Cramers vládne - Cramers rule - Wikipedia

v lineární algebra, Cramerovo pravidlo je explicitní vzorec pro řešení a soustava lineárních rovnic s tolika rovnicemi, kolik neznámých, platí vždy, když má systém jedinečné řešení. Vyjadřuje řešení z hlediska determinanty (čtvercového) koeficientu matice a matic z ní získaných nahrazením jednoho sloupce vektorem sloupce na pravé straně rovnic. Je pojmenován po Gabriel Cramer (1704–1752), který v roce 1750 publikoval pravidlo pro libovolný počet neznámých,^[1][2] Ačkoli Colin Maclaurin také zveřejnil zvláštní případy pravidla v roce 1748^[3] (a možná o tom věděl již v roce 1729).^[4][5][6]

Cramerovo pravidlo implementované naivním způsobem je výpočetně neefektivní pro systémy s více než dvěma nebo třemi rovnicemi.^[7] V případě n rovnice v n neznámé, vyžaduje výpočet n + 1 determinanty, zatímco Gaussova eliminace produkuje výsledek se stejným výpočetní složitost jako výpočet jednoho determinantu.^{[8][9][je nutné ověření ]} Cramerovo pravidlo může být také numericky nestabilní dokonce i pro systémy 2 × 2.^[10] Nedávno se však ukázalo, že Cramerovo pravidlo lze implementovat v O (n³) čas,^[11] což je srovnatelné s běžnějšími metodami řešení soustav lineárních rovnic, jako např Gaussova eliminace (důsledně vyžaduje 2,5krát více aritmetických operací pro všechny velikosti matice), přičemž ve většině případů vykazuje srovnatelnou numerickou stabilitu.

Obecný případ

Zvažte systém n lineární rovnice pro n neznámé, vyjádřené v maticovém násobení následujícím způsobem:

${ displaystyle Ax = b}$

Kde n × n matice A má nenulový determinant a vektor ${ displaystyle x = (x_ {1}, ldots, x_ {n}) ^ { mathsf {T}}}$ je sloupcový vektor proměnných. Věta pak uvádí, že v tomto případě má systém jedinečné řešení, jehož jednotlivé hodnoty pro neznámé jsou dány vztahem:

${ displaystyle x_ {i} = { frac { det (A_ {i})} { det (A)}} qquad i = 1, ldots, n}$

kde ${ displaystyle A_ {i}}$ je matice vytvořená nahrazením i-tý sloupec A vektorem sloupce b.

Obecnější verze Cramerova pravidla^[12] uvažuje maticovou rovnici

${ displaystyle AX = B}$

Kde n × n matice A má nenulový determinant a X, B jsou n × m matice. Dané sekvence ${ displaystyle 1 leq i_ {1}$ a ${ displaystyle 1 leq j_ {1}$, nechť ${ displaystyle X_ {I, J}}$ být k × k submatice X s řádky uvnitř ${ displaystyle I: = (i_ {1}, ldots, i_ {k})}$ a sloupce v ${ displaystyle J: = (j_ {1}, ldots, j_ {k})}$. Nechat ${ displaystyle A_ {B} (I, J)}$ být n × n matice vytvořená nahrazením ${ displaystyle i_ {s}}$ sloupec A podle ${ displaystyle j_ {s}}$ sloupec B, pro všechny ${ displaystyle s = 1, ldots, k}$. Pak

${ displaystyle det X_ {I, J} = { frac { det (A_ {B} (I, J))} { det (A)}}.}$

V případě ${ displaystyle k = 1}$, to se redukuje na normální Cramerovo pravidlo.

Toto pravidlo platí pro soustavy rovnic s koeficienty a neznámými v libovolném pole, nejen v reálná čísla.

Důkaz

Důkaz Cramerova pravidla využívá následující vlastnosti determinantů: linearita vzhledem k danému sloupci a skutečnost, že determinant je nula, kdykoli jsou dva sloupce stejné, což vyplývá z vlastnosti, že znaménko determinantu se převrátí, když přepnete dva sloupce.

