Stupeň polynomu - Degree of a polynomial

v matematika, stupeň a polynomiální je nejvyšší ze stupňů polynomu monomials (jednotlivé termíny) s nenulovými koeficienty. The stupeň semestru je součet exponentů proměnné které se v něm objevují, a je tedy nezáporný celé číslo. Pro jednorozměrný polynom, stupeň polynomu je prostě nejvyšší exponent vyskytující se v polynomu.^[1]^[2] Termín objednat byl použit jako synonymum pro stupeň ale v dnešní době může odkazovat na několik dalších konceptů (viz pořadí polynomu (disambiguation) ).

Například polynom ${displaystyle 7x ^ {2} y ^ {3} + 4x-9,}$ které lze také zapsat jako ${displaystyle 7x ^ {2} y ^ {3} + 4x ^ {1} y ^ {0} -9x ^ {0} y ^ {0},}$ má tři termíny. První člen má stupeň 5 (součet pravomoci 2 a 3), druhý člen má stupeň 1 a poslední člen má stupeň 0. Polynom má tedy stupeň 5, což je nejvyšší stupeň ze všech členů.

Chcete-li určit stupeň polynomu, který není ve standardní formě, například ${displaystyle (x + 1) ^ {2} - (x-1) ^ {2}}$ , lze ji dát do standardní formy rozšířením produktů (o distribučnost ) a kombinace podobných výrazů; například, ${displaystyle (x + 1) ^ {2} - (x-1) ^ {2} = 4x}$ je stupně 1, i když každý součet má stupeň 2. To však není nutné, když je polynom zapsán jako součin polynomů ve standardní formě, protože stupeň součinu je součtem stupňů faktorů.

Názvy polynomů podle stupňů

Následující názvy jsou přiřazeny polynomům podle jejich stupně:^[3]^[4]^[5]^[2]

Speciální případ - nula (vidět § Stupeň nulového polynomu níže)
Stupeň 0 - nenulový konstantní^[6]
Stupeň 1 - lineární
Stupeň 2 - kvadratický
Stupeň 3 - krychlový
Stupeň 4 - kvartální (nebo pokud mají všechny termíny rovnoměrný stupeň, dvojkvadratický )
Stupeň 5 - kvintický
Stupeň 6 - sextic (nebo méně často hexic)
Stupeň 7 - septický (nebo méně často heptic)

Pro vyšší stupně byla někdy navržena jména,^[7] ale používají se jen zřídka:

Stupeň 8 - oktetický
Stupeň 9 - nonic
Stupeň 10 - dec

Názvy stupňů nad tři vycházejí z latiny řadové číslovky a končí v -ic. To by mělo být odlišeno od názvů použitých pro počet proměnných, arity, které vycházejí z latiny distribuční čísla a končí v -ary. Například polynom stupně 2 ve dvou proměnných, například ${displaystyle x ^ {2} + xy + y ^ {2}}$ , se nazývá „binární kvadratický“: binární kvůli dvěma proměnným, kvadratický kvůli stupni dva.^[A] Existují také názvy počtu termínů, které jsou rovněž založeny na latinských distribučních číslech, končících na -nomiální; ty běžné jsou monomiální, binomický, a (méně často) trinomiální; tím pádem ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ je "binární kvadratický dvojčlen".

Příklady

Polynom ${displaystyle (y-3) (2y + 6) (- 4y-21)}$ je kubický polynom: po vynásobení a sbírání výrazů stejného stupně se stane ${displaystyle -8y ^ {3} -42y ^ {2} + 72y + 378}$ , s nejvyšším exponentem 3.

Polynom ${displaystyle (3z ^ {8} + z ^ {5} -4z ^ {2} +6) + (- 3z ^ {8} + 8z ^ {4} + 2z ^ {3} + 14z)}$ je kvintický polynom: po zkombinování podobných výrazů se dva termíny stupně 8 zruší a odejdou ${displaystyle z ^ {5} + 8z ^ {4} + 2z ^ {3} -4z ^ {2} + 14z + 6}$ , s nejvyšším exponentem 5.

