Limit posloupnosti - Limit of a sequence

Posloupnost daná obvody pravidelného n-stranný mnohoúhelníky které vymezují jednotkový kruh má limit rovný obvodu kruhu, tj.

{ displaystyle 2 pi r}

. Odpovídající sekvence pro vepsané polygony má stejný limit.

n	n hřích (1 /n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Jako pozitivní celé číslo ${ displaystyle n}$ hodnota se zvětšuje a zvětšuje ${ displaystyle n cdot sin left ({ tfrac {1} {n}} right)}$ se libovolně přiblíží ${ displaystyle 1}$ . Říkáme, že „limit posloupnosti ${ displaystyle n cdot sin left ({ tfrac {1} {n}} right)}$ rovná se ${ displaystyle 1}$ ."

v matematika, limit posloupnosti je hodnota, kterou podmínky a sekvence "inklinovat k", a je často označován pomocí ${ displaystyle lim}$ symbol (např. ${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n}}$ ).^[1]^[2] Pokud takový limit existuje, je sekvence volána konvergentní.^[3] Sekvence, která nesblíží se říká odlišný.^[4] O limitu posloupnosti se říká, že je to základní pojem, na kterém je celá matematická analýza nakonec spočívá.^[2]

Limity lze definovat v libovolném metrický nebo topologický prostor, ale obvykle se poprvé setkají v reálná čísla.

Dějiny

Řecký filozof Zeno Elea je známý pro formulování paradoxy, které zahrnují omezující procesy.

Leucippus, Democritus, Antifon, Eudoxus, a Archimedes vyvinul způsob vyčerpání, který používá nekonečnou sekvenci aproximací k určení oblasti nebo objemu. Archimédovi se podařilo shrnout to, co se nyní nazývá a geometrické řady.

Newton se ve svých pracích zabýval sériemi Analýza s nekonečnými řadami (napsáno v roce 1669, rozesláno v rukopisu, publikováno v roce 1711), Metoda toků a nekonečné řady (napsáno v roce 1671, publikováno v anglickém překladu v roce 1736, latinský originál publikován mnohem později) a Tractatus de Quadratura Curvarum (napsáno v roce 1693, publikováno v roce 1704 jako dodatek k jeho Optiky). Ve druhé práci Newton uvažuje o binomické expanzi (X + Ó)ⁿ, kterou poté linearizuje brát limit tak jako Ó inklinuje k 0.

V 18. století matematici jako Euler některé se podařilo shrnout odlišný série zastavením ve správný okamžik; moc se nestarali o to, zda nějaký limit existuje, pokud to lze vypočítat. Na konci století Lagrange v jeho Théorie des fonctions analytiques (1797) se domníval, že nedostatek přísnosti vylučuje další vývoj v počtu. Gauss v jeho etudě hypergeometrická řada (1813) poprvé důkladně zkoumali, za jakých podmínek řada konvergovala k limitu.

Moderní definice limitu (pro každé ε existuje index N takže ...) bylo dáno Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Praha 1816, v té době málo povšimnuté), a Karl Weierstrass v 70. letech 19. století.

Skutečná čísla

Děj konvergentní sekvence {A_n} je zobrazen modře. Zde je vidět, že posloupnost konverguje k limitu 0 jako n zvyšuje.

V reálná čísla, číslo ${ displaystyle L}$ je omezit z sekvence ${ displaystyle (x_ {n})}$ , pokud se čísla v pořadí blíží a blíží ${ displaystyle L}$ —A ne na žádné jiné číslo.

Příklady

Li ${ displaystyle x_ {n} = c}$ pro konstantní C, pak ${ displaystyle x_ {n} to c}$ .^{[důkaz 1]}^[5]
Li ${ displaystyle x_ {n} = { frac {1} {n}}}$ , pak ${ displaystyle x_ {n} až 0}$ .^{[důkaz 2]}^[5]
Li ${ displaystyle x_ {n} = 1 / n}$ když ${ displaystyle n}$ je sudý, a ${ displaystyle x_ {n} = { frac {1} {n ^ {2}}}}$ když ${ displaystyle n}$ je tedy zvláštní ${ displaystyle x_ {n} až 0}$ . (Skutečnost, že ${ displaystyle x_ {n + 1}> x_ {n}}$ kdykoli ${ displaystyle n}$ je liché je irelevantní.)
Vzhledem k jakémukoli reálnému číslu lze snadno sestrojit sekvenci, která konverguje k tomuto číslu pomocí desetinných aproximací. Například sekvence ${ displaystyle 0,3,0,33,0,333,0,3333, ...}$ konverguje k ${ displaystyle 1/3}$ . Všimněte si, že desetinné vyjádření ${ displaystyle 0.3333 ...}$ je omezit předchozí sekvence, definované

{ displaystyle 0.3333 ...: = lim _ {n to infty} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {3} {10 ^ {i}}}}

.

