Logaritmus - Logarithm


Aritmetické operace | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
v matematika, logaritmus je inverzní funkce na umocňování. To znamená logaritmus daného číslaX je exponent na které je další pevné číslo, základna b, musí být zvýšeno, aby bylo toto číslo vyrobenoX. V nejjednodušším případě logaritmus spočítá počet výskytů stejného faktoru při opakovaném násobení; např. od 1000 = 10 × 10 × 10 = 103„základ logaritmu 10„z 1000 je 3nebo log10(1000) = 3. Logaritmus X na základna b je označen jako logb(X), nebo bez závorek, logb X, nebo dokonce bez výslovného základu, logX, když není možná záměna, nebo když na základně nezáleží jako např velká O notace.
Obecněji umocňování umožňuje jakékoli kladné reálné číslo jako základ, který má být zvýšen na jakoukoli skutečnou moc, vždy s pozitivním výsledkem, takže logb(X) pro libovolná dvě kladná reálná číslab aX, kdeb se nerovná1, je vždy jedinečné reálné čísloy. Přesněji řečeno, definující vztah mezi umocněním a logaritmem je:
- přesně pokud a a a .
Například, log2 64 = 6, tak jako 26 = 64.
Základ logaritmu 10 (to je b = 10) se nazývá společný logaritmus a běžně se používá ve vědě a strojírenství. The přirozený logaritmus má číslo E (to je b ≈ 2.718) jako jeho základna; jeho použití je rozšířené v matematice a fyzika, protože jeho jednodušší integrální a derivát. The binární logaritmus používá základnu 2 (to je b = 2) a běžně se používá v počítačová věda. Logaritmy jsou příklady konkávní funkce.[1]
Logaritmy představil John Napier v roce 1614 jako prostředek ke zjednodušení výpočtů.[2] Rychle si je osvojili navigátoři, vědci, inženýři, geodeti a další, aby mohli snáze provádět vysoce přesné výpočty. Použitím logaritmické tabulky, zdlouhavé víceciferné kroky násobení lze nahradit vyhledáním tabulky a jednodušším sčítáním. To je možné kvůli skutečnosti - samo o sobě důležité - že logaritmus a produkt je součet logaritmů faktorů:
pokud b, X a y jsou pozitivní a b ≠ 1. The posuvné pravidlo, také na základě logaritmů, umožňuje rychlé výpočty bez tabulek, ale s nižší přesností. Dnešní pojem logaritmů pochází z Leonhard Euler, který je spojil s exponenciální funkce v 18. století a kdo také uvedl dopis E jako základ přirozených logaritmů.[3]
Logaritmické stupnice omezit rozsáhlá množství na malé obory. Například decibel (dB) je a jednotka používá se k vyjádření poměr jako logaritmy, většinou pro sílu signálu a amplitudu (z toho akustický tlak je běžným příkladem). V chemii pH je logaritmické měřítko pro kyselost z vodný roztok. Logaritmy jsou ve vědecké práci běžné vzorce a při měření složitost algoritmů a geometrických objektů zvaných fraktály. Pomáhají popsat frekvence poměry hudební intervaly, se objevují ve počítání vzorců prvočísla nebo přibližný faktoriály, informovat některé modely v psychofyzika a může pomoci forenzní účetnictví.
Stejně jako obrácený logaritmus umocňování, komplexní logaritmus je inverzní funkce exponenciální funkce, ať už se použije na reálná čísla nebo komplexní čísla. Modulární diskrétní logaritmus je další varianta; má použití v kryptografie veřejného klíče.
Motivace a definice
Přidání, násobení, a umocňování jsou tři z nejzákladnějších aritmetických operací. Nejjednodušší sčítání je vráceno odečtením: když přidáte 5 na X dostat X + 5Chcete-li tuto operaci zvrátit, musíte odčítat 5 z X + 5. Násobení, další nejjednodušší operace, je zrušeno divize: pokud se znásobíte X podle 5 dostat 5X, pak můžete rozdělit 5X podle 5 pro návrat k původnímu výrazu X. Logaritmy také zruší základní aritmetickou operaci, umocňování. Exponentiace je, když zvýšíte číslo na určitou mocninu. Například zvyšování 2 k moci 3 rovná se 8:
Obecný případ je, když zvýšíte číslo b k moci y dostat X:
Číslo b se označuje jako základ tohoto výrazu. Základ je číslo, které se zvýší na konkrétní mocninu - ve výše uvedeném příkladu základ výrazu je 2. Je snadné vytvořit základnu výrazu: vše, co musíte udělat, je vzít y-th kořen obou stran. To dává:
Vyrábí se méně snadno y předmět výrazu. Logaritmy nám to umožňují:
- logb X
Tento výraz to znamená y se rovná síle, kterou byste zvedli b do, dostat X. Tato operace zruší umocňování, protože logaritmus X říká ti exponent že základna byla zvýšena na.
Umocňování
Tato podsekce obsahuje krátký přehled operace umocňování, která je zásadní pro pochopení logaritmů b do n-th moc, kde n je přirozené číslo, se provádí vynásobením n faktory rovné b. The n-th síla b je psáno bn, aby
Umocnění může být rozšířeno na by, kde b je kladné číslo a exponent y je jakýkoli reálné číslo.[4] Například, b−1 je reciproční z b, to znamená, 1/b. Zvyšování b k síle 1/2 je odmocnina z b.
Obecněji řečeno, zvyšování b do a Racionální Napájení p/q, kde p a q jsou celá čísla, je dán vztahem
the q-tý kořen .
Nakonec jakýkoli iracionální číslo (skutečné číslo, které není racionální) y lze aproximovat na libovolnou přesnost racionálními čísly. To lze použít k výpočtu y-tá síla b: například a je stále lépe aproximován . Podrobnější vysvětlení i vzorec bm + n = bm · bn je obsažen v článku o umocňování.
Definice
The logaritmus kladného reálného čísla X vzhledem k základně b[poznámka 1] je exponent, kterým b musí být zvýšen, aby poskytl X. Jinými slovy, logaritmus X na základnu b je řešení y do rovnice[5]
Logaritmus je označen „logb X"(vyslovuje se jako" logaritmus X na základnu b" nebo základna-b logaritmus X„nebo (nejčastěji)“ log, základna b, z X").
V rovnici y = logb X, hodnota y je odpověď na otázku „K jaké moci musí b být zvýšen za účelem výnosu X?".
Příklady
- log2 16 = 4 , od té doby 24 = 2 ×2 × 2 × 2 = 16.
- Logaritmy mohou být také záporné: od té doby
- log10 150 je přibližně 2,176, což leží mezi 2 a 3, stejně jako 150 leží mezi 102 = 100 a 103 = 1000.
- Pro jakoukoli základnu b, logb b = 1 a logb 1 = 0, od té doby b1 = b a b0 = 1, resp.
Logaritmické identity
Několik důležitých vzorců, někdy nazývaných logaritmické identity nebo logaritmické zákony, vztahují logaritmy k sobě navzájem.[6]
Produkt, podíl, moc a kořen
Logaritmus produktu je součet logaritmů vynásobených čísel; logaritmus poměru dvou čísel je rozdíl logaritmů. Logaritmus p-tá síla čísla je p krát logaritmus samotného čísla; logaritmus a p-tý kořen je logaritmus čísla děleno p. Následující tabulka uvádí tyto identity s příklady. Každou z identit lze odvodit po nahrazení definic logaritmu nebo na levé straně.[1]
Vzorec | Příklad | |
---|---|---|
Produkt | ||
Kvocient | ||
Napájení | ||
Vykořenit |
Změna základny
Logaritmus logbX lze vypočítat z logaritmů X a b s ohledem na libovolnou základnu k pomocí následujícího vzorce:
Odvození konverzního faktoru mezi logaritmy libovolné báze |
---|
Počínaje definující identitou můžeme se přihlásit logk na obě strany této rovnice
Řešení pro výnosy:
zobrazující přepočítací koeficient z daného -hodnoty k jejich odpovídajícím - hodnoty, které mají být |
Typický vědecké kalkulačky vypočítat logaritmy k základům 10 a E.[7] Logaritmy s ohledem na jakoukoli základnu b lze určit pomocí některého z těchto dvou logaritmů podle předchozího vzorce:
Vzhledem k číslu X a jeho logaritmus y = logb X na neznámou základnu b, základ je dán:
což je patrné z definující rovnice k moci
Zvláštní základy