Chování při polynomiálních operacích

Stupeň součtu, součin nebo složení dvou polynomů silně souvisí se stupněm vstupních polynomů.^[8]

Přidání

Stupeň součtu (nebo rozdílu) dvou polynomů je menší nebo roven většímu z jejich stupňů; to je

{displaystyle deg (P + Q) leq max {deg (P), deg (Q)}}

a

{displaystyle deg (P-Q) leq max {deg (P), deg (Q)}}

.

Například stupeň ${displaystyle (x ^ {3} + x) - (x ^ {3} + x ^ {2}) = - x ^ {2} + x}$ je 2 a 2 ≤ max {3, 3}.

Rovnost platí vždy, když jsou stupně polynomů různé. Například stupeň ${displaystyle (x ^ {3} + x) + (x ^ {2} +1) = x ^ {3} + x ^ {2} + x + 1}$ je 3 a 3 = max. {3, 2}.

Násobení

Stupeň součinu polynomu nenulovou skalární se rovná stupni polynomu; to je

{displaystyle deg (cP) = deg (P)}

.

Například stupeň ${displaystyle 2 (x ^ {2} + 3x-2) = 2x ^ {2} + 6x-4}$ je 2, což se rovná stupni ${displaystyle x ^ {2} + 3x-2}$ .

To znamená, že soubor polynomů (s koeficienty z daného pole F), jejichž stupně jsou menší nebo rovny danému číslu n tvoří a vektorový prostor; pro více viz Příklady vektorových prostorů.

Obecněji řečeno, stupeň součinu dvou polynomů nad a pole nebo integrální doména je součet jejich stupňů:

{displaystyle deg (PQ) = deg (P) + deg (Q)}

.

Například stupeň ${displaystyle (x ^ {3} + x) (x ^ {2} +1) = x ^ {5} + 2x ^ {3} + x}$ je 5 = 3 + 2.

Pro polynomy nad libovolným prsten, výše uvedená pravidla nemusí být platná z důvodu zrušení, ke kterému může dojít při vynásobení dvou nenulových konstant. Například v ringu ${displaystyle mathbf {Z} / 4mathbf {Z}}$ z celá čísla 4, jeden to má ${displaystyle deg (2x) = deg (1 + 2x) = 1}$ , ale ${displaystyle deg (2x (1 + 2x)) = deg (2x) = 1}$ , což se nerovná součtu stupňů faktorů.

Složení

Stupeň složení dvou nekonstantních polynomů ${displaystyle P}$ a ${displaystyle Q}$ nad polem nebo integrální doménou je součin jejich stupňů:

{displaystyle deg (Pcirc Q) = deg (P) deg (Q)}

.

Například:

Li ${displaystyle P = (x ^ {3} + x)}$ , ${displaystyle Q = (x ^ {2} +1)}$ , pak ${displaystyle Pcirc Q = Pcirc (x ^ {2} +1) = (x ^ {2} +1) ^ {3} + (x ^ {2} +1) = x ^ {6} + 3x ^ {4 } + 4x ^ {2} +2}$ , který má 6. stupeň.

U polynomů nad libovolným kruhem to nemusí nutně platit. Například v ${displaystyle mathbf {Z} / 4mathbf {Z}}$ , ${displaystyle deg (2x) deg (1 + 2x) = 1cdot 1 = 1}$ , ale ${displaystyle deg (2xcirc (1 + 2x)) = deg (2 + 4x) = deg (2) = 0}$ .

Stupeň nulového polynomu

Stupeň nulový polynom je buď ponecháno nedefinované, nebo je definováno jako záporné (obvykle −1 nebo ${displaystyle -infty}$ ).^[9]

Jako každou konstantní hodnotu lze i hodnotu 0 považovat za (konstantní) polynom, který se nazývá nulový polynom. Nemá žádné nenulové výrazy, a tedy, přísně vzato, nemá ani diplom. Jako takový je jeho stupeň obvykle nedefinovaný. Výroky týkající se míry součtů a součinů polynomů ve výše uvedené části se nepoužijí, pokud je některý z polynomů nulový polynom.^[10]

