Faktoriální - Factorial

v matematika, faktoriál pozitivního celé číslo n, označeno n!, je produkt všech kladných celých čísel menších nebo rovných n:

${ Displaystyle n! = n cdot (n-1) cdot (n-2) cdot (n-3) cdot cdots cdot 3 cdot 2 cdot 1 ,.}$

Například,

${ displaystyle 5! = 5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1 = 120 ,.}$

Hodnota 0! je 1, podle konvence pro prázdný produkt.^[1]

S faktoriálem se setkáváme v mnoha oblastech matematiky, zejména v kombinatorika, algebra, a matematická analýza. Jeho nejzákladnější použití počítá možné odlišnosti sekvence - obměny - z n odlišné objekty: existují n!.

Faktoriál funkce může také být rozšířeno na neceločíselné argumenty při zachování jeho nejdůležitějších vlastností definováním X! = Γ (X + 1), kde Γ je funkce gama; to není definováno, když X je záporné celé číslo.

Dějiny

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2019)

Faktoriály používali indičtí učenci k počítání permutací přinejmenším již ve 12. století.^[2] V roce 1677 Fabian Stedman popsal faktoriály tak, jak byly použity změnit vyzvánění, hudební umění zahrnující zvonění mnoha vyladěných zvonů.^[3] Po popisu rekurzivního přístupu dává Stedman prohlášení o faktoriálu (v jazyce originálu):

Povaha těchto metod je nyní taková, že změny na jednom čísle chápou [zahrnují] změny na všech menších číslech ... natolik, že se zdá, že úplná Peal změn na jednom čísle je vytvořena spojením úplných Peals na všech menší čísla do jednoho celého těla.^[4]

The notace n! byl představen francouzským matematikem Christian Kramp v roce 1808.^[5]

Definice

Faktoriální funkce je definována produktem

${ Displaystyle n! = 1 cdot 2 cdot 3 cdots (n-2) cdot (n-1) cdot n,}$

pro celé číslo n ≥ 1. To může být napsáno v pí produktová notace tak jako

${ displaystyle n! = prod _ {i = 1} ^ {n} i.}$

To vede k relace opakování

${ displaystyle n! = n cdot (n-1) !.}$

Například,

${ displaystyle { begin {aligned} 5! & = 5 cdot 4! 6! & = 6 cdot 5! 50! & = 50 cdot 49! end {aligned}}}$

a tak dále.

Faktoriál nuly

Faktoriál z 0 je 1, nebo v symbolech, 0! = 1.

Pro tuto definici existuje několik motivací:

• Pro n = 0, definice n! jako produkt zahrnuje produkt žádných čísel, a tak je příkladem širší konvence, že produkt žádných faktorů se rovná multiplikativní identitě (viz Prázdný produkt ).
• Existuje přesně jedna permutace nulových objektů (bez toho, aby se něco permutovalo, jediné přeskupení je nedělat nic).
• Dělá to mnoho identit kombinatorika platí pro všechny příslušné velikosti. Počet způsobů, jak vybrat 0 prvků z prázdná sada je dán binomický koeficient

${ displaystyle { binom {0} {0}} = { frac {0!} {0! 0!}} = 1.}$

Obecněji řečeno, počet způsobů, jak vybrat všechny n prvky mezi sadou n je

${ displaystyle { binom {n} {n}} = { frac {n!} {n! 0!}} = 1.}$

• Umožňuje kompaktní vyjádření mnoha vzorců, například exponenciální funkce jako výkonová řada:

${ displaystyle e ^ {x} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {x ^ {n}} {n!}}.}$

• Rozšiřuje relaci opakování na 0.

Aplikace

Ačkoli faktoriální funkce má své kořeny v kombinatorika, vzorce zahrnující faktoriály se vyskytují v mnoha oblastech matematiky.

