Tenzorový počet - Tensor calculus

v matematika, tenzorový počet, tenzorová analýzanebo Ricciho počet je příponou vektorový počet na tenzorová pole (tenzory které se mohou lišit v průběhu a potrubí, např. v vesmírný čas ).

Vyvinul Gregorio Ricci-Curbastro a jeho student Tullio Levi-Civita,^[1] to bylo používáno Albert Einstein rozvíjet jeho obecná teorie relativity. Na rozdíl od nekonečně malý počet, tenzorový počet umožňuje prezentaci fyzikálních rovnic v a forma, která je nezávislá z výběr souřadnic na potrubí.

Tenzorový počet má mnoho aplikací v fyzika, inženýrství a počítačová věda počítaje v to pružnost, mechanika kontinua, elektromagnetismus (vidět matematické popisy elektromagnetického pole ), obecná relativita (vidět matematika obecné relativity ), kvantová teorie pole, a strojové učení.

Práce s hlavním zastáncem vnější počet Elie Cartan, vlivný geometr Shiing-Shen Chern shrnuje roli tenzorového počtu:^[2]

V našem předmětu diferenciální geometrie, kde hovoříte o varietách, je jednou z potíží to, že geometrie je popsána souřadnicemi, ale souřadnice nemají význam. Je jim dovoleno podstoupit transformaci. A za účelem zvládnutí tohoto druhu situace je důležitým nástrojem takzvaná tenzorová analýza neboli Ricciho kalkul, který byl pro matematiky nový. V matematice máte funkci, funkci si zapíšete, vypočítáte, sčítáte, násobíte nebo rozlišujete. Máte něco velmi konkrétního. V geometrii je geometrická situace popsána čísly, ale můžete je libovolně měnit. Abyste to zvládli, potřebujete Ricciho kalkul.

Syntax

Tenzorová notace využívá horní a dolní indexy na objektech, které se používají k označení proměnného objektu jako kovariantní (dolní index), kontravariantní (horní index) nebo smíšený kovariantní a kontravariantní (s horním i dolním indexem). Ve skutečnosti v konvenční matematické syntaxi používáme při práci s kartézskými souřadnicovými systémy kovariantní indexy ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3})}$ často, aniž by si to uvědomoval, je omezené použití syntaxe tenzoru jako kovariantních indexovaných komponent.

Tenzorová notace umožňuje horní index na objektu, který může být zaměňován s normálními energetickými operacemi z konvenční matematické syntaxe. Například v běžné matematické syntaxi ${ displaystyle e = mc ^ {2} = mcc}$ , avšak v syntaxi tenzoru by měla být kolem objektu použita závorka, než jej zvýšíte na mocninu, aby se nerozlišilo použití tenzorového indexu oproti normální operaci napájení. V tenzorové syntaxi bychom napsali, ${ displaystyle e = m (c ^ {1}) ^ {2} = m (c ^ {1}) (c ^ {1})}$ a ${ displaystyle e = m (c ^ {2}) ^ {2} = m (c ^ {2}) (c ^ {2})}$ . Číslo ve vnitřní závorce rozlišuje kontravariantní složku, kde číslo vnější závorky rozlišuje sílu zvýšit množství na. Samozřejmě je to jen libovolná rovnice, mohli jsme specifikovat, že c není tenzor a je známo, že tato konkrétní proměnná nepotřebuje kolem sebe závorku, aby přenesla kvalitu c na mocninu 2, pokud by však c byly vektorem , pak by to mohlo být reprezentováno jako tenzor a tento tenzor by bylo třeba odlišit od normálních matematických indexů, které naznačují zvýšení množství na mocninu.

Klíčové koncepty

Vektorový rozklad

Tenzorová notace umožňuje vektor ( ${ displaystyle { vec {V}}}$ ), které mají být rozloženy na Einsteinův součet zastupující kontrakce tenzoru a základní vektor ( ${ displaystyle { vec {Z}} _ {i}}$ nebo ${ displaystyle { vec {Z}} ^ {i}}$ ) s vektorem komponenty ( ${ displaystyle V_ {i}}$ nebo ${ displaystyle V ^ {i}}$ ).

