Stirlingsova aproximace - Stirlings approximation - Wikipedia

Porovnání Stirlingovy aproximace s faktoriálem

v matematika, Stirlingova aproximace (nebo Stirlingův vzorec) je přibližný údaj pro faktoriály. Je to dobrá aproximace, která vede k přesným výsledkům i pro malé hodnoty n. Je pojmenován po James Stirling, ačkoli to bylo poprvé uvedeno Abraham de Moivre.^[1][2][3]

Verze vzorce obvykle používaného v aplikacích je

${ displaystyle ln n! = n ln n-n + O ( ln n)}$

(v velká O notace, tak jako ${ displaystyle n to infty}$), nebo změnou základny logaritmu (například v nejhorší dolní mez pro srovnávací třídění ),

${ displaystyle log _ {2} n! = n log _ {2} n-n log _ {2} e + O ( log _ {2} n).}$

Určení konstanty v Ó(ln n) chybový termín dává 1/2ln (2πn), čímž se získá přesnější vzorec:

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n},}$

kde znaménko ~ znamená, že obě veličiny jsou asymptotické: jejich poměr má tendenci k 1 jako n inklinuje k nekonečnu.

Jeden může také dát jednoduché hranice platné pro všechna kladná celá čísla n, spíše než jen pro velké n:

${ displaystyle { sqrt {2 pi}} n ^ {n + { frac {1} {2}}} e ^ {- n} leq n! leq e n ^ {n + { frac { 1} {2}}} e ^ {- n}}$

pro ${ displaystyle n = 1,2,3, ldots}$. Ty vyplývají z více přesné hranice chyb diskutováno níže.

Derivace

Zhruba řečeno, nejjednodušší verzi Stirlingova vzorce lze rychle získat aproximací součtu

${ displaystyle ln n! = součet _ {j = 1} ^ {n} ln j}$

s integrální:

${ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {n} ln j přibližně int _ {1} ^ {n} ln x , { rm {d}} x = n ln n-n +1.}$

Celý vzorec, spolu s přesnými odhady jeho chyby, lze odvodit následovně. Místo aproximace n!, jeden zvažuje jeho přirozený logaritmus, protože se jedná o pomalu se měnící funkce:

${ displaystyle ln n! = ln 1+ ln 2+ cdots + ln n.}$

Pravá strana této rovnice minus

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} ( ln 1+ ln n) = { tfrac {1} {2}} ln n}$

je aproximace podle lichoběžníkové pravidlo integrálu

${ displaystyle ln n! - { tfrac {1} {2}} ln n přibližně int _ {1} ^ {n} ln x , { rm {d}} x = n ln n-n + 1,}$

a chyba v této aproximaci je dána Euler – Maclaurin vzorec:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} ln n! - { tfrac {1} {2}} ln n & = { tfrac {1} {2}} ln 1+ ln 2+ ln 3+ cdots + ln (n-1) + { tfrac {1} {2}} ln n & = n ln n-n + 1 + sum _ {k = 2} ^ {m} { frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1)}} vlevo ({ frac {1} {n ^ {k-1}}} - 1 vpravo) + R_ {m, n}, end {zarovnáno}}}$

kde B_k je Bernoulliho číslo, a R_m,n je zbývající výraz ve vzorci Euler-Maclaurin. Zjistěte limity

${ displaystyle lim _ {n to infty} left ( ln n! -n ln n + n - { tfrac {1} {2}} ln n right) = 1- součet _ {k = 2} ^ {m} { frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1)}} + lim _ {n to infty} R_ {m, n}.}$

Označte tento limit jako y. Protože zbytek R_m,n v Euler – Maclaurin vzorec splňuje

${ displaystyle R_ {m, n} = lim _ {n to infty} R_ {m, n} + O left ({ frac {1} {n ^ {m}}} right),}$

kde big-O notace Kombinace výše uvedených rovnic poskytuje aproximační vzorec v jeho logaritmické formě:

${ displaystyle ln n! = n ln left ({ frac {n} {e}} right) + { tfrac {1} {2}} ln n + y + sum _ {k = 2 } ^ {m} { frac {(-1) ^ {k} B_ {k}} {k (k-1) n ^ {k-1}}} + O left ({ frac {1} { n ^ {m}}} vpravo).}$