Nalezení limitu sekvence není vždy zřejmé. Jsou dva příklady ${ displaystyle lim _ {n až infty} vlevo (1 + { frac {1} {n}} vpravo) ^ {n}}$ (jehož limitem je číslo E ) a Aritmeticko – geometrický průměr. The zmáčknout teorém je často užitečné při stanovení těchto limitů.

Formální definice

Voláme ${ displaystyle x}$ the omezit z sekvence ${ displaystyle (x_ {n})}$ pokud platí následující podmínka:

Pro každého reálné číslo ${ displaystyle epsilon> 0}$ , existuje a přirozené číslo ${ displaystyle N}$ takové, že pro každé přirozené číslo ${ displaystyle n geq N}$ , my máme ${ displaystyle | x_ {n} -x | < epsilon}$ .^[6]

Jinými slovy, pro každou míru blízkosti ${ displaystyle epsilon}$ , pojmy sekvence jsou nakonec tak blízko limitu. Sekvence ${ displaystyle (x_ {n})}$ říká se konvergovat k nebo mají tendenci omezení ${ displaystyle x}$ , psaný ${ displaystyle x_ {n} až x}$ nebo ${ displaystyle lim _ {n to infty} x_ {n} = x}$ .

Symbolicky je to:

${ displaystyle forall varepsilon> 0 ( existuje N in mathbb {N} ( forall n in mathbb {N} (n geq N implikuje | x_ {n} -x | < varepsilon) )).}$

Pokud posloupnost konverguje k nějakému limitu, pak je konvergentní; jinak je odlišný. Sekvence, která má jako limit nulu, se někdy nazývá a nulová sekvence.

Ilustrace

Příklad posloupnosti, která konverguje k limitu ${ displaystyle a}$ .
Bez ohledu na to ${ displaystyle varepsilon> 0}$ máme, existuje index ${ displaystyle N_ {0}}$ , takže posloupnost poté leží úplně v epsilonové trubici ${ displaystyle (a- varepsilon, a + varepsilon)}$ .
K dispozici je také pro menší ${ displaystyle epsilon _ {1}> 0}$ index ${ displaystyle N_ {1}}$ , takže sekvence je poté uvnitř epsilon trubice ${ displaystyle (a- varepsilon _ {1}, a + varepsilon _ {1})}$ .
Pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ mimo trubici epsilon je jen konečně mnoho členů sekvence.

Vlastnosti

Limity sekvencí se chovají dobře s ohledem na obvyklé aritmetické operace. Li ${ displaystyle a_ {n} to a}$ a ${ displaystyle b_ {n} až b}$ , pak ${ displaystyle a_ {n} + b_ {n} do a + b}$ , ${ displaystyle a_ {n} cdot b_ {n} až ab}$ a pokud ani jeden b ani žádný ${ displaystyle b_ {n}}$ je nula, ${ displaystyle { frac {a_ {n}} {b_ {n}}} do { frac {a} {b}}}$ .^[5]

Pro všechny spojitá funkce F, pokud ${ displaystyle x_ {n} až x}$ pak ${ displaystyle f (x_ {n}) až f (x)}$ . Ve skutečnosti jakékoli skutečné hodnoty funkce F je spojitý právě tehdy, pokud zachovává limity posloupností (i když to nemusí být nutně pravda, když použijeme obecnější pojmy spojitosti).

Některé další důležité vlastnosti limitů reálných posloupností zahrnují následující (za předpokladu, že v každé níže uvedené rovnici existují limity vpravo).