Je však vhodné definovat stupeň nulového polynomu, který má být negativní nekonečno, ${displaystyle -infty,}$ a zavést aritmetická pravidla^[11]

{displaystyle max (a, -infty) = a,}

a

{displaystyle a + (- infty) = - infty.}

Tyto příklady ilustrují, jak toto rozšíření vyhovuje pravidla chování výše:

Stupeň součtu ${displaystyle (x ^ {3} + x) + (0) = x ^ {3} + x}$ je 3. To uspokojuje očekávané chování, kterým je ${displaystyle 3leq max (3, -infty)}$ .
Stupeň rozdílu ${displaystyle (x) - (x) = 0}$ je ${displaystyle -infty}$ . To uspokojí očekávané chování, kterým je ${displaystyle -infty leq max (1,1)}$ .
Stupeň produktu ${displaystyle (0) (x ^ {2} +1) = 0}$ je ${displaystyle -infty}$ . To uspokojuje očekávané chování, kterým je ${displaystyle -infty = -infty +2}$ .

Vypočítáno z hodnot funkcí

Existuje řada vzorců, které vyhodnotí stupeň polynomiální funkce F. Jeden na základě asymptotická analýza je

{displaystyle deg f = lim _ {xightarrow infty} {frac {log | f (x) |} {log x}}}

;

toto je přesný protějšek metody odhadu sklonu v a log – log plot.

Tento vzorec zobecňuje koncept stupně na některé funkce, které nejsou polynomy. Například:

Stupeň multiplikativní inverzní, ${displaystyle 1 / x}$ , je -1.
Stupeň odmocnina, ${displaystyle {sqrt {x}}}$ , je 1/2.
Stupeň logaritmus, ${displaystyle log x}$ , je 0.
Stupeň exponenciální funkce, ${displaystyle exp x}$ , je ${displaystyle infty.}$

Vzorec také poskytuje rozumné výsledky pro mnoho kombinací takových funkcí, např. Stupeň ${displaystyle {frac {1+ {sqrt {x}}} {x}}}$ je ${displaystyle -1/2}$ .

Další vzorec pro výpočet stupně F z jeho hodnot je

{displaystyle deg f = lim _ {x o infty} {frac {xf '(x)} {f (x)}}}

;

tento druhý vzorec vyplývá z použití Pravidlo L'Hôpital na první vzorec. Intuitivně však jde spíše o vystavování titulu d jako extra konstantní faktor v derivát ${displaystyle dx ^ {d-1}}$ z ${displaystyle x ^ {d}}$ .

Podrobnější popis asymptotiky funkce (než jednoduchý číselný stupeň) lze získat pomocí velká O notace. V analýza algoritmů, je například často relevantní rozlišovat mezi tempem růstu ${displaystyle x}$ a ${displaystyle xlog x}$ , které by oba vyšly jako stejný stupně podle výše uvedených vzorců.

Rozšíření na polynomy se dvěma nebo více proměnnými

Pro polynomy ve dvou nebo více proměnných je stupeň termínu součet exponentů proměnných v termínu; stupeň (někdy nazývaný celkový stupeň) polynomu je opět maximum stupňů všech členů v polynomu. Například polynom X²y² + 3X³ + 4y má titul 4, stejný titul jako termín X²y².

Polynom v proměnných X a y, je polynom v X s koeficienty, které jsou polynomy v y, a také polynom v y s koeficienty, které jsou polynomy v X. Polynom

{displaystyle x ^ {2} y ^ {2} + 3x ^ {3} + 4y = (3) x ^ {3} + (y ^ {2}) x ^ {2} + (4y) = (x ^ {2}) y ^ {2} + (4) y + (3x ^ {3})}

má titul 3 v X a stupeň 2 v y.

Titulní funkce v abstraktní algebře

Vzhledem k prsten R, polynomiální kruh R[X] je množina všech polynomů v X které mají koeficienty v R. Ve zvláštním případě R je také a pole, polynomický kruh R[X] je hlavní ideální doména a co je důležitější pro naši diskusi zde, a Euklidovská doména.

