Pytagorova trigonometrická identita - Pythagorean trigonometric identity

The Pytagorova trigonometrická identita, nazývané také jednoduše Pytagorova identita, je identita vyjadřující Pythagorova věta ve smyslu trigonometrické funkce. Spolu s vzorce součtu úhlů, je to jeden ze základních vztahů mezi sinus a kosinus funkce.

Totožnost je

{ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1.}

Jako obvykle, $hřích 2 θ$ prostředek ${ textstyle ( sin theta) ^ {2}}$ .

Důkazy a jejich vztahy k Pythagorově teorému

Podobné pravé trojúhelníky ukazující sinus a kosinus úhlu θ

Důkaz založený na pravoúhlých trojúhelnících

Žádný podobné trojúhelníky mít vlastnost, že když vybereme stejný úhel ve všech z nich, poměr obou stran definujících úhel je stejný bez ohledu na to, který podobný trojúhelník je vybrán, bez ohledu na jeho skutečnou velikost: poměry závisí na třech úhlech, ne délky stran. Takže pro jeden z podobných pravých trojúhelníků na obrázku je poměr jeho vodorovné strany k jeho přeponě stejný, jmenovitě cos θ.

Základní definice sinusových a kosinových funkcí z hlediska stran pravoúhlého trojúhelníku jsou:

{ displaystyle sin theta = { frac { mathrm {naproti}} { mathrm {hypotenuse}}} = { frac {b} {c}}}

{ displaystyle cos theta = { frac { mathrm {sousední}} { mathrm {hypotenuse}}} = { frac {a} {c}}}

Pythagorovská identita následuje srovnáním obou výše uvedených definic a přidáním; the levá strana identity se pak stává

{ displaystyle { frac { mathrm {naproti} ^ {2} + mathrm {sousední} ^ {2}} { mathrm {hypotenuse} ^ {2}}}}

který je podle Pythagorovy věty roven 1. Tato definice je platná pro všechny úhly, vzhledem k definici definování ${ displaystyle x = cos theta}$ a ${ displaystyle y = sin theta}$ pro jednotkový kruh a tedy ${ displaystyle x = c cos theta}$ a ${ displaystyle y = c sin theta}$ pro kruh o poloměru c a odrážející náš trojúhelník v ose y a nastavení ${ displaystyle a = x}$ a ${ displaystyle b = y}$ .

Alternativně, identity nalezené na Trigonometrická symetrie, posuny a periodicita mohou být zaměstnáni. Podle periodicity identit můžeme říci, zda je vzorec platný pro −π < θ ≤ π pak to platí pro všechny skutečné θ. Dále dokážeme rozsah π / 2 < θ ≤ π, k tomu necháme t = θ - π / 2, t nyní bude v rozsahu 0 < t ≤ π / 2. Poté můžeme použít čtvercové verze některých základních identit posunu (druhou mocninou se pohodlně odstraní znaménka mínus):

{ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = sin ^ {2} vlevo (t + { frac {1} {2}} pi vpravo) + cos ^ {2} left (t + { frac {1} {2}} pi right) = cos ^ {2} t + sin ^ {2} t = 1.}

Zbývá jen dokázat −π < θ < 0; Toho lze dosáhnout čtvercováním identit symetrie

{ displaystyle sin ^ {2} theta = sin ^ {2} (- theta) { text {a}} cos ^ {2} theta = cos ^ {2} (- theta) .}

Související identity

Podobné pravé trojúhelníky ilustrující tangenciální a sekanční trigonometrické funkce.

Totožnosti

{ displaystyle 1+ tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta}

a

{ displaystyle 1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta}

se také nazývají Pythagorovy trigonometrické identity.^[1] Pokud má jedno rameno pravoúhlého trojúhelníku délku 1, pak tečna úhlu sousedícího s touto nohou je délka druhé nohy a sečna úhlu je délka přepony.

{ displaystyle tan theta = { frac {b} {a}} ,}

a:

{ displaystyle sec theta = { frac {c} {a}} .}

Tímto způsobem tato trigonometrická identita zahrnující tangens a secan vyplývá z Pythagorovy věty. Úhel naproti noze délky 1 (tento úhel lze označit φ = π / 2 - θ) má kotangens rovnající se délce druhého ramene a kosekans rovnou délce přepony. Tímto způsobem tato trigonometrická identita zahrnující kotangens a kosekans vyplývá také z Pythagorovy věty.

Následující tabulka uvádí identity s faktorem nebo dělitelem, který je souvisí s hlavní identitou.

