Bernoulliho číslo - Bernoulli number - Wikipedia

v matematika, Bernoulliho čísla B_n plocha sekvence z racionální čísla které se často vyskytují v teorie čísel. Bernoulliho čísla se objevují v (a lze je definovat) Taylor série expanze tečna a hyperbolická tečna funkce, v Faulhaberův vzorec pro součet m-tá síla první n kladná celá čísla v Euler – Maclaurin vzorec, a ve výrazech pro určité hodnoty Funkce Riemann zeta.

Hodnoty prvních 20 Bernoulliho čísel jsou uvedeny v sousední tabulce. V literatuře se používají dvě konvence, zde označené ${ displaystyle B_ {n} ^ {- {}}}$ a ${ displaystyle B_ {n} ^ {+ {}}}$; liší se pouze pro n = 1, kde ${ displaystyle B_ {1} ^ {- {}} = - 1/2}$ a ${ displaystyle B_ {1} ^ {+ {}} = + 1/2}$. Za každou lichou n > 1, B_n = 0. Pro každý pár n > 0, B_n je negativní, pokud n je dělitelná 4 a jinak pozitivní. Bernoulliho čísla jsou speciální hodnoty Bernoulliho polynomy ${ displaystyle B_ {n} (x)}$, s ${ displaystyle B_ {n} ^ {- {}} = B_ {n} (0)}$ a ${ displaystyle B_ {n} ^ {+} = B_ {n} (1)}$ (Weisstein 2016 ).

Bernoulliho čísla objevila přibližně ve stejnou dobu švýcarský matematik Jacob Bernoulli, po kom jsou pojmenováni, a nezávisle japonským matematikem Seki Takakazu. Sekiho objev byl posmrtně publikován v roce 1712 (Selin 1997, str. 891; Smith & Mikami 1914, str. 108) ve své práci Katsuyo Sanpō; Bernoulliho, také posmrtně, v jeho Ars Conjectandi z roku 1713. Ada Lovelace je poznámka G na Analytický motor z roku 1842 popisuje algoritmus pro generování Bernoulliho čísel pomocí Babbage stroj (Menabrea 1842, Poznámka G). Ve výsledku se Bernoulliho čísla vyznačují tím, že jsou předmětem prvního publikovaného komplexu počítačový program.

Zápis

Horní index ± použitý v tomto článku rozlišuje dvě znaménkové konvence pro Bernoulliho čísla. Pouze n = 1 ovlivněn termín:

• B⁻
  _n s B⁻
  ₁ = −1/2 (OEIS: A027641 / OEIS: A027642) je znaková konvence předepsaná NIST a nejmodernější učebnice (Arfken 1970, str. 278).
• B⁺
  _n s B⁺
  ₁ = +1/2 (OEIS: A164555 / OEIS: A027642) se někdy používá ve starší literatuře (Weisstein 2016 ).

Ve vzorcích níže lze přepínat z jedné konvence znaménka na druhou s relací ${ displaystyle B_ {n} ^ {+} = (- 1) ^ {n} B_ {n} ^ {-}}$, nebo na celé číslo n = 2 nebo vyšší, jednoduše to ignorujte.

Od té doby B_n = 0 pro všechny liché n > 1a mnoho vzorců zahrnuje pouze Bernoulliho čísla se sudým indexem, píše několik autorů „B_n" namísto B_2n . Tento článek tuto notaci nedodržuje.

Dějiny

Raná historie

Bernoulliho čísla mají kořeny v rané historii výpočtu součtů celočíselných mocností, které matematiky zajímají již od starověku.

Stránka od Seki Takakazu Katsuyo Sanpō (1712), tabelování binomických koeficientů a Bernoulliho čísel

Metody pro výpočet součtu prvního n kladná celá čísla, součet čtverců a kostek prvního n byla známa celá kladná čísla, ale neexistovaly žádné skutečné „vzorce“, pouze popisy uvedené pouze slovy. Mezi velkými matematiky starověku byli tento problém Pythagoras (c. 572–497 př. n. l., Řecko), Archimedes (287–212 př. N. L., Itálie), Aryabhata (b. 476, Indie), Abu Bakr al-Karaji (d. 1019, Persie) a Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965–1039, Irák).

Na konci šestnáctého a počátku sedmnáctého století dosáhli matematici významného pokroku. Na západě Thomas Harriot (1560–1621) Anglie, Johann Faulhaber (1580–1635) Německa, Pierre de Fermat (1601–1665) a francouzský matematik Blaise Pascal (1623–1662) všichni hráli důležité role.

Zdá se, že Thomas Harriot jako první odvodil a napsal vzorce pro součty mocnin pomocí symbolické notace, ale i on počítal pouze do součtu čtvrtých mocnin. Johann Faulhaber dal ve svém 1631 vzorce pro součty sil až do 17. moci Academia Algebrae, mnohem vyšší než kdokoli před ním, ale nedal obecný vzorec.

Blaise Pascal v roce 1654 se ukázal Pascalova identita týkající se částek strth síly první n kladná celá čísla pro str = 0, 1, 2, …, k.

Švýcarský matematik Jakob Bernoulli (1654–1705) si jako první uvědomil existenci jediné posloupnosti konstant B₀, B₁, B₂,… které poskytují jednotný vzorec pro všechny součty sil (Knuth 1993 ).

Radost, kterou Bernoulli zažil, když narazil na vzorec potřebný k rychlému a snadnému výpočtu koeficientů jeho vzorce pro součet Cth mocniny pro jakékoli kladné celé číslo C je vidět z jeho komentáře. Napsal:

„S pomocí této tabulky mi trvalo necelou půl čtvrt hodiny, než jsem zjistil, že desáté mocniny prvních 1000 čísel, které sečtou, přinesou částku 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500.“

Bernoulliho výsledek byl publikován posmrtně v Ars Conjectandi v roce 1713. Seki Takakazu nezávisle objevil Bernoulliho čísla a jeho výsledek byl zveřejněn o rok dříve, také posmrtně, v roce 1712 (Selin 1997, str. 891). Seki však nepředložil svou metodu jako vzorec založený na posloupnosti konstant.