• Existují n! různé způsoby uspořádání n odlišné objekty do sekvence, obměny těchto předmětů.^[6][7]
• Často se v jmenovatel vzorce zohledňující skutečnost, že objednávání má být ignorováno. Klasickým příkladem je počítání k-kombinace (podmnožiny k prvků) ze sady s n elementy. Takovou kombinaci lze získat výběrem a k-permutace: postupný výběr a odebrání jednoho prvku sady, k celkem, celkem

${ displaystyle (n-0) (n-1) (n-2) cdots left (n- (k-1) right) = { frac {n!} {(nk)!}} = n ^ { podtrhnout {k}}}$

možnosti. Toto však produkuje k-kombinace v určitém pořadí, které si přejete ignorovat; od každého k-kombinace se získá v k! různými způsoby, správný počet k-kombinace je

${ displaystyle { frac {n (n-1) (n-2) cdots (n-k + 1)} {k (k-1) (k-2) cdots 1}} = { frac { n ^ { podtržení {k}}} {k!}} = { frac {n!} {(nk)! k!}} = { binom {n} {k}}.}$

Toto číslo je známé^[8] jako binomický koeficient, protože to je také koeficient X^k v (1 + X)ⁿ. Termín ${ displaystyle n ^ { podtržení {k}}}$ se často nazývá a klesající faktoriál (vyslovuje se „n k pádu k").

• Faktoriály se vyskytují v algebra z různých důvodů, například prostřednictvím již zmíněných koeficientů indexu binomický vzorec nebo prostřednictvím průměrování přes obměny pro symetrizace některých operací.
• Faktoriály se také objeví počet; například se vyskytují ve jmenovatelích podmínek Taylorův vzorec,^[9] kde jsou použity jako podmínky kompenzace kvůli nth derivát z Xⁿ je ekvivalentní s n!.
• Faktoriály se také hojně používají v teorie pravděpodobnosti^[10] a teorie čísel (viz. níže ).
• Faktoriály mohou být užitečné k usnadnění manipulace s výrazy. Například počet k-permutace n lze psát jako

${ displaystyle n ^ { podtržení {k}} = { frac {n!} {(n-k)!}} ,;}$

i když je to neefektivní jako prostředek k výpočtu tohoto čísla, může to sloužit k prokázání vlastnosti symetrie^[7][8] binomických koeficientů:

${ displaystyle { binom {n} {k}} = { frac {n ^ { podtržení {k}}} {k!}} = { frac {n!} {(nk)! k!}} = { frac {n ^ { podtržení {nk}}} {(nk)!}} = { binom {n} {nk}} ,.}$

• Faktoriální funkci lze zobrazit pomocí pravidlo moci, být

${ displaystyle n! = D ^ {n} , x ^ {n} = { frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} , x ^ {n}}$

kde Dⁿ Xⁿ je Eulerova notace pro nth derivát z Xⁿ.^[11]

Tempo růstu a přibližné hodnoty pro velké n

Spiknutí přirozeného logaritmu faktoriálu

Tak jako n roste, faktoriál n! roste rychleji než všechny ostatní polynomy a exponenciální funkce (ale pomalejší než ${ displaystyle n ^ {n}}$ a dvojité exponenciální funkce ) v n.

Většina aproximací pro n! jsou založeny na aproximaci jeho přirozený logaritmus

${ displaystyle ln n! = součet _ {x = 1} ^ {n} ln x ,.}$

Graf funkce F(n) = ln n! je znázorněno na obrázku vpravo. Vypadá to přibližně lineární pro všechny přiměřené hodnoty n, ale tato intuice je falešná. Dostaneme jednu z nejjednodušších aproximací pro ln n! svázáním částky s integrální shora a zdola takto:

${ displaystyle int _ {1} ^ {n} ln x , dx leq součet _ {x = 1} ^ {n} ln x leq int _ {0} ^ {n} ln (x + 1) , dx}$

což nám dává odhad

${ displaystyle n ln left ({ frac {n} {e}} right) +1 leq ln n! leq (n + 1) ln left ({ frac {n + 1} {e}} vpravo) +1 ,.}$

Proto ln n! ∼ n ln n (vidět Velký Ó notace ). Tento výsledek hraje klíčovou roli v analýze výpočetní složitost z třídicí algoritmy (vidět porovnání řazení ). Z hranic dál ln n! vyvozeno výše, dostaneme to

${ displaystyle left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n} e leq n! leq left ({ frac {n + 1} {e}} right) ^ { n + 1} e ,.}$

Někdy je praktické použít slabší, ale jednodušší odhady. Pomocí výše uvedeného vzorce je snadné ukázat, že pro všechny n my máme (n/3)ⁿ < n!a pro všechny n ≥ 6 my máme n! < (n/2)ⁿ.

