Sinusoida - Sine wave

Grafy sinusu (plná červená) a kosinus (tečkovaná modrá) funkce jsou sinusoidy různých fází

A sinusoida nebo sinusoida je matematická křivka který popisuje plynulé periodické kmitání. Sinusová vlna je a spojitá vlna. Je pojmenován po funkci sinus, jehož je graf. Vyskytuje se často jak v čistém, tak v aplikovaném stavu matematika, stejně jako fyzika, inženýrství, zpracování signálu a mnoho dalších oborů. Jeho nejzákladnější forma jako funkce času (t) je:

{ displaystyle y (t) = A sin (2 pi ft + varphi) = A sin ( omega t + varphi)}

kde:

A, amplituda, maximální odchylka funkce od nuly.
F, běžná frekvence, číslo oscilací (cyklů), ke kterým dochází každou sekundu času.
ω = 2πF, úhlová frekvence, rychlost změny argumentu funkce v jednotkách radiány za sekundu
${ displaystyle varphi}$ , fáze, určuje (v radiány ) kde ve svém cyklu je oscilace t = 0.
Když ${ displaystyle varphi}$ je nenulová, zdá se, že je celý průběh času posunut o částku ${ displaystyle varphi}$ /ω sekundy. Záporná hodnota představuje zpoždění a kladná hodnota představuje záloha.

Sinusoida

5 sekund sinusové vlny 220 Hz. To je zvuková vlna popsáno funkcí sine s F = 220 kmitů za sekundu.

Máte potíže s přehráváním tohoto souboru? Vidět mediální pomoc.

Oscilace netlumeného systému pružina-hmota kolem rovnováhy je sinusová vlna.

Sinusová vlna je důležitá ve fyzice, protože si zachovává svůj tvar vlny, když je přidána k další sinusové vlně stejné frekvence a libovolné fáze a velikosti. Je to jediný periodický průběh, který má tuto vlastnost. Tato vlastnost vede k jejímu významu v Fourierova analýza a dělá to akusticky jedinečným.

Obecná forma

Obecně může funkce mít také:

prostorová proměnná X který představuje pozice na dimenzi, na které se vlna šíří, a charakteristický parametr k volala číslo vlny (nebo číslo úhlové vlny), což představuje proporcionalitu mezi úhlovou frekvencí ω a lineární rychlost (rychlost šíření ) ν;
nenulová středová amplituda, D

který je

{ displaystyle y (x, t) = A sin (kx- omega t + varphi) + D ,}

, pokud se vlna pohybuje doprava

{ displaystyle y (x, t) = A sin (kx + omega t + varphi) + D ,}

, pokud se vlna pohybuje doleva.

Vlnové číslo souvisí s úhlovou frekvencí o:.

{ displaystyle k = { omega over v} = {2 pi f over v} = {2 pi over lambda}}

kde λ (lambda) je vlnová délka, F je frekvence, a proti je lineární rychlost.

Tato rovnice dává sinusovou vlnu pro jednu dimenzi; tedy zobecněná rovnice uvedená výše udává posun vlny v poloze X v čase t Mohlo by to být například považováno za hodnotu vlny podél drátu.

Ve dvou nebo třech prostorových dimenzích popisuje stejná rovnice cestování rovinná vlna pokud pozice X a vlnové číslo k jsou interpretovány jako vektory a jejich součin jako a Tečkovaný produkt. U složitějších vln, jako je výška vodní vlny v rybníku po vržení kamene, jsou zapotřebí složitější rovnice.

Události

Ilustrující základní vztah kosinové vlny k kruhu.

Tento mávat vzor se v přírodě vyskytuje často, včetně větrné vlny, zvuk vlny a světlo vlny.

A kosinus vlna se říká, že je sinusový, protože ${ displaystyle cos (x) = sin (x + pi / 2),}$ což je také sinusová vlna s fázovým posunem π / 2 radiánů. Kvůli tomu náskok, často se říká, že kosinová funkce vede sinusová funkce nebo sinus zaostává kosinus.

Člověk ucho dokáže rozpoznat jednotlivé sinusové vlny jako znějící jasně, protože sinusové vlny jsou reprezentacemi jediného frekvence bez č harmonické.

Pro lidské ucho bude mít zvuk, který je vytvořen z více než jedné sinusové vlny, znatelné harmonické; přidání různých sinusových vln má za následek jiný tvar vlny a tím mění témbr zvuku. Přítomnost vyšších harmonických kromě základních příčin kolísání zabarvení, což je důvod, proč stejné hudební nota (stejná frekvence) hraná na různých nástrojích zní odlišně. Na druhou stranu, pokud zvuk obsahuje neperiodické vlny spolu se sinusovými vlnami (které jsou periodické), bude zvuk vnímán jako hlučný, protože hluk je charakterizován jako neperiodický nebo s neopakujícím se vzorem.

Fourierova řada

Sinus, náměstí, trojúhelník, a pilovitý křivky

V roce 1822 francouzský matematik Joseph Fourier objevil, že sinusové vlny lze použít jako jednoduché stavební kameny k popisu a aproximaci jakéhokoli periodického tvaru vlny, včetně čtvercové vlny. Fourier ji použil jako analytický nástroj při studiu vln a tepelného toku. Často se používá v zpracování signálu a statistická analýza časové řady.

Cestování a stojaté vlny

Protože se sinusové vlny šíří beze změny formy distribuované lineární systémy,^{[je nutná definice ]} často se používají k analýze mávat propagace. Sinusové vlny pohybující se ve vesmíru ve dvou směrech lze reprezentovat jako

{ displaystyle u (t, x) = A sin (kx- omega t + varphi)}

Když dvě vlny mají stejnou amplitudu a frekvenci a pohybují se v opačných směrech, překrýt navzájem, pak a stojatá vlna je vytvořen vzor. Všimněte si, že na trhané struně jsou interferující vlny vlny odrážené od pevných koncových bodů struny. Stojaté vlny se tedy vyskytují pouze na určitých frekvencích, které se označují jako rezonanční frekvence a skládají se ze základní frekvence a jejích vyšších harmonických. Rezonanční frekvence řetězce jsou úměrné: délce mezi pevnými konci; the napětí řetězce; a nepřímo úměrné hmotnosti na jednotku délky řetězce.

Viz také

Další čtení

„Sinusoid“. Encyclopedia of Mathematics. Springer. Citováno 8. prosince 2013.