Konvergentní série - Convergent series - Wikipedia

v matematika, a série je součet podmínek nekonečná posloupnost čísel. Přesněji řečeno, nekonečná sekvence ${ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, ldots)}$ definuje a série S to je označeno

${ displaystyle S = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + cdots = suma _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k}.}$

The nth částečný součet S_n je součet prvního n podmínky sekvence; to je

${ displaystyle S_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k}.}$

Série je konvergentní (nebo konverguje) pokud je sekvence ${ displaystyle (S_ {1}, S_ {2}, S_ {3}, tečky)}$ jeho dílčích součtů má sklon k a omezit; to znamená, že při přidání jednoho ${ displaystyle a_ {k}}$ po druhém v pořadí daném indexy, získá se částečné součty, které se blíží a blíží danému číslu. Přesněji řečeno, řada konverguje, pokud existuje číslo ${ displaystyle ell}$ tak, že pro každé svévolně malé kladné číslo ${ displaystyle varepsilon}$, existuje (dostatečně velký) celé číslo ${ displaystyle N}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n geq N}$,

${ displaystyle left | S_ {n} - ell right | < varepsilon.}$

Pokud je řada konvergentní, (nutně jedinečné) číslo ${ displaystyle ell}$ se nazývá součet série.

Stejná notace

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} a_ {k}}$

se používá pro řadu, a pokud je konvergentní, pro její součet. Tato konvence je podobná té, která se používá pro přidání: A + b označuje operace přidávání A a b stejně jako výsledek tohoto přidání, kterému se říká součet z A a b.

Říká se, že každá řada, která není konvergentní odlišný nebo se rozcházet.

Příklady konvergentních a divergentních řad

• Vzájemné vztahy kladná celá čísla vyrobit a divergentní série (harmonická řada ):

  ${ displaystyle {1 nad 1} + {1 nad 2} + {1 nad 3} + {1 nad 4} + {1 nad 5} + {1 nad 6} + cdots rightarrow infty.}$

• Střídáním znaků převrácených čísel celých čísel vznikne konvergentní řada (střídavé harmonické řady ):

  ${ displaystyle {1 nad 1} - {1 nad 2} + {1 nad 3} - {1 nad 4} + {1 nad 5} - cdots = ln (2)}$

• Vzájemné vztahy prvočísla vyrobit a divergentní série (takže množina prvočísel je „velký "; viz divergence součtu převrácených hodnot prvočísel ):

  ${ displaystyle {1 nad 2} + {1 nad 3} + {1 nad 5} + {1 nad 7} + {1 nad 11} + {1 nad 13} + cdots rightarrow infty.}$

• Vzájemné vztahy trojúhelníková čísla vytvořit konvergentní řadu:

  ${ displaystyle {1 nad 1} + {1 nad 3} + {1 nad 6} + {1 nad 10} + {1 nad 15} + {1 nad 21} + cdots = 2. }$

• Vzájemné vztahy faktoriály vytvořit konvergentní řadu (viz E ):

  ${ displaystyle { frac {1} {1}} + { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {24}} + { frac {1} {120}} + cdots = e.}$

• Vzájemné vztahy čtvercová čísla vytvořit konvergentní řadu ( Basilejský problém ):

  ${ displaystyle {1 nad 1} + {1 nad 4} + {1 nad 9} + {1 nad 16} + {1 nad 25} + {1 nad 36} + cdots = { pi ^ {2} přes 6}.}$

• Vzájemné vztahy pravomoci 2 vytvoří konvergentní řadu (takže množina mocnin 2 je „malý "):

  ${ displaystyle {1 nad 1} + {1 nad 2} + {1 nad 4} + {1 nad 8} + {1 nad 16} + {1 nad 32} + cdots = 2. }$

• Vzájemné vztahy mocniny libovolného n> 1 vytvořit konvergentní řadu:

  ${ displaystyle {1 nad 1} + {1 nad n} + {1 nad n ^ {2}} + {1 nad n ^ {3}} + {1 nad n ^ {4}} + {1 over n ^ {5}} + cdots = {n over n-1}.}$

• Střídání znaků vzájemnosti pravomoci 2 také vytváří konvergentní řadu:

  ${ displaystyle {1 nad 1} - {1 nad 2} + {1 nad 4} - {1 nad 8} + {1 nad 16} - {1 nad 32} + cdots = {2 nad 3}.}$

• Střídáním znaků převrácených hodnot mocnin libovolné n> 1 vzniká konvergentní řada:

  ${ displaystyle {1 nad 1} - {1 nad n} + {1 nad n ^ {2}} - {1 nad n ^ {3}} + {1 nad n ^ {4}} - {1 over n ^ {5}} + cdots = {n over n + 1}.}$

• Vzájemné vztahy Fibonacciho čísla vytvořit konvergentní řadu (viz ψ ):

  ${ displaystyle { frac {1} {1}} + { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {5}} + { frac {1} {8}} + cdots = psi.}$

Konvergenční testy

Existuje řada metod určování, zda řada konverguje nebo rozchází se.

Pokud modrá série, ${ displaystyle Sigma b_ {n}}$, lze prokázat konvergenci, pak menší série, ${ displaystyle Sigma a_ {n}}$ musí konvergovat. Kontrapozicí, pokud je červená série ${ displaystyle Sigma a_ {n}}$ je tedy prokázáno, že se rozcházejí ${ displaystyle Sigma b_ {n}}$ musí se také rozcházet.