Porovnání Stirlingovy aproximace s faktoriálem

Pro velké n získáme lepší odhad počtu n! použitím Stirlingova aproximace:

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n} ,.}$

Toto ve skutečnosti pochází z asymptotické řady pro logaritmus a n faktoriální lži mezi touto a další aproximací:

${ displaystyle { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n}$

Další přiblížení pro ln n! darováno Srinivasa Ramanujan (Ramanujan 1988 )

${ displaystyle { begin {zarovnáno} ln n! & cca n ln n-n + { frac { ln { Bigl (} n { bigl (} 1 + 4n (1 + 2n) { bigr )} { Bigr)}} {6}} + { frac { ln pi} {2}} [6px] Longrightarrow ; n! & Cca { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n} left (1 + { frac {1} {2n}} + { frac {1} {8n ^ {2}}} right) ^ {1/6} ,. end {zarovnáno}}}$

Toto i Stirlingova aproximace poskytují relativní chybu v řádu 1/n³, ale Ramanujan je asi čtyřikrát přesnější. Pokud však použijeme dva korekční členy v aproximaci Stirlingova typu, stejně jako u Ramanujanovy aproximace bude relativní chyba řádu 1/n⁵:^[12]

${ displaystyle n! cca { sqrt {2 pi n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n} exp vlevo ({{ frac {1} { 12n}} - { frac {1} {360n ^ {3}}}} vpravo) ,.}$

Výpočet

Pokud není problém s efektivitou, výpočetní faktoriály jsou z hlediska algoritmu triviální: postupné vynásobení proměnné inicializované na 1 celými čísly až n (pokud existuje) bude vypočítán n!, za předpokladu, že výsledek zapadá do proměnné. v funkční jazyky, rekurzivní definice je často implementována přímo pro ilustraci rekurzivních funkcí.

Hlavním praktickým problémem při výpočtu faktoriálů je velikost výsledku. Aby bylo zajištěno, že přesný výsledek bude vyhovovat všem právním hodnotám i toho nejmenšího běžně používaného integrálního typu (8-bit celá čísla se znaménkem) by vyžadovalo více než 700 bitů, takže žádná rozumná specifikace faktoriální funkce používající typy pevné velikosti nemůže zabránit otázkám přetékat. Hodnoty 12! a 20! jsou největší faktoriály, které lze uložit do 32-bit a 64-bit celá čísla běžně používaná v osobní počítače, nicméně mnoho jazyků podporuje celočíselné typy s proměnnou délkou schopné vypočítat velmi velké hodnoty.^[13] Plovoucí bod zastoupení přibližného výsledku umožňuje jít trochu dále, ale to také zůstává docela omezené možným přetečením. Většina kalkulačky použití věděcký zápis s 2místnými desetinnými exponenty a největší faktoriál, který se hodí, je pak 69 !, protože 69! < 10¹⁰⁰ < 70!. Jiné implementace (například počítačový software, jako jsou tabulkové procesory) mohou často zpracovávat větší hodnoty.

Většina softwarových aplikací vypočítá malé faktoriály přímým násobením nebo vyhledáním tabulky. Větší faktoriální hodnoty lze aproximovat pomocí Stirlingův vzorec. Wolfram Alpha umí vypočítat přesné výsledky pro stropní funkce a funkce podlahy aplikován na binární, přírodní a společný logaritmus z n! pro hodnoty n až do 249999a až 20000000! pro celá čísla.

