Solidní revoluce - Solid of revolution

Otočení křivky. Vytvořený povrch je a povrch otáčení; obklopuje revoluční těleso.

v matematika, inženýrství, a výrobní, a revoluční těleso je pevná postava získaný otočením a rovinná křivka kolem některých přímka (dále jen osa revoluce ), který leží ve stejné rovině.

Za předpokladu, že křivka neprotíná osu, těleso objem se rovná délka z kruh popsáno na obrázku těžiště vynásobeno číslem plocha (Pappusova druhá těžiště ).

A reprezentativní disk je tří-dimenzionální objemový prvek revolučního tělesa. Prvek je vytvořen rotující A úsečka (z délka $w$ ) kolem nějaké osy (nachází se) $r$ jednotky pryč), takže a válcovitý objem z $π r 2 w$ jednotky je přiložen.

Hledání svazku

Dvě běžné metody pro zjištění objemu rotačního tělesa jsou disková metoda a skořepinová metoda integrace. Pro použití těchto metod je nejjednodušší nakreslit dotyčný graf; určit oblast, která se má otáčet kolem osy otáčení; určit objem buď kotoučového řezu tělesa s tloušťkou $δx$ nebo válcovitý plášť o šířce $δx$ ; a poté najděte mezní součet těchto objemů jako $δx$ se blíží 0, což je hodnota, kterou lze zjistit hodnocením vhodného integrálu. Přísnější zdůvodnění lze poskytnout pokusem o vyhodnocení a trojitý integrál v válcové souřadnice se dvěma různými objednávkami integrace.

Metoda disku

Integrace disku kolem osy y

Metoda disku se používá, když je nakreslený řez kolmo na osa otáčení; tj. při integraci paralela k osa revoluce.

Objem pevné látky vytvořený otáčením oblasti mezi křivkami $F (X)$ a $G (X)$ a řádky $X = A$ a $X = b$ o $X$ -osa je dána

{ displaystyle V = pi int _ {a} ^ {b} vlevo | f (x) ^ {2} -g (x) ^ {2} vpravo | , dx ,.}

Li $G (X) = 0$ (např. otáčení oblasti mezi křivkou a $X$ -axis), toto se redukuje na:

{ displaystyle V = pi int _ {a} ^ {b} f (x) ^ {2} , dx ,.}

Metodu lze vizualizovat zvážením tenkého vodorovného obdélníku v $y$ mezi $F (y)$ nahoře a $G (y)$ na dně, a točí kolem $y$ -osa; tvoří prsten (nebo disk v případě, že $G (y) = 0$ ), s vnějším poloměrem $F (y)$ a vnitřní poloměr $G (y)$ . Plocha prstenu je $π (R 2 - r 2)$ , kde $R$ je vnější poloměr (v tomto případě $F (y)$ ), a $r$ je vnitřní poloměr (v tomto případě $G (y)$ ). Objem každého nekonečně malého disku je tedy $π F (y) 2 dy$ . Mez Riemannova součtu objemů disků mezi $A$ a $b$ stává se integrálem (1).

Za předpokladu použitelnosti Fubiniho věta a multivariační změna vzorce proměnných lze diskovou metodu odvodit přímým způsobem (označením tělesa jako D):

{ displaystyle V = iiint _ {D} dV = int _ {a} ^ {b} int _ {g (z)} ^ {f (z)} int _ {0} ^ {2 pi } r , d theta , dr , dz = 2 pi int _ {a} ^ {b} int _ {g (z)} ^ {f (z)} r , dr , dz = 2 pi int _ {a} ^ {b} { frac {1} {2}} r ^ {2} Vert _ {f (z)} ^ {g (z)} , dz = pi int _ {a} ^ {b} f (z) ^ {2} -g (z) ^ {2} , dz}

Válcová metoda

Integrace prostředí

Metoda válce se používá, když je řez, který byl nakreslen, paralela k osa otáčení; tj. při integraci kolmo na osa revoluce.

Objem pevné látky vytvořený otáčením oblasti mezi křivkami $F (X)$ a $G (X)$ a řádky $X = A$ a $X = b$ o $y$ -osa je dána

{ displaystyle V = 2 pi int _ {a} ^ {b} x | f (x) -g (x) | , dx ,.}

Li $G (X) = 0$ (např. otáčení oblasti mezi křivkou a $y$ -axis), toto se redukuje na:

{ displaystyle V = 2 pi int _ {a} ^ {b} x | f (x) | , dx ,.}

Metodu lze vizualizovat zvážením tenkého svislého obdélníku v $X$ s výškou $F (X) - G (X)$ , a točí kolem $y$ -osa; tvoří válcovou skořápku. Boční povrch válce je $2π rh$ , kde $r$ je poloměr (v tomto případě $X$ ), a $h$ je výška (v tomto případě $F (X) - G (X)$ ). Sečtením všech povrchových ploch v daném intervalu získáte celkový objem.

Tuto metodu lze odvodit se stejným trojitým integrálem, tentokrát s jiným pořadím integrace:

{ displaystyle V = iiint _ {D} dV = int _ {a} ^ {b} int _ {g (r)} ^ {f (r)} int _ {0} ^ {2 pi } r , d theta , dz , dr = 2 pi int _ {a} ^ {b} int _ {g (r)} ^ {f (r)} r , dz , dr = 2 pi int _ {a} ^ {b} r (f (r) -g (r)) , dr}

.

Solidní demonstrace revoluce

Tvary v klidu

Tvary v pohybu, ukazující rotační tělesa tvořená každým z nich

Parametrický formulář

Matematika a umění: studium vázy jako revolučního tělesa od Paolo Uccello. 15. století

Když je křivka definována jeho parametrické formulář $(X (t), y (t))$ v nějakém intervalu $[A, b]$ , objemy pevných látek generovaných otáčením křivky kolem $X$ - osa nebo $y$ -osy jsou dány^[1]