Ze všech možností základny jsou obzvláště běžné tři. Tyto jsou b = 10, b = E (dále jen iracionální matematická konstanta ≈ 2,71828) a b = 2 (dále jen binární logaritmus ). v matematická analýza, základ logaritmu E je rozšířený kvůli analytickým vlastnostem vysvětleným níže. Na druhou stranu, základna-10 logaritmy se snadno používají pro ruční výpočty v systému Windows desetinný číselný systém:[8]
Tím pádem, log10 X souvisí s počtem desetinná místa kladného celého čísla X: počet číslic je nejmenší celé číslo přísně větší než log10 X.[9] Například, log101430 je přibližně 3,15. Další celé číslo je 4, což je počet číslic 1430. Přirozený logaritmus i logaritmus k základu dva se používají v teorie informace, odpovídající použití nats nebo bity jako základní jednotky informací, resp.[10] Binární logaritmy se také používají v počítačová věda, Kde binární systém je všudypřítomný; v hudební teorie, kde rozteč poměr dva ( oktáva ) je všudypřítomný a cent je binární logaritmus (zmenšený o 1200) poměru mezi dvěma sousedními stejně temperovanými hřišti v Evropě klasická hudba; a v fotografování měřit hodnoty expozice.[11]
V následující tabulce jsou uvedeny běžné zápisy pro logaritmy k těmto základnám a pole, kde se používají. Mnoho oborů píše logX namísto logb X, kdy lze zamýšlenou základnu určit z kontextu. Zápis blogX také dochází.[12] Ve sloupci "ISO notace" jsou uvedena označení navržená Mezinárodní organizace pro normalizaci (ISO 80000-2 ).[13] Protože notace log X byl použit pro všechny tři základny (nebo pokud je základ neurčitý nebo nehmotný), zamýšlená základna musí být často odvozena na základě kontextu nebo disciplíny. V počítačové vědě log obvykle se odkazuje na log2a v matematice log obvykle se odkazuje na logE.[14][1] V jiných kontextech log často znamená log10.[15]
Základna b | Název protokolub X | ISO notace | Jiné notace | Použito v |
---|---|---|---|---|
2 | binární logaritmus | lb X[16] | ld X, log X, lg X,[17] log2 X | počítačová věda, teorie informace, hudební teorie, fotografování |
E | přirozený logaritmus | ln X[pozn. 2] | log X (v matematice [1][21] a mnoho programovací jazyky[pozn. 3]), logE X | matematika, fyzika, chemie, statistika, ekonomika, informační teorie a inženýrství |
10 | společný logaritmus | lg X | log X, log10 X (ve strojírenství, biologii, astronomii) | rozličný inženýrství pole (viz decibel a viz níže), logaritmus tabulky, ruční kalkulačky, spektroskopie |
b | logaritmus na základnu b | logb X | matematika |
Dějiny
The historie logaritmů v Evropě v sedmnáctém století je objev nového funkce který rozšířil oblast analýzy nad rámec algebraických metod. Metodu logaritmů veřejně navrhl John Napier v roce 1614, v knize s názvem Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Popis nádherného pravidla logaritmů).[22][23] Před Napierovým vynálezem existovaly další techniky podobného rozsahu, jako například prostafaeréza nebo použití progresivních tabulek, které rozsáhle vyvinul Jost Bürgi kolem 1600.[24][25] Napier vytvořil termín pro logaritmus ve střední latině, „logarithmorum“, odvozený z řečtiny, doslovně znamenající „poměr-číslo“, z loga "poměr, poměr, slovo" + arithmos "číslo".
The společný logaritmus of a number is the index of that power of ten which equals the number.[26] Když už mluvíme o čísle, které vyžaduje tolik čísel, je to hrubá narážka na běžný logaritmus, na kterou se odkazovalo Archimedes jako „pořadí čísla“.[27] První skutečné logaritmy byly heuristické metody, které proměnily násobení v sčítání, což usnadnilo rychlé výpočty. Některé z těchto metod používaly tabulky odvozené od trigonometrických identit.[28]Takové metody se nazývají prostafaeréza.
Vynález funkce nyní známý jako přirozený logaritmus začal jako pokus o provedení kvadratura obdélníkového hyperbola podle Grégoire de Saint-Vincent, belgický jezuita s bydlištěm v Praze. Archimedes napsal Kvadratura paraboly ve třetím století před naším letopočtem, ale kvadratura hyperboly unikla veškerému úsilí, dokud Saint-Vincent nezveřejnil své výsledky v roce 1647. Vztah, který poskytuje logaritmus mezi geometrický průběh v jeho argument a aritmetický postup hodnot, výzva A. A. de Sarasa propojit Saint-Vincentovu kvadraturu a tradici logaritmů v prostafaeréza, což vede k výrazu „hyperbolický logaritmus“, synonymum pro přirozený logaritmus. Nová funkce byla brzy oceněna Christiaan Huygens, a James Gregory. Zápis Log y byl přijat uživatelem Leibniz v roce 1675,[29] a příští rok to připojil k integrální
Než Euler vyvinul svou moderní koncepci komplexních přirozených logaritmů, Roger Cotes měl téměř stejný výsledek, když to v roce 1714 ukázal[30]
Logaritmické tabulky, pravidla snímků a historické aplikace

Zjednodušením složitých výpočtů, než byly k dispozici kalkulačky a počítače, logaritmy přispěly zejména k pokroku vědy astronomie. Byli rozhodující pro postup dovnitř geodetické, nebeská navigace a další domény. Pierre-Simon Laplace logaritmy
- „... [a] obdivuhodná vynalézavost, která tím, že sníží práci na několik měsíců na několik dní, zdvojnásobí život astronoma a ušetří mu chyby a znechucení neoddělitelné od dlouhých výpočtů.“[31]
Jako funkce F(X) = bX je inverzní funkce logb X, to bylo nazýváno antilogaritmus.[32]
Logovací tabulky
Klíčovým nástrojem, který umožnil praktické využití logaritmů, byl tabulka logaritmů.[33] První takovou tabulku sestavil Henry Briggs v roce 1617, bezprostředně po Napierově vynálezu, ale s inovací použití 10 jako základny. První Briggsův stůl obsahoval běžné logaritmy všech celých čísel v rozsahu 1–1000 s přesností na 14 číslic. Následně byly sepsány tabulky s rostoucím rozsahem. Tyto tabulky uváděly hodnoty log10 X pro libovolné číslo X v určitém rozsahu, s určitou přesností. Logaritmy Base-10 byly univerzálně používány pro výpočet, odtud název běžný logaritmus, protože čísla, která se liší faktory 10, mají logaritmy, které se liší podle celých čísel. Společný logaritmus X lze rozdělit na celá část a a zlomková část, známý jako charakteristika a mantisa. Tabulky logaritmů musí obsahovat pouze mantisu, protože charakteristiku lze snadno určit počítáním číslic od desetinné čárky.[34] Charakteristika 10 · X je jedna plus charakteristika Xa jejich mantisy jsou stejné. Použitím třímístné logovací tabulky je tedy logaritmus 3542 aproximován
Větší přesnosti lze dosáhnout pomocí interpolace:
Hodnota 10X lze určit zpětným vyhledáváním ve stejné tabulce, protože logaritmus je a monotónní funkce.
Výpočty
Produkt a podíl dvou kladných čísel C a d byly běžně počítány jako součet a rozdíl jejich logaritmů. Produkt CD nebo kvocient CD pochází z vyhledávání antilogaritmu součtu nebo rozdílu pomocí stejné tabulky:
a
Pro manuální výpočty, které vyžadují jakoukoli znatelnou přesnost, je provedení vyhledávání dvou logaritmů, výpočet jejich součtu nebo rozdílu a vyhledání antilogaritmu mnohem rychlejší než provedení násobení dřívějšími metodami, jako je například prostafaeréza, na které se spoléhá trigonometrické identity.
Výpočty sil a kořeny jsou redukovány na násobení nebo dělení a vyhledávání podle
a
Trigonometrické výpočty usnadnily tabulky, které obsahovaly běžné logaritmy trigonometrické funkce.
Pravidla snímku
Další kritickou aplikací byla posuvné pravidlo, dvojice logaritmicky dělených stupnic použitých pro výpočet. Neklouzavá logaritmická stupnice, Gunterovo pravidlo, byl vynalezen krátce po Napierově vynálezu. William Oughtred vylepšil jej, aby vytvořil posuvné pravidlo - dvojici logaritmických měřítek pohyblivých vůči sobě navzájem. Čísla jsou umístěna na posuvných stupnicích ve vzdálenostech úměrných rozdílům mezi jejich logaritmy. Posunutí horní stupnice odpovídajícím způsobem odpovídá mechanickému přidání logaritmů, jak je znázorněno zde:

Například přidáním vzdálenosti od 1 do 2 na spodní stupnici ke vzdálenosti od 1 do 3 na horní stupnici se získá produkt 6, který se odečte ve spodní části. Pravidlo diapozitivu bylo až do 70. let zásadním výpočtovým nástrojem pro inženýry a vědce, protože umožňuje na úkor přesnosti mnohem rychlejší výpočet než techniky založené na tabulkách.[35]
Analytické vlastnosti
Hlubší studium logaritmů vyžaduje koncept a funkce. Funkce je pravidlo, které při daném jednom čísle vytvoří další číslo.[36] Příkladem je funkce produkující X-tá síla b z jakéhokoli reálného čísla X, kde základna b je pevné číslo. Tato funkce je zapsána:
Logaritmická funkce
K odůvodnění definice logaritmů je nutné ukázat, že rovnice
má řešení X a že toto řešení je jedinečné za předpokladu, že y je pozitivní a to b je pozitivní a nerovné k 1. Důkaz této skutečnosti vyžaduje věta o střední hodnotě od elementárního počet.[37] Tato věta říká, že a spojitá funkce který vytváří dvě hodnoty m a n také produkuje jakoukoli hodnotu, která leží mezi m a n. Funkce je kontinuální pokud „neskočí“, tj. pokud lze jeho graf nakreslit bez zvednutí pera.
Tuto vlastnost lze zobrazit pro funkci F(X) = b X. Protože F bere libovolně velké a libovolně malé kladné hodnoty, libovolné číslo y > 0 leží mezi F(X0) a F(X1) pro vhodné X0 a X1. Věta o střední hodnotě tedy zajišťuje, že rovnice F(X) = y má řešení. Kromě toho existuje pouze jedno řešení této rovnice, protože funkce F je přísně se zvyšuje (pro b > 1) nebo přísně klesající (pro 0 < b < 1).[38]
Unikátní řešení X je logaritmus y na základnu b, logb y. Funkce, která je přiřazena y nazývá se jeho logaritmus funkce logaritmu nebo logaritmická funkce (nebo prostě logaritmus).
Funkce logb X je v zásadě charakterizován vzorcem produktu
Přesněji řečeno, logaritmus k jakékoli základně b > 1 je jediný zvýšení funkce F od pozitivních skutečností k realitám uspokojujícím F(b) = 1 a [39]
Inverzní funkce

Vzorec pro logaritmus síly říká, že zejména pro libovolné číslo X,
V próze, přičemž X-th síla b a pak základna-b logaritmus dává zpět X. Naopak, vzhledem k kladnému číslu y, vzorec
říká, že nejprve vezmeme logaritmus a poté exponentujeme y. Existují tedy dva možné způsoby kombinování (nebo skládání ) logaritmy a umocňování vrátí původní číslo. Proto logaritmus založit b je inverzní funkce z F(X) = bX.[40]
Inverzní funkce úzce souvisí s původními funkcemi. Jejich grafy při výměně X- a y- souřadnice (nebo při odrazu na diagonální linii X = y), jak je znázorněno vpravo: bod (t, u = bt) na grafu F získá bod (u, t = logb u) na grafu logaritmu a naopak. Jako následek, logb(X) rozchází se do nekonečna (je větší než kterékoli dané číslo), pokud X roste do nekonečna, za předpokladu, že b je větší než jedna. V tom případě, logb(X) je zvýšení funkce. Pro b < 1, logb(X) místo toho má tendenci mínus nekonečno. Když X blíží se nule, logbX jde do mínus nekonečna pro b > 1 (plus nekonečno pro b < 1).
Derivace a primitivní funkce

Analytické vlastnosti funkcí přecházejí na jejich inverze.[37] Tak, jak F(X) = bX je spojitý a diferencovatelná funkce, takže je logb y. Zhruba je spojitá funkce diferencovatelná, pokud její graf nemá žádné ostré „rohy“. Navíc, jak derivát z F(X) hodnotí na ln (b)bX podle vlastností exponenciální funkce, řetězové pravidlo znamená, že derivát logb X darováno[38][41]
Toto je sklon z tečna dotýká se grafu základna-b logaritmus v bodě (X, logb(X)) rovná se 1/(X ln (b)).
Derivát ln X je 1 /X; to znamená, že ln X je jedinečný primitivní z 1/X který má hodnotu 0 pro X =1. Právě tento velmi jednoduchý vzorec motivoval kvalifikovat jako „přirozený“ přirozený logaritmus; to je také jeden z hlavních důvodů důležitosti konstanty E.
Derivát se zobecněným funkčním argumentem F(X) je
Kvocient na pravé straně se nazývá logaritmická derivace z F. Výpočetní F'(X) pomocí derivátu ln (F(X)) je známý jako logaritmická diferenciace.[42] Antiderivativ přirozený logaritmus ln (X) je:[43]
Související vzorce Z této rovnice lze pomocí změny bází odvodit například primitivní funkce logaritmů k jiným bázím.[44]
Integrální reprezentace přirozeného logaritmu

The přirozený logaritmus z t rovná se určitý integrál:
Jinými slovy, ln (t) se rovná ploše mezi X-osa a graf funkce 1/X, od X = 1 na X = t. To je důsledek základní věta o počtu a skutečnost, že derivát ln (X) je 1/X. Pravá strana této rovnice může sloužit jako definice přirozený logaritmus. Z této definice lze odvodit vzorce logaritmu produktu a výkonu.[45] Například vzorec produktu ln (tu) = ln (t) + ln (u) se odvodí jako:
Rovnost (1) rozděluje integrál na dvě části, zatímco rovnost (2) je změnou proměnné (w = X/t). Na níže uvedeném obrázku rozdělení odpovídá rozdělení oblasti na žlutou a modrou část. Změna měřítka levé modré oblasti svisle podle faktoru t a zmenšení horizontálně o stejný faktor nemění jeho velikost. Pokud to vhodně přesunete, oblast odpovídá grafu funkce F(X) = 1/X znovu. Proto je levá ruka modrá oblast, která je integrálem F(X) z t na tu je stejný jako integrál od 1 do u. To ospravedlňuje rovnost (2) více geometrickým důkazem.

Silový vzorec ln (tr) = r ln (t) lze odvodit podobným způsobem:
Druhá rovnost používá změnu proměnných (integrace substitucí ), w = X1/r.
Součet převrácených čísel přirozených čísel,
se nazývá harmonická řada. Je úzce spjat s přirozený logaritmus: tak jako n má sklony k nekonečno, rozdíl,
konverguje (tj. se libovolně přiblíží) číslu známému jako Euler – Mascheroniho konstanta y = 0.5772.... Tento vztah pomáhá při analýze výkonu algoritmů, jako jsou quicksort.[46]
Transcendence logaritmu
Skutečná čísla to nejsou algebraický jsou nazývány transcendentální;[47] například, π a E jsou taková čísla, ale není. Téměř všechny reálná čísla jsou transcendentální. Logaritmus je příkladem a transcendentální funkce. The Gelfond – Schneiderova věta tvrdí, že logaritmy obvykle nabývají transcendentálních, tj. „obtížných“ hodnot.[48]
Výpočet

Logaritmy lze v některých případech snadno vypočítat, například log10(1000) = 3. Logaritmy lze obecně vypočítat pomocí výkonová řada nebo aritmeticko – geometrický průměr, nebo být vyvolány z předpočítaného logaritmická tabulka který poskytuje pevnou přesnost.[49][50]Newtonova metoda, iterativní metoda pro přibližně řešení rovnic, lze také použít k výpočtu logaritmu, protože jeho inverzní funkci, exponenciální funkci, lze vypočítat efektivně.[51] Pomocí vyhledávacích tabulek CORDIC Metody podobné typu lze použít k výpočtu logaritmů pouze pomocí operací sčítání a bitové posuny.[52][53] Navíc algoritmus binárního logaritmu počítá lb (X) rekurzivně, na základě opakovaných čtverců X, s využitím vztahu
Silová řada
- Taylor série