Pokud jsou potřeba přesné hodnoty velkých faktoriálů, lze je vypočítat pomocí aritmetika s libovolnou přesností. Místo toho, aby postupné násobení ((1 × 2) × 3) × 4...může program rozdělit sekvenci na dvě části, jejichž produkty mají zhruba stejnou velikost, a znásobit je pomocí a rozděl a panuj metoda. To je často efektivnější.^[14]

Asymptoticky nejlepší účinnosti je dosaženo výpočtem n! z jeho primární faktorizace. Jak dokumentuje Peter Borwein, umožňuje primární faktorizace n! být vypočítán v čase Ó (n(log n log log n)²), za předpokladu, že rychle multiplikační algoritmus se používá (například Schönhage – Strassenův algoritmus ).^[15] Peter Luschny představuje zdrojový kód a měřítka pro několik efektivních faktoriálních algoritmů, s nebo bez použití a primární síto.^[16]

Teorie čísel

Faktoriály mají mnoho aplikací v teorii čísel. Zejména, n! je nutně dělitelný všemi prvočísla až don. Jako následek, n > 5 je složené číslo kdyby a jen kdyby

${ displaystyle (n-1)! equiv 0 { pmod {n}}.}$

Silnější výsledek je Wilsonova věta, který uvádí, že

${ displaystyle (p-1)! equiv -1 { pmod {p}}}$

kdyby a jen kdyby p je hlavní.^[17][18]

Legendrův vzorec dává multiplicitu prvočísla p vyskytující se při primární faktorizaci n! tak jako

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} levá lfloor { frac {n} {p ^ {i}}} pravá rfloor}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle { frac {n-s_ {p} (n)} {p-1}},}$

kde s_p(n) označuje součet standardního základup číslice n.

Přidání 1 do faktoriálu n! získá číslo, které je dělitelné pouze prvočísly, která jsou větší než n. Tuto skutečnost lze prokázat Euklidova věta že počet prvočísel je nekonečný.^[19] Prvočísla formy n! ± 1 jsou nazývány faktoriální prvočísla.

Série vzájemných

The reciproční faktoriálů produkuje a konvergentní řady jehož součet je exponenciální základna E:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} = { frac {1} {1}} + { frac {1} {1}} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {6}} + { frac {1} {24}} + { frac {1} {120}} + cdots = e , .}$

Ačkoli součet této série je iracionální číslo, je možné vynásobit faktoriály kladnými celými čísly a vytvořit konvergentní řadu s racionálním součtem:

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(n + 2) n!}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {30}} + { frac {1} {144}} + cdots = 1 ,.}$

Konvergence této řady k 1 je patrná ze skutečnosti, že její částečné částky jsou ${ displaystyle { frac {k! -1} {k!}}}$Faktoriály proto netvoří posloupnost iracionality.^[20]

Faktoriál neceločíselných hodnot

Funkce gama a pí

Funkce gama interpoluje faktoriální funkci na jiné než celočíselné hodnoty. Hlavním vodítkem je relace opakování generalizované na souvislou doménu.

Kromě nezáporných celých čísel lze faktoriál definovat i pro jiné než celočíselné hodnoty, ale to vyžaduje pokročilejší nástroje od matematická analýza.

Jedna funkce, která vyplňuje hodnoty faktoriálu (ale s posunem o 1 v argumentu), která se často používá, se nazývá funkce gama, označeno Γ (z). Je definován pro všechna komplexní čísla z s výjimkou celých čísel, která nejsou kladná, a jsou uvedena, když je jejich skutečná část z je pozitivní od

${ displaystyle Gamma (z) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} , dt.}$

Jeho vztah k faktoriálu je ten n! = Γ (n + 1) pro každé nezáporné celé číslo n.

Euler původní vzorec pro funkci gama byl

${ displaystyle Gamma (z) = lim _ {n to infty} { frac {n ^ {z} n!} { displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n} (z + k )}}.}$

Carl Friedrich Gauss použil notaci Π (z) označit stejnou funkci, ale s argumentem posunutým o 1, takže souhlasí s faktoriálem pro nezáporná celá čísla. Tento funkce pi je definováno

${ displaystyle Pi (z) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {z} e ^ {- t} , dt.}$

Funkce pi a funkce gama souvisí podle vzorce Π (z) = Γ (z + 1). Rovněž, Π (n) = n! pro jakékoli nezáporné celé číslo n.

Faktoriální funkce zobecněná na všechna reálná čísla kromě záporných celých čísel. Například, 0! = 1! = 1, (−1/2)! = √π, 1/2! = √π/2.

