Obrázek (matematika) - Image (mathematics) - Wikipedia

F je funkce z domény X do codomain Y. Žlutý ovál uvnitř Y je obraz F.

Algebraická struktura → Skupinová teorie Skupinová teorie
Základní pojmy Podskupina Normální podskupina Kvocientová skupina (Částečně)přímý produkt Skupinové homomorfismy jádro obraz přímý součet produkt věnce jednoduchý konečný nekonečný kontinuální multiplikativní přísada cyklický abelian vzepětí nilpotentní řešitelný Glosář teorie skupin Seznam témat teorie skupin
Konečné skupiny Klasifikace konečných jednoduchých skupin cyklický střídavý Typ lži sporadický Cauchyova věta Lagrangeova věta Sylowovy věty Hallova věta p-skupina Základní abelianská skupina Skupina Frobenius Multiplikátor Schur Symetrická skupina Sn Kleinova čtyřčlenná skupina PROTI Vzepětí skupina Dn Čtveřice skupina Q Dicyklická skupina Dicn
Diskrétní skupiny Mříže Celá čísla (Z) Zdarma skupina Modulární skupiny PSL (2,Z) SL (2,Z) Aritmetická skupina Mříž Hyperbolická skupina
Topologické a Lež skupiny Solenoid Kruh Obecné lineární GL (n) Speciální lineární SL (n) Ortogonální Ó(n) Euklidovský E(n) Speciální ortogonální TAK(n) Unitary U (n) Speciální unitární SU (n) Symplektický Sp (n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Konformní Difomorfismus Smyčka Nekonečná dimenzionální Lieova skupina O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Algebraické skupiny Lineární algebraická skupina Redukční skupina Abelianská odrůda Eliptická křivka

v matematika, obraz a funkce je sada všech výstupních hodnot, které může produkovat.

Obecněji řečeno, vyhodnocení dané funkce F u každého prvku dané podmnožiny A jeho doména vyrábí sadu zvanou „obraz z A pod (nebo prostřednictvím) F Podobně inverzní obraz (nebo preimage) dané podskupiny B z codomain z F, je sada všech prvků domény, které se mapují na členy B.

Obecně lze definovat obrázek a inverzní obrázek binární vztahy, nejen funkce.

Definice

Slovo „obrázek“ se používá třemi souvisejícími způsoby. V těchto definicích F : X → Y je funkce z soubor X do sady Y.

Obrázek prvku

Li X je členem X, pak obrázek X pod F, označeno F(X),^[1] je hodnota z F při aplikaci na X. F(X) je alternativně známý jako výstup F pro argument X.

Obrázek podmnožiny

Obrázek podmnožiny A ⊆ X pod F, označeno ${ displaystyle f [A]}$, je podmnožinou Y které lze definovat pomocí set-builder notace jak následuje:^[2]

${ displaystyle f [A] = {f (x) střední x v A }}$

Pokud nehrozí nebezpečí záměny, ${ displaystyle f [A]}$ se jednoduše píše jako ${ displaystyle f (A)}$. Tato konvence je běžná; zamýšlený význam musí být odvozen z kontextu. To dělá F[.] funkce, jejíž doména je napájecí sada z X (soubor všech podmnožiny z X) a jehož codomain je výkonová sada Y. Vidět § Notace níže pro více.

Obrázek funkce

The obraz funkce je obraz jejího celku doména, také známý jako rozsah funkce.^[3]

Zobecnění na binární vztahy

Li R je libovolný binární relace na X×Y, pak množina {y∈Y | xRy pro některé X∈X } se nazývá obrázek nebo rozsah R. Souprava { X∈X | xRy pro některé y∈Y } se nazývá doména R.

Inverzní obraz

Nechat F být funkcí od X na Y. The preimage nebo inverzní obraz sady B ⊆ Y pod F, označeno ${ displaystyle f ^ {- 1} [B]}$, je podmnožinou X definován

${ displaystyle f ^ {- 1} [B] = {x v X , | , f (x) v B }.}$

Mezi další notace patří F ⁻¹ (B)^[4] a F ⁻ (B).^[5] Inverzní obraz a jedináček, označeno F ⁻¹[{y}] nebo F ⁻¹[y], se také nazývá vlákno přes y nebo nastavena úroveň z y. Sada všech vláken nad prvky Y je rodina sad indexovaných pomocí Y.

Například pro funkci F(X) = X², inverzní obrázek {4} bude {−2, 2}. Opět platí, že pokud neexistuje nebezpečí záměny, F ⁻¹[B] lze označit pomocí F ⁻¹(B), a F ⁻¹ lze také považovat za funkci ze sady výkonu Y na výkonovou sadu X. Zápis F ⁻¹ by neměla být zaměňována s tím inverzní funkce, i když se shoduje s obvyklým pro bijekce v tomto inverzním obrazu B pod F je obraz B pod F ⁻¹.

