Leibnizovo integrální pravidlo - Leibniz integral rule

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Leibnizovo integrální pravidlo“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v počet, Leibnizovo pravidlo pro rozlišení pod integrálním znaménkem, pojmenovaným po Gottfried Leibniz, uvádí, že pro integrální formuláře

${ displaystyle int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) , dt,}$

kde ${ displaystyle - infty$, je derivace tohoto integrálu vyjádřitelná jako

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ( int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) , dt right) = f { big ( } x, b (x) { big)} cdot { frac {d} {dx}} b (x) -f { big (} x, a (x) { big)} cdot { frac {d} {dx}} a (x) + int _ {a (x)} ^ {b (x)} { frac { částečné} { částečné x}} f (x, t) , dt,}$

Kde parciální derivace označuje, že uvnitř integrálu je pouze variace F(X, t) s X se uvažuje při převzetí derivátu.^[1] Všimněte si, že pokud ${ displaystyle a (x)}$ a ${ displaystyle b (x)}$ jsou konstanty spíše než funkce z ${ displaystyle x}$, máme zvláštní případ Leibnizova pravidla:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ( int _ {a} ^ {b} f (x, t) , dt right) = int _ {a} ^ {b} { frac { částečné} { částečné x}} f (x, t) , dt.}$

Kromě toho, pokud ${ displaystyle a (x) = a}$ a ${ displaystyle b (x) = x}$, což je také běžná situace (například v důkazu Cauchyho vzorce opakované integrace), máme:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo ( int _ {a} ^ {x} f (x, t) dt vpravo) = f { big (} x, x { big) } + int _ {a} ^ {x} { frac { částečné} { částečné x}} f (x, t) dt,}$

Za určitých podmínek lze tedy zaměnit integrální a parciální diferenciál operátory. Tento důležitý výsledek je zvláště užitečný pro rozlišení integrální transformace. Příkladem toho je funkce generování momentů v pravděpodobnost teorie, variace Laplaceova transformace, které lze rozlišit pro generování momenty a náhodná proměnná. To, zda platí Leibnizovo integrované pravidlo, je v zásadě otázkou výměny limity.

Obecná forma: Diferenciace pod integrálním znaménkem

Teorém. Nechat F(X, t) být funkce taková, že obě F(X, t) a jeho parciální derivace F_X(X, t) jsou spojité v t a X v některých oblastech (X, t) letadlo, včetně A(X) ≤ t ≤ b(X), X₀ ≤ X ≤ X₁. Předpokládejme také, že funkce A(X) a b(X) jsou spojité a oba mají spojité derivace pro X₀ ≤ X ≤ X₁. Pak pro X₀ ≤ X ≤ X₁,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ( int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) , dt right) = f { big ( } x, b (x) { big)} cdot { frac {d} {dx}} b (x) -f { big (} x, a (x) { big)} cdot { frac {d} {dx}} a (x) + int _ {a (x)} ^ {b (x)} { frac { částečné} { částečné x}} f (x, t) , dt.}$

Tento vzorec je obecnou formou Leibnizova integrálního pravidla a lze jej odvodit pomocí základní věta o počtu. (První) základní věta o počtu je jen konkrétní případ výše uvedeného vzorce, kde A(X) = Akonstanta, b(X) = X, a F(X, t) = F(t).

Pokud se horní i dolní mez berou jako konstanty, má vzorec tvar operátor rovnice:

${ displaystyle { mathcal {I}} _ {t} částečné _ {x} = částečné _ {x} { mathcal {I}} _ {t}}$

kde ${ displaystyle částečné _ {x}}$ je parciální derivace s ohledem na ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {t}}$ je integrální operátor s ohledem na ${ displaystyle t}$ přes pevnou interval. To znamená, že to souvisí s symetrie druhých derivací, ale zahrnující integrály i deriváty. Tento případ je také známý jako Leibnizovo integrální pravidlo.

Následující tři základní věty o výměna limitů jsou v podstatě ekvivalentní:

• záměna derivace a integrálu (diferenciace pod integrálním znaménkem; tj. Leibnizovo integrální pravidlo);
• změna pořadí dílčích derivátů;
• změna pořadí integrace (integrace pod integrálním znaménkem; tj. Fubiniho věta ).

Trojrozměrný, časově závislý případ

Obrázek 1: Vektorové pole F(r, t) definovaný v celém prostoru a povrch Σ ohraničený křivkou ∂Σ pohybující se rychlostí proti přes které je pole integrováno.

Leibnizovo integrální pravidlo pro a dvourozměrný povrch pohyb v trojrozměrném prostoru je^[2]

${ displaystyle { frac {d} {dt}} iint _ { Sigma (t)} mathbf {F} ( mathbf {r}, t) cdot d mathbf {A} = iint _ { Sigma (t)} left ( mathbf {F} _ {t} ( mathbf {r}, t) + left [ nabla cdot mathbf {F} ( mathbf {r}, t) vpravo] mathbf {v} vpravo) cdot d mathbf {A} - mast _ { částečné Sigma (t)} vlevo [ mathbf {v} times mathbf {F} ( mathbf { r}, t) right] cdot d mathbf {s},}$

kde:

F(r, t) je vektorové pole v prostorové poloze r v čase t,

Σ je povrch ohraničený uzavřenou křivkou ∂Σ,

dA je vektorový prvek povrchu Σ,

ds je vektorový prvek křivky ∂Σ,

proti je rychlost pohybu oblasti Σ,

∇⋅ je vektor divergence,

× je vektor křížový produkt,

Dvojité integrály jsou povrchové integrály přes povrch Σ a linka integrální je nad mezní křivkou ∂Σ.