Opravte index j sloupce. Linearita znamená, že pokud vezmeme v úvahu pouze sloupec j jako proměnná (libovolně fixující ostatní), výsledná funkce Rⁿ → R (za předpokladu, že položky matice jsou v R) může být dána maticí s jedním řádkem a n sloupce, které působí na sloupec j. Ve skutečnosti je to přesně to, co Laplaceova expanze dělá, psaní det (A) = C₁A_1,j + ... + C_nA_{n, j} pro určité koeficienty C₁, ..., C_n , které závisí na sloupcích A jiný než sloupec j (přesný výraz pro tyto kofaktory zde není důležité). Hodnota det (A) je pak výsledkem použití jednořádkové matice L_(j) = (C₁ C₂ ... C_n) do sloupce j z A. Li L_(j) platí pro všechny jiný sloupec k z A, pak je výsledkem determinant matice získané z A nahrazením sloupce j kopií sloupce k, takže výsledný determinant je 0 (případ dvou stejných sloupců).

Nyní zvažte systém n lineární rovnice v n neznámé ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$, jehož matice koeficientů je A, s det (A) předpokládá se, že je nenulová:

${ displaystyle { begin {matrix} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = & b_ {1} a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + cdots + a_ {2n} x_ {n} & = & b_ {2} vdots & vdots & vdots a_ {n1} x_ {1 } + a_ {n2} x_ {2} + cdots + a_ {nn} x_ {n} & = & b_ {n}. end {matrix}}}$

Pokud jeden kombinuje tyto rovnice tím, že C₁ krát první rovnice plus C₂ krát druhý a tak dále až do C_n krát poslední, pak koeficient X_j bude C₁A_{1, j} + ... + C_nA_{n, j} = det (A), zatímco koeficienty všech ostatních neznámých se stanou 0; levá strana se stane jednoduše det (A)X_j. Pravá strana je C₁b₁ + ... + C_nb_n, který je L_(j) aplikován na vektor sloupce b na pravé straně b_i. Ve skutečnosti se zde znásobí maticová rovnice AX = b nalevo od L_(j). Dělení nenulovým číslem det (A) najde se následující rovnice nezbytná k uspokojení systému:

${ displaystyle x_ {j} = { frac {L _ {(j)} cdot mathbf {b}} { det (A)}}.}$

Ale konstrukcí je čitatel determinantem matice získané z A nahrazením sloupce j podle b, takže dostaneme vyjádření Cramerova pravidla jako nezbytnou podmínku řešení. Stejný postup lze opakovat pro další hodnoty j najít hodnoty pro další neznámé.

Jediným bodem, který zbývá dokázat, je, že tyto hodnoty pro neznámé, jediné možné, skutečně tvoří řešení. Ale pokud matice A je invertibilní s inverzí A⁻¹, pak X = A⁻¹b bude řešením, což ukazuje na jeho existenci. To vidět A je invertible when det (A) je nenulová, zvažte n × n matice M získáno stohováním jednořádkových matic L_(j) na sebe pro j = 1, ..., n (to dává adjugovaná matice pro A). Ukázalo se, že L_(j)A = (0 ... 0 det (A) 0 ... 0) kde det (A) na pozici se objeví j; z toho vyplývá, že MA = det (A)Já_n. Proto,

${ displaystyle { frac {1} { det (A)}} M = A ^ {- 1},}$

vyplňování důkazu.

Další důkazy viz níže.

Hledání inverzní matice

Nechat A být n × n matice. Pak

${ displaystyle A , operatorname {adj} A = ( operatorname {adj} A) , A = operatorname {det} (A) I}$

kde adj (A) označuje adjugovaná matice z A, det (A) je určující a Já je matice identity. Pokud det (A) je invertibilní v R, pak inverzní matice A je

${ displaystyle A ^ {- 1} = { frac {1} { operatorname {det} (A)}} operatorname {adj} (A).}$

Li R je pole (například pole reálných čísel), pak to dává vzorec pro inverzní k A, za předpokladu det (A) ≠ 0. Ve skutečnosti bude tento vzorec fungovat kdykoli R je komutativní prsten, za předpokladu, že det (A) je jednotka. Pokud det (A) tedy není jednotka A není invertibilní.