Bernoulliho vzorec pro součet sil je doposud nejužitečnější a zobecnitelnou formulací. Koeficienty v Bernoulliho vzorci se nyní podle návrhu nazývají Bernoulliho čísla Abraham de Moivre.

Bernoulliho vzorec se někdy nazývá Faulhaberův vzorec po Johannovi Faulhaberovi, který našel pozoruhodné způsoby, jak vypočítat součet sil, ale nikdy neuvedl Bernoulliho vzorec. Podle Knutha (Knuth 1993 ) důsledný důkaz Faulhaberova vzorce byl poprvé publikován Carl Jacobi v roce 1834 (Jacobi 1834 ). Knuthova hloubková studie Faulhaberova vzorce končí (nestandardní notace o LHS je vysvětlena dále):

„Faulhaber nikdy neobjevil Bernoulliho čísla; tj. Nikdy si neuvědomil, že existuje jediná posloupnost konstant B₀, B₁, B₂, … Poskytne uniformu

${ displaystyle quad sum n ^ {m} = { frac {1} {m + 1}} vlevo (B_ {0} n ^ {m + 1} + { binom {m + 1} {1 }} B_ {1} ^ {+} n ^ {m} + { binom {m + 1} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} + cdots + { binom {m + 1 } {m}} B_ {m} n vpravo)}$

nebo

${ displaystyle quad sum n ^ {m} = { frac {1} {m + 1}} vlevo (B_ {0} n ^ {m + 1} - { binom {m + 1} {1 }} B_ {1} ^ {- {}} n ^ {m} + { binom {m + 1} {2}} B_ {2} n ^ {m-1} - cdots + (- 1) ^ {m} { binom {m + 1} {m}} B_ {m} n vpravo)}$

pro všechny součty sil. Nikdy nezmínil například skutečnost, že téměř polovina koeficientů se po převedení vzorců pro ∑ n^m z polynomů v N na polynomy v n." (Knuth 1993, str. 14)

Rekonstrukce "Summae Potestatum"

Jakoba Bernoulliho „Summae Potestatum“, 1713^[A]

Bernoulliho čísla OEIS: A164555(n) /OEIS: A027642n) představil v knize Jakob Bernoulli Ars Conjectandi publikováno posmrtně v roce 1713, strana 97. Hlavní vzorec lze vidět ve druhé polovině odpovídajícího faksimilu. Označené konstantní koeficienty A, B, C a D Bernoulli jsou mapovány na notaci, která nyní převládá jako A = B₂, B = B₄, C = B₆, D = B₈. Výraz C·C−1·C−2·C−3 prostředek C·(C−1)·(C−2)·(C−3) - malé tečky se používají jako seskupovací symboly. S využitím dnešní terminologie jsou tyto výrazy klesající faktoriální síly C^k. Faktoriální notace k! jako zkratka pro 1 × 2 × … × k byl představen až o 100 let později. Integrovaný symbol na levé straně se vrací zpět k Gottfried Wilhelm Leibniz v roce 1675, který jej použil jako dlouhý dopis S pro „summa“ (součet).^[b] Dopis n na levé straně není index součet ale udává horní hranici rozsahu součtu, který je třeba chápat jako 1, 2, …, n. Spojení věcí, pozitivní C, dnes matematik pravděpodobně napíše Bernoulliho vzorec jako:

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = { frac {n ^ {c + 1}} {c + 1}} + { frac {1} {2}} n ^ {c} + sum _ {k = 2} ^ {c} { frac {B_ {k}} {k!}} c ^ { podtržení {k-1}} n ^ {c-k + 1}.}$

Tento vzorec navrhuje nastavení B₁ = 1/2 při přechodu z takzvaného „archaického“ výčtu, který používá pouze sudé indexy 2, 4, 6… do moderní podoby (více o různých konvencích v dalším odstavci). V této souvislosti je nejvýraznější skutečnost, že klesající faktoriál C^k−1 má pro k = 0 hodnota 1/C + 1 (Graham, Knuth a Patashnik 1989, Oddíl 2.51). Lze tedy napsat Bernoulliho vzorec

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {c} = sum _ {k = 0} ^ {c} { frac {B_ {k}} {k!}} c ^ { podtržení {k-1}} n ^ {c-k + 1}}$

-li B₁ = 1/2, znovuzískání hodnoty, kterou Bernoulli dal koeficientu na dané pozici.

Vzorec pro ${ displaystyle textstyle sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {9}}$ v první polovině obsahuje chybu v posledním období; to by mělo být ${ displaystyle - { tfrac {3} {20}} n ^ {2}}$ namísto ${ displaystyle - { tfrac {1} {12}} n ^ {2}}$.

Definice

Za posledních 300 let bylo nalezeno mnoho charakterizací Bernoulliho čísel a každou lze použít k zavedení těchto čísel. Zde jsou zmíněny pouze tři z nejužitečnějších:

• rekurzivní rovnice,
• explicitní vzorec,
• generující funkce.

Pro důkaz rovnocennost ze tří přístupů viz (Irsko a Rosen 1990 ) nebo (Conway & Guy 1996 ).

Rekurzivní definice

Bernoulliho čísla se řídí součtovými vzorci (Weisstein 2016 )

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = 0} ^ {m} { binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {- {}} & = delta _ {m , 0} suma _ {k = 0} ^ {m} { binom {m + 1} {k}} B_ {k} ^ {+ {}} & = m + 1 end {zarovnáno}} }$

kde ${ displaystyle m = 0,1,2 ...}$ a δ označuje Kroneckerova delta. Řešení pro ${ displaystyle B_ {m} ^ { mp {}}}$ dává rekurzivní vzorce

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {m} ^ {- {}} & = delta _ {m, 0} - sum _ {k = 0} ^ {m-1} { binom {m} {k}} { frac {B_ {k} ^ {- {}}} {m-k + 1}} B_ {m} ^ {+} & = 1- sum _ {k = 0} ^ {m-1} { binom {m} {k}} { frac {B_ {k} ^ {+}} {m-k + 1}}. end {zarovnáno}}}$

Explicitní definice

V roce 1893 Louis Saalschütz vypsal celkem 38 explicitních vzorců pro Bernoulliho čísla (Saalschütz 1893 ), obvykle uvádějící odkaz ve starší literatuře. Jedním z nich je:

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {m} ^ {- {}} & = sum _ {k = 0} ^ {m} sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} { binom {k} {v}} { frac {v ^ {m}} {k + 1}} B_ {m} ^ {+} & = sum _ {k = 0} ^ {m} sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} { binom {k} {v}} { frac {(v + 1) ^ {m}} {k + 1}}. End {zarovnáno}}}$

Generující funkce

Exponenciální generující funkce jsou

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {t} {e ^ {t} -1}} & = { frac {t} {2}} left ( operatorname {coth} { frac {t } {2}} - 1 vpravo) & = sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {B_ {m} ^ {- {}} t ^ {m}} {m!}} { frac {t} {1-e ^ {- t}}} & = { frac {t} {2}} left ( operatorname {coth} { frac {t} {2}} + 1 right) & = sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {B_ {m} ^ {+} t ^ {m}} {m!}}. End {zarovnáno}}}$

kde je substituce ${ displaystyle t to -t}$.

(Běžná) generující funkce

${ displaystyle z ^ {- 1} psi _ {1} (z ^ {- 1}) = součet _ {m = 0} ^ { infty} B_ {m} ^ {+} z ^ {m} }$

je asymptotická série. Obsahuje funkce trigamma ψ₁.

Bernoulliho čísla a Riemannova zeta funkce

Bernoulliho čísla, jak je dána funkcí Riemann zeta.

Bernoulliho čísla lze vyjádřit pomocí Funkce Riemann zeta:

B⁺
_n = −nζ(1 − n) pro n ≥ 1 .

Zde je argument funkce zeta 0 nebo záporný.

Prostřednictvím zeta funkční rovnice a gama reflexní vzorec lze získat následující vztah (Arfken 1970, str. 279):

${ displaystyle B_ {2n} = { frac {(-1) ^ {n + 1} 2 (2n)!} {(2 pi) ^ {2n}}} zeta (2n) quad}$ pro n ≥ 1 .

Nyní je argument funkce zeta pozitivní.

Z toho pak vyplývá z ζ → 1 (n → ∞) a Stirlingův vzorec že

${ displaystyle | B_ {2n} | sim 4 { sqrt { pi n}} vlevo ({ frac {n} { pi e}} vpravo) ^ {2n} quad}$ pro n → ∞ .

Efektivní výpočet Bernoulliho čísel

V některých aplikacích je užitečné umět vypočítat Bernoulliho čísla B₀ přes B_{str − 3} modulo str, kde str je prvočíslo; například otestovat, zda Vandiverova domněnka platí pro str, nebo dokonce jen zjistit, zda str je nepravidelný prime. Není možné provést takový výpočet pomocí výše uvedených rekurzivních vzorců, protože alespoň (konstantní násobek) str² aritmetické operace by byly vyžadovány. Naštěstí byly vyvinuty rychlejší metody (Buhler a kol. 2001 ), které vyžadují pouze Ó(str (log str)²) operace (viz velký Ó notace ).

David Harvey (Harvey 2010 ) popisuje algoritmus pro výpočet Bernoulliho čísel výpočtem B_n modulo str pro mnoho malých prvočísel stra poté rekonstruovat B_n přes Čínská věta o zbytku. Harvey píše, že asymptotické časová složitost tohoto algoritmu je Ó(n² log (n)^{2 + ε}) a tvrdí, že tohle implementace je výrazně rychlejší než implementace založené na jiných metodách. Pomocí této implementace vypočítal Harvey B_n pro n = 10⁸. Harveyova implementace byla zahrnuta do SageMath od verze 3.1. Před tím Bernd Kellner (Kellner 2002 ) vypočteno B_n k plné přesnosti pro n = 10⁶ v prosinci 2002 a Oleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008 ) pro n = 10⁷ s Mathematica v dubnu 2008.

Počítač	Rok	n	Číslice *
J. Bernoulli	~1689	10	1
L. Euler	1748	30	8
J. C. Adams	1878	62	36
D. E. Knuth, T. J. Buckholtz	1967	1672	3330
G. Poplatek, S. Plouffe	1996	10000	27677
G. Fee, S. Plouffe	1996	100000	376755
B. C. Kellner	2002	1000000	4767529
O. Pavlyk	2008	10000000	57675260
D. Harvey	2008	100000000	676752569

* Číslice je třeba chápat jako exponent 10, když B_n je psáno jako reálné číslo v normalizovaném formátu věděcký zápis.

Aplikace Bernoulliho čísel

Asymptotická analýza

Pravděpodobně nejdůležitější aplikací Bernoulliho čísel v matematice je jejich použití v Euler – Maclaurin vzorec. Za předpokladu, že F je dostatečně často diferencovatelná funkce, lze vzorec Euler – Maclaurin psát jako (Graham, Knuth a Patashnik 1989, 9.67)

${ displaystyle sum _ {k = a} ^ {b-1} f (k) = int _ {a} ^ {b} f (x) , dx + sum _ {k = 1} ^ {m } { frac {B_ {k} ^ {-}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R _ {- } (f, m).}$

Tato formulace předpokládá konvenci B⁻
₁ = −1/2. Použití konvence B⁺
₁ = +1/2 vzorec se stane

${ displaystyle sum _ {k = a + 1} ^ {b} f (k) = int _ {a} ^ {b} f (x) , dx + sum _ {k = 1} ^ {m } { frac {B_ {k} ^ {+}} {k!}} (f ^ {(k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R _ {+ } (f, m).}$

Tady ${ displaystyle f ^ {(0)} = f}$ (tj. derivát nultého řádu ${ displaystyle f}$ je jen ${ displaystyle f}$). Navíc nechte ${ displaystyle f ^ {(- 1)}}$ označit primitivní z ${ displaystyle f}$. Podle základní věta o počtu,

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = f ^ {(- 1)} (b) -f ^ {(- 1)} (a).}$

Poslední vzorec lze tedy dále zjednodušit na následující stručnou formu vzorce Euler – Maclaurin

${ displaystyle sum _ {k = a} ^ {b} f (k) = sum _ {k = 0} ^ {m} { frac {B_ {k}} {k!}} (f ^ { (k-1)} (b) -f ^ {(k-1)} (a)) + R (f, m).}$

Tato forma je například zdrojem důležitého Euler-Maclaurinova rozšíření funkce zeta

${ displaystyle { begin {aligned} zeta (s) & = sum _ {k = 0} ^ {m} { frac {B_ {k} ^ {+}} {k!}} s ^ { overline {k-1}} + R (s, m) & = { frac {B_ {0}} {0!}} s ^ { overline {-1}} + { frac {B_ {1 } ^ {+}} {1!}} S ^ { overline {0}} + { frac {B_ {2}} {2!}} S ^ { overline {1}} + cdots + R ( s, m) & = { frac {1} {s-1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {12}} s + cdots + R (s, m). end {zarovnáno}}}$

Tady s^k označuje rostoucí faktoriální síla (Graham, Knuth a Patashnik 1989, 2,44 a 2,52).