Limit sekvence je jedinečný.^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} (a_ {n} pm b_ {n}) = lim _ {n to infty} a_ {n} pm lim _ {n to infty} b_ {n}}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} ca_ {n} = c cdot lim _ {n to infty} a_ {n}}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} (a_ {n} cdot b_ {n}) = ( lim _ {n to infty} a_ {n}) cdot ( lim _ {n to infty} b_ {n})}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} left ({ frac {a_ {n}} {b_ {n}}} right) = { frac { lim limits _ {n to infty} a_ {n}} { lim limity _ {n na infty} b_ {n}}}}$ pokud ${ displaystyle lim _ {n to infty} b_ {n} neq 0}$ ^[5]
${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} ^ {p} = left [ lim _ {n to infty} a_ {n} right] ^ {p}}$
Li ${ displaystyle a_ {n} leq b_ {n}}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ větší než někteří ${ displaystyle N}$ , pak ${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} leq lim _ {n to infty} b_ {n}}$ .
(Zmáčkněte větu ) Pokud ${ displaystyle a_ {n} leq c_ {n} leq b_ {n}}$ pro všechny ${ displaystyle n> N}$ , a ${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = lim _ {n to infty} b_ {n} = L}$ , pak ${ displaystyle lim _ {n to infty} c_ {n} = L}$ .
Pokud je sekvence ohraničený a monotóní, pak je konvergentní.
Sekvence je konvergentní právě tehdy, když je konvergována každá subsekvence.
Pokud má každá subsekvence sekvence vlastní subsekvenci, která konverguje do stejného bodu, pak původní sekvence konverguje do tohoto bodu.

Tyto vlastnosti se značně používají k prokázání limitů, aniž by bylo nutné přímo používat těžkopádnou formální definici. Například. jakmile se to prokáže ${ displaystyle 1 / n až 0}$ , je snadné to - pomocí výše uvedených vlastností - ukázat ${ displaystyle { frac {a} {b + { frac {c} {n}}}} do { frac {a} {b}}}$ (za předpokladu, že ${ displaystyle b neq 0}$ ).

Nekonečné limity

Sekvence ${ displaystyle (x_ {n})}$ říká se inklinují k nekonečnu, psaný ${ displaystyle x_ {n} do infty}$ nebo ${ displaystyle lim _ {n to infty} x_ {n} = infty}$ , pokud pro každého K., tady je N tak, že pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle x_ {n}> K}$ ; to znamená, že termíny sekvence jsou nakonec větší než jakékoli pevné K..

Podobně, ${ displaystyle x_ {n} do - infty}$ pokud pro každého K., tady je N tak, že pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle x_ {n}$ . Pokud má sekvence sklon k nekonečnu nebo mínus nekonečnu, pak se liší. Divergentní sekvence však nemusí mít sklon k plus nebo minus nekonečnu a sekvenci ${ displaystyle x_ {n} = (- 1) ^ {n}}$ poskytuje jeden takový příklad.

Metrické prostory

Definice

Bod ${ displaystyle x}$ z metrický prostor ${ displaystyle (X, d)}$ je omezit z sekvence ${ displaystyle (x_ {n})}$ pokud pro všechny ${ displaystyle epsilon> 0}$ , tady je ${ displaystyle N}$ takové, že pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle d (x_ {n}, x) < epsilon}$ . To se shoduje s definicí danou pro reálná čísla, když ${ displaystyle X = mathbb {R}}$ a ${ displaystyle d (x, y) = | x-y |}$ .

Vlastnosti

Pro všechny spojitá funkce F, pokud ${ displaystyle x_ {n} až x}$ pak ${ displaystyle f (x_ {n}) až f (x)}$ . Ve skutečnosti funkce F je spojitý právě tehdy, pokud zachovává limity posloupností.

Limity sekvencí jsou jedinečné, pokud existují, protože odlišné body jsou odděleny určitou kladnou vzdáleností, takže pro ${ displaystyle epsilon}$ méně než polovina této vzdálenosti, termíny sekvence nemohou být ve vzdálenosti ${ displaystyle epsilon}$ obou bodů.

Topologické prostory

Definice

Bod X topologického prostoru (X, τ) je a omezit z sekvence (X_n) pokud pro každého sousedství U z X, tady je N tak, že pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle x_ {n} v U}$ .^[7] To se shoduje s definicí danou pro metrické prostory, pokud (X, d) je metrický prostor a ${ displaystyle tau}$ je topologie generovaná d.

Limit posloupnosti bodů ${ displaystyle left (x_ {n}: n in mathbb {N} right) ;}$ v topologickém prostoru T je speciální případ a limit funkce: doména je ${ displaystyle mathbb {N}}$ v prostoru ${ displaystyle mathbb {N} cup lbrace + infty rbrace}$ , s indukovaná topologie z afinně rozšířený systém reálných čísel, rozsah je Ta argument funkce n má sklon k + ∞, což je v tomto prostoru a mezní bod z ${ displaystyle mathbb {N}}$ .

Vlastnosti

Li X je Hausdorffův prostor, pak jsou limity sekvencí jedinečné tam, kde existují. Všimněte si, že tomu tak obecně nemusí být; zejména pokud dva body X a y jsou topologicky nerozeznatelné, pak libovolná sekvence, která konverguje k X musí konvergovat k y a naopak.