Vezmeme exponenciál obou stran a vybereme libovolné kladné celé číslo m, získá se vzorec zahrnující neznámé množství E^y. Pro m = 1, vzorec je

${ displaystyle n! = e ^ {y} { sqrt {n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n} left (1 + O left ({ frac {1} {n}} right) right).}$

Množství E^y lze najít tak, že vezmeme limit na obou stranách jako n má sklon k nekonečnu a používání Wallisův produkt, což ukazuje E^y = √2π. Proto jeden získá Stirlingův vzorec:

${ displaystyle n! = { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n} left (1 + O left ({ frac {1 } {n}} vpravo) vpravo).}$

Alternativní derivace

Alternativní vzorec pro n! za použití funkce gama je

${ displaystyle n! = int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- x} , { rm {d}} x.}$

(jak je vidět na opakované integraci po částech). Přepisování a změna proměnných X = ny, jeden získá

${ displaystyle n! = int _ {0} ^ { infty} e ^ {n ln xx} , { rm {d}} x = e ^ {n ln n} n int _ {0 } ^ { infty} e ^ {n ( ln yy)} , { rm {d}} y.}$

Přihlašování Laplaceova metoda jeden má

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {n ( ln yy)} , { rm {d}} y sim { sqrt { frac {2 pi} {n} }} e ^ {- n},}$

který obnovuje Stirlingův vzorec:

${ displaystyle n! sim e ^ {n ln n} n { sqrt { frac {2 pi} {n}}} e ^ {- n} = { sqrt {2 pi n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n}.}$

Další opravy lze ve skutečnosti získat také pomocí Laplaceovy metody. Například výtěžek dvouřádkové expanze pomocí Laplaceovy metody přináší výnosy

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {n ( ln yy)} , { rm {d}} y sim { sqrt { frac {2 pi} {n} }} e ^ {- n} vlevo (1 + { frac {1} {12n}} vpravo)}$

a dává Stirlingův vzorec dvěma příkazům:

${ displaystyle n! sim e ^ {n ln n} n { sqrt { frac {2 pi} {n}}} e ^ {- n} vlevo (1 + { frac {1} { 12n}} right) = { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n} left (1 + { frac {1} {12n }}že jo).}$

Verze této metody s komplexní analýzou^[4] je zvážit ${ displaystyle { frac {1} {n!}}}$ jako Taylorův koeficient exponenciální funkce ${ displaystyle e ^ {z} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n!}}}$, vypočteno Cauchyho integrální vzorec tak jako

${ displaystyle { frac {1} {n!}} = { frac {1} {2 pi i}} mast limity _ {| z | = r} { frac {e ^ {z}} {z ^ {n + 1}}} , mathrm {d} z.}$

Tento integrál přímky lze poté aproximovat pomocí metoda sedlového bodu s vhodnou volbou poloměru obrysu ${ displaystyle r = r_ {n}}$. Dominantní část integrálu poblíž sedlového bodu je pak aproximována skutečným integrálem a Laplaceovou metodou, zatímco zbývající část integrálu může být výše ohraničena, aby poskytla chybový člen.

Rychlost konvergence a odhady chyb

Relativní chyba ve zkrácené Stirlingově sérii vs. n, na 0 až 5 termínů. Zlomy v křivkách představují body, kde se zkrácená řada kryje Γ (n + 1).

Stirlingův vzorec je ve skutečnosti první aproximací následující řady (nyní nazývané Stirlingova řada^[5]):

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n} vlevo (1 + { frac {1} {12n }} + { frac {1} {288n ^ {2}}} - { frac {139} {51840n ^ {3}}} - { frac {571} {2488320n ^ {4}}} + cdots že jo).}$

Explicitní vzorec pro koeficienty v této řadě dal G. Nemes.^[6][A] První graf v této části ukazuje relativní chyba vs. n, po dobu 1 až všech 5 výše uvedených výrazů.