Vyšší rozměry

Leibnizovo integrální pravidlo lze rozšířit na vícerozměrné integrály. Ve dvou a třech rozměrech je toto pravidlo známější z oblasti dynamika tekutin jako Reynoldsova věta o transportu:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} int _ {D (t)} F ({ vec { textbf {x}}}, t) , dV = int _ {D (t) } { frac { částečné} { částečné t}} F ({ vec { textbf {x}}}, t) , dV + int _ { částečné D (t)} F ({ vec { textbf {x}}}, t) { vec { textbf {v}}} _ {b} cdot d mathbf { Sigma},}$

kde ${ displaystyle F ({ vec { textbf {x}}}, t)}$ je skalární funkce, D(t) a ∂D(t) označují časově proměnnou spojenou oblast R³ a jeho hranice ${ displaystyle { vec { textbf {v}}} _ {b}}$ je euleriánská rychlost hranice (viz Lagrangian a Eulerian souřadnice ) a d Σ = n dS je jednotkou normální složkou povrch živel.

Obecné prohlášení Leibnizova integrálního pravidla vyžaduje koncepty od diferenciální geometrie konkrétně diferenciální formy, vnější deriváty, klínové výrobky a interiérové ​​výrobky. S těmito nástroji vládne Leibnizův integrál n rozměry jsou^[2]

${ displaystyle { frac {d} {dt}} int _ { Omega (t)} omega = int _ { Omega (t)} i _ { vec { textbf {v}}} (d_ {x} omega) + int _ { částečné Omega (t)} i _ { vec { textbf {v}}} omega + int _ { Omega (t)} { dot { omega }},}$

kde Ω (t) je časově proměnná doména integrace, ω je a p-formulář, ${ displaystyle { vec { textbf {v}}} = { frac { částečné { vec { textbf {x}}}} { částečné t}}}$ je vektorové pole rychlosti, ${ displaystyle i _ { vec { textbf {v}}}}$ označuje vnitřní produkt s ${ displaystyle { vec { textbf {v}}}}$, d_Xω je vnější derivace ω pouze s ohledem na prostorové proměnné a ${ displaystyle { dot { omega}}}$ je časová derivace ω.

Všechny tyto identity však lze odvodit z nejobecnějšího tvrzení o Lieových derivátech:

${ displaystyle left. { frac {d} {dt}} right | _ {t = 0} int _ {{ text {im}} _ { psi _ {t}} ( Omega)} omega = int _ { Omega} { mathcal {L}} _ { Psi} omega,}$

Tady je okolní potrubí, na kterém se tvoří diferenciál ${ displaystyle omega}$ životy zahrnují prostor i čas.

${ displaystyle Omega}$ je oblast integrace (podmanifold) v daném okamžiku (nezávisí na ${ displaystyle t}$, protože jeho parametrizace jako dílčího potrubí definuje jeho pozici v čase),

${ displaystyle { mathcal {L}}}$ je Derivát lži,

${ displaystyle Psi}$ je vektorové pole časoprostoru získané přidáním jednotného vektorového pole ve směru času do čistě prostorového vektorového pole ${ displaystyle { vec { textbf {v}}}}$ z předchozích vzorců (tj. ${ displaystyle Psi}$ je časoprostorová rychlost ${ displaystyle Omega}$),

${ displaystyle psi _ {t}}$ je difeomorfismus od skupina s jedním parametrem generované tok z ${ displaystyle Psi}$, a

${ displaystyle { text {im}} _ { psi _ {t}} ( Omega)}$ je obraz z ${ displaystyle Omega}$ za takového difeomorfismu.

Na této formě je něco pozoruhodného, ​​že může odpovídat za případ, kdy ${ displaystyle Omega}$ mění svůj tvar a velikost v průběhu času, protože takové deformace jsou plně určeny pomocí ${ displaystyle Psi}$.

Výrok teorie opatření

Nechat ${ displaystyle X}$ být otevřenou podmnožinou ${ displaystyle mathbf {R}}$, a ${ displaystyle Omega}$ být změřte prostor. Předpokládat ${ Displaystyle f tlustého střeva X krát Omega pravá šipka mathbf {R}}$ splňuje následující podmínky:

1. ${ displaystyle f (x, omega)}$ je Lebesgue-integrovatelná funkce ${ displaystyle omega}$ pro každého ${ displaystyle x v X}$.
2. Pro téměř všechny ${ displaystyle omega v Omega}$ , derivát ${ displaystyle f_ {x}}$ existuje pro všechny ${ displaystyle x v X}$.
3. K dispozici je integrovatelná funkce ${ displaystyle theta tlustého střeva Omega rightarrow mathbf {R}}$ takhle ${ displaystyle | f_ {x} (x, omega) | leq theta ( omega)}$ pro všechny ${ displaystyle x v X}$ a téměř každý ${ displaystyle omega v Omega}$.