Bernoulliho čísla jsou také často používána v jiných druzích asymptotické expanze. Následující příklad je klasická asymptotická expanze typu Poincaré typu funkce digamma ψ.

${ displaystyle psi (z) sim ln z- součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {B_ {k} ^ {+}} {kz ^ {k}}}}$

Součet sil

Bernoulliho čísla jsou prominentně v uzavřená forma vyjádření součtu mth síly první n kladná celá čísla. Pro m, n ≥ 0 definovat

${ displaystyle S_ {m} (n) = součet _ {k = 1} ^ {n} k ^ {m} = 1 ^ {m} + 2 ^ {m} + cdots + n ^ {m}. }$

Tento výraz lze vždy přepsat jako polynomiální v n stupně m + 1. The koeficienty těchto polynomů souvisí s Bernoulliho čísly o Bernoulliho vzorec:

${ displaystyle S_ {m} (n) = { frac {1} {m + 1}} součet _ {k = 0} ^ {m} { binom {m + 1} {k}} B_ {k } ^ {+} n ^ {m + 1-k} = m! sum _ {k = 0} ^ {m} { frac {B_ {k} ^ {+} n ^ {m + 1-k} } {k! (m + 1-k)!}},}$

kde (^{m + 1}
_k) označuje binomický koeficient.

Například brát m být 1 dává trojúhelníková čísla 0, 1, 3, 6, … OEIS: A000217.

${ displaystyle 1 + 2 + cdots + n = { frac {1} {2}} (B_ {0} n ^ {2} + 2B_ {1} ^ {+} n ^ {1}) = { tfrac {1} {2}} (n ^ {2} + n).}$

Brát m být 2 dává čtvercová pyramidová čísla 0, 1, 5, 14, … OEIS: A000330.

${ displaystyle 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + cdots + n ^ {2} = { frac {1} {3}} (B_ {0} n ^ {3} + 3B_ {1} ^ {+} n ^ {2} + 3B_ {2} n ^ {1}) = { tfrac {1} {3}} left (n ^ {3} + { tfrac {3} {2}} n ^ {2} + { tfrac {1} {2}} n vpravo).}$

Někteří autoři používají alternativní konvenci pro Bernoulliho čísla a uvádějí Bernoulliho vzorec tímto způsobem:

${ displaystyle S_ {m} (n) = { frac {1} {m + 1}} součet _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} { binom {m + 1 } {k}} B_ {k} ^ {- {}} n ^ {m + 1-k}.}$

Bernoulliho vzorec se někdy nazývá Faulhaberův vzorec po Johann Faulhaber kteří také našli pozoruhodné způsoby výpočtu součty sil.

Faulhaberův vzorec zobecnili V. Guo a J. Zeng na a q-analogový (Guo & Zeng 2005 ).

Taylor série

Čísla Bernoulli se objevují v Taylor série rozšíření mnoha trigonometrické funkce a hyperbolické funkce.

Tečna

${ displaystyle { begin {zarovnáno} tan x & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1} 2 ^ {2n} (2 ^ {2n } -1) B_ {2n}} {(2n)!}} ; X ^ {2n-1}, & left | x right | & <{ frac { pi} {2}} konec {zarovnáno}}}$

Kotangens

${ displaystyle { begin {aligned} cot x & {} = { frac {1} {x}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} B_ {2n} (2x) ^ {2n}} {(2n)!}}, & Qquad 0 <| x | < pi. End {zarovnáno}}}$

Hyperbolická tečna

${ displaystyle { begin {aligned} tanh x & = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} { (2n)!}} ; X ^ {2n-1}, & | x | & <{ frac { pi} {2}}. End {zarovnáno}}}$

Hyperbolický kotangens

${ displaystyle { begin {aligned} coth x & {} = { frac {1} {x}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {B_ {2n} (2x) ^ {2n}} {(2n)!}}, & Qquad qquad 0 <| x | < pi. End {zarovnáno}}}$

Laurentova řada

Čísla Bernoulliho se objevují v následujícím textu Laurentova řada (Arfken 1970, str. 463):

Funkce digamma: ${ displaystyle psi (z) = ln z- součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {B_ {k} ^ {+ {}}} {kz ^ {k}}}}$

Použití v topologii

The Kervaire – Milnorův vzorec pro pořadí cyklické skupiny tříd difeomorfismu z exotický (4n − 1)- koule který vázal paralelizovatelné rozdělovače zahrnuje Bernoulliho čísla. Nechat ES_n být počet takových exotických sfér pro n ≥ 2, pak

${ displaystyle { textit {ES}} _ {n} = (2 ^ {2n-2} -2 ^ {4n-3}) operatorname {Numerator} left ({ frac {B_ {4n}} { 4n}} vpravo).}$

The Hirzebruchova věta o podpisu pro L rod a hladký orientované uzavřené potrubí z dimenze 4n zahrnuje také Bernoulliho čísla.

Spojení s kombinatorickými čísly

Spojení Bernoulliho čísla s různými druhy kombinatorických čísel je založeno na klasické teorii konečných rozdílů a na kombinatorické interpretaci Bernoulliho čísel jako příkladu základního kombinatorického principu, zásada začlenění - vyloučení.