Kromě toho funkce pi uspokojuje stejné opakování jako faktoriály, ale při každé komplexní hodnotě z kde je to definováno

${ displaystyle Pi (z) = z Pi (z-1) ,.}$

Toto již není relace opakování, ale a funkční rovnice. Z hlediska funkce gama ano

${ displaystyle Gamma (n + 1) = n Gamma (n) ,.}$

Hodnoty těchto funkcí na napůl celé číslo hodnoty je tedy určeno jednou z nich:

${ displaystyle Gamma left ({ frac {1} {2}} right) = left (- { frac {1} {2}} right)! = Pi left (- { frac {1} {2}} vpravo) = { sqrt { pi}} ,,}$

z čehož vyplývá, že pron ∈ N,

${ displaystyle { begin {aligned} & Gamma left ({ frac {1} {2}} + n right) = left (- { frac {1} {2}} + n right) ! = Pi left (- { frac {1} {2}} + n right) [5pt] = {} & { sqrt { pi}} prod _ {k = 1} ^ { n} { frac {2k-1} {2}} = { frac {(2n)!} {4 ^ {n} n!}} { sqrt { pi}} = { frac {(2n- 1)!} {2 ^ {2n-1} (n-1)!}} { Sqrt { pi}} ,. End {zarovnáno}}}$

Například,

${ displaystyle Gamma left ({ frac {9} {2}} right) = { frac {7} {2}}! = Pi left ({ frac {7} {2}} vpravo) = { frac {1} {2}} cdot { frac {3} {2}} cdot { frac {5} {2}} cdot { frac {7} {2}} { sqrt { pi}} = { frac {8!} {4 ^ {4} 4!}} { sqrt { pi}} = { frac {7!} {2 ^ {7} 3!} } { sqrt { pi}} = { frac {105} {16}} { sqrt { pi}} přibližně 11 631 , 728 ldots}$

Z toho také vyplývá, že pron ∈ N,

${ displaystyle Gamma left ({ frac {1} {2}} - n right) = left (- { frac {1} {2}} - n right)! = Pi left ( - { frac {1} {2}} - n right) = { sqrt { pi}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {2} {1-2k}} = { frac { left (-4 right) ^ {n} n!} {(2n)!}} { sqrt { pi}} ,.}$

Například,

${ displaystyle Gamma left (- { frac {5} {2}} right) = left (- { frac {7} {2}} right)! = Pi left (- { frac {7} {2}} right) = { frac {2} {- 1}} cdot { frac {2} {- 3}} cdot { frac {2} {- 5}} { sqrt { pi}} = { frac { vlevo (-4 doprava) ^ {3} 3!} {6!}} { sqrt { pi}} = - { frac {8} {15 }} { sqrt { pi}} přibližně -0,945 , 308 ldots}$

Funkce pi rozhodně není jediným způsobem, jak rozšířit faktoriály na funkci definovanou téměř u všech komplexních hodnot, a dokonce ani jedinou, která je analytický kdekoli je to definováno. Obvykle se však považuje za nejpřirozenější způsob, jak rozšířit hodnoty faktoriálů na komplexní funkci. Například Bohr – Mollerupova věta uvádí, že funkce gama je jediná funkce, která má hodnotu 1 na 1, splňuje funkční rovnici Γ (n + 1) = nΓ (n), je meromorfní na komplexních číslech a je log-konvexní na kladné reálné ose. Podobný příkaz platí i pro funkci pi pomocí znaku Π (n) = nΠ (n − 1) funkční rovnice.

Existují však složité funkce, které jsou pravděpodobně jednodušší ve smyslu teorie analytických funkcí a které interpolují faktoriální hodnoty. Například, Hadamardova „gama“ funkce (Hadamard 1894 ) který je na rozdíl od funkce gama znakem celá funkce.^[21]

Euler také vyvinul konvergentní aproximaci produktu pro neceločíselné faktoriály, které lze považovat za ekvivalent vzorce výše uvedené funkce gama:

${ displaystyle { begin {aligned} n! = Pi (n) & = prod _ {k = 1} ^ { infty} left ({ frac {k + 1} {k}} right) ^ {n} ! ! { frac {k} {n + k}} & = left [ left ({ frac {2} {1}} right) ^ {n} { frac {1} {n + 1}} right] left [ left ({ frac {3} {2}} right) ^ {n} { frac {2} {n + 2}} right] left [ left ({ frac {4} {3}} right) ^ {n} { frac {3} {n + 3}} right] cdots end {aligned}}}$

Tento vzorec však neposkytuje praktické prostředky pro výpočet funkce pi nebo funkce gama, protože její rychlost konvergence je pomalá.

