Integrální test konvergence - Integral test for convergence

Integrální test aplikovaný na harmonická řada. Protože plocha pod křivkou

y = 1/ X

pro

X \in [1, \infty)

je nekonečný, musí být nekonečná také celková plocha obdélníků.

v matematika, integrální test konvergence je metoda použitá k testování nekonečný série z nezáporné podmínky pro konvergence. Byl vyvinut společností Colin Maclaurin a Augustin-Louis Cauchy a je někdy známý jako Test Maclaurin – Cauchy.

Prohlášení o testu

Zvažte celé číslo $N$ a nezápornou funkci $F$ definováno na neomezeném interval $[N, \infty)$ , na kterém je monotónní klesá. Pak nekonečná řada

{ displaystyle sum _ {n = N} ^ { infty} f (n)}

konverguje k a reálné číslo jen a jen pokud nesprávný integrál

{ displaystyle int _ {N} ^ { infty} f (x) , dx}

je konečný. Jinými slovy, pokud se integrál rozchází, pak řada se rozchází také.

Poznámka

Pokud je nesprávný integrál konečný, pak důkaz také dává dolní a horní mez

{ displaystyle int _ {N} ^ { infty} f (x) , dx leq součet _ {n = N} ^ { infty} f (n) leq f (N) + int _ {N} ^ { infty} f (x) , dx}

(1)

pro nekonečnou sérii.

Důkaz

Důkaz v zásadě používá srovnávací test, porovnání výrazu $F (n)$ s integrálem $F$ v intervalech $[n - 1, n)$ a $[n, n + 1)$ , resp.

Od té doby $F$ je monotónní klesající funkce, to víme

{ displaystyle f (x) leq f (n) quad { text {pro všechny}} x v [n, infty)}

a

{ displaystyle f (n) leq f (x) quad { text {pro všechny}} x v [N, n].}

Proto pro každé celé číslo $n \geq N$ ,

{ displaystyle int _ {n} ^ {n + 1} f (x) , dx leq int _ {n} ^ {n + 1} f (n) , dx = f (n)}

(2)

a pro každé celé číslo $n \geq N + 1$ ,

{ displaystyle f (n) = int _ {n-1} ^ {n} f (n) , dx leq int _ {n-1} ^ {n} f (x) , dx.}

(3)

Sečtením všech $n$ z $N$ na nějaké větší celé číslo $M$ , dostaneme z (2)

{ displaystyle int _ {N} ^ {M + 1} f (x) , dx = součet _ {n = N} ^ {M} podprsenka { int _ {n} ^ {n + 1} f (x) , dx} _ { leq , f (n)} leq sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}

a od (3)

{ displaystyle sum _ {n = N} ^ {M} f (n) leq f (N) + součet _ {n = N + 1} ^ {M} podprsenka { int _ {n-1 } ^ {n} f (x) , dx} _ { geq , f (n)} = f (N) + int _ {N} ^ {M} f (x) , dx.}

Kombinace těchto dvou odhadů přináší výnosy

{ displaystyle int _ {N} ^ {M + 1} f (x) , dx leq součet _ {n = N} ^ {M} f (n) leq f (N) + int _ {N} ^ {M} f (x) , dx.}

Pronájem $M$ mají sklon k nekonečnu, hranice v (1) a výsledek následuje.

Aplikace

The harmonická řada

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n}}}

se liší, protože pomocí přirozený logaritmus, své primitivní a základní věta o počtu, dostaneme

{ displaystyle int _ {1} ^ {M} { frac {1} {n}} , dn = ln n { Bigr |} _ {1} ^ {M} = ln M to infty quad { text {for}} M to infty.}

Naopak série

{ displaystyle zeta (1+ varepsilon) = součet _ {x = 1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {1+ varepsilon}}}}

(srov. Funkce Riemann zeta ) konverguje pro každého $ε > 0$ , protože tím pravidlo moci

{ displaystyle int _ {1} ^ {M} { frac {1} {x ^ {1+ varepsilon}}} , dx = - { frac {1} { varepsilon x ^ { varepsilon} }} { biggr |} _ {1} ^ {M} = { frac {1} { varepsilon}} { Bigl (} 1 - { frac {1} {M ^ { varepsilon}}} { Bigr)} leq { frac {1} { varepsilon}} < infty quad { text {pro všechny}} M geq 1.}

Z (1) dostaneme horní odhad

{ displaystyle zeta (1+ varepsilon) = součet _ {x = 1} ^ { infty} { frac {1} {x ^ {1+ varepsilon}}} leq { frac {1+ varepsilon} { varepsilon}},}

které lze porovnat s některými z konkrétní hodnoty funkce Riemann zeta.