Pak podle dominující věta o konvergenci pro všechny ${ displaystyle x v X}$,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} int _ { Omega} f (x, omega) , d omega = int _ { Omega} f_ {x} (x, omega) , d omega.}$

Důkazy

Doklad o základní formě

Nejprve dokážeme případ konstantních limitů integrace A a b.

Používáme Fubiniho věta změnit pořadí integrace. Pro každé x a h takové, že h> 0 a obě x a x + h jsou v [x₀,X₁], my máme:

${ displaystyle int _ {x} ^ {x + h} int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) , dt , dx = int _ {a} ^ {b } int _ {x} ^ {x + h} f_ {x} (x, t) , dx , dt = int _ {a} ^ {b} vlevo (f (x + h, t) -f (x, t) vpravo) , dt = int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) , dt- int _ {a} ^ {b} f (x, t) , dt}$

Všimněte si, že integrály jsou dobře definované od té doby ${ displaystyle f_ {x} (x, t)}$ je spojitý v uzavřeném obdélníku ${ displaystyle [x_ {0}, x_ {1}] * [a, b]}$ a tedy také rovnoměrně spojitý; tak jeho integrály buď dt nebo dx jsou spojité v jiné proměnné a také integrovatelné (v podstatě je to proto, že pro rovnoměrně spojité funkce lze překročit mez přes integrační znaménko, jak je uvedeno níže).

Proto:

${ displaystyle { frac { int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) , dt- int _ {a} ^ {b} f (x, t) , dt} { h}} = { frac {1} {h}} int _ {x} ^ {x + h} int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) , dt , dx = { frac {F (x + h) -F (x)} {h}}}$

Kde jsme definovali:

${ displaystyle F (u) equiv int _ {x_ {0}} ^ {u} int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) , dt , dx}$

(můžeme nahradit x₀ zde jakýmkoli jiným bodem mezi x₀ a x)

F je derivovatelný ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) , dt}$, takže můžeme vzít hranici, kde h se blíží nule. Pro levou stranu je toto omezení:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} int _ {a} ^ {b} f (x, t)}$

Pro pravou stranu dostaneme:

${ displaystyle F '(u) = int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t) , dt}$

A tak dokazujeme požadovaný výsledek:

${ displaystyle { frac {d} {dx}} int _ {a} ^ {b} f (x, t) = int _ {a} ^ {b} f_ {x} (x, t)}$

Další důkaz pomocí omezené věty o konvergenci

Pokud jsou integrály po ruce Lebesgueovy integrály, můžeme použít věta o omezené konvergenci (platí pro tyto integrály, ale ne pro Riemannovy integrály ), aby se ukázalo, že limit lze projít integrálním znaménkem.

Všimněte si, že tento důkaz je slabší v tom smyslu, že ukazuje pouze to, že f_X(x, t) je Lebesgue integrovatelný, ale ne, že je to Riemann integrovatelný. V dřívějším (silnějším) důkazu, je-li f (x, t) Riemann integrovatelný, pak je také f_X(x, t) (a tedy je samozřejmě také Lebesgue integrovatelný).

Nechat

${ displaystyle u (x) = int _ {a} ^ {b} f (x, t) , dt. qquad (1)}$

Podle definice derivátu

${ displaystyle u '(x) = lim _ {h rightarrow 0} { frac {u (x + h) -u (x)} {h}}. qquad (2)}$

Nahraďte rovnici (1) rovnicí (2). Rozdíl dvou integrálů se rovná integrálu rozdílu a 1 /h je konstanta, takže

${ displaystyle { begin {aligned} u '(x) & = lim _ {h rightarrow 0} { frac { int _ {a} ^ {b} f (x + h, t) , dt - int _ {a} ^ {b} f (x, t) , dt} {h}} & = lim _ {h rightarrow 0} { frac { int _ {a} ^ { b} left (f (x + h, t) -f (x, t) right) , dt} {h}} & = lim _ {h rightarrow 0} int _ {a} ^ {b} { frac {f (x + h, t) -f (x, t)} {h}} , dt. end {zarovnáno}}}$

Nyní ukážeme, že limit lze projít integrálním znaménkem.

Tvrdíme, že průchod limitu pod integrálním znaménkem je platný pomocí věty o omezené konvergenci (důsledek dominující věta o konvergenci ). U každého δ> 0 zvažte rozdílový kvocient

${ displaystyle f _ { delta} (x, t) = { frac {f (x + delta, t) -f (x, t)} { delta}}.}$

Pro t pevné, věta o střední hodnotě znamená, že v intervalu existuje z [X, X + δ] takový, že

${ displaystyle f _ { delta} (x, t) = f_ {x} (z, t).}$

Kontinuita F_X(X, t) a kompaktnost domény dohromady to naznačují F_X(X, t) je ohraničený. Výše uvedená věta o střední hodnotě tedy dává uniformu (nezávisle na ${ displaystyle t}$) vázáno na ${ displaystyle f _ { delta} (x, t)}$. Rozdílové kvocienty konvergují bodově k parciální derivaci F_X za předpokladu, že částečná derivace existuje.