Aplikace

Explicitní vzorce pro malé systémy

Zvažte lineární systém

${ displaystyle left {{ begin {matrix} a_ {1} x + b_ {1} y & = { color {red} c_ {1}} a_ {2} x + b_ {2} y & = { color {red} c_ {2}} end {matrix}} right.}$

který v maticovém formátu je

${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} a_ {2} & b_ {2} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { color {red} c_ {1}} { color {red} c_ {2}} end {bmatrix}}.}$

Převzít A₁b₂ − b₁A₂ nenulové. Pak s pomocí determinanty, X a y lze najít s Cramerovým pravidlem jako

${ displaystyle { begin {aligned} x & = { frac { begin {vmatrix} { color {red} {c_ {1}}} & b_ {1} { color {red} {c_ {2} }} & b_ {2} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} a_ {2} & b_ {2} end {vmatrix}}} = {{ color {červená } c_ {1}} b_ {2} -b_ {1} { color {red} c_ {2}} přes a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}}, quad y = { frac { begin {vmatrix} a_ {1} & { color {red} {c_ {1}}} a_ {2} & { color {red} {c_ {2}}} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} a_ {2} & b_ {2} end {vmatrix}}} = {a_ {1} { color {red} c_ {2 }} - { color {red} c_ {1}} a_ {2} přes a_ {1} b_ {2} -b_ {1} a_ {2}} end {zarovnáno}}.}$

Pravidla pro 3 × 3 matice jsou podobné. Dáno

${ displaystyle left {{ begin {matrix} a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} z & = { color {red} d_ {1}} a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} z & = { color {red} d_ {2}} a_ {3} x + b_ {3} y + c_ {3} z & = { color {red} d_ {3}} end {matrix}} vpravo.}$

který v maticovém formátu je

${ displaystyle { begin {bmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x y z end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { color {red} d_ {1}} { color {red} d_ {2}} { color {red} d_ {3}} end {bmatrix}}.}$

Pak hodnoty x, y a z lze najít následovně:

${ displaystyle x = { frac { begin {vmatrix} { color {red} d_ {1}} & b_ {1} & c_ {1} { color {red} d_ {2}} & b_ {2} & c_ {2} { color {red} d_ {3}} & b_ {3} & c_ {3} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} end {vmatrix}}}, quad y = { frac { begin {vmatrix} a_ { 1} & { color {red} d_ {1}} & c_ {1} a_ {2} & { color {red} d_ {2}} & c_ {2} a_ {3} & { color {red} d_ {3}} & c_ {3} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} a_ {3} & b_ {3} & c_ {3} end {vmatrix}}}, { text {and}} z = { frac { begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & { color {red} d_ {1}} a_ {2} & b_ {2} & { color {red} d_ {2}} a_ {3} & b_ {3} & { color {red} d_ {3}} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} a_ {1} & b_ {1} & c_ {1} a_ {2} & b_ {2} & c_ {2} a_ {3} & b_ { 3} & c_ {3} end {vmatrix}}}.}$

Diferenciální geometrie

Ricciho počet

Cramerovo pravidlo se používá v Ricciho počet v různých výpočtech zahrnujících Christoffel symboly prvního a druhého druhu.^[13]

Zejména Cramerovo pravidlo lze použít k prokázání toho, že operátor divergence na Riemannově varietě je invariantní vzhledem ke změně souřadnic. Poskytujeme přímý důkaz a potlačujeme roli symbolů Christoffel. Pojďme ${ displaystyle (M, g)}$ být Riemannovo potrubí vybaven lokální souřadnice ${ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, tečky, x ^ {n})}$. Nechat ${ displaystyle A = A ^ {i} { frac { částečné} { částečné x ^ {i}}}}$ být vektorové pole. Používáme konvence součtu po celou dobu.

Teorém.