${ displaystyle { vec {V}} = V ^ {i} { vec {Z}} _ {i} = V_ {i} { vec {Z}} ^ {i}}$

Každý vektor má dvě různá znázornění, jedno se nazývá kontravariantní složka ( ${ displaystyle V ^ {i}}$ ) s kovariantním základem ( ${ displaystyle { vec {Z}} _ {i}}$ ) a druhá jako kovariantní složka ( ${ displaystyle V_ {i}}$ ) s kontravariantním základem ( ${ displaystyle { vec {Z}} ^ {i}}$ ). Tenzorové objekty se všemi horními indexy jsou označovány jako kontravariantní a tenzorové objekty budou všechny nižší indexy označovány jako kovariantní. Potřeba rozlišovat mezi kontravariantním a kovariantním vyplývá ze skutečnosti, že když tečkujeme libovolný vektor základním vektorem souvisejícím s konkrétním souřadným systémem, existují dva způsoby interpretace tohoto tečkového součinu, buď ho považujeme za projekci základny vektor na libovolný vektor, nebo ho vidíme jako projekci libovolného vektoru na základní vektor, jsou oba pohledy na bodový součin zcela ekvivalentní, ale mají různé složkové prvky a různé základní vektory:

${ displaystyle { vec {V}} cdot { vec {Z}} _ {i} = V_ {i} = { vec {V}} ^ {T} { vec {Z}} _ {i } = { vec {Z}} _ {i} ^ {T} { vec {V}} = {proj _ {{ vec {Z}} ^ {i}} ({ vec {V}})} cdot { vec {Z}} _ {i} = {proj _ { vec {V}} ({ vec {Z}} ^ {i})} cdot { vec {V}}}$

${ displaystyle { vec {V}} cdot { vec {Z}} ^ {i} = V ^ {i} = { vec {V}} ^ {T} { vec {Z}} ^ { i} = {{ vec {Z}} ^ {i}} ^ {T} { vec {V}} = {proj _ {{ vec {Z}} _ {i}} ({ vec {V} })} cdot { vec {Z}} ^ {i} = {proj _ { vec {V}} ({ vec {Z}} _ {i})} cdot { vec {V}}}$

Například ve fyzice začínáte s vektorovým polem, rozložíte ho s ohledem na kovariantní bázi, a tak získáte protikladné souřadnice. U ortonormálních kartézských souřadnic je kovariantní a kontravariantní základ identický, protože základem stanoveným v tomto případě je pouze matice identity, avšak u neafinických souřadnicových systémů, jako je polární nebo sférický, je potřeba rozlišovat mezi rozkladem pomocí kontravariantu nebo kovarianční základna pro generování komponent souřadnicového systému.

Kovovariantní vektorový rozklad

${ displaystyle { vec {V}} = V ^ {i} { vec {Z}} _ {i}}$

proměnná	popis	Typ
${ displaystyle { vec {V}}}$	vektor	Invariantní
${ displaystyle V ^ {i}}$	kontrariantní komponenty (objednaná sada skalárů)	Varianta
${ displaystyle { vec {Z}} _ {i}}$	kovarianční báze (uspořádaná sada vektorů)	Varianta

Kontrastující vektorový rozklad

${ displaystyle { vec {V}} = V_ {i} { vec {Z}} ^ {i}}$

proměnná	popis	typ
${ displaystyle { vec {V}}}$	vektor	neměnný
${ displaystyle V_ {i}}$	kovarianční komponenty (uspořádaná sada skalárů)	varianta
${ displaystyle { vec {Z}} ^ {i}}$	kontrariantní základny (objednaná sada covektory )	varianta

Metrický tenzor

Metrický tenzor představuje matici se skalárními prvky ( ${ displaystyle Z_ {ij}}$ nebo ${ displaystyle Z ^ {ij}}$ ) a je to tenzorový objekt, který se používá ke zvýšení nebo snížení indexu na jiném tenzorovém objektu pomocí operace zvané kontrakce, což umožňuje převést kovariantní tenzor na kontravariantní tenzor a naopak.