Cauchyovy sekvence

Děj Cauchyho sekvence (X_n), zobrazeno modře, jako X_n proti n. Vizuálně vidíme, že posloupnost se zdá být konvergující k meznímu bodu, když se pojmy v posloupnosti blíží k sobě n zvyšuje. V reálná čísla každá Cauchyova sekvence konverguje k nějakému limitu.

Cauchyova sekvence je sekvence, jejíž termíny se nakonec stávají libovolně blízko u sebe, poté, co bylo vyřazeno dostatečně mnoho počátečních termínů. Pojem Cauchyova sekvence je důležitý při studiu sekvencí v metrické prostory, a zejména v skutečná analýza. Jedním zvláště důležitým výsledkem skutečné analýzy je Cauchyovo kritérium pro konvergenci sekvencí: posloupnost reálných čísel je konvergentní právě tehdy, pokud jde o Cauchyovu posloupnost. U ostatních to platí kompletní metrické prostory.

Definice v hyperrealistických číslech

Definice limitu pomocí hyperrealistická čísla formalizuje intuici, že pro „velmi velkou“ hodnotu indexu je odpovídající výraz „velmi blízko“ limitu. Přesněji řečeno, skutečná sekvence ${ displaystyle (x_ {n})}$ má sklony k L pokud pro každého nekonečného hyperpřirozené H, termín X_H je nekonečně blízko L (tj. rozdíl X_H − L je infinitezimální ). Ekvivalentně L je standardní součást z X_H

{ displaystyle L = { rm {st}} (x_ {H}). ,}

Limitu lze tedy definovat vzorcem

{ displaystyle lim _ {n to infty} x_ {n} = { rm {st}} (x_ {H}),}

kde limit existuje právě tehdy, je-li pravá strana nezávislá na volbě nekonečna H.

Viz také

Limit funkce - Bod, ke kterému se funkce v topologii sbíhají
Mezní bod - Bod X v topologickém prostoru, jehož všechna sousedství obsahují nějaký bod v dané podmnožině, který se liší od X.
Limit superior a limit inferior
Režimy konvergence
Limit sítě - A síť je topologické zobecnění sekvence.
Set-teoretický limit
Pravidlo posunu
Následný limit

Poznámky

^ „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-18.
^ ^A ^b Courant (1961), str. 29.
^ Weisstein, Eric W. „Konvergentní sekvence“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.
^ Courant (1961), str. 39.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h "Limits of Sequences | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Citováno 2020-08-18.
^ Weisstein, Eric W. "Omezit". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.
^ Zeidler, Eberhard (1995). Aplikovaná funkční analýza: hlavní principy a jejich aplikace (1. vyd.). New York: Springer-Verlag. str. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.

Důkazy

^ Důkaz: Vybrat ${ displaystyle N = 1}$ . Pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -c | = 0 < epsilon}$
^ Důkaz: Vybrat ${ displaystyle N = left lfloor { frac {1} { epsilon}} right rfloor}$ + 1 ( funkce podlahy ). Pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -0 | leq x_ {N} = { frac {1} { lfloor 1 / epsilon rfloor +1}} < epsilon}$ .

Reference

Courant, Richarde (1961). „Diferenciální a integrální počet svazků I“, Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
Frank Morley a James Harkness Pojednání o teorii funkcí (New York: Macmillan, 1893)

externí odkazy

"Omezit", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Historie počtu, včetně limitů

[1] „Kompendium matematických symbolů“. Matematický trezor. 2020-03-01. Citováno 2020-08-18.

[Courant_(1961),_p._29-2] A ^b Courant (1961), str. 29.

[3] Weisstein, Eric W. „Konvergentní sekvence“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.

[4] Courant (1961), str. 39.

[:0-6] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h "Limits of Sequences | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org. Citováno 2020-08-18.

[8] Weisstein, Eric W. "Omezit". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.

[9] Zeidler, Eberhard (1995). Aplikovaná funkční analýza: hlavní principy a jejich aplikace (1. vyd.). New York: Springer-Verlag. str. 29. ISBN 978-0-387-94422-7.

[5] Důkaz: Vybrat ${ displaystyle N = 1}$ . Pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -c | = 0 < epsilon}$

[7] Důkaz: Vybrat ${ displaystyle N = left lfloor { frac {1} { epsilon}} right rfloor}$ + 1 ( funkce podlahy ). Pro každého ${ displaystyle n geq N}$ , ${ displaystyle | x_ {n} -0 | leq x_ {N} = { frac {1} { lfloor 1 / epsilon rfloor +1}} < epsilon}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[důkaz 1]

[5]

[důkaz 2]

[6]

[7]