The divergence z ${ displaystyle A}$,

${ displaystyle operatorname {div} A = { frac {1} { sqrt { det g}}} { frac { částečný} { částečný x ^ {i}}} vlevo (A ^ {i } { sqrt { det g}} vpravo),}$

je invariantní při změně souřadnic.

Implicitní výpočet derivátů

Zvažte dvě rovnice ${ displaystyle F (x, y, u, v) = 0}$ a ${ displaystyle G (x, y, u, v) = 0}$. Když u a proti jsou nezávislé proměnné, můžeme je definovat ${ displaystyle x = X (u, v)}$ a ${ displaystyle y = Y (u, v).}$

Rovnice pro ${ displaystyle { dfrac { částečné x} { částečné u}}}$ lze najít uplatněním Cramerova pravidla.

Výpočet ${ displaystyle { dfrac { částečné x} { částečné u}}}$

Nejprve vypočítejte první deriváty z F, G, X, a y: $} částečné u}} du + { frac { částečné F} { částečné v}} dv = 0 [6pt] dG & = { frac { částečné G} { částečné x}} dx + { frac { částečné G} { částečné y}} dy + { frac { částečné G} { částečné u}} du + { frac { částečné G} { částečné v}} dv = 0 [6pt] dx & = { frac { částečné X} { částečné u}} du + { frac { částečné X} { částečné v}} dv [6pt] dy & = { frac { částečné Y} { částečné u}} du + { frac { částečné Y} { částečné v}} dv. end {zarovnáno}}}$ Střídání dx, dy do dF a dG, my máme: ${ displaystyle { begin {zarovnáno} dF & = left ({ frac { částečné F} { částečné x}} { frac { částečné x} { částečné u}} + { frac { částečné F } { částečné y}} { frac { částečné y} { částečné u}} + { frac { částečné F} { částečné u}} pravé) du + levé ({ frac { částečné F } { částečné x}} { frac { částečné x} { částečné v}} + { frac { částečné F} { částečné y}} { frac { částečné y} { částečné v}} + { frac { částečné F} { částečné v}} pravé) dv = 0 [6pt] dG & = levé ({ frac { částečné G} { částečné x}} { frac { částečné x} { částečné u}} + { frac { částečné G} { částečné y}} { frac { částečné y} { částečné u}} + { frac { částečné G} { částečné u}} vpravo) du + vlevo ({ frac { částečné G} { částečné x}} { frac { částečné x} { částečné v}} + { frac { částečné G} { částečné y}} { frac { částečné y} { částečné v}} + { frac { částečné G} { částečné v}} pravé) dv = 0. end {zarovnáno}}}$ Od té doby u, proti jsou oba nezávislé, koeficienty du, dv musí být nula. Můžeme tedy napsat rovnice pro koeficienty: ${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné F} { částečné x}} { frac { částečné x} { částečné u}} + { frac { částečné F} { částečné y }} { frac { částečné y} { částečné u}} & = - { frac { částečné F} { částečné u}} [6pt] { frac { částečné G} { částečné x }} { frac { částečné x} { částečné u}} + { frac { částečné G} { částečné y}} { frac { částečné y} { částečné u}} & = - { frac { částečné G} { částečné u}} [6pt] { frac { částečné F} { částečné x}} { frac { částečné x} { částečné v}} + { frac { částečné F} { částečné y}} { frac { částečné y} { částečné v}} & = - { frac { částečné F} { částečné v}} [6pt] { frac { částečné G} { částečné x}} { frac { částečné x} { částečné v}} + { frac { částečné G} { částečné y}} { frac { částečné y} { částečné v}} & = - { frac { částečné G} { částečné v}}. end {zarovnáno}}}$ Podle Cramerova pravidla nyní vidíme, že: ${ displaystyle { frac { částečné x} { částečné u}} = { frac { začátek {vmatrix} - { frac { částečné F} { částečné u}} & { frac { částečné F } { částečné y}} - { frac { částečné G} { částečné u}} & { frac { částečné G} { částečné y}} konec {vmatrix}} { začátek {vmatrix } { frac { částečný F} { částečný x}} & { frac { částečný F} { částečný y}} { frac { částečný G} { částečný x}} & { frac { částečné G} { částečné y}} konec {vmatrix}}}.}$ Toto je nyní vzorec ve smyslu dvou Jacobians: ${ displaystyle { frac { částečné x} { částečné u}} = - { frac { vlevo ({ frac { částečné (F, G)} { částečné (u, y)}}} vpravo )} { left ({ frac { částečné (F, G)} { částečné (x, y)}} vpravo)}}}$ Podobné vzorce lze odvodit pro ${ displaystyle { frac { částečné x} { částečné v}}, { frac { částečné y} { částečné u}}, { frac { částečné y} { částečné v}}.}$