Příklad snížení indexu pomocí metrického tenzoru:

${ displaystyle T_ {i} = Z_ {ij} T ^ {j}}$

Příklad zvyšování indexu pomocí metrického tenzoru:

${ displaystyle T ^ {i} = Z ^ {ij} T_ {j}}$

The metrický tenzor je definován jako:

${ displaystyle Z_ {ij} = { vec {Z}} _ {i} cdot { vec {Z}} _ {j}}$

${ displaystyle Z ^ {ij} = { vec {Z}} ^ {i} cdot { vec {Z}} ^ {j}}$

To znamená, že pokud vezmeme každou permutaci množiny základních vektorů a tečkujeme je proti sobě a poté je uspořádáme do čtvercové matice, měli bychom metrický tenzor. Výhradou je, který ze dvou vektorů v permutaci se používá pro projekci proti druhému vektoru, což je rozlišovací vlastnost kovariančního metrického tenzoru ve srovnání s kontravariantním metrickým tenzorem.

Existují dvě příchutě metrických tenzorů: (1) kontravariantní metrický tenzor ( ${ displaystyle Z ^ {ij}}$ ) a (2) kovarianční metrický tenzor ( ${ displaystyle Z_ {ij}}$ ). Tyto dvě příchutě metrického tenzoru souvisí s identitou:

${ displaystyle Z_ {ik} Z ^ {jk} = delta _ {i} ^ {j}}$

Pro ortonormální Kartézský souřadnicový systém, metrický tenzor je pouze kronecker delta ${ displaystyle delta _ {ij}}$ nebo ${ displaystyle delta ^ {ij}}$ , což je jen tenzorový ekvivalent matice identity, a ${ displaystyle delta _ {ij} = delta ^ {ij} = delta _ {j} ^ {i}}$ .

Jacobian

Kromě toho lze tenzor snadno převést z neomezené (x) na blokovanou souřadnici ( ${ displaystyle { bar {x}}}$ ) systém mající různé sady základních vektorů:

${ displaystyle f (x ^ {1}, x ^ {2}, dots, x ^ {n}) = f { bigg (} x ^ {1} ({ bar {x}}), x ^ {2} ({ bar {x}}), dots, x ^ {n} ({ bar {x}}) { bigg)} = { bar {f}} ({ bar {x} } ^ {1}, { bar {x}} ^ {2}, dots, { bar {x}} ^ {n}) = { bar {f}} { bigg (} { bar { x}} ^ {1} (x), { bar {x}} ^ {2} (x), tečky, { bar {x}} ^ {n} (x) { bigg)}}$

pomocí Jacobian matrix vztahy mezi zamlčeným a nepřímým souřadným systémem ( ${ displaystyle { bar {J}} = J ^ {- 1}}$ ). Jakobián mezi promlčeným a nepřeměněným systémem je nápomocný při definování kovariantních a kontravariantních základních vektorů, protože aby tyto vektory existovaly, musí uspokojit následující vztah ve vztahu k promlčenému a nepřemístěnému systému:

Kontrastující vektory jsou povinni dodržovat zákony:

${ displaystyle v ^ {i} = { bar {v}} ^ {r} { frac { částečné x ^ {i} ({ bar {x}})} { částečné { bar {x} } ^ {r}}}}$

${ displaystyle { bar {v}} ^ {i} = v ^ {r} { frac { částečný { bar {x}} ^ {i} (x)} { částečný x ^ {r}} }}$

Kovovariantní vektory jsou povinni dodržovat zákony:

${ displaystyle v_ {i} = { bar {v}} _ {r} { frac { částečný { bar {x}} ^ {i} (x)} { částečný x ^ {r}}} }$