Zápis pro obraz a inverzní obraz

Tradiční notace použité v předchozí části mohou být matoucí. Alternativní^[6] je dát explicitní názvy pro obrázek a preimage jako funkce mezi sadami napájení:

Šipková notace

• ${ displaystyle f ^ { rightarrow}: { mathcal {P}} (X) rightarrow { mathcal {P}} (Y)}$ s ${ displaystyle f ^ { rightarrow} (A) = {f (a) ; | ; a v A }}$
• ${ displaystyle f ^ { leftarrow}: { mathcal {P}} (Y) rightarrow { mathcal {P}} (X)}$ s ${ displaystyle f ^ { leftarrow} (B) = {a v X ; | ; f (a) v B }}$

Hvězdná notace

• ${ displaystyle f _ { star}: { mathcal {P}} (X) rightarrow { mathcal {P}} (Y)}$ namísto ${ displaystyle f ^ { rightarrow}}$
• ${ displaystyle f ^ { star}: { mathcal {P}} (Y) rightarrow { mathcal {P}} (X)}$ namísto ${ displaystyle f ^ { leftarrow}}$

Jiná terminologie

• Alternativní notace pro F[A] použito v matematická logika a teorie množin je F "A.^[7][8]
• Některé texty odkazují na obrázek F jako rozsah F, ale tomuto použití je třeba se vyhnout, protože slovo „rozsah“ se také běžně používá k označení codomain z F.

Příklady

1. F: {1, 2, 3} → {abeceda} definován ${ displaystyle f (x) = left {{ begin {matrix} a, & { mbox {if}} x = 1 a, & { mbox {if}} x = 2 c, & { mbox {if}} x = 3. end {matrix}} vpravo.}$
   The obraz sady {2, 3} pod F je F({2, 3}) = {a, c}. The obraz funkce F je {a, c}. The preimage z A je F ⁻¹({A}) = {1, 2}. The preimage z {a, b} je také {1, 2}. Předobraz {b, d} je prázdná sada {}.
2. F: R → R definován F(X) = X².
   The obraz z {−2, 3} pod F je F({−2, 3}) = {4, 9} a obraz z F je R⁺. The preimage z {4, 9} pod F je F ⁻¹({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. Předobraz sady N = {n ∈ R | n <0} pod F je prázdná množina, protože záporná čísla nemají v množině reálných odmocniny.
3. F: R² → R definován F(X, y) = X² + y².
   The vlákna F ⁻¹({A}) jsou soustředné kruhy o původ, samotný původ a prázdná sada, podle toho, zda A > 0, A = 0, nebo A <0, v tomto pořadí.
4. Li M je potrubí a π: TM → M je kanonický projekce z tečný svazek TM na M, pak vlákna z π jsou tečné mezery T_X(M) pro X∈M. Toto je také příklad a svazek vláken.
5. Skupina kvocientů je homomorfní obraz.

Vlastnosti

Protiklady založené na F:ℝ → ℝ, X↦X2, zobrazeno že rovnost obecně potřebuje neplatí pro některé zákony:
F(A1∩A2) ⊊ F(A1) ∩ F(A2)
F(F−1(B3)) ⊊ B3
F−1(F(A4)) ⊋ A4

Všeobecné

Pro každou funkci ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ a všechny podskupiny ${ displaystyle A subseteq X}$ a ${ displaystyle B subseteq Y}$, platí následující vlastnosti:

obraz	Preimage
${ displaystyle f (X) subseteq Y}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (Y) = X}$
${ displaystyle f (f ^ {- 1} (Y)) = f (X)}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (f (X)) = X}$
${ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) subseteq B}$ (stejné, pokud ${ displaystyle B subseteq f (X)}$, např. ${ displaystyle f}$ je surjektivní)[9][10]	${ displaystyle f ^ {- 1} (f (A)) supseteq A}$ (stejné, pokud ${ displaystyle f}$ je injekční)[9][10]
${ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B cap f (X)}$	${ displaystyle (f vert _ {A}) ^ {- 1} (B) = A cap f ^ {- 1} (B)}$
${ displaystyle f (f ^ {- 1} (f (A))) = f (A)}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (f (f ^ {- 1} (B))) = f ^ {- 1} (B)}$
${ displaystyle f (A) = varnothing Leftrightarrow A = varnothing}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (B) = varnothing Leftrightarrow B subseteq Y setminus f (X)}$
${ displaystyle f (A) supseteq B Leftrightarrow existuje C subseteq A: f (C) = B}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (B) supseteq A Leftrightarrow f (A) subseteq B}$
${ displaystyle f (A) supseteq f (X setminus A) šipka vlevo f (A) = f (X)}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (B) supseteq f ^ {- 1} (Y setminus B) Leftrightarrow f ^ {- 1} (B) = X}$
${ displaystyle f (X setminus A) supseteq f (X) setminus f (A)}$	${ displaystyle f ^ {- 1} (Y setminus B) = X setminus f ^ {- 1} (B)}$[9]
${ displaystyle f (A cup f ^ {- 1} (B)) subseteq f (A) cup B}$[11]	${ displaystyle f ^ {- 1} (f (A) pohár B) supseteq A pohár f ^ {- 1} (B)}$[11]
${ displaystyle f (A cap f ^ {- 1} (B)) = f (A) cap B}$[11]	${ displaystyle f ^ {- 1} (f (A) cap B) supseteq A cap f ^ {- 1} (B)}$[11]