Aplikace funkce gama

The objem z n-dimenzionální hypersféra poloměru R je

${ displaystyle V_ {n} = { frac { pi ^ {n / 2}} { Gamma vlevo ({ frac {n} {2}} + 1 vpravo)}} R ^ {n} ,.}$

Faktoriál ve složité rovině

Amplituda a fáze faktoriálu složitého argumentu

Reprezentace prostřednictvím funkce gama umožňuje vyhodnocení faktoriálu složitého argumentu. Rovnice amplitudy a fáze faktoriálu jsou znázorněny na obrázku. Nechat

${ Displaystyle f = rho e ^ {i varphi} = (x + iy)! = gama (x + iy + 1) ,.}$

Několik úrovní konstantního modulu (amplitudy) ρ a konstantní fáze φ jsou ukázány. Mřížka pokrývá rozsah −3 ≤ X ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2, s jednotkovými kroky. Poškrábaná čára ukazuje úroveň φ = ± π.

Tenké čáry ukazují střední úrovně konstantního modulu a konstantní fáze. Na pólech u každého záporného celého čísla nejsou definovány fáze a amplituda. Rovnodennosti jsou husté v blízkosti singularit podél negativních celočíselných hodnot argumentu.

Pro |z| < 1lze použít Taylorovy expanze:

${ displaystyle z! = sum _ {n = 0} ^ { infty} g_ {n} z ^ {n} ,.}$

První koeficienty této expanze jsou

kde y je Euler – Mascheroniho konstanta a ζ je Funkce Riemann zeta. Počítačové algebraické systémy jako SageMath může generovat mnoho podmínek této expanze.

Aproximace faktoriálu

U velkých hodnot argumentu lze faktoriál přiblížit pomocí integrálu funkce digamma, za použití pokračující zlomek zastoupení. Tento přístup je způsoben T. J. Stieltjes (1894).^{[Citace je zapotřebí ]} Psaní z! = E^P(z) kde P(z) je

${ Displaystyle P (z) = p (z) + { frac { ln 2 pi} {2}} - z + vlevo (z + { frac {1} {2}} vpravo) ln (z ) ,,}$

Stieltjes dal pokračující zlomek pro p(z):

${ displaystyle p (z) = { cfrac {a_ {0}} {z + { cfrac {a_ {1}} {z + { cfrac {a_ {2}} {z + { cfrac {a_ {3}} {z + ddots}}}}}}}}}$

Prvních pár koeficientů A_n jsou^[22]

n	An
0	1/12
1	1/30
2	53/210
3	195/371
4	22999/22737
5	29944523/19733142
6	109535241009/48264275462

Existuje mylná představa ln z! = P(z) nebo ln Γ (z + 1) = P(z) pro jakýkoli komplex z ≠ 0.^{[Citace je zapotřebí ]} Ve skutečnosti je vztah prostřednictvím logaritmu platný pouze pro konkrétní rozsah hodnot z v blízkosti skutečné osy, kde −π z + 1)) <π. Čím větší je skutečná část argumentu, tím menší by měla být imaginární část. Avšak inverzní vztah, z! = E^P(z), platí pro celou složitou rovinu kromě z = 0. Konvergence je špatná v blízkosti záporné části skutečné osy;^{[Citace je zapotřebí ]} je obtížné dosáhnout dobré konvergence jakékoli aproximace v blízkosti singularit. Když |Im z| > 2 nebo Re z > 2, šest výše uvedených koeficientů je dostatečných pro vyhodnocení faktoriálu se složitou dvojitou přesností. Pro vyšší přesnost lze pomocí racionálního schématu QD (Rutishauserův QD algoritmus) vypočítat více koeficientů.^[23]

