Bodový produkt - Pointwise product

v matematika, bodový produkt ze dvou funkce je další funkce získaná vynásobením obraz ze dvou funkcí při každé hodnotě v doména. Li F a G jsou obě funkce s doména X a codomain Ya prvky Y lze znásobit (například Y může být nějaký soubor čísel), pak bodový součin F a G je další funkce z X na Y které mapy X v X na F(X)G(X) v Y.

Formální definice

Nechat X a Y být takové soubory Y má pojem násobení - to znamená, že existuje binární operace

{displaystyle cdot: Y imes Ylongrightarrow Y}

dána

{displaystyle ycdot z = yz.}

Pak dostal dvě funkce F, G: X → Y, bodový produkt (F ⋅ G) : X → Y je definováno

{displaystyle (fcdot g) (x) = f (x) cdot g (x)}

pro všechny X v X. Stejně jako často vynecháváme symbol pro binární operaci ⋅ (tj. Píšeme yz namísto y ⋅ z), často píšeme fg pro F ⋅ G.

Příklady

Nejběžnějším případem bodového součinu dvou funkcí je situace, kdy je codomain a prsten (nebo pole ), ve kterém je multiplikace dobře definována.

Li Y je sada reálná čísla R, pak bodový součin F, G : X → R je normální rozmnožení obrázků. Například pokud máme F(X) = 2X a G(X) = X + 1 pak
${displaystyle (fg) (x) = f (x) g (x) = 2x (x + 1) = 2x ^ {2} + 2x,}$
pro každého X v R.
The konvoluční věta uvádí, že Fourierova transformace a konvoluce je bodový produkt Fourierových transformací:
${displaystyle {mathcal {F}} {f * g} = {mathcal {F}} {f} cdot {mathcal {F}} {g}.}$

Algebraická aplikace bodových produktů

Nechat X být set a nechat R být prsten. Od té doby přidání a násobení jsou definovány v R, můžeme zkonstruovat algebraickou strukturu známou jako algebra z funkcí od X na R definováním sčítání, násobení a skalárního násobení funkcí, které mají být provedeny bodově.

Li R^X označuje sadu funkcí z X na R, pak říkáme, že pokud F, G jsou prvky R^X, pak F + G, fg, a rf - poslední z nich je definován

{displaystyle (rf) (x) = rf (x),}

pro všechny r v R - jsou všechny prvky R^X.

Zobecnění

Pokud obojí F a G mít jako svou doménu všechna možná přiřazení sady diskrétních proměnných, pak je jejich bodovým součinem funkce, jejíž doména je konstruována všemi možnými přiřazeními svaz obou sad. Hodnota každého přiřazení se vypočítá jako součin hodnot obou funkcí daných každé z podmnožiny přiřazení, která je v její doméně.

Například vzhledem k funkci F₁() booleovských proměnných p a q, a F₂() booleovských proměnných q a r, oba s rozsah v R, bodový produkt F₁() a F₂() je uveden v následující tabulce:

p	q	r	${displaystyle f_ {1} (p, q)}$	${displaystyle f_ {2} (q, r)}$	Bodový produkt
T	T	T	0.1	0.2	0.1 × 0.2
T	T	F	0.1	0.4	0.1 × 0.4
T	F	T	0.3	0.6	0.3 × 0.6
T	F	F	0.3	0.8	0.3 × 0.8
F	T	T	0.5	0.2	0.5 × 0.2
F	T	F	0.5	0.4	0.5 × 0.4
F	F	T	0.7	0.6	0.7 × 0.6
F	F	F	0.7	0.8	0.7 × 0.8

Viz také

Bodově