Programování celého čísla

Cramerovo pravidlo lze použít k prokázání, že celočíselné programování problém, jehož matice omezení je naprosto unimodulární a jehož pravá strana je celé číslo, má základní celočíselná řešení. Díky tomu je celočíselný program podstatně snazší vyřešit.

Obyčejné diferenciální rovnice

Cramerovo pravidlo se používá k odvození obecného řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice metodou variace parametrů.

Geometrická interpretace

Geometrická interpretace Cramerova pravidla. Oblasti druhého a třetího stínovaného rovnoběžníku jsou stejné a druhé je ${ displaystyle x_ {1}}$ krát první. Z této rovnosti vyplývá Cramerovo pravidlo.

Cramerovo pravidlo má geometrickou interpretaci, kterou lze považovat také za důkaz nebo jednoduše o její geometrické podstatě. Tyto geometrické argumenty fungují obecně a nejen v případě dvou rovnic se dvěma zde neznámými.

Vzhledem k systému rovnic

${ displaystyle { begin {matrix} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} & = b_ {1} a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2 } & = b_ {2} end {matrix}}}$

lze ji považovat za rovnici mezi vektory

${ displaystyle x_ {1} { binom {a_ {11}} {a_ {21}}} + x_ {2} { binom {a_ {12}} {a_ {22}}} = { binom {b_ {1}} {b_ {2}}}.}$

Plocha rovnoběžníku určená ${ displaystyle { binom {a_ {11}} {a_ {21}}}}$ a ${ displaystyle { binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}$ je dána determinantem soustavy rovnic:

${ displaystyle { begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {vmatrix}}.}$

Obecně platí, že když existuje více proměnných a rovnic, je to determinant n vektory délky n dá objem z rovnoběžnostěn určeno těmito vektory v n-dimenzionální Euklidovský prostor.

Proto plocha rovnoběžníku určená ${ displaystyle x_ {1} { binom {a_ {11}} {a_ {21}}}}$ a ${ displaystyle { binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}$ musí být ${ displaystyle x_ {1}}$ krát plocha první, protože jedna ze stran byla vynásobena tímto faktorem. Nyní, tento poslední rovnoběžník, o Cavalieriho princip, má stejnou plochu jako rovnoběžník určený pomocí ${ displaystyle { binom {b_ {1}} {b_ {2}}} = x_ {1} { binom {a_ {11}} {a_ {21}}} + x_ {2} { binom {a_ {12}} {a_ {22}}}}$ a ${ displaystyle { binom {a_ {12}} {a_ {22}}}.}$

Rovnice ploch tohoto posledního a druhého rovnoběžníku dávají rovnici

${ displaystyle { begin {vmatrix} b_ {1} & a_ {12} b_ {2} & a_ {22} end {vmatrix}} = { begin {vmatrix} a_ {11} x_ {1} & a_ { 12} a_ {21} x_ {1} & a_ {22} end {vmatrix}} = x_ {1} { begin {vmatrix} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22 } end {vmatrix}}}$

z čehož vyplývá Cramerovo pravidlo.

Další důkazy

Důkaz abstraktní lineární algebry

Toto je přepracování výše uvedeného důkazu v abstraktním jazyce.