Nelze rozšířit na záporná celá čísla

Vztah n! = n × (n − 1)! umožňuje vypočítat faktoriál pro celé číslo vzhledem k faktoriálu pro menší celé číslo. Relaci lze převrátit, aby bylo možné vypočítat faktoriál pro celé číslo dané faktoriálem pro větší celé číslo:

${ displaystyle (n-1)! = { frac {n!} {n}}.}$

Tato rekurze nám však neumožňuje vypočítat faktoriál záporného celého čísla; použití vzorce k výpočtu (−1)! by vyžadovalo dělení nenulové hodnoty nulou, a tím nám blokuje výpočet faktoriální hodnoty pro každé záporné celé číslo. Podobně funkce gama není definován pro nulová nebo záporná celá čísla, i když je definován pro všechna ostatní komplexní čísla.

Faktoriální produkty a funkce

Existuje několik dalších celočíselných posloupností podobných faktoriálu, které se používají v matematice:

Dvojitý faktoriál

Součin všech lichých celých čísel až po nějaké liché kladné celé číslo n se nazývá dvojitý faktoriál z na označeno n!!.^[24] To znamená

${ displaystyle (2k-1) !! = prod _ {i = 1} ^ {k} (2i-1) = { frac {(2k)!} {2 ^ {k} k!}} = { frac {_ {2k} P_ {k}} {2 ^ {k}}} = { frac { left (2k right) ^ { underline {k}}} {2 ^ {k}}} ,.}$

Například, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945.

Posloupnost dvojitých faktoriálů pro n = 1, 3, 5, 7,... začíná jako

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ... (sekvence A001147 v OEIS )

Pro zjednodušení vyjádření jistých lze použít dvojitý faktoriální zápis trigonometrické integrály,^[25] poskytnout výraz pro hodnoty souboru funkce gama při argumentech polovičního čísla a objemu hypersféry,^[26] a vyřešit mnoho počítání problémů v kombinatorice včetně počítání binární stromy se značenými listy a perfektní shody v kompletní grafy.^[24][27]

Multifaktoriály

Běžnou související notací je použití více vykřičníků k označení a multifaktoriální, součin celých čísel v krocích po dvou (n!!), tři (n!!!) nebo více (viz zobecnění dvojitého faktoriálu ). Dvojitý faktoriál je nejčastěji používanou variantou, ale lze podobně definovat trojitý faktoriál (n!!!) a tak dále. Lze definovat k-tuple faktoriál, označený n!^(k), rekurzivně pro kladná celá čísla jako

${ displaystyle n! ^ {(k)} = { begin {cases} n & { text {if}} 0 k. end {cases}}}$

Kromě toho, podobně jako 0! = 1!/1 = 1lze definovat:

${ displaystyle {n!} ^ {(k)} = 1 quad { text {if}} {-k}$

Pro dostatečně velké n ≥ 1, obyčejná jednoduchá faktoriální funkce je rozšířena prostřednictvím multifaktoriálních funkcí takto:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} n! & = n !! cdot (n-1) !! ,, & n & geq 1 [5px] & = n !!! cdot (n-1) !!! cdot (n-2) !!! ,, & n & geq 2 [5px] & = prod _ {i = 0} ^ {k-1} (ni)! ^ {(k) }, quad { text {for}} k in mathbb {Z} ^ {+} ,, & n & geq k-1. end {zarovnáno}}}$

Stejným způsobem n! není definován pro záporná celá čísla a n!! není definována pro záporná i celá čísla, n!^(k) není definováno pro záporná celá čísla dělitelná k.

Prvotní

The primitivní přirozeného čísla n (sekvence A002110 v OEIS ), označeno n#, je podobný faktoriálu, ale s produktem převzatým pouze přes prvočísla menší nebo rovno n. To znamená

${ displaystyle n # = prod _ {p leq n} p,}$

kde p rozsahy přes prvočísla menší nebo rovny n. Například prvenství 11 je

${ displaystyle 11 # = 11 krát 7 krát 5 krát 3 krát 2 = 2310.}$

Superfaktoriál

Neil Sloane a Simon Plouffe definované a superfaktoriální v The Encyclopedia of Integer Sequences (Academic Press, 1995) být produktem první n faktoriály. Superfaktoriál 4 tedy je

${ displaystyle operatorname {sf} (4) = 1! krát 2! krát 3! krát 4! = 288 ,.}$

Obecně

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {sf} (n) = prod _ {k = 1} ^ {n} k! & = prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {n -k + 1} & = 1 ^ {n} cdot 2 ^ {n-1} cdot 3 ^ {n-2} cdots (n-1) ^ {2} cdot n ^ {1} ,. end {zarovnáno}}}$

Ekvivalentně je superfaktoriál dán vzorcem

${ displaystyle operatorname {sf} (n) = prod _ {0 leq i$

který je určující a Vandermondeova matice.