Relativní chyba ve zkrácené Stirlingově sérii vs. počet použitých výrazů

Tak jako n → ∞, chyba ve zkrácené řadě je asymptoticky stejná jako první vynechaný člen. Toto je příklad asymptotická expanze. Není to konvergentní řady; pro všechny konkrétní hodnota n existuje jen tolik výrazů ze série, které zlepšují přesnost, a poté se přesnost zhoršuje. To se zobrazuje v dalším grafu, který zobrazuje relativní chybu versus počet výrazů v řadě, pro větší počet výrazů. Přesněji řečeno S(n, t) být sérií Stirling t termíny hodnocené nan. Grafy ukazují

${ displaystyle left | ln left ({ frac {S (n, t)} {n!}} right) right |,}$

což, když je malé, je v podstatě relativní chyba.

Psaní Stirlingovy série ve formě

${ displaystyle ln n! sim n ln n-n + { tfrac {1} {2}} ln (2 pi n) + { frac {1} {12n}} - { frac {1 } {360n ^ {3}}} + { frac {1} {1260n ^ {5}}} - { frac {1} {1680n ^ {7}}} + cdots,}$

je známo, že chyba při zkrácení řady má vždy opačné znaménko a nanejvýš stejnou velikost jako první vynechaný člen.

Přesnější hranice, díky Robbinsovi,^[7] platí pro všechna kladná celá čísla n jsou

${ displaystyle { sqrt {2 pi}} n ^ {n + { frac {1} {2}}} e ^ {- n} e ^ { frac {1} {12n + 1}}$

Stirlingův vzorec pro funkci gama

Pro všechna kladná celá čísla

${ displaystyle n! = Gamma (n + 1),}$

kde Γ označuje funkce gama.

Avšak funkce gama, na rozdíl od faktoriálu, je obecněji definována pro všechna složitá čísla jiná než celá kladná čísla; nicméně Stirlingův vzorec může být stále použit. Li Re(z) > 0, pak

${ displaystyle ln gama (z) = z ln z-z + { tfrac {1} {2}} ln { frac {2 pi} {z}} + int _ {0} ^ { infty} { frac {2 arctan left ({ frac {t} {z}} right)} {e ^ {2 pi t} -1}} , { rm {d}} t .}$

Opakovaná integrace po částech dává

${ displaystyle ln gama (z) sim z ln z-z + { tfrac {1} {2}} ln { frac {2 pi} {z}} + součet _ {n = 1 } ^ {N-1} { frac {B_ {2n}} {2n (2n-1) z ^ {2n-1}}},}$

kde B_n je n-th Bernoulliho číslo (Všimněte si, že limit částky jako ${ displaystyle N až infty}$ není konvergentní, takže tento vzorec je pouze asymptotická expanze ). Vzorec platí pro z dostatečně velký v absolutní hodnotě, když |arg (z)| <π - ε, kde ε je kladný s chybovým termínem Ó(z^{−2N+ 1}). Nyní lze napsat odpovídající aproximaci:

${ displaystyle Gamma (z) = { sqrt { frac {2 pi} {z}}} , { left ({ frac {z} {e}} right)} ^ {z} left (1 + O left ({ frac {1} {z}} right) right).}$

kde expanze je identická s expanzí Stirlingovy řady výše pro n!, kromě toho, že n je nahrazeno z-1.^[8]

Další aplikace této asymptotické expanze je pro složité argumenty z s konstantou Re(z). Viz například Stirlingův vzorec použitý v Jsem (z) = t z Funkce Riemann – Siegel theta na přímce 1/4 + to.

Chybné hranice

Pro jakékoli kladné celé číslo N, je zavedena následující notace:

${ displaystyle ln gama (z) = z ln z-z + { tfrac {1} {2}} ln { frac {2 pi} {z}} + součet limity _ {n = 1} ^ {N-1} { frac {B_ {2n}} {2n doleva ({2n-1} doprava) z ^ {2n-1}}} + R_ {N} (z)}$

a

${ displaystyle Gamma (z) = { sqrt { frac {2 pi} {z}}} vlevo ({ frac {z} {e}} vpravo) ^ {z} vlevo ({ součet limity _ {n = 0} ^ {N-1} { frac {a_ {n}} {z ^ {n}}} + { widetilde {R}} _ {N} (z)} doprava ).}$

Pak ^[9][10]