Zvažte mapu ${ displaystyle { vec {x}} = (x_ {1}, ldots, x_ {n}) mapsto { frac {1} { det A}} ( det (A_ {1}), ldots, det (A_ {n})),}$ kde ${ displaystyle A_ {i}}$ je matice ${ displaystyle A}$ s ${ displaystyle { vec {x}}}$ nahrazeno v ${ displaystyle i}$ten sloupec, jako v Cramerově pravidle. Z důvodu linearity determinantu v každém sloupci je tato mapa lineární. Všimněte si, že odesílá ${ displaystyle i}$th sloupec ${ displaystyle A}$ do ${ displaystyle i}$th základní vektor ${ displaystyle { vec {e}} _ {i} = (0, ldots, 1, ldots, 0)}$ (s 1 v ${ displaystyle i}$th místo), protože determinant matice s opakovaným sloupcem je 0. Máme tedy lineární mapu, která souhlasí s inverzí ${ displaystyle A}$ na prostoru sloupu; proto s tím souhlasí ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ na rozpětí prostoru sloupce. Od té doby ${ displaystyle A}$ je invertibilní, vektory sloupců pokrývají všechny ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, takže naše mapa je skutečně inverzní k ${ displaystyle A}$. Následuje Cramerovo pravidlo.

Krátký důkaz

Krátký důkaz Cramerovy vlády ^[14] lze si všimnout ${ displaystyle x_ {1}}$ je determinant matice

${ displaystyle X_ {1} = { begin {bmatrix} x_ {1} & 0 & 0 & dots & 0 x_ {2} & 1 & 0 & dots & 0 x_ {3} & 0 & 1 & dots & 0 vdots & vdots & vdots & ddots & vdots x_ {n} & 0 & 0 & dots & 1 end {bmatrix}}}$

Na druhou stranu, za předpokladu, že naše původní matice A je invertibilní, tato matice ${ displaystyle X_ {1}}$ má sloupce ${ displaystyle A ^ {- 1} b, A ^ {- 1} v_ {2}, ldots, A ^ {- 1} v_ {n}}$, kde ${ displaystyle v_ {n}}$ je n-tý sloupec matice A. Připomeňme si, že matice ${ displaystyle A_ {1}}$ má sloupce ${ displaystyle b, v_ {2}, ldots, v_ {n}}$, a proto ${ displaystyle X_ {1} = A ^ {- 1} A_ {1}}$. Použitím toho, že determinant součinu dvou matic je součinem determinantů, máme

${ displaystyle x_ {1} = det (X_ {1}) = det (A ^ {- 1}) det (A_ {1}) = { frac { det (A_ {1})} { det (A)}}.}$

Důkaz pro ostatní ${ displaystyle x_ {j}}$ je podobný.

Důkaz použití Cliffordova algebra

Uvažujme soustavu tří skalárních rovnic ve třech neznámých skalárech ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + a_ {13} x_ {3} & = c_ {1} a_ {21} x_ {1 } + a_ {22} x_ {2} + a_ {23} x_ {3} & = c_ {2} a_ {31} x_ {1} + a_ {32} x_ {2} + a_ {33} x_ {3} & = c_ {3} end {zarovnáno}}}$

a přiřadit základnu ortonormálních vektorů ${ displaystyle mathbf {e} _ {1}, mathbf {e} _ {2}, mathbf {e} _ {3}}$ pro ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {3}}$ tak jako

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {11} mathbf {e} _ {1} x_ {1} + a_ {12} mathbf {e} _ {1} x_ {2} + a_ {13} mathbf {e} _ {1} x_ {3} & = c_ {1} mathbf {e} _ {1} a_ {21} mathbf {e} _ {2} x_ {1} + a_ {22 } mathbf {e} _ {2} x_ {2} + a_ {23} mathbf {e} _ {2} x_ {3} & = c_ {2} mathbf {e} _ {2} a_ {31} mathbf {e} _ {3} x_ {1} + a_ {32} mathbf {e} _ {3} x_ {2} + a_ {33} mathbf {e} _ {3} x_ { 3} & = c_ {3} mathbf {e} _ {3} end {zarovnáno}}}$