Spojení s Worpitzkyho čísly

Definici, s níž je třeba pokračovat, vytvořil Julius Worpitzky v roce 1883. Kromě základní aritmetiky pouze faktoriální funkce n! a výkonová funkce k^m je zaměstnán. Bez znaménka Worpitzky čísla jsou definována jako

${ displaystyle W_ {n, k} = součet _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v + k} (v + 1) ^ {n} { frac {k!} {v ! (kv)!}}.}$

Mohou být také vyjádřeny prostřednictvím Stirlingova čísla druhého druhu

${ displaystyle W_ {n, k} = k! left {{n + 1 na vrcholu k + 1} right }.}$

Bernoulliho číslo je poté zavedeno jako součet zahrnutí - vyloučení Worpitzkyho čísel vážených harmonická posloupnost 1, 1/2, 1/3, …

${ displaystyle B_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { frac {W_ {n, k}} {k + 1}} = součet _ {k = 0} ^ {n} { frac {1} {k + 1}} sum _ {v = 0} ^ {k} (- 1) ^ {v} (v + 1) ^ {n } {k vyberte v} .}$

B₀ = 1

B₁ = 1 − 1/2

B₂ = 1 − 3/2 + 2/3

B₃ = 1 − 7/2 + 12/3 − 6/4

B₄ = 1 − 15/2 + 50/3 − 60/4 + 24/5

B₅ = 1 − 31/2 + 180/3 − 390/4 + 360/5 − 120/6

B₆ = 1 − 63/2 + 602/3 − 2100/4 + 3360/5 − 2520/6 + 720/7

Toto zastoupení má B⁺
₁ = +1/2.

Zvažte sekvenci s_n, n ≥ 0. Z Worpitzkyho čísel OEIS: A028246, OEIS: A163626 aplikován na s₀, s₀, s₁, s₀, s₁, s₂, s₀, s₁, s₂, s₃, … je identická s transformací Akiyama – Tanigawa, která byla použita s_n (vidět Spojení se Stirlingovými čísly prvního druhu ). To lze vidět prostřednictvím tabulky:

Totožnost
Worpitzkyho zastoupení a transformace Akiyama – Tanigawa

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	−3			0	0	0	4	−4
1	−3	2				0	4	−10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

První řádek představuje s₀, s₁, s₂, s₃, s₄.

Proto pro druhé zlomkové Eulerova čísla OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1):

E₀ = 1

E₁ = 1 − 1/2

E₂ = 1 − 3/2 + 2/4

E₃ = 1 − 7/2 + 12/4 − 6/8

E₄ = 1 − 15/2 + 50/4 − 60/8 + 24/16

E₅ = 1 − 31/2 + 180/4 − 390/8 + 360/16 − 120/32

E₆ = 1 − 63/2 + 602/4 − 2100/8 + 3360/16 − 2520/32 + 720/64

Druhý vzorec představující Bernoulliho čísla Worpitzkyho čísly je pro n ≥ 1

${ displaystyle B_ {n} = { frac {n} {2 ^ {n + 1} -2}} součet _ {k = 0} ^ {n-1} (- 2) ^ {- k} , W_ {n-1, k}.}$

Zjednodušená druhá Worpitzkyho reprezentace druhých Bernoulliho čísel je:

OEIS: A164555 (n + 1) / OEIS: A027642(n + 1) = n + 1/2^{n + 2} − 2 × OEIS: A198631(n) / OEIS: A006519(n + 1)

který spojuje druhé Bernoulliho číslo s druhým zlomkovým Eulerovým číslem. Začátek je:

1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, … = (1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21, …) × (1, 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, …)

Čitatelé prvních závorek jsou OEIS: A111701 (vidět Spojení se Stirlingovými čísly prvního druhu ).

Spojení se Stirlingovými čísly druhého druhu

Li S(k,m) označuje Stirlingova čísla druhého druhu (Kometa 1974 ) pak jeden má:

${ displaystyle j ^ {k} = součet _ {m = 0} ^ {k} {j ^ { podtržení {m}}} S (k, m)}$

kde j^m označuje klesající faktoriál.

Pokud jeden definuje Bernoulliho polynomy B_k(j) tak jako (Rademacher 1973 ):

${ displaystyle B_ {k} (j) = k součet _ {m = 0} ^ {k-1} { binom {j} {m + 1}} S (k-1, m) m! + B_ {k}}$

kde B_k pro k = 0, 1, 2,… jsou Bernoulliho čísla.

Poté po následující vlastnost binomický koeficient:

${ displaystyle { binom {j} {m}} = { binom {j + 1} {m + 1}} - { binom {j} {m + 1}}}$

jeden má,

${ displaystyle j ^ {k} = { frac {B_ {k + 1} (j + 1) -B_ {k + 1} (j)} {k + 1}}.}$

Jeden má také následující pro Bernoulliho polynomy (Rademacher 1973 ),

${ displaystyle B_ {k} (j) = součet _ {n = 0} ^ {k} { binom {k} {n}} B_ {n} j ^ {k-n}.}$

Koeficient j v (^j
_{m + 1}) je (−1)^m/m + 1.

Porovnání koeficientu j ve dvou výrazech Bernoulliho polynomů má jeden:

${ displaystyle B_ {k} = součet _ {m = 0} ^ {k} (- 1) ^ {m} { frac {m!} {m + 1}} S (k, m)}$

(což má za následek B₁ = +1/2), což je explicitní vzorec pro Bernoulliho čísla a lze jej použít k prokázání Von-Staudtova věta Clausen (Boole 1880; Gould 1972; Apostol, str. 197).

Spojení se Stirlingovými čísly prvního druhu

Dva hlavní vzorce týkající se nepodepsaných Stirlingova čísla prvního druhu [ⁿ
_m] na čísla Bernoulliho (s B₁ = +1/2) jsou

${ displaystyle { frac {1} {m!}} součet _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} doleva [{m + 1 nahoře k + 1} doprava] B_ {k} = { frac {1} {m + 1}},}$

a inverze této částky (pro n ≥ 0, m ≥ 0)

${ displaystyle { frac {1} {m!}} součet _ {k = 0} ^ {m} (- 1) ^ {k} doleva [{m + 1 nahoře k + 1} doprava] B_ {n + k} = A_ {n, m}.}$

Zde číslo A_n,m jsou racionální čísla Akiyama – Tanigawa, z nichž prvních několik je uvedeno v následující tabulce.