${ displaystyle { bar {v}} _ {i} = v_ {r} { frac { částečné x ^ {r} ({ bar {x}})} { částečné { bar {x}} ^ {i}}}}$

Jacobian matrix má dvě příchutě:

1. Matice J představující změnu z nezakázaných na zakryté souřadnice. Abychom našli J, vezmeme „blokovaný gradient“, tj. Částečný odvodit vzhledem k ${ displaystyle { bar {x}} ^ {i}}$ :

${ displaystyle J = { bar { nabla}} f (x ({ bar {x}}))}$

2. The ${ displaystyle { bar {J}}}$ matice, představující změnu z blokovaných na neaktivní souřadnice Najít ${ displaystyle { bar {J}}}$ , vezmeme "neomezený přechod", tj. částečné odvození vzhledem k ${ displaystyle x ^ {i}}$ :

${ displaystyle { bar {J}} = nabla { bar {f}} ({ bar {x}} (x))}$

Vektor přechodu

Tenzorový počet poskytuje zobecnění vzorce gradientního vektoru ze standardního počtu, který funguje ve všech souřadnicových systémech:

${ displaystyle nabla F = nabla _ {i} F { vec {Z}} ^ {i}}$

Kde:

${ displaystyle nabla _ {i} F = { frac { částečné F} { částečné Z ^ {i}}}}$

Naproti tomu pro standardní počet je vzorec vektoru přechodu závislý na použitém souřadnicovém systému (příklad: Kartézský vzorec vektoru přechodu vs. vzorec vektoru polárního přechodu vs. vzorec vektoru sférického přechodu atd.). Ve standardním počtu má každý souřadnicový systém svůj vlastní specifický vzorec, na rozdíl od tenzorového počtu, který má pouze jeden vzorec přechodu, který je ekvivalentní pro všechny souřadné systémy. To je možné díky pochopení metrického tenzoru, který využívá tenzorový počet.

Viz také

Reference

^ Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (Březen 1900). „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications“ Metody absolutního diferenciálního počtu a jejich aplikace. Mathematische Annalen (francouzsky). Springer. 54 (1–2): 125–201. doi:10.1007 / BF01454201. S2CID 120009332.
^ "Rozhovor s Shiing Shen Chern" (PDF).

Další čtení

Dimitrienko, Yuriy (2002). Tenzorová analýza a nelineární tenzorové funkce. Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
Sokolnikoff, Ivan S (1951). Tenzorová analýza: Teorie a aplikace na geometrii a mechaniku kontinua. Wiley. ISBN 0471810525.
A.I. Borisenko & I.E. Tarapov (1979). Vektorová a tenzorová analýza s aplikacemi (2. vyd.). Doveru. ISBN 0486638332.CS1 maint: používá parametr autoři (odkaz)
Itskov, Michail (2015). Tenzorová algebra a tenzorová analýza pro inženýry: s aplikacemi v mechanice kontinua. Springer; 2. vydání. ISBN 9783319163420.
Tyldesley, J. R. (1973). Úvod do analýzy tenzorů: Pro inženýry a aplikované vědce. Longman. ISBN 0-582-44355-5.
Kay, D. C. (1988). Tenzorový počet. Schaum's Outlines. McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.
Grinfeld, P. (2014). Úvod do tenzorové analýzy a počtu pohyblivých povrchů. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

externí odkazy

Dullemond, Kees; Peeters, Kasper (1991–2010). „Úvod do tenzorového počtu“ (PDF). Citováno 17. května 2018. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1] Ricci, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (Březen 1900). „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications“ Metody absolutního diferenciálního počtu a jejich aplikace. Mathematische Annalen (francouzsky). Springer. 54 (1–2): 125–201. doi:10.1007 / BF01454201. S2CID 120009332.

[2] "Rozhovor s Shiing Shen Chern" (PDF).

[1]

[2]