Nechte vektory

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {a} _ {1} & = a_ {11} mathbf {e} _ {1} + a_ {21} mathbf {e} _ {2} + a_ { 31} mathbf {e} _ {3} mathbf {a} _ {2} & = a_ {12} mathbf {e} _ {1} + a_ {22} mathbf {e} _ {2 } + a_ {32} mathbf {e} _ {3} mathbf {a} _ {3} & = a_ {13} mathbf {e} _ {1} + a_ {23} mathbf {e } _ {2} + a_ {33} mathbf {e} _ {3} end {zarovnáno}}}$

Přidáním soustavy rovnic je to vidět

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {c} & = c_ {1} mathbf {e} _ {1} + c_ {2} mathbf {e} _ {2} + c_ {3} mathbf {e} _ {3} & = x_ {1} mathbf {a} _ {1} + x_ {2} mathbf {a} _ {2} + x_ {3} mathbf {a} _ { 3} end {zarovnáno}}}$

Za použití vnější produkt, každý neznámý skalární ${ displaystyle x_ {k}}$ lze vyřešit jako

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {c} wedge mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {3} & = x_ {1} mathbf {a} _ {1 } wedge mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {3} mathbf {c} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ { 3} & = x_ {2} mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {3} mathbf {c} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {2} & = x_ {3} mathbf {a} _ {3} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a } _ {2} x_ {1} & = { frac { mathbf {c} wedge mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {3}} { mathbf {a } _ {1} wedge mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {3}}} x_ {2} & = { frac { mathbf {c} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {3}} { mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {3 }}} = { frac { mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {c} wedge mathbf {a} _ {3}} { mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {3}}} x_ {3} & = { frac { mathbf {c} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {2}} { mathbf {a} _ {3} wedge mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {2}}} = { frac { mathbf {a} _ {1} my dge mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {c}} { mathbf {a} _ {1} wedge mathbf {a} _ {2} wedge mathbf {a} _ {3} }} end {zarovnáno}}}$

Pro n rovnice v n neznámé, řešení pro k- neznámý ${ displaystyle x_ {k}}$ zobecňuje na

${ displaystyle { begin {aligned} x_ {k} & = { frac { mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge ( mathbf {c}) _ {k} wedge cdots klín mathbf {a} _ {n}} { mathbf {a} _ {1} klín cdots klín mathbf {a} _ {k} klín cdots klín mathbf {a} _ {n }}} & = ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge ( mathbf {c}) _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n}) ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n}) ^ {- 1} & = { frac {( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge ( mathbf {c}) _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n}) ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n})} {{( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n}) ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf { a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n})}} & = { frac {( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge ( mathbf {c}) _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n}) cdot ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ { k} klín cdoty klín mathbf {a} _ {n})} {(- 1) ^ { frac {n (n-1)} {2}} ( mathbf {a} _ {n} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {1}) cdot ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n})}} & = { frac {( mathbf {a} _ {n} wedge cdots wedge ( mathbf {c}) _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {1}) cdot ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n})} {( mathbf {a} _ {n} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {1}) cdot ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n})}} end {zarovnáno}}}$

Li A_k jsou lineárně nezávislé, pak ${ displaystyle x_ {k}}$ lze vyjádřit v determinantní formě shodné s Cramerovým pravidlem jako