Výše uvedený argument ukazuje, že pro každou sekvenci {δ_n} → 0, posloupnost ${ displaystyle {f _ { delta _ {n}} (x, t) }}$ je rovnoměrně ohraničený a konverguje bodově k F_X. Omezená věta o konvergenci uvádí, že pokud je posloupnost funkcí na množině konečné míry rovnoměrně omezena a konverguje bodově, pak je průchod limitu pod integrálem platný. Zejména lze limit a integrál vyměnit za každou sekvenci {δ_n} → 0. Proto může být limit jako δ → 0 předán integrálním znaménkem.

Formulář variabilních limitů

Pro kontinuální funkce se skutečnou hodnotou G jednoho skutečná proměnná a skutečně oceněné rozlišitelný funkce ${ displaystyle f_ {1}}$ a ${ displaystyle f_ {2}}$ jedné reálné proměnné,

${ displaystyle { frac {d} {dx}} left ( int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) , dt right) = g left (f_ {2} (x) right) {f_ {2} '(x)} - g left (f_ {1} (x) right) {f_ {1}' (x)}.}$

To vyplývá z řetězové pravidlo a První základní věta o počtu. Definovat

${ displaystyle G (x) = int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) , dt}$,

a

${ displaystyle Gamma (x) = int _ {0} ^ {x} g (t) , dt}$. (Dolní limit musí být jen nějaké číslo v doméně ${ displaystyle g}$)

Pak, ${ displaystyle G (x)}$ lze psát jako složení: ${ displaystyle G (x) = ( Gamma circ f_ {2}) (x) - ( Gamma circ f_ {1}) (x)}$.v Řetězové pravidlo pak to naznačuje

${ displaystyle G '(x) = gama' doleva (f_ {2} (x) doprava) f_ {2} '(x) - gama' doleva (f_ {1} (x) doprava) f_ {1} '(x)}$.

Podle První základní věta o počtu, ${ displaystyle Gamma '(x) = g (x)}$. Nahrazením tohoto výsledku výše tedy získáme požadovanou rovnici:

${ displaystyle G '(x) = g left (f_ {2} (x) right) {f_ {2}' (x)} - g left (f_ {1} (x) right) {f_ {1} '(x)}}$.

Poznámka: Tato forma může být obzvláště užitečná, pokud má být rozlišovaný výraz ve tvaru:

${ displaystyle int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} h (x) g (t) , dt}$

Protože ${ displaystyle h (x)}$ nezávisí na mezích integrace, může být přesunuto zpod integrálního znaménka a výše uvedený formulář lze použít s Pravidlo produktu, tj.

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo ( int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} h (x) g (t) , dt right) = { frac {d} {dx}} left (h (x) int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) , dt vpravo) = h '(x) int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) , dt + h (x) { frac {d} {dx }} left ( int _ {f_ {1} (x)} ^ {f_ {2} (x)} g (t) , dt right)}$

Obecný formulář s variabilními limity

Soubor

${ displaystyle varphi ( alpha) = int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx,}$

kde A a b jsou funkce α, které vykazují přírůstky ΔA a Δb, když je α zvýšeno o Δα. Pak,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Delta varphi & = varphi ( alpha + Delta alpha) - varphi ( alpha) & = int _ {a + Delta a} ^ {b + Delta b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx- int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx & = int _ {a + Delta a} ^ {a} f (x, alpha + Delta alpha) , dx + int _ {a} ^ {b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx + int _ { b} ^ {b + Delta b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx- int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx & = - int _ {a} ^ {a + Delta a} f (x, alpha + Delta alpha) , dx + int _ {a} ^ {b} [f (x, alpha + Delta alfa ) -f (x, alpha)] , dx + int _ {b} ^ {b + Delta b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx. end {zarovnáno}}}$

Forma věta o střední hodnotě, ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = (b-a) f ( xi)}$, kde A <ξ < b, lze použít na první a poslední integrál vzorce pro Δφ výše, což má za následek

${ displaystyle Delta varphi = - Delta af ( xi _ {1}, alpha + Delta alpha) + int _ {a} ^ {b} [f (x, alpha + Delta alpha) -f (x, alpha)] , dx + Delta bf ( xi _ {2}, alpha + Delta alpha).}$

Vydělte Δα a nechte Δα → 0. Všimněte si ξ₁ → A a ξ₂ → b. Můžeme předat limit prostřednictvím integrálního znaménka:

${ displaystyle lim _ { Delta alfa až 0} int _ {a} ^ {b} { frac {f (x, alpha + Delta alpha) -f (x, alpha)} { Delta alpha}} , dx = int _ {a} ^ {b} { frac { částečné} { částečné alpha}} f (x, alpha) , dx,}$

opět omezenou větou o konvergenci. Tím se získá obecná forma Leibnizova integrálního pravidla,

${ displaystyle { frac {d varphi} {d alpha}} = int _ {a} ^ {b} { frac { částečné} { částečné alpha}} f (x, alpha) , dx + f (b, alpha) { frac {db} {d alpha}} - f (a, alpha) { frac {da} {d alpha}}.}$

Alternativní doklad o obecném formuláři s proměnnými limity pomocí pravidla řetězu

