Integrace disku - Disc integration

Integrace disku, také známý v integrální počet jako disková metoda, je metoda pro výpočet objem a revoluční těleso materiálu v pevné fázi, když integrace podél osy "rovnoběžné" s osa revoluce. Tato metoda modeluje výsledný trojrozměrný tvar jako hromadu nekonečného počtu disků s různým poloměrem a nekonečně malou tloušťkou. Stejné principy je také možné použít s kroužky místo disků („metoda podložky") k získání dutých pevných těles otáček. To je na rozdíl od integrace prostředí který se integruje podél osy kolmý k ose revoluce.

Definice

Funkce $X$

Pokud je funkce, která se má otáčet, funkcí $X$ , následující integrál představuje objem rotačního tělesa:

{ displaystyle pi int _ {a} ^ {b} R (x) ^ {2} , dx}

kde $R (X)$ je vzdálenost mezi funkcí a osou otáčení. To funguje, pouze pokud osa otáčení je horizontální (příklad: $y = 3$ nebo nějaká jiná konstanta).

Funkce $y$

Pokud je funkce, která se má otáčet, funkcí $y$ , získá následující integrál objem rotačního tělesa:

{ displaystyle pi int _ {c} ^ {d} R (y) ^ {2} , dy}

kde $R (y)$ je vzdálenost mezi funkcí a osou otáčení. To funguje, pouze pokud osa otáčení je vertikální (příklad: $X = 4$ nebo nějaká jiná konstanta).

Metoda podložky

Pro získání dutého rotačního tělesa („metoda podložky“) by bylo postupem odebrat objem vnitřního rotačního tělesa a odečíst jej od objemu vnějšího rotačního tělesa. To lze vypočítat v jediném integrálu podobném následujícímu:

{ displaystyle pi int _ {a} ^ {b} vlevo (R _ { mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ { mathrm {I}} (x) ^ {2} vpravo) , dx}

kde $R Ó (X)$ je funkce, která je nejdále od osy otáčení a $R Já (X)$ je funkce, která je nejblíže k ose otáčení. Například následující obrázek ukazuje rotaci podél $X$ osa červeného „listu“ uzavřená mezi druhou odmocninou a kvadratickými křivkami:

Rotace kolem osy x

Objem této pevné látky je:

{ displaystyle pi int _ {0} ^ {1} left ( left ({ sqrt {x}} right) ^ {2} - left (x ^ {2} right) ^ {2 } vpravo) , dx ,.}

Jeden by měl být opatrný, aby nehodnotil druhou mocninu rozdílu dvou funkcí, ale aby vyhodnotil rozdíl druhých mocnin obou funkcí.

{ displaystyle R _ { mathrm {O}} (x) ^ {2} -R _ { mathrm {I}} (x) ^ {2} neq left (R _ { mathrm {O}} (x) -R _ { mathrm {I}} (x) vpravo) ^ {2}}

(Tento vzorec funguje pouze pro revoluce kolem $X$ -osa.)

Chcete-li otáčet kolem libovolné vodorovné osy, jednoduše odečtěte od této osy každý vzorec. Li $h$ je hodnota vodorovné osy, pak se objem rovná

{ displaystyle pi int _ {a} ^ {b} left ( left (h-R _ { mathrm {O}} (x) right) ^ {2} - left (h-R _ { mathrm {I}} (x) right) ^ {2} right) , dx ,.}

Například otočit oblast mezi $y = -2 X + X 2$ a $y = X$ podél osy $y = 4$ , jeden by integrovat takto:

{ displaystyle pi int _ {0} ^ {3} left ( left (4- left (-2x + x ^ {2} right) right) ^ {2} - (4-x) ^ {2} vpravo) , dx ,.}

Hranice integrace jsou nuly první rovnice minus druhá. Pamatujte, že při integraci podél jiné osy než $X$ , nemusí být graf funkce, který je nejvzdálenější od osy otáčení, tak zřejmý. V předchozím příkladu, přestože graf $y = X$ je, vzhledem k ose x, dále nahoru než graf $y = -2 X + X 2$ , vzhledem k ose otáčení funkce $y = X$ je vnitřní funkce: jeho graf je blíže $y = 4$ nebo rovnice osy otáčení v příkladu.

Stejný nápad lze aplikovat na oba $y$ -osa a jakákoli jiná svislá osa. Každý jednoduše musí vyřešit každou rovnici $X$ než je jeden vloží do integračního vzorce.

Viz také

Reference

„Objemy pevných látek revoluce“. CliffsNotes.com. Citováno 8. července 2014.
Weisstein, Eric W. „Metoda disků“. MathWorld.
Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaumovy obrysy: Kalkul. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN 978-0-07-150861-2. str. 244–248 (online kopie, str. 244, v Knihy Google. Citováno 12. července 2013.)