Číslo Akiyama – Tanigawa

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	…
2	1/6	1/6	3/20	…	…
3	0	1/30	…	…	…
4	−1/30	…	…	…	…

Čísla Akiyama – Tanigawa uspokojují jednoduchou relaci opakování, kterou lze využít k iterativnímu výpočtu Bernoulliho čísel. To vede k algoritmu uvedenému v části „Popis algoritmu“ výše. Vidět OEIS: A051714/OEIS: A051715.

An autosequence je sekvence, jejíž inverzní binomická transformace se rovná podepsané sekvenci. Pokud je hlavní úhlopříčka nula = OEIS: A000004, autosequence je prvního druhu. Příklad: OEIS: A000045, Fibonacciho čísla. Pokud je hlavní úhlopříčka první horní úhlopříčka vynásobená 2, je to druhý druh. Příklad: OEIS: A164555/OEIS: A027642, druhá Bernoulliho čísla (viz OEIS: A190339). Transformace Akiyama – Tanigawa aplikována na 2⁻ⁿ = 1/OEIS: A000079 vede k OEIS: A198631 (n) / OEIS: A06519 (n + 1). Proto:

Transformace Akiyama – Tanigawa pro druhé číslo Euler

m n	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4	…
2	0	1/4	3/8	…	…
3	−1/4	−1/4	…	…	…
4	0	…	…	…	…

Vidět OEIS: A209308 a OEIS: A227577. OEIS: A198631 (n) / OEIS: A006519 (n + 1) jsou druhá (zlomková) Eulerova čísla a autosequence druhého druhu.

(OEIS: A164555 (n + 2)/OEIS: A027642 (n + 2) = 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, …) × ( 2^{n + 3} − 2/n + 2 = 3, 14/3, 15/2, 62/5, 21, …) = OEIS: A198631 (n + 1)/OEIS: A006519 (n + 2) = 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ….

Také cenné pro OEIS: A027641 / OEIS: A027642 (vidět Spojení s Worpitzkyho čísly ).

Spojení s Pascalovým trojúhelníkem

Existují vzorce spojující Pascalův trojúhelník s Bernoulliho čísly^[C]

${ displaystyle B_ {n} ^ {+} = { frac {| A_ {n} |} {(n + 1)!}} ~~~}$

kde ${ displaystyle | A_ {n} |}$ je determinant n-by-n Hessenbergova matice část Pascalův trojúhelník jehož prvky jsou: ${ displaystyle a_ {i, k} = { begin {cases} 0 & { text {if}} k> 1 + i {i + 1 zvolte k-1} & { text {jinak}} konec {případů}}}$

Příklad:

${ displaystyle B_ {6} ^ {+} = { frac { det { begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 1 & 4 & 6 & 4 & 0 & 0 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 0 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 1 & 7 & 21 & 21 & 21 }} = { frac {120} {5040}} = { frac {1} {42}}}$

Spojení s Eulerianovými čísly

Spojují se vzorce Euleriánská čísla ⟨ⁿ
_m⟩ na Bernoulliho čísla:

${ displaystyle { begin {aligned} sum _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} left langle {n na vrcholu m} right rangle & = 2 ^ {n + 1} (2 ^ {n + 1} -1) { frac {B_ {n + 1}} {n + 1}}, součet _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} left langle {n atop m} right rangle { binom {n} {m}} ^ {- 1} & = (n + 1) B_ {n}. end {aligned}} }$

Oba vzorce platí pro n ≥ 0 -li B₁ je nastaven na 1/2. Li B₁ je nastaven na -1/2 jsou platné pouze pro n ≥ 1 a n ≥ 2 resp.

Reprezentace binárního stromu

Stirlingovy polynomy σ_n(X) souvisí s Bernoulliho čísly o B_n = n!σ_n(1). S. C. Woon (Woon 1997 ) popsal algoritmus k výpočtu σ_n(1) jako binární strom:

Woonův rekurzivní algoritmus (pro n ≥ 1) začíná přiřazením ke kořenovému uzlu N = [1,2]. Vzhledem k uzlu N = [A₁, A₂, …, A_k] stromu je levé dítě uzlu L(N) = [−A₁, A₂ + 1, A₃, …, A_k] a správné dítě R(N) = [A₁, 2, A₂, …, A_k]. Uzel N = [A₁, A₂, …, A_k] je psán jako ±[A₂, …, A_k] v počáteční části stromu znázorněné výše s ± označující znaménko A₁.

Vzhledem k uzlu N faktoriál z N je definován jako

${ displaystyle N! = a_ {1} prod _ {k = 2} ^ { operatorname {length} (N)} a_ {k} !.}$

Omezeno na uzly N pevné úrovně stromu n součet 1/N! je σ_n(1), tím pádem

${ displaystyle B_ {n} = součet _ { stackrel {N { text {uzel}}} {{ text {úroveň stromu}} n}} { frac {n!} {N!}} .}$

Například:

B₁ = 1!(1/2!)

B₂ = 2!(−1/3! + 1/2!2!)

B₃ = 3!(1/4! − 1/2!3! − 1/3!2! + 1/2!2!2!)

Integrální zastoupení a pokračování

The integrální

${ displaystyle b (s) = 2e ^ {si pi / 2} int _ {0} ^ { infty} { frac {st ^ {s}} {1-e ^ {2 pi t}} } { frac {dt} {t}}}$

má jako speciální hodnoty b(2n) = B_2n pro n > 0.

Například, b(3) = 3/2ζ(3)π⁻³i a b(5) = −15/2ζ(5)π⁻⁵i. Tady, ζ je Funkce Riemann zeta, a i je imaginární jednotka. Leonhard Euler (Opera Omnia, Ser. 1, sv. 10, s. 351) zvážil tato čísla a vypočítal

${ displaystyle { begin {aligned} p & = { frac {3} {2 pi ^ {3}}} left (1 + { frac {1} {2 ^ {3}}} + { frac {1} {3 ^ {3}}} + cdots right) = 0,0581522 ldots q & = { frac {15} {2 pi ^ {5}}} left (1 + { frac { 1} {2 ^ {5}}} + { frac {1} {3 ^ {5}}} + cdots right) = 0,0254132 ldots end {zarovnáno}}}$

Vztah k číslům Euler a π

The Eulerova čísla jsou posloupností celých čísel úzce spojených s Bernoulliho čísly. Porovnání asymptotických expanzí Bernoulliho a Eulerových čísel ukazuje, že Eulerova čísla E_2n jsou přibližně v rozsahu 2/π(4²ⁿ − 2²ⁿ) krát větší než Bernoulliho čísla B_2n. V důsledku:

${ displaystyle pi sim 2 (2 ^ {2n} -4 ^ {2n}) { frac {B_ {2n}} {E_ {2n}}}.}$

Tato asymptotická rovnice to ukazuje π spočívá ve společném kořenu čísel Bernoulli a Euler. Ve skutečnosti π lze z těchto racionálních aproximací vypočítat.