Obecnou formu Leibnizova integrálního pravidla s proměnnými limity lze odvodit jako důsledek základní forma Leibnizova integrálního pravidla, Pravidlo řetězu s více proměnnými a První základní věta o počtu. Předpokládat ${ displaystyle f}$ je definován v obdélníku v ${ displaystyle x-t}$ letadlo, pro ${ displaystyle x v [x_ {1}, x_ {2}]}$ a ${ displaystyle t in [t_ {1}, t_ {2}]}$. Předpokládejme také ${ displaystyle f}$ a parciální derivace ${ displaystyle { dfrac { částečné f} { částečné x}}}$ jsou obě spojité funkce na tomto obdélníku. Předpokládat ${ displaystyle a, b}$ jsou rozlišitelný funkce se skutečnou hodnotou definované na ${ displaystyle [x_ {1}, x_ {2}]}$, s hodnotami v ${ displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$ (tj. pro každého ${ displaystyle x v [x_ {1}, x_ {2}], a (x), b (x) v [t_ {1}, t_ {2}]}$). Teď, nastav

${ displaystyle F (x, y) = int _ {t_ {1}} ^ {y} f (x, t) , dt}$,   pro ${ displaystyle x v [x_ {1}, x_ {2}]}$ a ${ displaystyle y in [t_ {1}, t_ {2}]}$

a

${ displaystyle G (x) = int _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) , dt}$,   pro ${ displaystyle x v [x_ {1}, x_ {2}]}$

Poté podle vlastností Určité integrály, můžeme psát

${ displaystyle { begin {zarovnáno} G (x) & = int _ {t_ {1}} ^ {b (x)} f (x, t) , dt- int _ {t_ {1}} ^ {a (x)} f (x, t) , dt & = F (x, b (x)) - F (x, a (x)) end {zarovnáno}}}$

Protože funkce ${ displaystyle F, a, b}$ jsou všechny rozlišitelné (viz poznámka na konci důkazu) podle Pravidlo řetězu s více proměnnými, z toho vyplývá, že ${ displaystyle G}$ je diferencovatelný a jeho derivát je dán vzorcem:

${ displaystyle G '(x) = vlevo ({ dfrac { částečné F} { částečné x}} levé (x, b (x) pravé) + { dfrac { částečné F} { částečné y}} levý (x, b (x) pravý) b '(x) pravý) - levý ({ dfrac { částečný F} { částečný x}} levý (x, a (x) right) + { dfrac { částečné F} { částečné y}} left (x, a (x) right) a '(x) right)}$  

Nyní si všimněte, že pro všechny ${ displaystyle x v [x_ {1}, x_ {2}]}$a pro každého ${ displaystyle y in [t_ {1}, t_ {2}]}$, máme to ${ displaystyle { dfrac { částečné F} { částečné x}} (x, y) = int _ {t_ {1}} ^ {y} { dfrac { částečné f} { částečné x}} (x, t) dt}$, protože když vezmeme parciální derivaci s ohledem na ${ displaystyle x}$ z ${ displaystyle F}$, držíme ${ displaystyle y}$ opraveno ve výrazu ${ displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {y} f (x, t) , dt}$; tedy základní forma Leibnizova pravidla integrace se stálými limity integrace. Dále u První základní věta o počtu, máme to ${ displaystyle { dfrac { částečné F} { částečné y}} (x, y) = f (x, y)}$; protože když vezmeme parciální derivaci s ohledem na ${ displaystyle y}$ z ${ displaystyle F}$, první proměnná ${ displaystyle x}$ je pevná, takže základní věta může být skutečně použita.

Dosazením těchto výsledků do rovnice pro ${ displaystyle G '(x)}$ výše dává:

${ displaystyle { begin {aligned} G '(x) & = left ( int _ {t_ {1}} ^ {b (x)} { dfrac { parciální f} { parciální x}} ( x, t) dt + f left (x, b (x) right) b '(x) right) - left ( int _ {t_ {1}} ^ {a (x)} { dfrac { částečné f} { částečné x}} (x, t) dt + f levé (x, a (x) pravé) a '(x) pravé) & = f levé (x, b (x) right) b '(x) -f left (x, a (x) right) a' (x) + int _ {a (x)} ^ {b (x)} { dfrac { částečné f} { částečné x}} (x, t) dt, end {zarovnáno}}}$

podle přání.

Ve výše uvedeném důkazu je technický bod, který stojí za zmínku: použití pravidla řetězu na ${ displaystyle G}$ to vyžaduje ${ displaystyle F}$ už být Diferencovatelné. To je místo, kde používáme naše předpoklady o ${ displaystyle f}$. Jak bylo uvedeno výše, parciální deriváty ${ displaystyle F}$ jsou dány vzorci ${ displaystyle { dfrac { částečné F} { částečné x}} (x, y) = int _ {t_ {1}} ^ {y} { dfrac { částečné f} { částečné x}} (x, t) dt}$ a ${ displaystyle { dfrac { částečné F} { částečné y}} (x, y) = f (x, y)}$. Od té doby ${ displaystyle { dfrac { částečné f} { částečné x}}}$ je spojitý, jeho integrál je také spojitá funkce,^[3] a od té doby ${ displaystyle f}$ je také spojitý, tyto dva výsledky ukazují, že oba parciální deriváty ${ displaystyle F}$ jsou spojité. Protože kontinuita parciálních derivací znamená diferencovatelnost funkce,^[4] ${ displaystyle F}$ je skutečně rozlišitelný.