${ displaystyle { begin {zarovnáno} x_ {k} & = { frac {( mathbf {a} _ {n} wedge cdots wedge ( mathbf {c}) _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {1}) cdot ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n})} {( mathbf {a} _ {n} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {1}) cdot ( mathbf {a} _ {1} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {k} wedge cdots wedge mathbf {a} _ {n})}} [8pt] & = { begin {vmatrix} mathbf {a} _ {1} cdot mathbf {a} _ {1} & cdots & mathbf {a} _ {1} cdot ( mathbf {c}) _ { k} & cdots & mathbf {a} _ {1} cdot mathbf {a} _ {n} vdots & ddots & vdots & ddots & vdots mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {a} _ {1} & cdots & mathbf {a} _ {k} cdot ( mathbf {c}) _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {a} _ {n} vdots & ddots & vdots & ddots & vdots mathbf {a} _ {n} cdot mathbf {a} _ { 1} & cdots & mathbf {a} _ {n} cdot ( mathbf {c}) _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {n} cdot mathbf {a} _ { n} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} mathbf {a} _ {1} cdot ma thbf {a} _ {1} & cdots & mathbf {a} _ {1} cdot mathbf {a} _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {1} cdot mathbf { a} _ {n} vdots & ddots & vdots & ddots & vdots mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {a} _ {1} & cdots & mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {a} _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {k} cdot mathbf {a} _ {n} vdots & ddots & vdots & ddots & vdots mathbf {a} _ {n} cdot mathbf {a} _ {1} & cdots & mathbf {a} _ {n} cdot mathbf {a} _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {n} cdot mathbf {a} _ {n} end {vmatrix}} ^ {- 1} [8pt] & = { begin { vmatrix} mathbf {a} _ {1} vdots mathbf {a} _ {k} vdots mathbf {a} _ {n} end {vmatrix}} { začátek {vmatrix} mathbf {a} _ {1} & cdots & ( mathbf {c}) _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {n} end {vmatrix}} { begin { vmatrix} mathbf {a} _ {1} vdots mathbf {a} _ {k} vdots mathbf {a} _ {n} end {vmatrix}} ^ {- 1} { begin {vmatrix} mathbf {a} _ {1} & cdots & mathbf {a} _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {n} end {vmatrix}} ^ {-1} [8pt] & = { begin {vmatrix} mathbf {a} _ {1} & cdots & ( mathbf {c}) _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {n} end {vmatrix}} { be gin {vmatrix} mathbf {a} _ {1} & cdots & mathbf {a} _ {k} & cdots & mathbf {a} _ {n} end {vmatrix}} ^ {- 1} [8pt] & = { begin {vmatrix} a_ {11} & ldots & c_ {1} & cdots & a_ {1n} vdots & ddots & vdots & ddots & vdots a_ {k1} & cdots & c_ {k} & cdots & a_ {kn} vdots & ddots & vdots & ddots & vdots a_ {n1} & cdots & c_ {n} & cdots & a_ {nn} end {vmatrix}} { begin {vmatrix} a_ {11} & ldots & a_ {1k} & cdots & a_ {1n} vdots end {vmatrix}} ^ {- 1} end {zarovnaný}}}$

kde (C)_k označuje substituci vektoru A_k s vektorem C v k-tá pozice čitatele.

Neslučitelné a neurčité případy

Systém rovnic je považován za nekompatibilní nebo nekonzistentní když neexistují žádná řešení a volá se neurčitý když existuje více než jedno řešení. Pro lineární rovnice bude mít neurčitý systém nekonečně mnoho řešení (pokud je nad nekonečným polem), protože řešení lze vyjádřit pomocí jednoho nebo více parametrů, které mohou nabývat libovolných hodnot.

Cramerovo pravidlo platí pro případ, kdy je determinant koeficientu nenulový. V případě 2 × 2, pokud je determinant koeficientu nula, pak je systém nekompatibilní, pokud jsou čitatelské determinanty nenulové, nebo neurčitý, pokud jsou determinanty čitatele nulové.

U systémů 3 × 3 nebo vyšších lze říci jen to, že když se determinant koeficientu rovná nule, je to, že pokud některý z determinantů čitatele není nenulový, pak musí být systém nekompatibilní. Mít všechny determinanty nula však neznamená, že systém je neurčitý. Jednoduchý příklad, kdy všechny determinanty zmizí (rovná se nule), ale systém je stále nekompatibilní, je systém 3 × 3 x + y + z = 1, x + y + z = 2, x + y + z = 3.

Reference

externí odkazy

• Důkaz Cramerova pravidla
• WebApp popisně řeší systémy lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Online kalkulačka systému lineárních rovnic
• Vysvětlení Wolfram MathWorld k tomuto tématu