${ displaystyle { begin {aligned} | R_ {N} (z) | & leq { frac {| B_ {2N} |} {2N (2N-1) | z | ^ {2N-1}}} { begin {cases} 1 & { text {if}} | arg z | leq { frac { pi} {4}}, | csc ( arg z) | & { text {pokud }} { frac { pi} {4}} <| arg z | <{ frac { pi} {2}}, sec ^ {2N} vlevo ({ tfrac { arg z } {2}} right) & { text {if}} | arg z | < pi, end {cases}} [6pt] left | { widetilde {R}} _ {N} (z) right | & leq left ({ frac { left | a_ {N} right |} {| z | ^ {N}}} + { frac { left | a_ {N + 1 } right |} {| z | ^ {N + 1}}} right) { begin {cases} 1 & { text {if}} | arg z | leq { frac { pi} {4 }}, | csc ( arg z) | & { text {if}} { frac { pi} {4}} <| arg z | <{ frac { pi} {2} }. end {cases}} end {aligned}}}$

Další informace a další hranice chyb naleznete v citovaných dokumentech.

Konvergentní verze Stirlingova vzorce

Thomas Bayes ukázal v dopise John Canton publikoval královská společnost v roce 1763 tento Stirlingův vzorec nedal a konvergentní série.^[11] Získání konvergentní verze Stirlingova vzorce vyžaduje hodnocení Raabeho vzorec:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {2 arctan left ({ frac {t} {x}} right)} {e ^ {2 pi t} -1} } , { rm {d}} t = ln Gamma (x) -x ln x + x - { tfrac {1} {2}} ln { frac {2 pi} {x} }.}$

Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je konvergentní řada obrácených rostoucí exponenciály. Li

${ displaystyle z ^ { bar {n}} = z (z + 1) cdots (z + n-1),}$

pak

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {2 arctan left ({ frac {t} {x}} right)} {e ^ {2 pi t} -1} } , { rm {d}} t = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {c_ {n}} {(x + 1) ^ { bar {n}}}} ,}$

kde

${ displaystyle c_ {n} = { frac {1} {n}} int _ {0} ^ {1} x ^ { bar {n}} vlevo (x - { tfrac {1} {2 }} right) , { rm {d}} x = { frac {1} {2n}} sum _ {k = 1} ^ {n} { frac {k | s (n, k) |} {(k + 1) (k + 2)}},}$

kde s(n, k) označuje Stirlingova čísla prvního druhu. Z toho získá verzi Stirlingovy série

${ displaystyle { begin {zarovnáno} ln Gamma (x) & = x ln x-x + { tfrac {1} {2}} ln { frac {2 pi} {x}} + { frac {1} {12 (x + 1)}} + { frac {1} {12 (x + 1) (x + 2)}} + & quad + { frac {59} {360 (x + 1) (x + 2) (x + 3)}} + { frac {29} {60 (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4)}} + cdots, end {zarovnáno}}}$

který konverguje, když Re(X) > 0.

Verze vhodné pro kalkulačky

Aproximace

${ displaystyle Gamma (z) přibližně { sqrt { frac {2 pi} {z}}} vlevo ({ frac {z} {e}} { sqrt {z sinh { frac { 1} {z}} + { frac {1} {810z ^ {6}}}}} vpravo) ^ {z}}$

a jeho ekvivalentní forma

${ Displaystyle 2 ln gama (z) přibližně ln (2 pi) - ln z + z vlevo (2 ln z + ln vlevo (z sinh { frac {1} {z} } + { frac {1} {810z ^ {6}}} vpravo) -2 vpravo)}$

lze získat přeuspořádáním Stirlingova rozšířeného vzorce a pozorováním shody mezi výslednou výkonovou řadou a Taylor série rozšíření hyperbolický sinus funkce. Tato aproximace je dobrá na více než 8 desetinných míst z se skutečnou částí větší než 8. Robert H. Windschitl to v roce 2002 navrhl pro výpočet funkce gama se spravedlivou přesností na kalkulačkách s omezenou pamětí programu nebo registru.^[12]

Gergő Nemes v roce 2007 navrhl aproximaci, která dává stejný počet přesných číslic jako Windschitlova aproximace, ale je mnohem jednodušší:^[13]