Je možné ukázat, že stupeň polynomu nad polem splňuje všechny požadavky norma funkce v euklidovské doméně. To znamená, že vzhledem ke dvěma polynomům F(X) a G(X), stupeň produktu F(X)G(X) musí být větší než oba stupně F a G jednotlivě. Ve skutečnosti platí něco silnějšího:

deg (F(X)G(X)) = deg (F(X)) + deg (G(X))

Příklad, proč funkce stupně může selhat nad prstenem, který není polem, si vezměte v následujícím příkladu. Nechat R = ${displaystyle mathbb {Z} / 4mathbb {Z}}$ , kruh celých čísel modulo 4. Tento prsten není pole (a dokonce ani není) integrální doména ) protože 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4). Pojďme tedy F(X) = G(X) = 2X + 1. Pak, F(X)G(X) = 4X² + 4X + 1 = 1. Tedy deg (F⋅G) = 0, který není větší než stupně F a G (každý měl stupeň 1).

Protože norma funkce není definována pro nulový prvek prstenu, vezmeme v úvahu stupeň polynomu F(X) = 0 také být nedefinováno, takže dodržuje pravidla normy v euklidovské doméně.

Viz také

Poznámky

^ Pro jednoduchost je to a homogenní polynom, se stejným stupněm v obou proměnných samostatně.

^ Weisstein, Eric W. „Polynomiální stupeň“. mathworld.wolfram.com. Citováno 31. srpna 2020.
^ ^A ^b „Stupeň (výrazu)“. www.mathsisfun.com. Citováno 31. srpna 2020.
^ "Názvy polynomů". 25. listopadu 1997. Citováno 5. února 2012.
^ Mac Lane a Birkhoff (1999) definují „lineární“, „kvadratické“, „kubické“, „kvartické“ a „kvintické“. (str. 107)
^ King (2009) definuje „kvadratické“, „kubické“, „kvartické“, „kvintické“, „sextické“, „septické“ a „oktické“.
^ Shafarevich (2003) říká o polynomu stupně nula, ${displaystyle f (x) = a_ {0}}$ : "Takový polynom se nazývá a konstantní protože pokud dosadíme různé hodnoty X v něm vždy získáme stejnou hodnotu ${displaystyle a_ {0}}$ . “(str. 23)
^ James Cockle navrhl jména „sexic“, „septic“, „octic“, „nonic“ a „decic“ v roce 1851. (Časopis Mechanics, Sv. LV, s. 171 )
^ Lang, Serge (2005). Algebra (3. vyd.). Springer. str. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.
^ Shafarevich (2003) říká o nulovém polynomu: „V tomto případě považujeme stupeň polynomu za nedefinovaný.“ (str. 27)
Childs (1995) používá -1. (str. 233)
Childs (2009) používá −∞ (s. 287), nicméně ve svém Proposition 1 (s. 288) vylučuje nulové polynomy a poté vysvětluje, že pro nulové polynomy platí tvrzení „s rozumným předpokladem, že ${displaystyle -infty}$ + m = ${displaystyle -infty}$ pro m jakékoli celé číslo nebo m = ${displaystyle -infty}$ ".
Axler (1997) používá −∞. (str. 64)
Grillet (2007) říká: „Stupeň nulového polynomu 0 je někdy ponechán nedefinovaný nebo je různě definován jako −1 ∈ ℤ nebo jako ${displaystyle -infty}$ , pokud je stupeň 0 A pro všechny A ≠ 0." (A je polynom.) Ve svém návrhu 5.3 však vylučuje nulové polynomy. (str. 121)
^ Barile, Margherita. „Zero Polynomial“. MathWorld.
^ Axler (1997) uvádí tato pravidla a říká: „Polynom 0 je deklarován jako stupeň ${displaystyle -infty}$ takže pro různé rozumné výsledky nejsou nutné výjimky. “(str. 64)