Taky:

• ${ displaystyle f (A) cap B = varnothing Leftrightarrow A cap f ^ {- 1} (B) = varnothing}$

Více funkcí

Pro funkce ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ a ${ displaystyle g: Y rightarrow Z}$ s podmnožinami ${ displaystyle A subseteq X}$ a ${ displaystyle C subseteq Z}$, platí následující vlastnosti:

• ${ displaystyle (g circ f) (A) = g (f (A))}$
• ${ displaystyle (g circ f) ^ {- 1} (C) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C))}$

Více podskupin domén nebo domén

Pro funkci ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ a podmnožiny ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2} subseteq X}$ a ${ displaystyle B_ {1}, B_ {2} subseteq Y}$, platí následující vlastnosti:

obraz	Preimage
${ displaystyle A_ {1} subseteq A_ {2} Rightarrow f (A_ {1}) subseteq f (A_ {2})}$	${ displaystyle B_ {1} subseteq B_ {2} Rightarrow f ^ {- 1} (B_ {1}) subseteq f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${ displaystyle f (A_ {1} pohár A_ {2}) = f (A_ {1}) pohár f (A_ {2})}$[11][12]	${ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} pohár B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) pohár f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${ displaystyle f (A_ {1} cap A_ {2}) subseteq f (A_ {1}) cap f (A_ {2})}$[11][12] (stejné, pokud ${ displaystyle f}$ je injekční[13])	${ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} cap B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) cap f ^ {- 1} (B_ {2})}$
${ displaystyle f (A_ {1} setminus A_ {2}) supseteq f (A_ {1}) setminus f (A_ {2})}$[11] (stejné, pokud ${ displaystyle f}$ je injekční[13])	${ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} setminus B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) setminus f ^ {- 1} (B_ {2})}$[11]
${ displaystyle f (A_ {1} trojúhelník A_ {2}) supseteq f (A_ {1}) trojúhelník f (A_ {2})}$ (stejné, pokud ${ displaystyle f}$ je injekční)	${ displaystyle f ^ {- 1} (B_ {1} trojúhelník B_ {2}) = f ^ {- 1} (B_ {1}) trojúhelník f ^ {- 1} (B_ {2})}$

Výsledky týkající se obrázků a předobrazů k (Booleovský ) algebra z průsečík a svaz pracovat pro jakoukoli kolekci podmnožin, nejen pro dvojice podmnožin:

• ${ displaystyle f left ( bigcup _ {s in S} A_ {s} right) = bigcup _ {s in S} f (A_ {s})}$
• ${ displaystyle f left ( bigcap _ {s in S} A_ {s} right) subseteq bigcap _ {s in S} f (A_ {s})}$
• ${ displaystyle f ^ {- 1} left ( bigcup _ {s in S} B_ {s} right) = bigcup _ {s in S} f ^ {- 1} (B_ {s}) }$
• ${ displaystyle f ^ {- 1} left ( bigcap _ {s in S} B_ {s} right) = bigcap _ {s in S} f ^ {- 1} (B_ {s}) }$

(Tady, S může být nekonečný, dokonce nespočetně nekonečný.)

S ohledem na výše popsanou algebru podmnožin je funkce inverzního obrazu a mřížkový homomorfismus, zatímco obrazová funkce je pouze a semilattice homomorfismus (tj. ne vždy zachovává křižovatky).

Viz také

• Bijekce, injekce a surjekce
• Obrázek (teorie kategorií)
• Jádro funkce
• Nastavit inverzi

Poznámky

Reference

• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. ISBN  81-203-0871-9.
• Blyth, T.S. (2005). Mřížky a uspořádané algebraické struktury. Springer. ISBN  1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frederic (2016). Konvergenční základy topologie. New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN  978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Halmos, Paul R. (1960). Naivní teorie množin. Univerzitní série v pregraduální matematice. van Nostrand Company. Zbl  0087.04403.
• Kelley, John L. (1985). Obecná topologie. Postgraduální texty z matematiky. 27 (2. vyd.). Birkhäuser. ISBN  978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topologie (Druhé vydání.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc.. ISBN  978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.

Tento článek obsahuje materiál od společnosti Fiber on PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.