x).}$ Použití definice derivace a vlastností limitů poskytuje následující důkaz.

${ displaystyle { begin {aligned} f '(x) & = lim _ {k až 0} { frac {f (x + k) -f (x)} {k}} & = lim _ {k to 0} { frac {{ frac {g (x + k)} {h (x + k)}} - { frac {g (x)} {h (x)}}} {k}} & = lim _ {k až 0} { frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k cdot h (x ) h (x + k)}} & = lim _ {k až 0} { frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x + k)} {k }} cdot lim _ {k to 0} { frac {1} {h (x) h (x + k)}} & = left ( lim _ {k to 0} { frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x) + g (x) h (x) -g (x) h (x + k)} {k}} vpravo) cdot { frac {1} {h (x) ^ {2}}} & = left ( lim _ {k to 0} { frac {g (x + k) h (x) -g (x) h (x)} {k}} - lim _ {k až 0} { frac {g (x) h (x + k) -g (x) h (x)} {k}} right) cdot { frac {1} {h (x) ^ {2}}} & = left (h (x) lim _ {k to 0} { frac {g (x + k) -g (x)} {k}} - g (x) lim _ {k to 0} { frac {h (x + k) -h (x)} {k}} vpravo) cdot { frac {1} {h (x) ^ {2}}} & = { frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x ) ^ {2}}}. End {zarovnáno}}}$

Důkaz pomocí implicitní diferenciace

Nechat ${ displaystyle f (x) = { frac {g (x)} {h (x)}},}$ tak ${ displaystyle g (x) = f (x) h (x).}$ The produktové pravidlo pak dává ${ displaystyle g '(x) = f' (x) h (x) + f (x) h '(x).}$ Řešení pro ${ displaystyle f '(x)}$ a nahradit zpět ${ displaystyle f (x)}$ dává:

${ displaystyle { begin {aligned} f '(x) & = { frac {g' (x) -f (x) h '(x)} {h (x)}} & = { frac {g '(x) - { frac {g (x)} {h (x)}} cdot h' (x)} {h (x)}} & = { frac {g '(x ) h (x) -g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}}. end {zarovnáno}}}$

Důkaz použití pravidla řetězu

Nechat ${ displaystyle f (x) = { frac {g (x)} {h (x)}} = g (x) h (x) ^ {- 1}.}$ Pak produktové pravidlo dává

${ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) cdot { frac {d} {dx}} (h (x) ^ {- 1} ).}$

Pro vyhodnocení derivátu ve druhém semestru použijte pravidlo moci spolu s řetězové pravidlo:

${ displaystyle f '(x) = g' (x) h (x) ^ {- 1} + g (x) cdot (-1) h (x) ^ {- 2} h '(x).}$

Nakonec přepište jako zlomky a spojte výrazy

${ displaystyle { begin {aligned} f '(x) & = { frac {g' (x)} {h (x)}} - { frac {g (x) h '(x)} {h (x) ^ {2}}} & = { frac {g '(x) h (x) -g (x) h' (x)} {h (x) ^ {2}}}. konec {zarovnáno}}}$

Vzorce vyššího řádu

Implicitní diferenciaci lze použít k výpočtu nth derivát kvocientu (částečně v podmínkách jeho prvního n − 1 deriváty). Například rozlišování ${ displaystyle fh = g}$ dvakrát (výsledkem je ${ displaystyle f''h + 2f'h '+ fh' '= g' '}$) a poté řešení pro ${ displaystyle f ''}$ výnosy

${ displaystyle f '' = left ({ frac {g} {h}} right) '' = { frac {g '' - 2f'h'-fh ''} {h}}.}$

Reference