Bernoulliho čísla lze vyjádřit pomocí Eulerových čísel a naopak. Protože, pro zvláštní n, B_n = E_n = 0 (s výjimkou B₁), stačí vzít v úvahu případ, kdy n je sudý.

${ displaystyle { begin {aligned} B_ {n} & = sum _ {k = 0} ^ {n-1} { binom {n-1} {k}} { frac {n} {4 ^ {n} -2 ^ {n}}} E_ {k} & n & = 2,4,6, ldots E_ {n} & = sum _ {k = 1} ^ {n} { binom {n } {k-1}} { frac {2 ^ {k} -4 ^ {k}} {k}} B_ {k} & n & = 2,4,6, ldots end {zarovnáno}}}$

Tyto převodní vzorce vyjadřují inverzní vztah mezi čísly Bernoulli a Euler. Ale co je důležitější, existuje hluboký aritmetický kořen společný pro oba druhy čísel, který lze vyjádřit pomocí zásadnější posloupnosti čísel, rovněž úzce spojené s π. Tato čísla jsou definována pro n > 1 tak jako

${ displaystyle S_ {n} = 2 vlevo ({ frac {2} { pi}} doprava) ^ {n} součet _ {k = - infty} ^ { infty} (4k + 1) ^ {- n} qquad k = 0, -1,1, -2,2, ldots}$

a S₁ = 1 podle úmluvy (Elkies 2003 ). Kouzlo těchto čísel spočívá ve skutečnosti, že se ukáží jako racionální čísla. To bylo poprvé prokázáno Leonhard Euler v orientačním článku (Euler 1735 ) ‚De summis serierum reciprocarum ' (Na součtech řad recipročních) a od té doby fascinuje matematiky. Prvních několik z těchto čísel je

${ displaystyle S_ {n} = 1,1, { frac {1} {2}}, { frac {1} {3}}, { frac {5} {24}}, { frac {2 } {15}}, { frac {61} {720}}, { frac {17} {315}}, { frac {277} {8064}}, { frac {62} {2835}}, ldots}$ (OEIS: A099612 / OEIS: A099617)

Toto jsou koeficienty v expanzi sek X + opálení X.

Bernoulliho čísla a Eulerova čísla lze nejlépe chápat jako speciální pohledy z těchto čísel vybraných ze sekvence S_n a upraveno pro použití ve speciálních aplikacích.

${ displaystyle { begin {zarovnáno} B_ {n} & = (- 1) ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} [n { text {even}}] { frac {n!} {2 ^ {n} -4 ^ {n}}} , S_ {n} , & n & = 2,3, ldots E_ {n} & = (- 1) ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} [n { text {even}}] n! , S_ {n + 1} & n & = 0,1, ldots end {zarovnaný}}}$

Výraz [n sudý] má hodnotu 1, pokud n je sudé a 0 jinak (Iverson držák ).

Tyto identity ukazují, že kvocient Bernoulliho a Eulerova čísla na začátku této části je jen speciální případ R_n = 2S_n/S_{n + 1} když n je sudý. The R_n jsou racionální aproximace π a dva po sobě jdoucí výrazy vždy obsahují skutečnou hodnotu π. Počínaje n = 1 sekvence začíná (OEIS: A132049 / OEIS: A132050):

${ displaystyle 2,4,3, { frac {16} {5}}, { frac {25} {8}}, { frac {192} {61}}, { frac {427} {136 }}, { frac {4352} {1385}}, { frac {12465} {3968}}, { frac {158720} {50521}}, ldots quad longrightarrow pi.}$

Tato racionální čísla se objevují také v posledním odstavci výše citovaného Eulerova článku.

Zvažte pro sekvenci transformaci Akiyama-Tanigawa OEIS: A046978 (n + 2) / OEIS: A016116 (n + 1):

0	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	−5/8	−3/4
2	−1/2	1/2	9/4	5/2	5/8
3	−1	−7/2	−3/4	15/2
4	5/2	−11/2	−99/4
5	8	77/2
6	−61/2

Od druhého jsou čitatelé prvního sloupce jmenovateli Eulerova vzorce. První sloupec je -1/2 × OEIS: A163982.

Algoritmický pohled: Seidelův trojúhelník

Sekvence S_n má další neočekávanou, ale důležitou vlastnost: jmenovatelé S_n rozdělte faktoriál (n − 1)!. Jinými slovy: čísla T_n = S_n(n − 1)!, někdy nazývané Eulerova klikatá čísla, jsou celá čísla.

${ Displaystyle T_ {n} = 1, , 1, , 1, , 2, , 5, , 16, , 61, , 272, , 1385, , 7936, , 50521, , 353792, ldots quad n = 0,1,2,3, ldots}$ (OEIS: A000111). Viz (OEIS: A253671).

Výše uvedená reprezentace Bernoulliho a Eulerova čísla lze tedy přepsat z hlediska této posloupnosti na

${ displaystyle { begin {zarovnáno} B_ {n} & = (- 1) ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} [n { text {even}}] { frac {n} {2 ^ {n} -4 ^ {n}}} , T_ {n-1} & n & = 2,3, ldots E_ {n} & = (- 1) ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} [n { text {even}}] T_ {n + 1} & n & = 0,1, ldots end {zarovnáno}} }$

Tyto identity usnadňují výpočet Bernoulliho a Eulerových čísel: Eulerova čísla E_n jsou okamžitě dány T_{2n + 1} a Bernoulliho čísla B_2n jsou získány z T_2n nějakým snadným řazením, vyhýbáním se racionální aritmetice.

