Obecné Leibnizovo pravidlo - General Leibniz rule

v počet, obecné Leibnizovo pravidlo,^[1] pojmenoval podle Gottfried Wilhelm Leibniz, zobecňuje produktové pravidlo (který je také známý jako „Leibnizovo pravidlo“). Uvádí se v něm, že pokud ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou ${ displaystyle n}$-krát diferencovatelné funkce, pak produkt ${ displaystyle fg}$ je také ${ displaystyle n}$- časově rozlišitelné a jeho ${ displaystyle n}$Tato derivace je dána vztahem

${ displaystyle (fg) ^ {(n)} = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} f ^ {(n-k)} g ^ {(k)},}$

kde ${ displaystyle {n zvolte k} = {n! přes k! (n-k)!}}$ je binomický koeficient a ${ displaystyle f ^ {(j)}}$ označuje jth derivát F (a zejména ${ displaystyle f ^ {(0)} = f}$).

Pravidlo lze prokázat pomocí pravidla produktu a matematická indukce.

Druhá derivace

Pokud například n = 2, pravidlo dává výraz pro druhou derivaci součinu dvou funkcí:

${ displaystyle (fg) '' (x) = součet limity _ {k = 0} ^ {2} {{ binom {2} {k}} f ^ {(2-k)} (x) g ^ {(k)} (x)} = f '' (x) g (x) + 2f '(x) g' (x) + f (x) g '' (x).}$

Více než dva faktory

Vzorec lze zobecnit na produkt vzorce m diferencovatelné funkce F₁,...,F_m.

${ displaystyle left (f_ {1} f_ {2} cdots f_ {m} right) ^ {(n)} = sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m } = n} {n zvolit k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} prod _ {1 leq t leq m} f_ {t} ^ {(k_ {t}) } ,,}$

kde součet přesahuje všechny m-tuples (k₁,...,k_m) nezáporných celých čísel s ${ displaystyle sum _ {t = 1} ^ {m} k_ {t} = n,}$ a

${ displaystyle {n zvolit k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m}} = { frac {n!} {k_ {1}! , k_ {2}! cdots k_ { m}!}}}$

jsou multinomiální koeficienty. To je podobné multinomiální vzorec z algebry.

Důkaz

Důkaz obecného Leibnizova pravidla probíhá indukcí. Nechat ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ být ${ displaystyle n}$-krát rozlišitelné funkce. Základní případ, kdy ${ displaystyle n = 1}$ tvrdí, že:

${ displaystyle (fg) '= f'g + fg',}$

což je obvyklé pravidlo produktu a je známo, že je pravdivé. Dále předpokládejme, že příkaz platí pro fixní ${ displaystyle n geq 1,}$ to je, to

${ displaystyle (fg) ^ {(n)} = součet _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k)}. }$

Pak,

${ displaystyle { begin {aligned} (fg) ^ {(n + 1)} & = left [ sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ { (nk)} g ^ {(k)} right] ' & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k )} g ^ {(k)} + suma _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(nk)} g ^ {(k + 1)} & = sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + sum _ {k = 1 } ^ {n + 1} { binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} & = { binom {n} {0} } f ^ {(n + 1)} g + sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {n} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k) } + sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {n} {k-1}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} + { binom {n } {n}} fg ^ {(n + 1)} & = f ^ {(n + 1)} g + left ( sum _ {k = 1} ^ {n} left [{ binom { n} {k-1}} + { binom {n} {k}} vpravo] f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)} vpravo) + fg ^ {(n + 1)} & = f ^ {(n + 1)} g + sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k )} g ^ {(k)} + fg ^ {(n + 1)} & = sum _ {k = 0} ^ {n + 1} { binom {n + 1} {k}} f ^ {(n + 1-k)} g ^ {(k)}. end {zarovnáno}}}$

A tak prohlášení platí pro ${ displaystyle n + 1,}$ a důkaz je kompletní.

Počet proměnných

S multi-index notace pro částečné derivace funkcí několika proměnných uvádí Leibnizovo pravidlo obecněji:

${ displaystyle částečné ^ { alfa} (fg) = součet _ { beta ,: , beta leq alpha} { alpha zvolit beta} ( částečné ^ { beta} f) ( částečné ^ { alfa - beta} g).}$

Tento vzorec lze použít k odvození vzorce, který počítá symbol složení diferenciálních operátorů. Vlastně nechte P a Q být operátory diferenciálu (s koeficienty, které jsou dostatečně mnohokrát diferencovatelné) a ${ Displaystyle R = P Cir Q.}$ Od té doby R je také operátor diferenciálu, symbol R darováno:

${ displaystyle R (x, xi) = e ^ {- { langle x, xi rangle}} R (e ^ { langle x, xi rangle}).}$

Přímý výpočet nyní dává:

${ displaystyle R (x, xi) = součet _ { alfa} {1 nad alfa!} vlevo ({ částečné nad částečné xi} pravé) ^ { alfa} P (x , xi) vlevo ({ částečné nad částečné x} pravé) ^ { alpha} Q (x, xi).}$

Tento vzorec je obvykle známý jako Leibnizův vzorec. Používá se k definování kompozice v prostoru symbolů, čímž indukuje prstencovou strukturu.

Viz také

• Binomická věta
• Odvození (diferenciální algebra)
• Derivát
• Diferenciální algebra
• Pascalův trojúhelník

Reference