Pro jakékoli skutečné číslo z to uspokojuje 0 < z < 2, platí následující vzorec:[pozn. 4][54]
Toto je zkratka, když se to říká ln (z) lze aproximovat na stále přesnější hodnotu následujícími výrazy:
Například s z = 1.5 třetí aproximace poskytuje 0,4167, což je asi o 0,011 více než ln (1,5) = 0,405465. Tento série přibližný ln (z) s libovolnou přesností, za předpokladu, že počet sčítání je dostatečně velký. V elementárním počtu ln (z) je tedy omezit této série. To je Taylor série z přirozený logaritmus na z = 1. Taylor série ln (z) poskytuje obzvláště užitečné přiblížení k ln (1+z) když z je malý, |z| < 1, od té doby
Například s z = 0.1 dává aproximace prvního řádu ln (1,1) ≈ 0,1, což je méně než 5% sleva na správnou hodnotu 0,0953.
- Efektivnější série
Další série je založena na hyperbolická tečna oblasti funkce:
pro jakékoli reálné číslo z > 0.[pozn. 5][54] Použitím sigma notace, toto je také psáno jako
Tuto řadu lze odvodit z výše uvedené Taylorovy řady. Konverguje rychleji než Taylorova řada, zvláště pokud z je blízko 1. Například pro z = 1.5, první tři termíny druhé řady jsou přibližné ln (1,5) s chybou asi 3×10−6. Rychlá konvergence pro z blízko 1 lze využít následujícím způsobem: vzhledem k aproximaci s nízkou přesností y ≈ ln (z) a uvedení
logaritmus z je:
Čím lepší je počáteční aproximace y je, tím blíže A je 1, takže jeho logaritmus lze vypočítat efektivně. A lze vypočítat pomocí exponenciální řada, který rychle konverguje y není příliš velký. Výpočet logaritmu větších z lze snížit na menší hodnoty z písemně z = A · 10b, aby ln (z) = ln (A) + b · Ln (10).
K výpočtu logaritmu celých čísel lze použít úzce související metodu. Uvedení z výše uvedené řady vyplývá, že:
Pokud logaritmus velkého celého čísla n je známa, pak tato řada poskytuje rychle konvergující řadu pro log (n+1), s rychlost konvergence z .
Aritmeticko – geometrický průměr aproximace
The aritmeticko – geometrický průměr poskytuje vysokou přesnost aproximace přirozený logaritmus. Sasaki a Kanada v roce 1982 ukázali, že to bylo obzvláště rychlé pro přesnost mezi 400 a 1000 desetinnými místy, zatímco metody Taylorovy řady byly obvykle rychlejší, když byla zapotřebí menší přesnost. Ve své práci ln (X) je aproximován s přesností na 2−p (nebo p přesné bity) podle následujícího vzorce (kvůli Carl Friedrich Gauss ):[55][56]
Tady M (X,y) označuje aritmeticko – geometrický průměr z X a y. Získává se opakovaným výpočtem průměru (aritmetický průměr ) a (geometrický průměr ) z X a y pak nechte ta dvě čísla stát se další X a y. Obě čísla rychle konvergují na společný limit, což je hodnota M (X,y). m je zvolen tak, že
zajistit požadovanou přesnost. Větší m dělá M (X,y) výpočet trvá více kroků (počáteční x a y jsou dále od sebe, takže konverguje více kroků), ale poskytuje větší přesnost. Konstanty pi a ln (2) lze vypočítat pomocí rychle se sbíhajících řad.
Feynmanův algoritmus
Zatímco v Národní laboratoř Los Alamos pracuje na Projekt Manhattan, Richard Feynman vyvinul algoritmus zpracování bitů, který je podobný dlouhému dělení a později byl použit v Připojovací stroj. Algoritmus využívá skutečnost, že každé reálné číslo je reprezentovatelný jako produkt odlišných faktorů formy . Algoritmus tento produkt postupně vytváří : pokud , pak se to změní na . Pak se zvyšuje jedním bez ohledu na to. Algoritmus se zastaví, když je dostatečně velký, aby poskytoval požadovanou přesnost. Protože je součet podmínek formuláře tomu odpovídá pro které je faktor byl součástí produktu , lze vypočítat jednoduchým sčítáním pomocí tabulky pro všechny . Pro tabulku logaritmu lze použít jakoukoli základnu.[57]
Aplikace

Logaritmy mají mnoho aplikací uvnitř i vně matematiky. Některé z těchto výskytů souvisejí s pojmem škálová invariance. Například každá komora pláště a nautilus je přibližná kopie další, zmenšená konstantním faktorem. To vede k a logaritmická spirála.[58] Benfordův zákon na rozdělení počátečních číslic lze vysvětlit také měřítkovou invariantností.[59] Logaritmy jsou také spojeny s sebepodobnost. Logaritmy se například objevují v analýze algoritmů, které řeší problém tak, že jej rozdělí na dva podobné menší problémy a opraví jejich řešení.[60] Na logaritmech jsou založeny také rozměry podobných geometrických tvarů, tj. Tvarů, jejichž části se podobají celkovému obrazu.Logaritmické stupnice jsou užitečné pro kvantifikaci relativní změny hodnoty na rozdíl od jejího absolutního rozdílu. Navíc proto, že logaritmická funkce log (X) roste velmi pomalu na velké X, logaritmické stupnice se používají ke kompresi rozsáhlých vědeckých dat. Logaritmy se vyskytují také v mnoha vědeckých vzorcích, jako je např Tsiolkovského raketová rovnice, Fenske rovnice, nebo Nernstova rovnice.
Logaritmická stupnice

Vědecké veličiny jsou často vyjádřeny jako logaritmy jiných veličin pomocí a logaritmická stupnice. Například decibel je jednotka měření spojený s logaritmické měřítko množství. Je založen na společném logaritmu poměry —10násobek běžného logaritmu a Napájení poměr nebo 20násobek běžného logaritmu a Napětí poměr. Používá se ke kvantifikaci ztráty úrovní napětí při přenosu elektrických signálů,[61] popsat úrovně výkonu zvuků v akustika,[62] a absorbance světla v polích spektrometrie a optika. The odstup signálu od šumu popisující množství nechtěných hluk ve vztahu k (smysluplnému) signál se také měří v decibelech.[63] V podobném duchu špičkový poměr signálu k šumu se běžně používá k hodnocení kvality zvuku a komprese obrazu metody využívající logaritmus.[64]
Síla zemětřesení se měří pomocí společného logaritmu energie emitované při zemětřesení. Toto se používá v stupnice momentové velikosti nebo Richterova stupnice velikosti. Například zemětřesení 5,0 se uvolní 32krát (101.5) a 6.0 vydá 1000krát (103) energie 4,0.[65] Další logaritmická stupnice je zdánlivá velikost. Logaritmicky měří jas hvězd.[66] Další příklad je pH v chemie; pH je záporná logaritmus společného logaritmu aktivita z hydronium ionty (forma vodík ionty H+
vezměte do vody).[67] Aktivita hydroniových iontů v neutrální vodě je 10−7 molendL−1, tedy pH 7. Ocet má obvykle pH asi 3. Rozdíl 4 odpovídá poměru 104 aktivity, tj. aktivity octového hydronia je asi 10−3 molendL−1.
Semilog (log – lineární) grafy používají pro vizualizaci koncept logaritmického měřítka: jedna osa, obvykle vertikální, je logaritmicky zmenšena. For example, the chart at the right compresses the steep increase from 1 million to 1 trillion to the same space (on the vertical axis) as the increase from 1 to 1 million. In such graphs, exponenciální funkce formuláře F(X) = A · bX appear as straight lines with sklon equal to the logarithm of b.Log-log graphs scale both axes logarithmically, which causes functions of the form F(X) = A · Xk to be depicted as straight lines with slope equal to the exponent k. This is applied in visualizing and analyzing mocenské zákony.[68]
Psychologie
Logarithms occur in several laws describing lidské vnímání:[69][70]Hick's law proposes a logarithmic relation between the time individuals take to choose an alternative and the number of choices they have.[71] Fitts's law predicts that the time required to rapidly move to a target area is a logarithmic function of the distance to and the size of the target.[72] v psychofyzika, Weber – Fechnerův zákon proposes a logarithmic relationship between podnět a pocit such as the actual vs. the perceived weight of an item a person is carrying.[73] (This "law", however, is less realistic than more recent models, such as Stevens's power law.[74])
Psychological studies found that individuals with little mathematics education tend to estimate quantities logarithmically, that is, they position a number on an unmarked line according to its logarithm, so that 10 is positioned as close to 100 as 100 is to 1000. Increasing education shifts this to a linear estimate (positioning 1000 10 times as far away) in some circumstances, while logarithms are used when the numbers to be plotted are difficult to plot linearly.[75][76]
Probability theory and statistics