Trojrozměrná, časově závislá forma

V čase t povrch Σ dovnitř Obrázek 1 obsahuje sadu bodů uspořádaných kolem těžiště ${ displaystyle mathbf {C} (t)}$. Funkce ${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {r}, t)}$ lze psát jako

${ displaystyle mathbf {F} ( mathbf {C} (t) + mathbf {r} - mathbf {C} (t), t) = mathbf {F} ( mathbf {C} (t) + mathbf {I}, t),}$

s ${ displaystyle mathbf {I}}$ nezávisle na čase. Proměnné jsou posunuty do nového referenčního rámce připojeného k pohybující se ploše s počátkem v ${ displaystyle mathbf {C} (t)}$. Pro pevně se přenášející povrch jsou limity integrace nezávislé na čase, takže:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo ( iint _ { Sigma (t)} d mathbf {A} _ { mathbf {r}} cdot mathbf {F} ( mathbf {r}, t) right) = iint _ { Sigma} d mathbf {A} _ { mathbf {I}} cdot { frac {d} {dt}} mathbf {F} ( mathbf {C} (t) + mathbf {I}, t),}$

kde limity integrace omezující integrál na region Σ již nejsou závislé na čase, takže diferenciace prochází integrací a působí pouze na integrand:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} mathbf {F} ( mathbf {C} (t) + mathbf {I}, t) = mathbf {F} _ {t} ( mathbf { C} (t) + mathbf {I}, t) + mathbf {v cdot nabla F} ( mathbf {C} (t) + mathbf {I}, t) = mathbf {F} _ {t} ( mathbf {r}, t) + mathbf {v} cdot nabla mathbf {F} ( mathbf {r}, t),}$

s rychlostí pohybu povrchu definovanou

${ displaystyle mathbf {v} = { frac {d} {dt}} mathbf {C} (t).}$

Tato rovnice vyjadřuje materiálový derivát pole, tj. derivace vzhledem k souřadnicovému systému připojenému k pohybující se ploše. Po nalezení derivace lze proměnné přepnout zpět na původní referenční rámec. Všimli jsme si toho (viz článek o zvlnění )

${ displaystyle nabla times left ( mathbf {v} times mathbf {F} right) = ( nabla cdot mathbf {F} + mathbf {F} cdot nabla) mathbf { v} - ( nabla cdot mathbf {v} + mathbf {v} cdot nabla) mathbf {F},}$

a to Stokesova věta rovná plošný integrál zvlnění nad Σ s přímkou ​​nad ∂Σ:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} vlevo ( iint _ { Sigma (t)} mathbf {F} ( mathbf {r}, t) cdot d mathbf {A} vpravo ) = iint _ { Sigma (t)} { big (} mathbf {F} _ {t} ( mathbf {r}, t) + left ( mathbf {F cdot nabla} right ) mathbf {v} + left ( nabla cdot mathbf {F} right) mathbf {v} - ( nabla cdot mathbf {v}) mathbf {F} { big)} cdot d mathbf {A} - mast _ { částečné Sigma (t)} left ( mathbf {v} times mathbf {F} right) cdot d mathbf {s}.}$

Znaménko integrálního řádku je založeno na pravidlo pravé ruky pro výběr směru liniového prvku ds. K vytvoření tohoto znaménka například předpokládejme pole F body kladně z-směr a povrch Σ je část xy- letadlo s obvodem ∂Σ. Přijmeme normální, abychom byli pozitivní z-směr. Pozitivní průchod ∂Σ je pak proti směru hodinových ručiček (pravé pravidlo s palcem podél z-osa). Potom integrál na levé straně určuje a pozitivní tok F přes Σ. Předpokládejme, že Σ se překládá kladně X-směr rychlostí proti. Prvek hranice Σ rovnoběžný s y-osi, řekněme ds, zametá oblast protit × ds včas t. Pokud integrujeme kolem hranice ∂Σ ve smyslu proti směru hodinových ručiček, protit × ds body záporně z-směr na levé straně ∂Σ (kde ds body dolů) a pozitivní z-směr na pravé straně ∂Σ (kde ds body nahoru), což dává smysl, protože Σ se pohybuje doprava, přidává oblast vpravo a ztrácí ji vlevo. Na tomto základě tok F se zvyšuje napravo od ∂Σ a klesá nalevo. Tečkovaný produkt proti × F • ds = −F × proti • ds = −F v × ds. V důsledku toho se znaménko integrálu čáry považuje za záporné.

Li proti je konstanta,

${ displaystyle { frac {d} {dt}} iint _ { Sigma (t)} mathbf {F} ( mathbf {r}, t) cdot d mathbf {A} = iint _ { Sigma (t)} { big (} mathbf {F} _ {t} ( mathbf {r}, t) + left ( nabla cdot mathbf {F} right) mathbf {v} { big)} cdot d mathbf {A} - mast _ { částečné Sigma (t)} left ( mathbf {v} times mathbf {F} right) cdot , d mathbf {s},}$

což je citovaný výsledek. Tento důkaz nezohledňuje možnost deformace povrchu při jeho pohybu.

