Zlatá spirála - Golden spiral

v geometrie, a zlatá spirála je logaritmická spirála jehož růstový faktor je φ, Zlatý řez.[1] To znamená, že zlatá spirála se zvětší (nebo dále od svého původu) faktorem φ za každé čtvrté otočení.
Aproximace zlaté spirály

Existuje několik srovnatelných spirál, které přibližují zlatou spirálu, ale nejsou jí úplně stejné.[2]
Zlatou spirálu lze například přiblížit tak, že nejprve začneme obdélníkem, u kterého je poměr mezi její délkou a šířkou zlatý poměr. Tento obdélník lze poté rozdělit na čtverec a podobný obdélník a tento nejnovější obdélník lze poté rozdělit stejným způsobem. Po pokračování tohoto procesu u libovolného počtu kroků bude výsledkem téměř úplné rozdělení obdélníku na čtverce. Rohy těchto čtverců lze spojit čtvrtkruhy. Výsledek, i když nejde o pravou logaritmickou spirálu, se blíží zlaté spirále.[2]
Další aproximace je a Fibonacciho spirála, který je konstruován mírně odlišně. Fibonacciho spirála začíná obdélníkem rozděleným na 2 čtverce. V každém kroku se k obdélníku přidá čtverec o délce nejdelší strany obdélníku. Protože poměr mezi po sobě jdoucími Fibonacciho čísly se blíží k Zlatý řez jak se čísla Fibonacciho blíží k nekonečnu, tak i tato spirála se více podobá předchozí aproximaci, tím více čtverců je přidáno, jak ukazuje obrázek.
Spirály v přírodě
Přibližný logaritmické spirály se mohou vyskytovat v přírodě, například v ramenech spirální galaxie[3] - zlaté spirály jsou jedním zvláštním případem těchto logaritmických spirál, i když neexistují důkazy o tom, že by se nějaká obecná tendence k tomuto případu objevovala. Phylotaxis je spojen se zlatým řezem, protože zahrnuje po sobě jdoucí listy nebo lístky oddělené znakem zlatý úhel; má také za následek vznik spirál, i když ani jedna z nich není (nutně) zlatá spirála. Někdy se uvádí, že spirální galaxie a nautilus mušle se rozšiřují ve vzoru zlaté spirály, a proto souvisí s oběma φ a série Fibonacci.[4]Po pravdě řečeno, spirální galaxie a skořápky nautilu (a mnoho dalších) měkkýš skořápky) vykazují logaritmický růst spirály, ale v různých úhlech se obvykle výrazně liší od úhlu zlaté spirály.[5][6][7] Tento vzorec umožňuje organismu růst bez změny tvaru.[Citace je zapotřebí ]
Matematika

Zlatá spirála s počátečním poloměrem 1 je lokusem bodů polárních souřadnic uspokojující
The polární rovnice pro zlatou spirálu je to stejné jako pro ostatní logaritmické spirály, ale se speciální hodnotou růstového faktoru b:[8]
nebo
s E být základem přirozené logaritmy, A je počátečním poloměrem spirály a b tak, že když θ je pravý úhel (čtvrt otáčky v obou směrech):
Proto, b darováno

Číselná hodnota b záleží na tom, zda je pravý úhel měřen jako 90 stupňů nebo jako radiány; a protože úhel může být v obou směrech, je nejjednodušší napsat vzorec pro absolutní hodnotu (to znamená, b může být také záporem této hodnoty):
- pro θ ve stupních;
Alternativní vzorec pro logaritmickou a zlatou spirálu je:[9]
kde konstanta C darováno:
který pro zlatou spirálu dává C hodnoty:
-li θ se měří ve stupních a
-li θ se měří v radiánech.
S ohledem na logaritmické spirály má zlatá spirála rozlišovací vlastnost, že pro čtyři kolineární spirálové body A, B, C, D patřící k argumentům θ, θ + π, θ + 2π, θ + 3πbod C je projektivní harmonický konjugát B vzhledem k A, D, tj křížový poměr (A, D; B, C) má singulární hodnotu -1. Zlatá spirála je jediná logaritmická spirála s (A, D; B, C) = (A, D; C, B).
Polární sklon

V polární rovnice pro logaritmická spirála:
parametr b souvisí s úhlem polárního sklonu :
- .
Ve zlaté spirále konstantní a rovno (pro θ v radiánech, jak je definováno výše), úhel sklonu je:
- , proto:
- měřeno ve stupních nebo
Své doplňkový úhel
- (v radiánech) nebo
- (ve stupních)
je úhel, který tvoří zlatá spirální ramena s úsečkou od středu spirály.
Viz také

Reference
- ^ Chang, Yu-sung, "Zlatá spirála Archivováno 2019-07-28 na Wayback Machine ", Demonstrační projekt Wolfram.
- ^ A b Madden, Charles B. (2005) [1999]. Fib and Phi in Music: The Golden Proportion Musical Form. High Art Press. s. 14–16. ISBN 978-0967172767.
- ^ Midhat Gazale (1999). Gnomon: Od faraonů po fraktály. Princeton University Press. str. 3. ISBN 9780691005140.
- ^ Například tyto knihy: Jan C. A. Boeyens (2009). Chemie z prvních principů. Springer. str. 261. ISBN 9781402085451., P D Frey (2011). Hranice identity: Psychologický osobní průzkum. Xlibris Corporation. ISBN 9781465355850.[samostatně publikovaný zdroj ],Russell Howell a James Bradley (2011). Matematika očima víry. HarperCollins. str. 162. ISBN 978-0062024473., Charles Seife (2000). Nula: Biografie nebezpečného nápadu. Tučňák. str.40. ISBN 978-0140296471., Sandra Kynes (2008). Mořské kouzlo: Spojení s energií oceánu. Llewellyn po celém světě. str. 100. ISBN 9780738713533., Bruce Burger (1998). Esoterická anatomie: Tělo jako vědomí. North Atlantic Books. str. 144. ISBN 9781556432248.
- ^ David Darling (2004). Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons. str. 188. ISBN 9780471270478.
- ^ Devlin, Keith (květen 2007). „Mýtus, který nezmizí“.
- ^ Peterson, Ivars (01.04.2005). "Sea Shell Spirals". Vědecké zprávy. Společnost pro vědu a veřejnost.
- ^ Priya Hemenway (2005). Božský podíl: Φ Phi v umění, přírodě a vědě. Sterling Publishing Co. str. 127–129. ISBN 1-4027-3522-7.
- ^ Klaus Mainzer (1996). Symetrie přírody: Příručka pro filozofii přírody a vědy. Walter de Gruyter. 45, 199–200. ISBN 3-11-012990-6.