Logarithms arise in teorie pravděpodobnosti: zákon velkých čísel dictates that, for a spravedlivá mince, as the number of coin-tosses increases to infinity, the observed proportion of heads approaches one-half. The fluctuations of this proportion about one-half are described by the law of the iterated logarithm.[77]
Logarithms also occur in normální distribuce protokolu. When the logarithm of a náhodná proměnná má normální distribuce, the variable is said to have a log-normal distribution.[78] Log-normal distributions are encountered in many fields, wherever a variable is formed as the product of many independent positive random variables, for example in the study of turbulence.[79]
Logarithms are used for maximum-likelihood estimation of parametric statistické modely. For such a model, the funkce pravděpodobnosti depends on at least one parametr that must be estimated. A maximum of the likelihood function occurs at the same parameter-value as a maximum of the logarithm of the likelihood (the "zaznamenat pravděpodobnost"), because the logarithm is an increasing function. The log-likelihood is easier to maximize, especially for the multiplied likelihoods for nezávislý náhodné proměnné.[80]
Benfordův zákon describes the occurrence of digits in many datové sady, such as heights of buildings. According to Benford's law, the probability that the first decimal-digit of an item in the data sample is d (from 1 to 9) equals log10(d + 1) − log10(d), bez ohledu na of the unit of measurement.[81] Thus, about 30% of the data can be expected to have 1 as first digit, 18% start with 2, etc. Auditors examine deviations from Benford's law to detect fraudulent accounting.[82]
Výpočetní složitost
Analýza algoritmů je pobočkou počítačová věda that studies the výkon z algoritmy (computer programs solving a certain problem).[83] Logarithms are valuable for describing algorithms that divide a problem into smaller ones, and join the solutions of the subproblems.[84]
For example, to find a number in a sorted list, the binární vyhledávací algoritmus checks the middle entry and proceeds with the half before or after the middle entry if the number is still not found. This algorithm requires, on average, log2(N) srovnání, kde N is the list's length.[85] Podobně Sloučit třídění algorithm sorts an unsorted list by dividing the list into halves and sorting these first before merging the results. Merge sort algorithms typically require a time approximately proportional to N · log(N).[86] The base of the logarithm is not specified here, because the result only changes by a constant factor when another base is used. A constant factor is usually disregarded in the analysis of algorithms under the standard uniform cost model.[87]
Funkce F(X) říká se grow logarithmically -li F(X) is (exactly or approximately) proportional to the logarithm of X. (Biological descriptions of organism growth, however, use this term for an exponential function.[88]) For example, any přirozené číslo N mohou být zastoupeny v binární forma in no more than log2(N) + 1 bity. In other words, the amount of Paměť needed to store N grows logarithmically with N.
Entropy and chaos

Entropie is broadly a measure of the disorder of some system. v statistická termodynamika, the entropy S of some physical system is defined as
The sum is over all possible states i of the system in question, such as the positions of gas particles in a container. Navíc, pi is the probability that the state i is attained and k je Boltzmannova konstanta. Podobně, entropy in information theory measures the quantity of information. If a message recipient may expect any one of N possible messages with equal likelihood, then the amount of information conveyed by any one such message is quantified as log2(N) bity.[89]
Lyapunov exponents use logarithms to gauge the degree of chaoticity of a dynamický systém. For example, for a particle moving on an oval billiard table, even small changes of the initial conditions result in very different paths of the particle. Such systems are chaotický v deterministický way, because small measurement errors of the initial state predictably lead to largely different final states.[90] At least one Lyapunov exponent of a deterministically chaotic system is positive.
Fraktály

Logarithms occur in definitions of the dimenze z fraktály.[91] Fractals are geometric objects that are podobný: small parts reproduce, at least roughly, the entire global structure. The Sierpinského trojúhelník (pictured) can be covered by three copies of itself, each having sides half the original length. To dělá Hausdorffova dimenze of this structure ln(3)/ln(2) ≈ 1.58. Another logarithm-based notion of dimension is obtained by counting the number of boxes needed to cover the fractal in question.
Hudba


Logarithms are related to musical tones and intervaly. v stejný temperament, the frequency ratio depends only on the interval between two tones, not on the specific frequency, or hřiště, of the individual tones. Například Poznámka A has a frequency of 440 Hz a B-plochý has a frequency of 466 Hz. The interval between A a B-plochý je půltón, as is the one between B-plochý a B (frequency 493 Hz). Accordingly, the frequency ratios agree:
Therefore, logarithms can be used to describe the intervals: an interval is measured in semitones by taking the base-21/12 logarithm of the frekvence ratio, while the base-21/1200 logarithm of the frequency ratio expresses the interval in centů, hundredths of a semitone. The latter is used for finer encoding, as it is needed for non-equal temperaments.[92]
Interval (the two tones are played at the same time) | 1/12 tone ![]() | Půltón ![]() | Just major third ![]() | Major třetí ![]() | Tritone ![]() | Oktáva ![]() |
Frequency ratio r | ||||||
Corresponding number of semitones | ||||||
Corresponding number of cents |
Teorie čísel
Natural logarithms are closely linked to counting prime numbers (2, 3, 5, 7, 11, ...), an important topic in teorie čísel. Pro všechny celé číslo X, the quantity of prvočísla menší nebo rovno X je označen π(X). The věta o prvočísle asserts that π(X) is approximately given by
in the sense that the ratio of π(X) and that fraction approaches 1 when X inklinuje k nekonečnu.[93] As a consequence, the probability that a randomly chosen number between 1 and X is prime is inversely úměrný to the number of decimal digits of X. A far better estimate of π(X) je dánoffset logarithmic integral funkce Li(X), definován
The Riemannova hypotéza, one of the oldest open mathematical domněnky, can be stated in terms of comparing π(X) a Li(X).[94] The Erdős–Kac theorem describing the number of distinct hlavní faktory also involves the přirozený logaritmus.
The logarithm of n faktoriál, n! = 1 · 2 · ... · n, darováno
This can be used to obtain Stirlingův vzorec, an approximation of n! pro velké n.[95]
Zobecnění
Složitý logaritmus

