Aditivní inverzní - Additive inverse
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Leden 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
V matematice je aditivní inverzní a číslo A je číslo, které, když přidané na A, výnosy nula Toto číslo je známé také jako naproti (číslo),[1] podepsat změnu,[2] a negace.[3] Pro reálné číslo, obrátí to podepsat: opak k a kladné číslo je záporný a opak a záporné číslo je pozitivní. Nula je aditivní inverzní sám o sobě.
Aditivní inverzní funkce k A je označen unární mínus: −A (viz také § Vztah k odčítání níže).[4][5] Například inverzní součet 7 je −7, protože 7 + (−7) = 0, a aditivní inverzní −0,3 je 0,3, protože −0,3 + 0,3 = 0.
Podobně aditivní inverzní z A - b je -(A - b), které lze zjednodušit na b - A. je Aditivní inverzní hodnota 2X - 3 je 3 - 2x, protože 2X - 3 + 3 - 2x = 0.[6]
Aditivní inverze je definována jako jeho inverzní prvek pod binární operace přidání (viz také § Formální definice níže), což umožňuje široký zobecnění na jiné matematické objekty než čísla. Pokud jde o jakoukoli inverzní operaci, dvojnásobek aditivní inverzní má žádný čistý efekt: −(−X) = X.

Běžné příklady
Pro číslo (a obecněji v libovolném) prsten ), aditivní inverzní lze vypočítat pomocí násobení podle −1; to je −n = −1 × n . Příklady prstenů čísel jsou celá čísla, racionální čísla, reálná čísla, a komplexní čísla.
Vztah k odčítání
Aditivní inverze úzce souvisí s odčítání, což lze považovat za doplněk opaku:
- A − b = A + (−b).
Naopak aditivní inverzi lze považovat za odčítání od nuly:
- −A = 0 − A.
Unární zápis mínusového znaménka lze tedy považovat za zkratku pro odčítání (se vynecháním symbolu „0“), i když ve správném typografie , neměla by být žádná prostor po unární "-".
Další vlastnosti
Kromě výše uvedených identit má negace následující algebraické vlastnosti:
- −(−A) = A, to je Operace involuce
- −(A + b) = (−A) + (−b)
- −(A - b) = b − A
- A − (−b) = A + b
- (−A) × b = A × (−b) = −(A × b)
- (−A) × (−b) = A × b
- zejména, (−A)2 = A2
Formální definice
Zápis + je obvykle vyhrazeno pro komutativní binární operace (operace kde X + y = y + X pro všechny X, y). Pokud taková operace připouští prvek identity Ó (takový, že X + Ó ( = Ó + X ) = X pro všechny X), pak je tento prvek jedinečný (Ó' = Ó' + Ó = Ó ). Za dané X , pokud existuje X' takhle X + X' ( = X' + X ) = Ó , pak X' se nazývá aditivní inverzní funkce k X.
Pokud je + asociativní (( X + y ) + z = X + ( y + z ) pro všechny X, y, z), pak je aditivní inverze jedinečná. Chcete-li to vidět, nechte X' a X" každý je aditivní inverzí X; pak
- X' = X' + Ó = X' + (X + X") = (X' + X) + X" = Ó + X" = X".
Například protože přidávání reálných čísel je asociativní, každé reálné číslo má jedinečnou inverzní aditivum.
Další příklady
Všechny následující příklady jsou ve skutečnosti abelianské skupiny:
- Složitá čísla: −(A + bi) = (−A) + (−b)i. Na složité letadlo, tato operace otáčí se komplexní číslo 180 stupňů okolo původ (viz obrázek výše ).
- Přidání funkcí se skutečnou a komplexní hodnotou: zde aditivní inverzní funkce F je funkce -F definován (−F )(X) = − F (X) , pro všechny X, takový, že F + (−F ) = Ó , nulová funkce (Ó(X) = 0 pro všechny X ).
- Obecněji platí, co předchází, platí pro všechny funkce s hodnotami v abelianské skupině („nula“, což znamená prvek identity této skupiny):
- Sekvence, matice a sítě jsou také speciální druhy funkcí.
- V vektorový prostor, aditivní inverzní −proti se často nazývá opačný vektor proti; má to stejné velikost jako původní a opačný směr. Aditivní inverze odpovídá skalární násobení o -1. Pro Euklidovský prostor, to je bodový odraz v původu. Vektory v přesně opačných směrech (vynásobené zápornými čísly) jsou někdy označovány jako antiparalelní.
- vektorový prostor -hodnotové funkce (nemusí být nutně lineární),
- v modulární aritmetika, modulární aditivní inverzní z X je také definováno: je to číslo A takhle A + X ≡ 0 (mod n). Tato aditivní inverze vždy existuje. Například inverze 3 modulo 11 je 8, protože to je řešení 3 + X ≡ 0 (mod 11).
Non-příklady
Přirozená čísla, základní čísla a řadové číslovky nemají v rámci svých příslušných aditivní inverze sady. Dá se tedy například říci, že přirozená čísla dělat mít aditivní inverze, ale protože tyto aditivní inverze samy o sobě nejsou přirozenými čísly, sada přirozených čísel není Zavřeno při přijímání aditivních inverzí.
Viz také
- −1
- Absolutní hodnota (souvisí prostřednictvím identity | −X | = | X | ).
- Aditivní identita
- Inverzní funkce
- Involuce (matematika)
- Multiplikativní inverzní
- Reflexní symetrie
Poznámky a odkazy
- ^ Tussy, Alan; Gustafson, R. (2012), Elementární algebra (5. vydání), Cengage Learning, str. 40, ISBN 9781133710790.
- ^ Brase, Corrinne Pellillo; Brase, Charles Henry (1976). Základní algebra pro studenty vysokých škol. Houghton Mifflin. str. 54. ISBN 978-0-395-20656-0.
... abychom vzali aditivní inverzní hodnotu prvku, změnili jsme znaménko čísla.
- ^ Termín "negace "nese odkaz na záporná čísla, což může být zavádějící, protože aditivní inverze záporného čísla je pozitivní.
- ^ „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-27.
- ^ Weisstein, Eric W. „Aditivní inverze“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-27.
- ^ „Aditivní inverze“. www.learnalberta.ca. Citováno 2020-08-27.