Zbývá najít vhodný způsob výpočtu čísel T_n. Avšak již v roce 1877 Philipp Ludwig von Seidel (Seidel 1877 ) zveřejnil důmyslný algoritmus, který usnadňuje výpočet T_n.

${ displaystyle { begin {array} {crrrcc} {} & {} & { color {red} 1} & {} & {} & {} {} & { rightarrow} & { color {blue } 1} & { color {red} 1} & {} {} & { color {red} 2} & { color {blue} 2} & { color {blue} 1} & { leftarrow } { rightarrow} & { color {blue} 2} & { color {blue} 4} & { color {blue} 5} & { color {red} 5} { color {red } 16} & { color {blue} 16} & { color {blue} 14} & { color {blue} 10} & { color {blue} 5} & { leftarrow} end {array}} }$

Seidelův algoritmus pro T_n

1. Začněte tím, že do řádku 0 vložíte 1 a necháte k označte číslo aktuálně vyplňovaného řádku
2. Li k je liché, pak vložte číslo na levý konec řádku k − 1 na první pozici řádku ka vyplňte řádek zleva doprava, přičemž každý záznam je součtem čísla vlevo a čísla nahoře
3. Na konci řádku duplikujte poslední číslo.
4. Li k je sudé, postupujte podobně v opačném směru.

Seidelův algoritmus je ve skutečnosti mnohem obecnější (viz výklad Dominique Dumonta (Dumont 1981 )) a poté byl znovuobjeven několikrát.

Podobně jako Seidelův přístup D. E. Knuth a T. J. Buckholtz (Knuth & Buckholtz 1967 ) dal rovnici opakování čísel T_2n a doporučil tuto metodu pro výpočet B_2n a E_2n „Na elektronických počítačích využívajících pouze jednoduché operace na celých číslech“.

V. I. Arnold znovu objevil Seidelův algoritmus v (Arnold 1991 ) a později Millar, Sloane a Young popularizovali Seidelův algoritmus pod tímto jménem boustrofedonová transformace.

Trojúhelníkový tvar:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

Pouze OEIS: A000657, s jednou 1 a OEIS: A214267, se dvěma 1, jsou v OEIS.

Distribuce s doplňkovou 1 a jednou 0 v následujících řádcích:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

Tohle je OEIS: A239005, podepsaná verze OEIS: A008280. Hlavní andiagonální je OEIS: A122045. Hlavní úhlopříčka je OEIS: A155585. Střední sloupec je OEIS: A099023. Součet řádků: 1, 1, −2, −5, 16, 61…. Vidět OEIS: A163747. Podívejte se na pole začínající 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 níže.

Algoritmus Akiyama – Tanigawa aplikován na OEIS: A046978 (n + 1) / OEIS: A016116(n) výnosy:

1	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8
0	1	3/2	1	0	−3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	−5	−15/2	1
5	5	−51/2
0	61
−61

1. První sloupec je OEIS: A122045. Jeho binomická transformace vede k:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

První řádek tohoto pole je OEIS: A155585. Absolutní hodnoty zvyšujících se antidiagonálů jsou OEIS: A008280. Součet antidiagonálů je −OEIS: A163747 (n + 1).

2. Druhý sloupec je 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385…. Výnosy z binomické transformace:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

První řádek tohoto pole je 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584…. Absolutní hodnoty druhého půlení jsou dvojnásobkem absolutních hodnot prvního půlení.

Zvažte použitý algoritmus Akiyama-Tanigawa OEIS: A046978 (n) / (OEIS: A158780 (n + 1) = abs (OEIS: A117575 (n)) + 1 = 1, 2, 2, 3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32….

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5/4	0
−1	−3	−3/2	3	25/4
2	−3	−27/2	−13
5	21	−3/2
−16	45
−61

První sloupec, jehož absolutní hodnoty jsou OEIS: A000111 může být čitatel trigonometrické funkce.

OEIS: A163747 je autosequence prvního druhu (hlavní úhlopříčka je OEIS: A000004). Odpovídající pole je:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

První dvě horní úhlopříčky jsou −1 3 −24 402… = (−1)^{n + 1} × OEIS: A002832. Součet antidiagonálů je 0 −2 0 10… = 2 × OEIS: A122045(n + 1).

−OEIS: A163982 je autosequence druhého druhu, jako například OEIS: A164555 / OEIS: A027642. Proto pole:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

Hlavní úhlopříčka, zde 2 −2 8 −92…, je zde dvojnásobkem prvního horního OEIS: A099023. Součet antidiagonálů je 2 0 −4 0… = 2 × OEIS: A155585(n + 1). OEIS: A163747 − OEIS: A163982 = 2 × OEIS: A122045.

Kombinatorický pohled: střídavé obměny

Kolem roku 1880, tři roky po zveřejnění Seidelova algoritmu, Désiré André se ukázal jako klasický výsledek kombinatorické analýzy (André 1879 ) & (André 1881 ). Při pohledu na první podmínky Taylorovy expanze trigonometrické funkceopálení X a sek X André udělal překvapivý objev.

${ displaystyle { begin {aligned} tan x & = x + { frac {2x ^ {3}} {3!}} + { frac {16x ^ {5}} {5!}} + { frac { 272x ^ {7}} {7!}} + { Frac {7936x ^ {9}} {9!}} + Cdots [6pt] sec x & = 1 + { frac {x ^ {2} } {2!}} + { Frac {5x ^ {4}} {4!}} + { Frac {61x ^ {6}} {6!}} + { Frac {1385x ^ {8}} { 8!}} + { Frac {50521x ^ {10}} {10!}} + Cdots end {zarovnáno}}}$

Koeficienty jsou Eulerova čísla lichého a sudého indexu. V důsledku toho je běžné rozšiřování opálení X + s X má jako koeficienty racionální čísla S_n.

${ displaystyle tan x + sec x = 1 + x + { tfrac {1} {2}} x ^ {2} + { tfrac {1} {3}} x ^ {3} + { tfrac {5 } {24}} x ^ {4} + { tfrac {2} {15}} x ^ {5} + { tfrac {61} {720}} x ^ {6} + cdots}$