Reference

Axler, Sheldone (1997), Lineární algebra Hotovo správně (2. vyd.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (1995), Konkrétní úvod do vyšší algebry (2. vyd.), Springer Science & Business Media
Childs, Lindsay N. (2009), Konkrétní úvod do vyšší algebry (3. vyd.), Springer Science & Business Media
Grillet, Pierre Antoine (2007), Abstraktní algebra (2. vyd.), Springer Science & Business Media
Král, R. Bruce (2009), Za kvartickou rovnicí, Springer Science & Business Media
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Algebra (3. vyd.), American Mathematical Society
Šafarevič, Igor R. (2003), Pojednání o algebře, Springer Science & Business Media

externí odkazy

Polynomiální řád; Wolfram MathWorld

[8] Pro jednoduchost je to a homogenní polynom, se stejným stupněm v obou proměnných samostatně.

[1] Weisstein, Eric W. „Polynomiální stupeň“. mathworld.wolfram.com. Citováno 31. srpna 2020.

[:0-2] A ^b „Stupeň (výrazu)“. www.mathsisfun.com. Citováno 31. srpna 2020.

[3] "Názvy polynomů". 25. listopadu 1997. Citováno 5. února 2012.

[4] Mac Lane a Birkhoff (1999) definují „lineární“, „kvadratické“, „kubické“, „kvartické“ a „kvintické“. (str. 107)

[5] King (2009) definuje „kvadratické“, „kubické“, „kvartické“, „kvintické“, „sextické“, „septické“ a „oktické“.

[6] Shafarevich (2003) říká o polynomu stupně nula, ${displaystyle f (x) = a_ {0}}$ : "Takový polynom se nazývá a konstantní protože pokud dosadíme různé hodnoty X v něm vždy získáme stejnou hodnotu ${displaystyle a_ {0}}$ . “(str. 23)

[7] James Cockle navrhl jména „sexic“, „septic“, „octic“, „nonic“ a „decic“ v roce 1851. (Časopis Mechanics, Sv. LV, s. 171 )

[9] Lang, Serge (2005). Algebra (3. vyd.). Springer. str. 100. ISBN 978-0-387-95385-4.

[10] Shafarevich (2003) říká o nulovém polynomu: „V tomto případě považujeme stupeň polynomu za nedefinovaný.“ (str. 27)
Childs (1995) používá -1. (str. 233)
Childs (2009) používá −∞ (s. 287), nicméně ve svém Proposition 1 (s. 288) vylučuje nulové polynomy a poté vysvětluje, že pro nulové polynomy platí tvrzení „s rozumným předpokladem, že ${displaystyle -infty}$ + m = ${displaystyle -infty}$ pro m jakékoli celé číslo nebo m = ${displaystyle -infty}$ ".
Axler (1997) používá −∞. (str. 64)
Grillet (2007) říká: „Stupeň nulového polynomu 0 je někdy ponechán nedefinovaný nebo je různě definován jako −1 ∈ ℤ nebo jako ${displaystyle -infty}$ , pokud je stupeň 0 A pro všechny A ≠ 0." (A je polynom.) Ve svém návrhu 5.3 však vylučuje nulové polynomy. (str. 121)

[11] Barile, Margherita. „Zero Polynomial“. MathWorld.

[12] Axler (1997) uvádí tato pravidla a říká: „Polynom 0 je deklarován jako stupeň ${displaystyle -infty}$ takže pro různé rozumné výsledky nejsou nutné výjimky. “(str. 64)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[A]

[8]

[9]

[10]

[11]

Polynomy a polynomiální funkce
Podle stupeň	Nulový polynom (stupeň nedefinovaný nebo −1 nebo −∞) Konstantní funkce (0) Lineární funkce (1) Lineární rovnice Kvadratická funkce (2) Kvadratická rovnice Kubická funkce (3) Kubická rovnice Kvartová funkce (4) Kvartická rovnice Quintic funkce (5) Sextová rovnice (6) Septická rovnice (7)
Podle vlastností	Univariate Bivariate Vícerozměrný Monomiální Binomický Trinomiální Neredukovatelné Bez náměstí Homogenní Kvazi homogenní
Nástroje a algoritmy	Faktorizace Největší společný dělitel Divize Hornerova metoda hodnocení Výsledný Diskriminační Gröbnerův základ