Alternativní odvození

Lemma. Jeden má:

${ displaystyle { frac { částečné} { částečné b}} levé ( int _ {a} ^ {b} f (x) , dx pravé) = f (b), qquad { frac { částečné} { částečné a}} levé ( int _ {a} ^ {b} f (x) , dx pravé) = - f (a).}$

Důkaz. Z důkaz základní věty o počtu,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné} { částečné b}} vlevo ( int _ {a} ^ {b} f (x) , dx vpravo) & = lim _ { Delta b to 0} { frac {1} { Delta b}} left [ int _ {a} ^ {b + Delta b} f (x) , dx- int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right] [6pt] & = lim _ { Delta b až 0} { frac {1} { Delta b}} int _ {b} ^ {b + Delta b} f (x) , dx [6pt] & = lim _ { Delta b až 0} { frac {1} { Delta b}} left [f (b ) Delta b + O left ( Delta b ^ {2} right) right] [6pt] & = f (b), end {aligned}}}$

a

$} { Delta a to 0} { frac {1} { Delta a}} left [ int _ {a + Delta a} ^ {b} f (x) , dx- int _ {a} ^ {b} f (x) , dx right] [6pt] & = lim _ { Delta a až 0} { frac {1} { Delta a}} int _ {a + Delta a} ^ {a} f (x) , dx [6pt] & = lim _ { Delta a až 0} { frac {1} { Delta a}} left [-f ( a) Delta a + O left ( Delta a ^ {2} right) right] [6pt] & = - f (a). end {zarovnáno}}}$

Předpokládat A a b jsou konstantní, a to F(X) zahrnuje parametr α, který je v integraci konstantní, ale může se lišit a tvořit různé integrály. Předpokládat, že F(X, α) je spojitá funkce X a α v kompaktní sadě {(X, α): α₀ ≤ α ≤ α₁ a A ≤ X ≤ b}, a že parciální derivace F_α(X, α) existuje a je spojitý. Pokud jeden definuje:

${ displaystyle varphi ( alpha) = int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx,}$

pak ${ displaystyle varphi}$ lze odlišit vzhledem k α diferenciací pod integrálním znaménkem, tj.

${ displaystyle { frac {d varphi} {d alpha}} = int _ {a} ^ {b} { frac { částečné} { částečné alpha}} f (x, alpha) , dx.}$

Podle Heine – Cantorova věta v této sadě je rovnoměrně spojitý. Jinými slovy, pro libovolné ε> 0 existuje Δα takové, že pro všechny hodnoty X v [A, b],

${ displaystyle | f (x, alpha + Delta alpha) -f (x, alpha) | < varepsilon.}$

Na druhou stranu,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Delta varphi & = varphi ( alpha + Delta alpha) - varphi ( alpha) [6pt] & = int _ {a} ^ {b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx- int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx [6pt] & = int _ {a} ^ {b} left (f (x, alpha + Delta alpha) -f (x, alpha) right) , dx [6pt] & leq varepsilon (ba). end {zarovnáno }}}$

Proto φ (α) je spojitá funkce.

Podobně pokud ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné alfa}} f (x, alpha)}$ existuje a je spojitý, pak pro všechna ε> 0 existuje Δα takové, že:

${ displaystyle forall x in [a, b], quad left | { frac {f (x, alpha + Delta alpha) -f (x, alpha)} { Delta alpha} } - { frac { parciální f} { parciální alfa}} doprava | < varepsilon.}$

Proto,

${ displaystyle { frac { Delta varphi} { Delta alpha}} = int _ {a} ^ {b} { frac {f (x, alpha + Delta alpha) -f (x , alpha)} { Delta alpha}} , dx = int _ {a} ^ {b} { frac { parciální f (x, alpha)} { parciální alpha}} , dx + R,}$

kde

${ displaystyle | R | < int _ {a} ^ {b} varepsilon , dx = varepsilon (b-a).}$

Nyní ε → 0 jako Δα → 0, takže

${ displaystyle lim _ {{ Delta alpha} rightarrow 0} { frac { Delta varphi} { Delta alpha}} = { frac {d varphi} {d alpha}} = int _ {a} ^ {b} { frac { částečné} { částečné alfa}} f (x, alpha) , dx.}$

Toto je vzorec, který jsme se rozhodli dokázat.

Nyní předpokládejme

${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx = varphi ( alpha),}$

kde A a b jsou funkce α, které přijímají přírůstky ΔA a Δb, když je α zvýšeno o Δα. Pak,

${ displaystyle { begin {zarovnáno} Delta varphi & = varphi ( alpha + Delta alpha) - varphi ( alpha) [6pt] & = int _ {a + Delta a} ^ {b + Delta b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx- int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx [6pt] & = int _ {a + Delta a} ^ {a} f (x, alpha + Delta alpha) , dx + int _ {a} ^ {b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx + int _ {b} ^ {b + Delta b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx- int _ {a} ^ {b} f (x, alpha) , dx [6pt] & = - int _ {a} ^ {a + Delta a} f (x, alpha + Delta alpha) , dx + int _ {a} ^ {b} [f ( x, alpha + Delta alpha) -f (x, alpha)] , dx + int _ {b} ^ {b + Delta b} f (x, alpha + Delta alpha) , dx . end {zarovnáno}}}$

Forma věta o střední hodnotě, ${ displaystyle int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = (b-a) f ( xi),}$ kde A <ξ < b, lze použít na první a poslední integrál vzorce pro Δφ výše, což má za následek

