Aritmeticko – geometrická posloupnost - Arithmetico–geometric sequence

v matematika, an aritmeticko – geometrická posloupnost je výsledkem násobení jednotlivých členů a geometrický průběh s odpovídajícími podmínkami aritmetický postup. Jednoduše řečeno nth termín aritmeticko-geometrické sekvence je produktem nčtvrtý termín aritmetické posloupnosti a nth termín geometrické jeden. Aritmeticko-geometrické sekvence vznikají v různých aplikacích, jako je výpočet očekávané hodnoty v teorie pravděpodobnosti. Například sekvence

${ displaystyle { dfrac { color {blue} {0}} { color {green} {1}}}, { dfrac { color {blue} {1}} { color {green} {2 }}}, { dfrac { color {blue} {2}} { color {green} {4}}}, { dfrac { color {blue} {3}} { color {green} {8}}}, { dfrac { color {blue} {4}} { color {green} {16}}}, { dfrac { color {blue} {5}} { color { zelená} {32}}}, cdots}$

je aritmeticko – geometrická posloupnost. Aritmetická složka se objeví v čitateli (modře) a geometrická ve jmenovateli (zeleně).

Součet této nekonečné posloupnosti je znám jako a aritmeticko – geometrická řadaa jeho nejzákladnější forma byla nazývána Gabrielovo schodiště:^[1][2][3]

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} { color {blue} k} { color {green} r ^ {k}} = { frac {r} {(1-r) ^ {2}}}, quad mathrm {pro } 0$

Název lze také použít na různé objekty představující charakteristiky aritmetických i geometrických posloupností; například francouzská představa aritmeticko – geometrická posloupnost "Sekvence" označuje sekvence formy ${ displaystyle u_ {n + 1} = au_ {n} + b}$, které zobecňují aritmetické i geometrické posloupnosti. Takové sekvence jsou zvláštním případem lineární diferenční rovnice.

Podmínky posloupnosti

Prvních pár výrazů aritmeticko – geometrické sekvence složené z aritmetický postup (modře) s rozdílem ${ displaystyle d}$ a počáteční hodnota ${ displaystyle a}$ a a geometrický průběh (zeleně) s počáteční hodnotou ${ displaystyle b}$ a společný poměr ${ displaystyle r}$jsou dány:^[4]

${ displaystyle { begin {aligned} t_ {1} & = color {blue} a color {green} b t_ {2} & = color {blue} (a ​​+ d) color {green} br t_ {3} & = color {blue} (a ​​+ 2d) color {green} br ^ {2} & , vdots t_ {n} & = color {blue} [a + (n-1) d] color {zelená} br ^ {n-1} end {zarovnáno}}}$

Příklad

Například sekvence

${ displaystyle { dfrac { color {blue} {0}} { color {green} {1}}}, { dfrac { color {blue} {1}} { color {green} {2 }}}, { dfrac { color {blue} {2}} { color {green} {4}}}, { dfrac { color {blue} {3}} { color {green} {8}}}, { dfrac { color {blue} {4}} { color {green} {16}}}, { dfrac { color {blue} {5}} { color { zelená} {32}}}, cdots}$

je definováno ${ displaystyle d = b = 1}$, ${ displaystyle a = 0}$, a ${ displaystyle r = { frac {1} {2}}}$.

Součet podmínek

Součet prvního n termíny aritmeticko – geometrické posloupnosti mají formu

${ displaystyle { begin {aligned} S_ {n} & = sum _ {k = 1} ^ {n} t_ {k} = sum _ {k = 1} ^ {n} left [a + (k -1) d right] br ^ {k-1} & = ab + [a + d] br + [a + 2d] br ^ {2} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n-1} & = A_ {1} G_ {1} + A_ {2} G_ {2} + A_ {3} G_ {3} + cdots + A_ {n} G_ {n}, end {zarovnaný}}}$

kde ${ displaystyle A_ {i}}$ a ${ displaystyle G_ {i}}$ jsou ith členy aritmetické a geometrické posloupnosti.