Všechny komplexní čísla A that solve the equation
jsou nazývány complex logarithms z z, když z is (considered as) a complex number. A complex number is commonly represented as z = x + iy, kde X a y are real numbers and i je imaginární jednotka, the square of which is −1. Such a number can be visualized by a point in the složité letadlo, as shown at the right. The polární forma encodes a non-zero complex number z podle jeho absolutní hodnota, that is, the (positive, real) distance r do původ, and an angle between the real (X) axis Re and the line passing through both the origin and z. This angle is called the argument z z.
The absolute value r z z darováno
Using the geometrical interpretation of a and their periodicity in any complex number z lze označit jako
for any integer number k. Evidently the argument of z is not uniquely specified: both φ a φ' = φ + 2kπ are valid arguments of z pro všechna celá čísla k, because adding 2kπ radián nebo k⋅360°[pozn. 6] na φ corresponds to "winding" around the origin counter-clock-wise by k zatáčky. The resulting complex number is always z, as illustrated at the right for k = 1. One may select exactly one of the possible arguments of z as the so-called principal argument, označeno Arg(z), with a capital A, by requiring φ to belong to one, conveniently selected turn, e.g., [96] nebo [97] These regions, where the argument of z is uniquely determined are called větve of the argument function.
Eulerův vzorec connects the trigonometrické funkce sinus a kosinus do komplexní exponenciální:
Using this formula, and again the periodicity, the following identities hold:[98]
kde ln (r) is the unique real natural logarithm, Ak denote the complex logarithms of z, a k is an arbitrary integer. Therefore, the complex logarithms of z, which are all those complex values Ak pro které Ak-th power of E rovná se z, are the infinitely many values
- for arbitrary integers k.
Brát k takhle is within the defined interval for the principal arguments, then Ak se nazývá hlavní hodnota of the logarithm, denoted Log(z), again with a capital L. The principal argument of any positive real number X is 0; hence Log(X) is a real number and equals the real (natural) logarithm. However, the above formulas for logarithms of products and powers dělat ne generalize to the principal value of the complex logarithm.[99]
The illustration at the right depicts Log(z), confining the arguments of z to the interval (-π, π]. This way the corresponding branch of the complex logarithm has discontinuities all along the negative real X axis, which can be seen in the jump in the hue there. This discontinuity arises from jumping to the other boundary in the same branch, when crossing a boundary, i.e., not changing to the corresponding k-value of the continuously neighboring branch. Such a locus is called a větev řez. Dropping the range restrictions on the argument makes the relations "argument of z", and consequently the "logarithm of z", funkce s více hodnotami.
Inverses of other exponential functions
Exponentiation occurs in many areas of mathematics and its inverse function is often referred to as the logarithm. Například logarithm of a matrix is the (multi-valued) inverse function of the matrix exponential.[100] Dalším příkladem je p-adic logarithm, the inverse function of the p-adic exponential. Both are defined via Taylor series analogous to the real case.[101] V kontextu diferenciální geometrie, exponenciální mapa mapuje tečný prostor at a point of a potrubí do a sousedství toho bodu. Its inverse is also called the logarithmic (or log) map.[102]
V kontextu konečné skupiny exponentiation is given by repeatedly multiplying one group element b sám se sebou. The diskrétní logaritmus is the integer n solving the equation
kde X is an element of the group. Carrying out the exponentiation can be done efficiently, but the discrete logarithm is believed to be very hard to calculate in some groups. This asymmetry has important applications in kryptografie veřejného klíče, such as for example in the Výměna klíčů Diffie – Hellman, a routine that allows secure exchanges of kryptografické keys over unsecured information channels.[103] Zechův logaritmus is related to the discrete logarithm in the multiplicative group of non-zero elements of a konečné pole.[104]
Further logarithm-like inverse functions include the double logarithm ln(ln(X)), the super- or hyper-4-logarithm (a slight variation of which is called iterated logarithm in computer science), the Lambert W function a logit. They are the inverse functions of the double exponential function, tetování, z F(w) = myw,[105] a logistická funkce, resp.[106]
Related concepts
Z pohledu teorie skupin, identita log (CD) = log (C) + log(d) expresses a skupinový izomorfismus between positive realita under multiplication and reals under addition. Logarithmic functions are the only continuous isomorphisms between these groups.[107] By means of that isomorphism, the Haarovo opatření (Lebesgueovo opatření ) dx on the reals corresponds to the Haar measure dx/X on the positive reals.[108] The non-negative reals not only have a multiplication, but also have addition, and form a semiring, nazvaný probability semiring; this is in fact a semifield. The logarithm then takes multiplication to addition (log multiplication), and takes addition to log addition (LogSumExp ), giving an izomorfismus of semirings between the probability semiring and the log semiring.
Logarithmic one-forms df/F objevit v komplexní analýza a algebraická geometrie tak jako diferenciální formy with logarithmic póly.[109]
The polylogarithm is the function defined by
Souvisí to s přirozený logaritmus podle Li1(z) = −ln(1 − z). Navíc, Lis(1) rovná se Funkce Riemann zeta ζ(s).[110]
Viz také
- Cologarithm
- Desetinný exponent (dex)
- Exponenciální funkce
- Index of logarithm articles
- Logarithmic notation
Poznámky
- ^ Omezení na X a b jsou vysvětleny v části "Analytické vlastnosti".
- ^ Někteří matematici tuto notaci nesouhlasí. Ve své autobiografii z roku 1985 Paul Halmos kritizoval to, co považoval za „dětinskou notaci“, kterou podle něj žádný matematik nikdy nepoužíval.[18]Zápis vynalezl Irving Stringham, matematik.[19][20]
- ^ Například C, Jáva, Haskell, a ZÁKLADNÍ.
- ^ Stejná řada platí pro hlavní hodnotu komplexního logaritmu pro komplexní čísla z uspokojující |z − 1| < 1.
- ^ Stejná řada platí pro hlavní hodnotu komplexního logaritmu pro komplexní čísla z s pozitivní skutečnou částí.
- ^ Vidět radián pro převod mezi 2π a 360 stupeň.
Reference
- ^ A b C d „The Ultimate Guide to Logarithm - Theory & Applications“, Matematický trezor, 8. května 2016, vyvoláno 24. července 2019
- ^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier a vynález logaritmů, 1614; přednáška, University of California Libraries, Cambridge: University Press
- ^ Remmert, Reinhold. (1991), Teorie komplexních funkcí, New York: Springer-Verlag, ISBN 0387971955, OCLC 21118309
- ^ Shirali, Shailesh (2002), Primer na logaritmech Hyderabad: Universities Press, ISBN 978-81-7371-414-6, zejm. sekce 2
- ^ Kate, S.K .; Bhapkar, H.R. (2009), Základy matematiky, Pune: Technické publikace, ISBN 978-81-8431-755-8, kapitola 1
- ^ Všechna prohlášení v této části naleznete v Shailesh Shirali2002, oddíl 4, (Douglas Downing2003, str. 275) nebo Kate & Bhapkar2009, str. Například 1-1.
- ^ Bernstein, Stephen; Bernstein, Ruth (1999), Schaumův nástin teorie a problémy prvků statistiky. Já, popisné statistiky a pravděpodobnost, Schaumova osnova, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-005023-5, str. 21
- ^ Downing, Douglas (2003), Algebra snadná cesta Barron's Educational Series, Hauppauge, NY: Barron's, ISBN 978-0-7641-1972-9, kapitola 17, s. 275
- ^ Wegener, Ingo (2005), Teorie složitosti: zkoumání mezí efektivních algoritmů, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, str. 20
- ^ Van der Lubbe, Jan C. A. (1997), Teorie informací, Cambridge University Press, str. 3, ISBN 978-0-521-46760-5
- ^ Allen, Elizabeth; Triantaphillidou, Sophie (2011), Manuál fotografie, Taylor & Francis, s. 228, ISBN 978-0-240-52037-7