Superfaktoriály lze rozšířit na všechna složitá čísla pomocí Barnesova funkce G., takový, že ${ displaystyle G (n) = operatorname {sf} (n)}$ pro všechna kladná celá čísla n. Sekvence superfaktoriálů začíná (od n = 0) tak jako

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ... (sekvence A000178 v OEIS )

Touto definicí můžeme definovat k- superfaktoriál z n (označeno sf_k(n)) tak jako:

${ displaystyle operatorname {sf} _ {k} (n) = { begin {cases} n & { text {if}} k = 0 prod _ {r = 1} ^ {n} operatorname { sf} _ {k-1} (r) & { text {if}} k geq 1 end {cases}}}$

2 superfaktoriály hry n jsou

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, 745453331864786829312000000, ... (sekvence A055462 v OEIS )

0-superfaktoriál z n je n.

Pickupův superfaktoriál

Ve své knize z roku 1995 Klíče k nekonečnu, Clifford Pickover definoval jinou funkci n$ že nazval superfaktoriál. Je definován

${ displaystyle n $ equiv { begin {matrix} underbrace {n! ^ {{n!} ^ {{ cdot} ^ {{ cdot} ^ {{ cdot} ^ {n!}}} }}} n! { mbox {kopie}} n! end {matrix}}.}$

Tato posloupnost superfaktoriálů začíná

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1 $ & = 1 ,, 2 $ & = 2 ^ {2} = 4 ,, 3 $ & = 6 ^ {6 ^ {6 ^ {6 ^ {6 ^ {6}}}}} ,. End {zarovnáno}}}$

(Zde, jak je obvyklé u sloučeniny umocňování, seskupením se rozumí zprava doleva: A^bC = A^(bC).)

Tuto operaci lze také vyjádřit jako tetování

${ displaystyle n $ = {} ^ {n!} (n!) ,,}$

nebo pomocí Knuthova nota se šipkou nahoru tak jako

${ Displaystyle n $ = (n!) uparrow uparrow (n!) = (n!) uparrow uparrow uparrow 2 ,.}$

Hyperfaktoriální

Občas hyperfaktoriální z n je považován. Je psán jako H(n) a definováno

${ displaystyle { begin {zarovnáno} H (n) & = prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k} & = 1 ^ {1} cdot 2 ^ {2} cdot 3 ^ {3} cdots (n-1) ^ {n-1} cdot n ^ {n}. End {zarovnáno}}}$

Pro n = 1, 2, 3, 4,... hodnoty H(n) jsou 1, 4, 108, 27648, ... (sekvence A002109 v OEIS ).

Rychlost asymptotického růstu je

${ displaystyle H (n) sim An ^ {(6n ^ {2} + 6n + 1) / 12} e ^ {- n ^ {2} / 4}}$

kde A = 1,2824 ... je Konstanta Glaisher – Kinkelin.^[28] H(14) ≈ 1.8474×10⁹⁹ se již téměř rovná a googol, a H(15) ≈ 8.0896×10¹¹⁶ je téměř stejné velikosti jako Shannonovo číslo, teoretický počet možných šachových partií. Ve srovnání s Pickoverovou definicí superfaktoriálu roste hyperfaktoriál relativně pomalu.

Hyperfaktoriální funkci lze zobecnit na komplexní čísla podobným způsobem jako faktoriální funkce. Výsledná funkce se nazývá K.-funkce.

Viz také

Reference

Zdroje

Další čtení

externí odkazy

• Faktoriál (matematika) na Encyklopedie Britannica
• „Faktoriál“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Faktoriál“. MathWorld.
• Faktoriální na PlanetMath.