Tato částka má uzavřený výraz

${ displaystyle { begin {aligned} S_ {n} & = { frac {ab- (a + nd) , br ^ {n}} {1-r}} + { frac {dbr , (1 -r ^ {n})} {(1-r) ^ {2}}} & = { frac {A_ {1} G_ {1} -A_ {n + 1} G_ {n + 1}} {1-r}} + { frac {dr} {(1-r) ^ {2}}} , (G_ {1} -G_ {n + 1}). End {zarovnáno}}}$

Důkaz

Násobení,^[4]

${ displaystyle S_ {n} = ab + [a + d] br + [a + 2d] br ^ {2} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n-1}}$

podle r, dává

${ displaystyle rS_ {n} = abr + [a + d] br ^ {2} + [a + 2d] br ^ {3} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n}.}$

Odečítání rS_n z S_na pomocí techniky teleskopická řada dává

${ displaystyle { begin {aligned} (1-r) S_ {n} = {} & left [ab + (a + d) br + (a + 2d) br ^ {2} + cdots + [a + (n -1) d] br ^ {n-1} right] [5pt] & {} - left [abr + (a + d) br ^ {2} + (a + 2d) br ^ {3} + cdots + [a + (n-1) d] br ^ {n} vpravo] [5pt] = {} & ab + db vlevo (r + r ^ {2} + cdots + r ^ {n- 1} right) - left [a + (n-1) d right] br ^ {n} [5pt] = {} & ab + db left (r + r ^ {2} + cdots + r ^ {n-1} + r ^ {n} right) - left (a + nd right) br ^ {n} [5pt] = {} & ab + dbr left (1 + r + r ^ {2} + cdots + r ^ {n-1} right) - left (a + nd right) br ^ {n} [5pt] = {} & ab + { frac {dbr (1-r ^ {n})} {1-r}} - (a + nd) br ^ {n}, end {zarovnáno}}}$

kde poslední výsledky rovnosti výrazu pro součet geometrické řady. Nakonec dělení 1 − r dává výsledek.

Nekonečná série

Pokud −1 < r <1, pak součet S aritmeticko – geometrické série, to znamená, že součet všech nekonečně mnoha pojmů postupu je dán vztahem^[4]

${ displaystyle { begin {aligned} S & = sum _ {k = 1} ^ { infty} t_ {k} = lim _ {n to infty} S_ {n} & = { frac {ab} {1-r}} + { frac {dbr} {(1-r) ^ {2}}} & = { frac {A_ {1} G_ {1}} {1-r} } + { frac {dG_ {1} r} {(1-r) ^ {2}}}. end {zarovnáno}}}$

Li r je mimo výše uvedený rozsah, buď série

• rozchází se (když r > 1, nebo kdy r = 1, kde je řada aritmetická a A a d nejsou oba nula; pokud obojí A a d jsou v pozdějším případě nulové, všechny členy řady jsou nulové a řada je konstantní)
• nebo střídá (když r ≤ −1).

Příklad: aplikace na očekávané hodnoty

Například součet

${ displaystyle S = { dfrac { color {blue} {0}} { color {green} {1}}} + { dfrac { color {blue} {1}} { color {green} { 2}}} + { dfrac { color {blue} {2}} { color {green} {4}}} + { dfrac { color {blue} {3}} { color {green} { 8}}} + { dfrac { color {blue} {4}} { color {green} {16}}} + { dfrac { color {blue} {5}} { color {green} { 32}}} + cdots}$,

je součet aritmeticko-geometrické řady definované ${ displaystyle d = b = 1}$, ${ displaystyle a = 0}$, a ${ displaystyle r = { frac {1} {2}}}$, konverguje k ${ displaystyle S = 2}$.

Tato posloupnost odpovídá očekávanému počtu hody mincí před získáním „ocasu“. Pravděpodobnost ${ displaystyle T_ {k}}$ získání ocasů poprvé na ktoto losování je následující:

${ displaystyle T_ {1} = { frac {1} {2}}, T_ {2} = { frac {1} {4}}, dots, T_ {k} = { frac {1} {2 ^ {k}}}}$.

Očekávaný počet losování je tedy dán vztahem

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} kT_ {k} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { color {modrá} k} { barva {zelená } 2 ^ {k}}} = S = 2}$ .

Reference

Další čtení

• D. Khattar. Pearsonův průvodce matematikou pro IIT-JEE, 2 / e (nové vydání). Pearson Education India. str. 10.8. ISBN  81-317-2876-5.
• P. Gupta. Komplexní matematika XI. Publikace Laxmi. str. 380. ISBN  81-7008-597-7.