${ displaystyle Delta varphi = - Delta a , f ( xi _ {1}, alpha + Delta alpha) + int _ {a} ^ {b} [f (x, alpha + Delta alpha) -f (x, alpha)] , dx + Delta b , f ( xi _ {2}, alpha + Delta alpha).}$

Dělení Δα, necháme Δα → 0, všimneme si ξ₁ → A a ξ₂ → b a pomocí výše uvedené derivace pro

${ displaystyle { frac {d varphi} {d alpha}} = int _ {a} ^ {b} { frac { částečné} { částečné alpha}} f (x, alpha) , dx}$

výnosy

${ displaystyle { frac {d varphi} {d alpha}} = int _ {a} ^ {b} { frac { částečné} { částečné alpha}} f (x, alpha) , dx + f (b, alpha) { frac { částečné b} { částečné alpha}} - f (a, alpha) { frac { částečné a} { částečné alfa}}.}$

Toto je obecná forma Leibnizova integrálního pravidla.

Příklady

Příklad 1: Pevné limity

Zvažte funkci

${ displaystyle varphi ( alpha) = int _ {0} ^ {1} { frac { alpha} {x ^ {2} + alpha ^ {2}}} , dx.}$

Funkce pod integrálním znaménkem není v bodě spojitá (X, α) = (0, 0), a funkce φ (α) má diskontinuitu při α = 0, protože φ (α) se blíží ± π / 2 jako α → 0^±.

Pokud rozlišíme φ (α) vzhledem k α pod integrálním znaménkem, dostaneme

${ displaystyle { frac {d} {d alpha}} varphi ( alpha) = int _ {0} ^ {1} { frac { částečné} { částečné alpha}} vlevo ({ frac { alpha} {x ^ {2} + alpha ^ {2}}} vpravo) , dx = int _ {0} ^ {1} { frac {x ^ {2} - alpha ^ {2}} {(x ^ {2} + alpha ^ {2}) ^ {2}}} dx = - { frac {x} {x ^ {2} + alpha ^ {2}}} { bigg |} _ {0} ^ {1} = - { frac {1} {1+ alpha ^ {2}}},}$

což samozřejmě platí pro všechny hodnoty α kromě α = 0. To může být integrováno (vzhledem k α) k nalezení

${ displaystyle varphi ( alfa) = { začátek {případů} 0, & alpha = 0, - arctan ({ alpha}) + { frac { pi} {2}}, & alpha neq 0. end {cases}}}$

Příklad 2: Variabilní limity

Příklad s variabilními limity:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {d} {dx}} int _ { sin x} ^ { cos x} cosh t ^ {2} , dt & = cosh left ( cos ^ {2} x right) { frac {d} {dx}} ( cos x) - cosh left ( sin ^ {2} x right) { frac {d} {dx}} ( sin x) + int _ { sin x} ^ { cos x} { frac { částečné} { částečné x}} vlevo ( cosh t ^ {2} vpravo) dt [ 6pt] & = cosh left ( cos ^ {2} x right) (- sin x) - cosh left ( sin ^ {2} x right) ( cos x) +0 [6pt] & = - cosh left ( cos ^ {2} x right) sin x- cosh left ( sin ^ {2} x right) cos x. End {aligned}} }$

Aplikace

Hodnocení určitých integrálů

Vzorec

${ displaystyle { frac {d} {dx}} vlevo ( int limity _ {a (x)} ^ {b (x)} f (x, t) dt vpravo) = f { velký ( } x, b (x) { big)} cdot { frac {d} {dx}} b (x) -f { big (} x, a (x) { big)} cdot { frac {d} {dx}} a (x) + int limity _ {a (x)} ^ {b (x)} { frac { částečné} { částečné x}} f (x, t) dt}$

může být užitečné při hodnocení určitých určitých integrálů. Při použití v tomto kontextu je Leibnizovo pravidlo pro diferenciaci pod integrálním znaménkem známé také jako Feynmanov trik nebo technika integrace.

Příklad 3

Zvážit

${ displaystyle varphi ( alpha) = int _ {0} ^ { pi} ln left (1-2 alpha cos (x) + alpha ^ {2} right) , dx, qquad | alpha |> 1.}$

Nyní,

${ displaystyle { begin {seřazeno} { frac {d} {d alpha}} varphi ( alpha) & = int _ {0} ^ { pi} { frac {-2 cos (x ) +2 alpha} {1-2 alpha cos (x) + alpha ^ {2}}} dx [6pt] & = { frac {1} { alpha}} int _ {0 } ^ { pi} left (1 - { frac {1- alpha ^ {2}} {1-2 alpha cos (x) + alpha ^ {2}}} right) dx [6pt] & = left. { Frac { pi} { alpha}} - { frac {2} { alpha}} left { arctan left ({ frac {1+ alpha} {1- alpha}} tan left ({ frac {x} {2}} right) right) right } right | _ {0} ^ { pi}. End {aligned} }}$

Tak jako ${ displaystyle x}$ se liší od ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle pi}$, my máme

${ displaystyle { begin {cases} { frac {1+ alpha} {1- alpha}} tan left ({ tfrac {x} {2}} right) geq 0, & | alpha | <1, { frac {1+ alpha} {1- alpha}} tan left ({ frac {x} {2}} right) leq 0, & | alpha | > 1. end {cases}}}$