Hranice mezi divergencí a konvergencí

Výše uvedené příklady zahrnující harmonickou řadu vyvolávají otázku, zda existují takové monotónní sekvence $F (n)$ klesá na 0 rychleji než $1/ n$ ale pomalejší než $1/ n 1+ ε$ V tom smyslu, že

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {f (n)} {1 / n}} = 0 quad { text {a}} quad lim _ {n to infty } { frac {f (n)} {1 / n ^ {1+ varepsilon}}} = infty}

pro každého $ε > 0$ , a zda odpovídající série $F (n)$ stále se liší. Jakmile je taková sekvence nalezena, lze položit podobnou otázku $F (n)$ převzetí role $1/ n$ , a tak dále. Tímto způsobem je možné zkoumat hranici mezi divergencí a konvergencí nekonečných řad.

Pomocí integrálního testu konvergence lze ukázat (viz níže), že pro každého přirozené číslo $k$ , série

{ displaystyle sum _ {n = N_ {k}} ^ { infty} { frac {1} {n ln (n) ln _ {2} (n) cdots ln _ {k-1 } (n) ln _ {k} (n)}}}

(4)

stále se liší (srov. důkaz, že součet převrácených hodnot prvočísel se liší pro $k = 1$ ) ale

{ displaystyle sum _ {n = N_ {k}} ^ { infty} { frac {1} {n ln (n) ln _ {2} (n) cdots ln _ {k-1 } (n) ( ln _ {k} (n)) ^ {1+ varepsilon}}}}

(5)

konverguje pro každého $ε > 0$ . Tady $ln k$ označuje $k$ -složit složení definovaného přirozeného logaritmu rekurzivně podle

{ displaystyle ln _ {k} (x) = { začátek {případů} ln (x) & { text {pro}} k = 1, ln ( ln _ {k-1} ( x)) & { text {for}} k geq 2. end {případy}}}

Dále $N k$ označuje nejmenší přirozené číslo takové, že $k$ složené složení je dobře definované a $ln k (N k) \geq 1$ , tj.

{ displaystyle N_ {k} geq underbrace {e ^ {e ^ { cdot ^ { cdot ^ {e}}}}} _ {k e '{ text {s}}} = e uparrow uparrow k}

použitím tetování nebo Knuthova nota se šipkou nahoru.

Chcete-li vidět divergenci série (4) pomocí integrálního testu si všimněte, že opakovaným použitím řetězové pravidlo

{ displaystyle { frac {d} {dx}} ln _ {k + 1} (x) = { frac {d} {dx}} ln ( ln _ {k} (x)) = { frac {1} { ln _ {k} (x)}} { frac {d} {dx}} ln _ {k} (x) = cdots = { frac {1} {x ln (x) cdots ln _ {k} (x)}},}

proto

{ displaystyle int _ {N_ {k}} ^ { infty} { frac {dx} {x ln (x) cdots ln _ {k} (x)}} = ln _ {k + 1} (x) { bigr |} _ {N_ {k}} ^ { infty} = infty.}

Chcete-li vidět konvergenci řady (5), všimněte si, že u pravidlo moci, pravidlo řetězu a výše uvedený výsledek

{ displaystyle - { frac {d} {dx}} { frac {1} { varepsilon ( ln _ {k} (x)) ^ { varepsilon}}} = { frac {1} {( ln _ {k} (x)) ^ {1+ varepsilon}}} { frac {d} {dx}} ln _ {k} (x) = cdots = { frac {1} {x ln (x) cdots ln _ {k-1} (x) ( ln _ {k} (x)) ^ {1+ varepsilon}}},}

proto

{ displaystyle int _ {N_ {k}} ^ { infty} { frac {dx} {x ln (x) cdots ln _ {k-1} (x) ( ln _ {k} (x)) ^ {1+ varepsilon}}} = - { frac {1} { varepsilon ( ln _ {k} (x)) ^ { varepsilon}}} { biggr |} _ {N_ {k}} ^ { infty} < infty}

a (1) dává hranice nekonečné sérii v (5).

Viz také

Reference

Knopp, Konrad „Nekonečné sekvence a série“, Dover Publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, E. T. a Watson, G. N., Kurz moderní analýzy, čtvrté vydání, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3