Původní identita	Dělitel	Dělitel rovnice	Odvozená identita	Odvozená identita (alternativní)
${ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1}$	${ displaystyle cos ^ {2} theta}$	${ displaystyle { frac { sin ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta}} + { frac { cos ^ {2} theta} { cos ^ {2} theta }} = { frac {1} { cos ^ {2} theta}}}$	${ displaystyle tan ^ {2} theta + 1 = sec ^ {2} theta}$	${ displaystyle tan ^ {2} theta = sec ^ {2} theta -1}$
${ displaystyle sin ^ {2} theta + cos ^ {2} theta = 1}$	${ displaystyle sin ^ {2} theta}$	${ displaystyle { frac { sin ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta}} + { frac { cos ^ {2} theta} { sin ^ {2} theta }} = { frac {1} { sin ^ {2} theta}}}$	${ displaystyle 1+ cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta}$	${ displaystyle cot ^ {2} theta = csc ^ {2} theta -1}$

Důkaz pomocí jednotkového kruhu

Směřovat P(x, y) na kružnici poloměru jednotky v tupý úhel θ> π / 2

Sinusová funkce na jednotkovém kruhu (nahoře) a jeho grafu (dole)

Jednotkový kruh se středem v počátku v euklidovské rovině je definován rovnicí:^[2]

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Vzhledem k úhlu θ existuje jedinečný bod P na jednotkové kružnici pod úhlem θ od X- osa a X- a y- koordinátoři P jsou:^[3]

{ displaystyle x = cos theta mathrm {a} y = sin theta .}

V důsledku toho z rovnice pro jednotkovou kružnici:

{ displaystyle cos ^ {2} theta + sin ^ {2} theta = 1 ,}

Pythagorovská identita.

Na obrázku bod P má negativní souřadnice x, a je vhodně dána X = cosθ, což je záporné číslo: cosθ = −cos (π−θ ). Směřovat P má pozitivní y-koordinovaný a hřešitθ = sin (π−θ )> 0. Jako θ se zvyšuje od nuly do celého kruhu θ = 2π, sinus a kosinus mění znaménka v různých kvadrantech X a y se správnými znaky. Obrázek ukazuje, jak se mění znaménko sinusové funkce v závislosti na kvadrantu změn úhlu.

Protože X- a y-axes are perpendicular, this Pythagorean identity is equivalent to the Pythagorean theorem for triangles with hypotenuse of length 1 (which is in turn ekvivalent to the full Pythagorean theorem using an a similar-triangles argument). Vidět jednotkový kruh pro krátké vysvětlení.

Důkaz použití výkonové řady

Trigonometrické funkce lze také definovat pomocí výkonová řada, jmenovitě (pro X úhel měřený v radiány ):^[4]^[5]

{ displaystyle { begin {aligned} sin x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1}, cos x & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n} . end {zarovnáno}}}

Využití formálního zákona násobení pro mocenské řady v Násobení a dělení výkonových řad (vhodně upravený tak, aby zohledňoval formu série zde), kterou získáváme

{ displaystyle { begin {aligned} sin ^ {2} x & = sum _ {i = 0} ^ { infty} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-1 ) ^ {i}} {(2i + 1)!}} { frac {(-1) ^ {j}} {(2j + 1)!}} x ^ {(2i + 1) + (2j + 1 )} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ( sum _ {i = 0} ^ {n-1} { frac {(-1) ^ {n-1} } {(2i + 1)! (2 (ni-1) +1)!}} Vpravo) x ^ {2n} & = sum _ {n = 1} ^ { infty} left ( součet _ {i = 0} ^ {n-1} {2n vyberte 2i + 1} vpravo) { frac {(-1) ^ {n-1}} {(2n)!}} x ^ {2n }, cos ^ {2} x & = sum _ {i = 0} ^ { infty} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {i} } {(2i)!}} { Frac {(-1) ^ {j}} {(2j)!}} X ^ {(2i) + (2j)} & = sum _ {n = 0 } ^ { infty} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {(-1) ^ {n}} {(2i)! (2 (ni))!}} vpravo ) x ^ {2n} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ( sum _ {i = 0} ^ {n} {2n select 2i} right) { frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {2n}. End {zarovnáno}}}

Ve výrazu za hřích², n musí být alespoň 1, zatímco ve výrazu pro cos², konstantní termín se rovná 1. Zbývající podmínky jejich součtu jsou (s odstraněním společných faktorů)

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} {2n vyberte 2i} - sum _ {i = 0} ^ {n-1} {2n vyberte 2i + 1} = sum _ {j = 0} ^ {2n} (- 1) ^ {j} {2n vyberte j} = (1-1) ^ {2n} = 0}

podle binomická věta. Tudíž,

{ displaystyle sin ^ {2} x + cos ^ {2} x = 1 ,}

což je Pythagorova trigonometrická identita.