${ displaystyle Gamma (z) přibližně { sqrt { frac {2 pi} {z}}} vlevo ({ frac {1} {e}} vlevo (z + { frac {1} { 12z - { frac {1} {10z}}}} vpravo) vpravo) ^ {z},}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle ln gama (z) přibližně { tfrac {1} {2}} doleva ( ln (2 pi) - ln z doprava) + z doleva ( ln doleva (z + { frac {1} {12z - { frac {1} {10z}}}} right) -1 right).}$

Alternativní aproximace funkce gama uvedená v Srinivasa Ramanujan (Ramanujan 1988^{[je zapotřebí objasnění ]}) je

${ displaystyle Gamma (1 + x) přibližně { sqrt { pi}} vlevo ({ frac {x} {e}} vpravo) ^ {x} vlevo (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + { frac {1} {30}} vpravo) ^ { frac {1} {6}}}$

pro X ≥ 0. Ekvivalentní aproximace pro ln n! má asymptotickou chybu 1/1400n³ a je dán

${ displaystyle ln n! cca n ln n-n + { tfrac {1} {6}} ln (8n ^ {3} + 4n ^ {2} + n + { tfrac {1} {30} }) + { tfrac {1} {2}} ln pi.}$

Aproximaci lze zpřesnit zadáním spárovaných horních a dolních mezí; jedna taková nerovnost je^{[14][15][16][17]}

${ displaystyle { sqrt { pi}} vlevo ({ frac {x} {e}} vpravo) ^ {x} vlevo (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + { frac {1} {100}} right) ^ {1/6} < Gamma (1 + x) <{ sqrt { pi}} left ({ frac {x} {e}} right) ^ {x} left (8x ^ {3} + 4x ^ {2} + x + { frac {1} {30}} right) ^ {1/6}.}$

Odhad centrálního efektu v binomické distribuci

V počítačové vědě, zejména v kontextu randomizované algoritmy, je běžné generovat náhodné bitové vektory, které mají mocninu délky dva. Mnoho algoritmů produkujících a konzumujících tyto bitové vektory je citlivých na počet obyvatel generovaných bitových vektorů nebo Vzdálenost na Manhattanu mezi dvěma takovými vektory. Obzvláště zajímavá je často hustota „spravedlivých“ vektorů, kde se počítá populace n-bitový vektor je přesně ${ displaystyle n / 2}$. To se rovná pravděpodobnosti, že iterace Hod mincí během mnoha pokusů vede ke hře nerozhodných výsledků.

Stirlingova aproximace na ${ displaystyle {n vyberte n / 2}}$, centrální a maximální binomický koeficient z binomická distribuce, obzvláště pěkně zjednodušuje kde ${ displaystyle n}$ má podobu ${ displaystyle 4 ^ {k}}$, pro celé číslo ${ displaystyle k}$. Zde nás zajímá, jak je hustota centrálního počtu obyvatel snížena ve srovnání s ${ displaystyle 2 ^ {n}}$, odvozující poslední formu v decibel útlum:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} log _ {2} {n zvolit n / 2} -n & = - k - { frac { log _ {2} ( pi) -1} {2}} + O ( log _ {2} n) & přibližně -k-0,3257481 & přibližně -k - { frac {1} {3}} & přibližně mathbf {3k + 1} ~~ dB ~ (útlum) end {zarovnáno}}}$

Tato jednoduchá aproximace vykazuje překvapivou přesnost:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 10 log _ {10} (2 ^ {- 1024} {1024 vyberte 512}) & cca -16.033159 ~~~ { begin {cases} k & = 5 n = 4 ^ {k} & = 1024 3k + 1 & = mathbf {16} end {cases}} 10 log _ {10} (2 ^ {- 1048576} {1048576 vyberte 524288} ) & cca -31.083600 ~~~ { begin {cases} k & = 10 n = 4 ^ {k} & = 1048576 3k + 1 & = mathbf {31} end {cases}} konec {zarovnáno}}}$

Binární snížení se získá z dB při dělení o ${ Displaystyle 10 log (2) / log (10) přibližně 3,0103 přibližně 3}$.