- ^ Franz Embacher; Petra Oberhuemer, Mathematisches Lexikon (v němčině), online matematika: für Schule, Fachhochschule, Universität unde Selbststudium, vyvoláno 22. března 2011
- ^ Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika (ISO 80000-2: 2019); EN ISO 80000-2
- ^ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2002), Návrh algoritmu: základy, analýza a příklady internetu, John Wiley & Sons, str. 23,
Jedním ze zajímavých a někdy i překvapivých aspektů analýzy datových struktur a algoritmů je všudypřítomná přítomnost logaritmů ... Jak je ve výpočetní literatuře zvykem, vynecháme psaní základny b logaritmu, když b = 2.
- ^ Parkhurst, David F. (2007), Úvod do aplikované matematiky pro vědu o životním prostředí (ilustrované vydání), Springer Science & Business Media, s. 288, ISBN 978-0-387-34228-3
- ^ Gullberg, Jan (1997), Matematika: od narození čísel., New York: W. W. Norton & Co, ISBN 978-0-393-04002-9
- ^ Viz poznámka pod čarou 1 v Perl, Yehoshua; Reingold, Edward M. (prosinec 1977), „Pochopení složitosti hledání interpolace“, Dopisy o zpracování informací, 6 (6): 219–22, doi:10.1016/0020-0190(77)90072-2
- ^ Paul Halmos (1985), Chci být matematikem: Automatografie, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96078-4
- ^ Irving Stringham (1893), Uniplanární algebra: být součástí I propeadeutika k vyšší matematické analýze, The Berkeley Press, s. xiii
- ^ Roy S. Freedman (2006), Úvod do finančních technologií, Amsterdam: Academic Press, str. 59, ISBN 978-0-12-370478-8
- ^ Viz Věta 3.29 v Rudin, Walter (1984), Principy matematické analýzy (3. vydání, International student ed.), Auckland: McGraw-Hill International, ISBN 978-0-07-085613-4
- ^ Napier, Johne (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [Popis nádherného pravidla logaritmů] (latinsky), Edinburgh, Skotsko: Andrew Hart
- ^ Hobson, Ernest William (1914), John Napier a vynález logaritmů, 1614, Cambridge: The University Press
- ^ Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (říjen 2015), Metoda Josta Bürgiho pro výpočet sinusů, arXiv:1510.03180, Bibcode:2015arXiv151003180F
- ^ "Burgiho životopis", www-history.mcs.st-and.ac.uk, vyvoláno 14. února 2018
- ^ William Gardner (1742) Tabulky logaritmů
- ^ R.C. Pierce (1977) „Stručná historie logaritmu“, Dvouletý vysokoškolský matematický deník 8(1):22–26.
- ^ Enrique Gonzales-Velasco (2011) Journey through Mathematics - Creative Episodes in its History, §2.4 Hyperbolické logaritmy, str. 117, Springer ISBN 978-0-387-92153-2
- ^ Florian Cajori (1913) „Historie exponenciálních a logaritmických konceptů“, Americký matematický měsíčník 20: 5, 35, 75, 107, 148, 173, 205.
- ^ Stillwell, J. (2010), Matematika a její historie (3. vyd.), Springer
- ^ Bryant, Walter W. (1907), Historie astronomie, Londýn: Methuen & Co., str. 44
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami (10. vydání), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0, oddíl 4.7., s. 89
- ^ Campbell-Kelly, Martin (2003), Historie matematických tabulek: od Sumeru po tabulky Oxfordské stipendium online, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850841-0, sekce 2
- ^ Spiegel, Murray R .; Moyer, R.E. (2006), Schaumův obrys vysokoškolské algebry, Schaumova osnova, New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-145227-4, str. 264
- ^ Maor, Eli (2009), E: Příběh čísla, Princeton University Press, oddíly 1, 13, ISBN 978-0-691-14134-3
- ^ Devlin, Keith (2004), Sady, funkce a logika: úvod do abstraktní matematiky, Chapman & Hall / CRC matematika (3. vyd.), Boca Raton, Fla: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-449-1, nebo viz odkazy v funkce
- ^ A b Lang, Serge (1997), Vysokoškolská analýza, Pregraduální texty z matematiky (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2698-5, ISBN 978-0-387-94841-6, PAN 1476913, oddíl III.3
- ^ A b Lang1997, oddíl IV.2
- ^ Dieudonné, Jean (1969), Základy moderní analýzy, 1, Academic Press, s. 84 položka (4.3.1)
- ^ Stewart, James (2007), Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Belmont: Thomson Brooks / Cole, ISBN 978-0-495-01169-9, oddíl 1.6
- ^ "Výpočet d / dx (Log (b, x))", Wolfram Alpha, Wolfram Research, vyvoláno 15. března 2011
- ^ Kline, Morris (1998), Kalkul: intuitivní a fyzický přístup„Dover knihy o matematice, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-40453-0, str. 386
- ^ "Výpočet Integrovat (ln (x))", Wolfram Alpha, Wolfram Research, vyvoláno 15. března 2011
- ^ Abramowitz & Stegun, eds.1972, str. 69
- ^ Courant, Richard (1988), Diferenciální a integrální počet. Sv. Já, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60842-4, PAN 1009558, oddíl III.6
- ^ Havil, Julian (2003), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09983-5, oddíly 11.5 a 13.8
- ^ Nomizu, Katsumi (1996), Vybrané statě z teorie čísel a algebraické geometrie, 172„Providence, RI: AMS Bookstore, str. 21, ISBN 978-0-8218-0445-2
- ^ Baker, Alan (1975), Teorie transcendentních čísel, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3, str. 10
- ^ Muller, Jean-Michel (2006), Základní funkce (2. vyd.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4372-0, oddíly 4.2.2 (str. 72) a 5.5.2 (str. 95)
- ^ Jelen; Cheney; Lawson; et al. (1968), Počítačové aproximace, SIAM Series in Applied Mathematics, New York: John Wiley, oddíl 6.3, s. 105–11
- ^ Zhang, M .; Delgado-Frias, J.G .; Vassiliadis, S. (1994), „Newtonovo schéma řízené tabulkou pro generování vysoce přesného logaritmu“, Sborník IEE - Počítače a digitální techniky, 141 (5): 281–92, doi:10.1049 / ip-cdt: 19941268, ISSN 1350-2387, část 1 pro přehled
- ^ Meggitt, J.E. (duben 1962), "Procesy pseudo dělení a pseudo násobení", IBM Journal of Research and Development, 6 (2): 210–26, doi:10.1147 / kolo 62.02.0210, S2CID 19387286
- ^ Kahan, W. (20. května 2001), Algoritmy pseudo divize pro logaritmy a exponenciály s plovoucí desetinnou čárkou
- ^ A b Abramowitz & Stegun, eds.1972, str. 68
- ^ Sasaki, T .; Kanada, Y. (1982), „Prakticky rychlé vyhodnocení vícenásobné přesnosti protokolu (x)“, Journal of Information Processing, 5 (4): 247–50, vyvoláno 30. března 2011
- ^ Ahrendt, Timm (1999), „Rychlé výpočty exponenciální funkce“, Stacs 99„Přednášky z informatiky, 1564, Berlín, New York: Springer, s. 302–12, doi:10.1007/3-540-49116-3_28, ISBN 978-3-540-65691-3
- ^ Hillis, Danny (15. ledna 1989), „Richard Feynman a The Connection Machine“, Fyzika dnes, 42 (2): 78, Bibcode:1989PhT .... 42b..78H, doi:10.1063/1.881196
- ^ Maor2009, str. 135
- ^ Frey, Bruce (2006), Statistické hacky, Hacks Series, Sebastopol, CA: O'Reilly, ISBN 978-0-596-10164-0, kapitola 6, oddíl 64
- ^ Ricciardi, Luigi M. (1990), Přednášky z aplikované matematiky a informatiky, Manchester: Manchester University Press, ISBN 978-0-7190-2671-3, str. 21, oddíl 1.3.2
- ^ Bakshi, USA (2009), Telekomunikační technika, Pune: Technické publikace, ISBN 978-81-8431-725-1, oddíl 5.2
- ^ Maling, George C. (2007), „Noise“, Rossing, Thomas D. (ed.), Springerova příručka akustiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-30446-5, oddíl 23.0.2
- ^ Tashev, Ivan Jelev (2009), Zachycení a zpracování zvuku: Praktické přístupy, New York: John Wiley & Sons, str. 98, ISBN 978-0-470-31983-3
- ^ Chui, C.K. (1997), Vlnky: matematický nástroj pro zpracování signálu Monografie SIAM o matematickém modelování a výpočtu, Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, ISBN 978-0-89871-384-8
- ^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008), Funkce a změna: přístup k modelování vysokoškolské algebry (4. vydání), Boston: Cengage Learning, ISBN 978-0-547-15669-9, bod 4.4.
- ^ Bradt, Hale (2004), Astronomické metody: fyzický přístup k astronomickým pozorováním, Cambridge Planetary Science, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53551-9, oddíl 8.3, s. 231
- ^ IUPAC (1997), A. D. McNaught, A. Wilkinson (ed.), Kompendium chemické terminologie („Zlatá kniha“) (2. vyd.), Oxford: Blackwell Scientific Publications, doi:10,1351 / zlatá kniha, ISBN 978-0-9678550-9-7
- ^ Bird, J.O. (2001), Novinka Kapesní kniha technické matematiky (3. vyd.), Oxford: Newnes, ISBN 978-0-7506-4992-6, oddíl 34