Když jsou trigonometrické funkce definovány tímto způsobem, identita v kombinaci s Pythagorovou větou ukazuje, že tyto výkonové řady parametrizovat jednotkový kruh, který jsme použili v předchozí části. Tato definice důsledně konstruuje funkce sinus a kosinus a dokazuje, že jsou diferencovatelné, takže ve skutečnosti zahrnuje předchozí dvě.

Důkaz pomocí diferenciální rovnice

Sinus a kosinus lze definovat jako dvě řešení diferenciální rovnice:^[6]

{ displaystyle y '' + y = 0}

uspokojující y(0) = 0, y′ (0) = 1 a y(0) = 1, y′ (0) = 0. Vyplývá to z teorie obyčejné diferenciální rovnice že první řešení, sine, má jako svůj derivát druhé, kosinus, a z toho vyplývá, že derivát kosinu je záporem sinu. Identita je ekvivalentní s tvrzením, že funkce

{ displaystyle z = sin ^ {2} x + cos ^ {2} x}

je konstantní a rovno 1. Diferenciace pomocí řetězové pravidlo dává:

{ displaystyle { frac {d} {dx}} z = 2 sin x cos x + 2 cos x (- sin x) = 0 ,}

tak z je konstantní věta o střední hodnotě. Výpočet to potvrzuje z(0) = 1 a z je konstantní tak z = 1 pro všechny X, takže je stanovena Pythagorova identita.

Podobný důkaz lze dokončit pomocí výkonové řady, jak je uvedeno výše, aby se zjistilo, že sinus má jako svou derivaci kosinus a kosinus má jako svou derivaci negativní sinus. Ve skutečnosti definice obyčejnou diferenciální rovnicí a mocninnou řadou vedou k podobným derivacím většiny identit.

Tento důkaz totožnosti nemá žádnou přímou souvislost s Euklidovou demonstrací Pythagorovy věty.

Viz také

Řádkové poznámky a reference

^ Lawrence S.Leff (2005). PreCalculus snadná cesta (7. vydání). Barronova vzdělávací série. str.296. ISBN 0-7641-2892-2.
^ Tento výsledek lze zjistit pomocí vzorce vzdálenosti ${ displaystyle d = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ pro vzdálenost od počátku do bodu ${ displaystyle (x, y)}$ . Vidět Cynthia Y. Young (2009). Algebra a trigonometrie (2. vyd.). Wiley. str. 210. ISBN 0-470-22273-5. Tento přístup předpokládá Pythagorovu větu. Alternativně lze jednoduše nahradit hodnoty a určit, že graf je kruh.
^ Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw (2008). „§6.2 Sinusová, kosinová a tečná funkce“. Současný Precalculus: grafický přístup (5. vydání). Cengage Learning. str. 442. ISBN 0-495-10833-2.
^ James Douglas Hamilton (1994). "Silová řada". Analýza časových řad. Princeton University Press. str. 714. ISBN 0-691-04289-6.
^ Steven George Krantz (2005). „Definice 10.3“. Skutečná analýza a základy (2. vyd.). CRC Press. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.
^ Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). „Příklad 8.12.1“. Lineární parciální diferenciální rovnice pro vědce a inženýry (4. vydání). Springer. str. 316. ISBN 0-8176-4393-1.

externí odkazy

[Leff-1] Lawrence S.Leff (2005). PreCalculus snadná cesta (7. vydání). Barronova vzdělávací série. str.296. ISBN 0-7641-2892-2.

[circle-2] Tento výsledek lze zjistit pomocí vzorce vzdálenosti ${ displaystyle d = { sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ pro vzdálenost od počátku do bodu ${ displaystyle (x, y)}$ . Vidět Cynthia Y. Young (2009). Algebra a trigonometrie (2. vyd.). Wiley. str. 210. ISBN 0-470-22273-5. Tento přístup předpokládá Pythagorovu větu. Alternativně lze jednoduše nahradit hodnoty a určit, že graf je kruh.

[Shaw-3] Thomas W. Hungerford, Douglas J. Shaw (2008). „§6.2 Sinusová, kosinová a tečná funkce“. Současný Precalculus: grafický přístup (5. vydání). Cengage Learning. str. 442. ISBN 0-495-10833-2.

[Hamilton-4] James Douglas Hamilton (1994). "Silová řada". Analýza časových řad. Princeton University Press. str. 714. ISBN 0-691-04289-6.

[Krantz-5] Steven George Krantz (2005). „Definice 10.3“. Skutečná analýza a základy (2. vyd.). CRC Press. 269–270. ISBN 1-58488-483-5.

[Debnath-6] Tyn Myint U., Lokenath Debnath (2007). „Příklad 8.12.1“. Lineární parciální diferenciální rovnice pro vědce a inženýry (4. vydání). Springer. str. 316. ISBN 0-8176-4393-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]