Jako přímý částečný odhad:

${ displaystyle { begin {aligned} {n zvolit n / 2} / 2 ^ {n} & = 2 ^ {{ frac {1- log _ {2} ( pi)} {2}} - k} + O (n) & přibližně { sqrt { frac {2} { pi}}} ~ 2 ^ {- k} & přibližně 0,7978846 ~ 2 ^ {- k} & cca mathbf {{ frac {4} {5}} 2 ^ {- k}} konec {zarovnáno}}}$

Oba příklady opět vykazují přesnost a snadno překonávají 1%:

${ displaystyle { begin {aligned} {256 vybrat 128} 2 ^ {- 256} & cca 20.072619 ^ {- 1} ~~~ { begin {cases} k & = 4 n = 4 ^ {k } & = 256 { frac {4} {5}} krát { frac {1} {2 ^ {4}}} & = mathbf {20} ^ {- 1} konec {případů }} {1048576 vyberte 524288} 2 ^ {- 1048576} & přibližně 1283,3940 ^ {- 1} ~~~ { begin {cases} k & = 10 n = 4 ^ {k} & = 1048576 { frac {4} {5}} times { frac {1} {2 ^ {10}}} & = mathbf {1280} ^ {- 1} end {cases}} end {zarovnáno} }}$

Interpretace při iterovaném losování má relace, která zahrnuje něco málo přes milion výhozů mincí (binární milion), jednu šanci na zhruba 1300 ukončení remízy.

Obě tyto aproximace (jedna v logickém prostoru, druhá v lineárním prostoru) jsou dostatečně jednoduché na to, aby mnoho vývojářů softwaru získalo odhad mentálně, s výjimečnou přesností podle standardů mentálních odhadů.

Binomické rozdělení se velmi blíží normální distribuce pro velké ${ displaystyle n}$, takže tyto odhady založené na Stirlingově aproximaci se také týkají vrcholové hodnoty funkce pravděpodobnostní hmotnosti pro velké ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle p = 0,5}$, jak je uvedeno pro následující distribuci: ${ displaystyle { mathcal {N}} (np, , np (1-p))}$.

Dějiny

Vzorec poprvé objevil Abraham de Moivre^[2] ve formě

${ displaystyle n! sim [{ rm {Constant}}] cdot n ^ {n + { frac {1} {2}}} e ^ {- n}.}$

De Moivre dal přibližný výraz racionálního čísla pro přirozený logaritmus konstanty. Stirlingův příspěvek spočíval v prokázání, že konstanta je přesná ${ displaystyle { sqrt {2 pi}}}$.^[3]

Viz také

• Lanczosova aproximace
• Spougeova aproximace

Poznámky

Reference

• Olver, F. W. J .; Olde Daalhuis, A. B .; Lozier, D. W .; Schneider, B. I .; Boisvert, R. F .; Clark, C. W .; Miller, B. R. & Saunders, B. V., NIST Digitální knihovna matematických funkcí, Vydání 1.0.13 z 2016-09-16
• Abramowitz, M. & Stegun, I. (2002), Příručka matematických funkcí
• Nemes, G. (2010), „Nová asymptotická expanze pro funkci gama“, Archiv der Mathematik, 95 (2): 161–169, doi:10.1007 / s00013-010-0146-9
• Paris, R. B. & Kaminski, D. (2001), Asymptotika a integrály Mellin-Barnes, New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-79001-7
• Whittaker, E. T. & Watson, G. N. (1996), Kurz moderní analýzy (4. vydání), New York: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-58807-2
• Dan Romik, Stirlingova aproximace pro n !: The Ultimate Short Proof?„The American Mathematical Monthly, sv. 107, č. 6 (červen - červenec, 2000), 556–557.
• Y.-C. Li, Poznámka k identitě funkce gama a Stirlingova vzorceReal Real Exchang, sv. 32 (1), 2006/2007, s. 267–272.

externí odkazy

• „Stirling_formula“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Peter Luschny, Aproximační vzorce pro faktoriální funkci n!
• Weisstein, Eric W. „Stirlingova aproximace“. MathWorld.
• Stirlingova aproximace na PlanetMath.