- ^ Goldstein, E. Bruce (2009), Encyclopedia of Perception Encyclopedia of Perception, Thousand Oaks, CA: Sage, ISBN 978-1-4129-4081-8, str. 355–56
- ^ Matthews, Gerald (2000), Lidský výkon: poznání, stres a individuální rozdíly Lidská výkonnost: Poznání, stres a individuální rozdíly, Hove: Psychology Press, ISBN 978-0-415-04406-6, str. 48
- ^ Welford, A.T. (1968), Základy dovednosti, Londýn: Methuen, ISBN 978-0-416-03000-6, OCLC 219156, str. 61
- ^ Paul M. Fitts (červen 1954), „Informační kapacita lidského motorického systému při řízení amplitudy pohybu“, Journal of Experimental Psychology, 47 (6): 381–91, doi:10.1037 / h0055392, PMID 13174710, S2CID 501599, dotisk dovnitř Paul M. Fitts (1992), „Informační kapacita lidského motorického systému při řízení amplitudy pohybu“ (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 121 (3): 262–69, doi:10.1037/0096-3445.121.3.262, PMID 1402698, vyvoláno 30. března 2011
- ^ Banerjee, J.C. (1994), Encyklopedický slovník psychologických pojmů, New Delhi: M.D. Publications, str. 304, ISBN 978-81-85880-28-0, OCLC 33860167
- ^ Nadel, Lynn (2005), Encyklopedie kognitivních věd, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-01619-0, lemata Psychofyzika a Vnímání: Přehled
- ^ Siegler, Robert S .; Opfer, John E. (2003), „Vývoj numerického odhadu. Důkazy pro vícenásobné vyjádření numerické veličiny“ (PDF), Psychologická věda, 14 (3): 237–43, CiteSeerX 10.1.1.727.3696, doi:10.1111/1467-9280.02438, PMID 12741747, S2CID 9583202, archivovány z originál (PDF) dne 17. května 2011, vyvoláno 7. ledna 2011
- ^ Dehaene, Stanislas; Izard, Véronique; Spelke, Elizabeth; Pica, Pierre (2008), „Log or Linear? Distinct Intuitions of the Number Scale in Western and Amazonian Indigene Cultures“, Věda, 320 (5880): 1217–20, Bibcode:2008Sci ... 320.1217D, CiteSeerX 10.1.1.362.2390, doi:10.1126 / science.1156540, PMC 2610411, PMID 18511690
- ^ Breiman, Leo (1992), Pravděpodobnost„Klasika v aplikované matematice, Philadelphia: Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku, ISBN 978-0-89871-296-4, oddíl 12.9
- ^ Aitchison, J .; Brown, J.A.C. (1969), Logická distribuce, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-04011-2, OCLC 301100935
- ^ Jean Mathieu a Julian Scott (2000), Úvod do turbulentního proudění, Cambridge University Press, str. 50, ISBN 978-0-521-77538-0
- ^ Rose, Colin; Smith, Murray D. (2002), Matematická statistika s Mathematica„Springerovy texty ve statistikách, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95234-5, oddíl 11.3
- ^ Tabachnikov, Serge (2005), Geometrie a kulečník, Providence, RI: Americká matematická společnost, s. 36–40, ISBN 978-0-8218-3919-5, oddíl 2.1
- ^ Durtschi, Cindy; Hillison, William; Pacini, Carl (2004), „Efektivní využití Benfordova zákona při odhalování podvodů v účetních datech“ (PDF), Časopis forenzního účetnictví, PROTI: 17–34, archivovány od originál (PDF) dne 29. srpna 2017, vyvoláno 28. května 2018
- ^ Wegener, Ingo (2005), Teorie složitosti: zkoumání mezí efektivních algoritmů, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21045-0, s. 1–2
- ^ Harel, David; Feldman, Yishai A. (2004), Algoritmie: duch výpočetní techniky, New York: Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-11784-7, str. 143
- ^ Knuth, Donald (1998), Umění počítačového programování Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-89685-5, oddíl 6.2.1, s. 409–26
- ^ Donald Knuth1998, oddíl 5.2.4, s. 158–68
- ^ Wegener, Ingo (2005), Teorie složitosti: zkoumání mezí efektivních algoritmů, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 20, ISBN 978-3-540-21045-0
- ^ Mohr, Hans; Schopfer, Peter (1995), Fyziologie rostlin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58016-4, kapitola 19, s. 298
- ^ Eco, Umberto (1989), Otevřená práce, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-63976-8, oddíl III.I
- ^ Sprott, Julien Clinton (2010), „Elegant Chaos: Algebraically Simple Chaotic Flows“, Elegantní chaos: Algebraicky jednoduché chaotické toky. Upravil Sprott Julien Clinton. Vydal World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, New Jersey: World Scientific, Bibcode:2010ecas.book ..... S, doi:10.1142/7183, ISBN 978-981-283-881-0, oddíl 1.9
- ^ Helmberg, Gilbert (2007), Seznámení s fraktályUčebnice De Gruyter, Berlín, New York: Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019092-2
- ^ Wright, David (2009), Matematika a hudba, Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4873-9, kapitola 5
- ^ Bateman, P.T .; Diamond, Harold G. (2004), Teorie analytických čísel: úvodní kurz, New Jersey: World Scientific, ISBN 978-981-256-080-3, OCLC 492669517věta 4.1
- ^ P. T. Bateman & Diamond2004, Věta 8.15
- ^ Slomson, Alan B. (1991), Úvod do kombinatoriky, Londýn: CRC Press, ISBN 978-0-412-35370-3, kapitola 4
- ^ Ganguly, S. (2005), Prvky komplexní analýzy, Kalkata: Academic Publishers, ISBN 978-81-87504-86-3, Definice 1.6.3
- ^ Nevanlinna, Rolf Herman; Paatero, Veikko (2007), „Úvod do komplexní analýzy“, London: Hilger, Providence, RI: AMS Bookstore, Bibcode:1974aitc.book ..... W, ISBN 978-0-8218-4399-4, oddíl 5.9
- ^ Moore, Theral Orvis; Hadlock, Edwin H. (1991), Složitá analýza, Singapur: World Scientific, ISBN 978-981-02-0246-0, oddíl 1.2
- ^ Wilde, Ivan Francis (2006), Poznámky k přednášce o komplexní analýze, Londýn: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-642-4věta 6.1.
- ^ Higham, Nicholasi (2008), Funkce matic. Teorie a výpočet, Philadelphia, PA: SIAM, ISBN 978-0-89871-646-7, kapitola 11.
- ^ Neukirch, Jürgen (1999), Algebraická teorie čísel, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, PAN 1697859, Zbl 0956.11021, oddíl II.5.
- ^ Hancock, Edwin R .; Martin, Ralph R .; Sabin, Malcolm A. (2009), Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, 7. – 9. Září 2009 Sborník, Springer, str. 379, ISBN 978-3-642-03595-1
- ^ Stinson, Douglas Robert (2006), Kryptografie: teorie a praxe (3. vyd.), Londýn: CRC Press, ISBN 978-1-58488-508-5
- ^ Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997), Konečná pole, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39231-0
- ^ Corless, R .; Gonnet, G .; Hare, D .; Jeffrey, D .; Knuth, Donald (1996), „Na Lambertovi Ž funkce" (PDF), Pokroky ve výpočetní matematice, 5: 329–59, doi:10.1007 / BF02124750, ISSN 1019-7168, S2CID 29028411, archivovány z originál (PDF) dne 14. prosince 2010, vyvoláno 13. února 2011
- ^ Cherkassky, Vladimir; Cherkassky, Vladimir S .; Mulier, Filip (2007), Učení se z dat: koncepty, teorie a metodySérie Wiley o adaptivních a výukových systémech pro zpracování signálu, komunikaci a řízení, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-68182-3, str. 357
- ^ Bourbaki, Nicolasi (1998), Obecná topologie. Kapitoly 5–10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-64563-4, PAN 1726872, oddíl V.4.1
- ^ Ambartzumian, R.V. (1990), Faktorizační počet a geometrická pravděpodobnost, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-34535-4, oddíl 1.4
- ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Přednášky o mizejících větáchSeminář DMV, 20, Basilej, Boston: Birkhäuser Verlag, CiteSeerX 10.1.1.178.3227, doi:10.1007/978-3-0348-8600-0, ISBN 978-3-7643-2822-1, PAN 1193913, sekce 2
- ^ Apostol, T.M. (2010), "Logaritmus", v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, PAN 2723248
externí odkazy
Média související s Logaritmus na Wikimedia Commons
Slovníková definice logaritmus na Wikislovníku
- Logaritmus (matematika) na Encyklopedie Britannica
- Weisstein, Eric W., "Logaritmus", MathWorld
- Khan Academy: Logaritmy, online mikro přednášky zdarma
- "Logaritmická funkce", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
- Colin Byfleet, Výukové video o logaritmech, vyvoláno 12. října 2010
- Edward Wright, Překlad Napierovy práce na logaritmech, archivovány od originálu dne 3. prosince 2002, vyvoláno 12. října 2010CS1 maint: unfit url (odkaz)
- Glaisher, James Whitbread Lee (1911), Encyklopedie Britannica, 16 (11. vydání), Cambridge University Press, str. 868–77 , v Chisholm, Hugh (ed.),