Srovnávací test. Podmínky posloupnosti ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ jsou porovnány s hodnotami jiné sekvence ${ displaystyle left {b_ {n} right }}$. Li,

pro všechny n, ${ displaystyle 0 leq a_ {n} leq b_ {n}}$, a ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$ konverguje, pak také ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$

Pokud však

pro všechny n, ${ displaystyle 0 leq b_ {n} leq a_ {n}}$, a ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$ rozchází se, pak také ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.}$

Poměrový test. Předpokládejme, že za všechny n, ${ displaystyle a_ {n}}$ není nula. Předpokládejme, že existuje ${ displaystyle r}$ takhle

${ displaystyle lim _ {n to infty} left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | = r.}$

Li r <1, pak je řada absolutně konvergentní. Li r > 1, pak se řada rozchází. Li r = 1, poměrový test je neprůkazný a řada se může sbíhat nebo rozcházet.

Kořenový test nebo nth kořenový test. Předpokládejme, že pojmy dané sekvence jsou nezáporné. Definovat r jak následuje:

${ displaystyle r = limsup _ {n rightarrow infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$

kde "lim sup" označuje limit lepší (možná ∞; pokud existuje limit, je to stejná hodnota).

Li r <1, pak řada konverguje. Li r > 1, pak se řada rozchází. Li r = 1, kořenový test je neprůkazný a řada se může sbíhat nebo rozcházet.

Poměrový test a kořenový test jsou založeny na srovnání s geometrickou řadou a jako takové fungují v podobných situacích. Ve skutečnosti, pokud test poměru funguje (což znamená, že limit existuje a není roven 1), pak funguje i kořenový test; obráceně však není pravda. Kořenový test je proto obecněji použitelný, ale z praktického hlediska je často obtížné vypočítat limit pro běžně viděné typy sérií.

Integrální test. Série může být porovnána s integrálem k vytvoření konvergence nebo divergence. Nechat ${ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ být pozitivní a monotónně klesající funkce. Li

${ displaystyle int _ {1} ^ { infty} f (x) , dx = lim _ {t až infty} int _ {1} ^ {t} f (x) , dx < infty,}$

pak řada konverguje. Pokud se však integrál rozchází, pak to dělá i řada.

Mezní srovnávací test. Li ${ displaystyle left {a_ {n} right }, left {b_ {n} right }> 0}$a limit ${ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {a_ {n}} {b_ {n}}}}$ existuje a není tedy nula ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ konverguje kdyby a jen kdyby ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} b_ {n}}$ konverguje.

Test střídavé řady. Také známý jako Leibnizovo kritérium, test střídavé řady uvádí, že pro střídavé řady formuláře ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} (- 1) ^ {n}}$, pokud ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ je monotónně klesající, a má limit 0 v nekonečnu, pak řada konverguje.

Cauchyova zkouška kondenzace. Li ${ displaystyle left {a_ {n} right }}$ je tedy pozitivní monotónně klesající sekvence${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ konverguje právě tehdy ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}}}$ konverguje.

Dirichletův test

Ábelova zkouška

Podmíněná a absolutní konvergence

Ilustrace absolutní konvergence výkonové řady Exp [z] přibližně 0 hodnoceno při z = Exp [ⁱ⁄₃]. Délka čáry je konečná.

Ilustrace podmíněné konvergence výkonové řady log (z+1) kolem 0 hodnoceno na z = exp ((π−¹⁄₃)i). Délka řádku je nekonečná.

Pro libovolnou sekvenci ${ displaystyle left {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, dots right }}$, ${ displaystyle a_ {n} leq vlevo | a_ {n} vpravo vert}$ pro všechny n. Proto,

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} leq sum _ {n = 1} ^ { infty} left | a_ {n} right vert.}$

To znamená, že pokud ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} left | a_ {n} right vert}$ tedy konverguje ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ také konverguje (ale ne naopak).

Pokud série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} vlevo | a_ {n} vpravo vert}$ konverguje, pak řada ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ je absolutně konvergentní. Absolutně konvergentní sekvence je ten, ve kterém je délka čáry vytvořené spojením všech přírůstků k částečnému součtu konečně dlouhá. Silová řada exponenciální funkce je naprosto konvergentní všude.

Pokud série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ konverguje, ale řada ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} vlevo | a_ {n} vpravo vert}$ diverguje, pak série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$ je podmíněně konvergentní. Cesta vytvořená spojením dílčích součtů podmíněně konvergentní řady je nekonečně dlouhá. Silová řada logaritmus je podmíněně konvergentní.

The Věta o Riemannově řadě uvádí, že pokud řada konverguje podmíněně, je možné uspořádat podmínky řady takovým způsobem, že řada konverguje na jakoukoli hodnotu nebo se dokonce rozchází.

Jednotná konvergence

Nechat ${ displaystyle left {f_ {1}, f_ {2}, f_ {3}, dots right }}$ být posloupností funkcí. Série ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} f_ {n}}$ se říká, že konverguje jednotně k Fpokud sekvence ${ displaystyle {s_ {n} }}$ dílčích částek definovaných

${ displaystyle s_ {n} (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} (x)}$

konverguje jednotně k F.

Existuje analogie srovnávacího testu pro nekonečnou řadu funkcí zvanou Weierstrassův M-test.

Cauchyovo konvergenční kritérium

The Cauchyovo konvergenční kritérium uvádí, že řada

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}}$

konverguje kdyby a jen kdyby posloupnost částečné částky je Cauchyova posloupnost To znamená, že pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0,}$ existuje kladné celé číslo ${ displaystyle N}$ takové, že pro všechny ${ displaystyle n geq m geq N}$ my máme

${ displaystyle left | sum _ {k = m} ^ {n} a_ {k} right | < varepsilon,}$

což odpovídá

${ displaystyle lim _ {n to infty na vrcholu m to infty} sum _ {k = n} ^ {n + m} a_ {k} = 0.}$

Viz také

• Normální konvergence
• Seznam matematické řady

externí odkazy

• "Série", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric (2005). Věta o Riemannově sérii. Citováno 16. května 2005.