Revoluční plocha - Surface of revolution

Část křivky X = 2 + cos z otočil kolem z-osa

A povrch otáčení je povrch v Euklidovský prostor vytvořeno otočením a křivka (dále jen generatrix) kolem osa otáčení.^[1]

Příklady rotačních ploch generovaných přímkou ​​jsou válcovitý a kuželovité povrchy podle toho, zda je čára rovnoběžná s osou či nikoli. Kruh, který se otáčí kolem libovolného průměru, generuje kouli, z níž je pak a velký kruh, a pokud se kruh otáčí kolem osy, která neprotíná vnitřek kruhu, vygeneruje a torus který se neprotíná sám (a prstencový torus ).

Vlastnosti

Jsou volány úseky rotační plochy vytvořené rovinami procházejícími osou meridionální sekce. Jakýkoli meridionální řez lze považovat za rovnici v ní určené rovině a ose.^[2]

Úseky rotační plochy vytvořené rovinami, které jsou kolmé na osu, jsou kruhy.

Některé speciální případy hyperboloidy (buď jednoho nebo dvou listů) a eliptické paraboloidy jsou revoluční plochy. Ty lze identifikovat jako ty kvadratické povrchy, z nichž všechny průřezy kolmé k ose jsou kruhové.

Vzorec plochy

Pokud je křivka popsána pomocí parametrické funkce X(t), y(t), s t v určitém intervalu [A,b]a osa revoluce je y- osa, pak oblast A_y je dán integrální

${ displaystyle A_ {y} = 2 pi int _ {a} ^ {b} x (t) , { sqrt { left ({dx over dt} right) ^ {2} + left ({dy over dt} right) ^ {2}}} , dt,}$

pokud X(t) mezi koncovými body nikdy není záporné A a b. Tento vzorec je ekvivalentem kalkulu Pappusova centroidní věta.^[3] Množství

${ displaystyle { sqrt { left ({dx over dt} right) ^ {2} + left ({dy over dt} right) ^ {2}}}}$

pochází z Pythagorova věta a představuje malý segment oblouku křivky, jako v délka oblouku vzorec. Množství 2πX(t) je cesta (těžiště) tohoto malého segmentu, jak to vyžaduje Pappusova věta.

Podobně, když je osa otáčení X- osa a za předpokladu, že y(t) není nikdy záporná, plocha je dána^[4]

${ displaystyle A_ {x} = 2 pi int _ {a} ^ {b} y (t) , { sqrt { left ({dx over dt} right) ^ {2} + left ({dy over dt} right) ^ {2}}} , dt.}$

Pokud je spojitá křivka popsána funkcí y = F(X), A ≤ X ≤ b, pak se stane integrál

${ displaystyle A_ {x} = 2 pi int _ {a} ^ {b} y { sqrt {1+ left ({ frac {dy} {dx}} right) ^ {2}}} , dx = 2 pi int _ {a} ^ {b} f (x) { sqrt {1 + { big (} f '(x) { big)} ^ {2}}} , dx}$

pro revoluci kolem X- osa a

${ displaystyle A_ {y} = 2 pi int _ {a} ^ {b} x { sqrt {1+ left ({ frac {dy} {dx}} right) ^ {2}}} , dx}$

pro revoluci kolem y- osa (za předpokladu A ≥ 0). Ty pocházejí z výše uvedeného vzorce.^[5]

Například sférický povrch s poloměrem jednotky je generován křivkou y(t) = hřích (t), X(t) = cos (t), když t pohybuje se nad [0, π]. Jeho plocha je tedy

${ displaystyle { begin {aligned} A & {} = 2 pi int _ {0} ^ { pi} sin (t) { sqrt {{ big (} cos (t) { big) } ^ {2} + { big (} sin (t) { big)} ^ {2}}} , dt & {} = 2 pi int _ {0} ^ { pi} sin (t) , dt & {} = 4 pi. end {zarovnáno}}}$

Pro případ sférické křivky s poloměrem r, y(X) = √r² − X² otočil kolem X-osa

${ displaystyle { begin {aligned} A & {} = 2 pi int _ {- r} ^ {r} { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} , { sqrt { 1 + { frac {x ^ {2}} {r ^ {2} -x ^ {2}}}}} , dx & {} = 2 pi r int _ {- r} ^ { r} , { sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} , { sqrt { frac {1} {r ^ {2} -x ^ {2}}}} dx & {} = 2 pi r int _ {- r} ^ {r} , dx & {} = 4 pi r ^ {2} , end {zarovnáno}}}$

A minimální plocha otáčení je rotační plocha křivky mezi dvěma danými body, které minimalizuje plocha povrchu.^[6] Základní problém v variační počet je nalezení křivky mezi dvěma body, která produkuje tuto minimální rotační plochu.^[6]

Jsou jen dva minimální plochy otáčení (rotační plochy což jsou také minimální povrchy): letadlo a katenoid.^[7]

Souřadnicové výrazy

Rotační plocha daná rotací křivky popsané pomocí ${ displaystyle y = f (x)}$ kolem osy x lze nejjednodušší popsat v válcové souřadnice podle ${ displaystyle r = f (z)}$. V kartézských souřadnicích se získá parametrizace, pokud jde o ${ displaystyle z}$ a ${ displaystyle theta}$ tak jako ${ displaystyle (f (z) cos ( theta), f (z) sin ( theta), z)}$. Pokud místo toho otočíme křivku kolem osy y, pak je křivka popsána ve válcových souřadnicích pomocí ${ displaystyle z = f (r)}$, čímž se získá výraz ${ displaystyle (r cos ( theta), r sin ( theta), f (r))}$ z hlediska parametrů ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle theta}$.

Pokud jsou x a y definovány z hlediska parametru ${ displaystyle t}$, pak získáme parametrizaci z hlediska ${ displaystyle t}$ a ${ displaystyle theta}$. Li ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou funkce ${ displaystyle t}$, pak je rotační plocha získaná otáčením křivky kolem osy x popsána ve válcových souřadnicích parametrickou rovnicí ${ displaystyle (r, theta, z) = (y (t), theta, x (t))}$, a rotační povrch získaný otáčením křivky kolem osy y je popsán pomocí ${ displaystyle (r, theta, z) = (x (t), theta, y (t))}$. V kartézských souřadnicích se tyto (respektive) stanou ${ displaystyle (y (t) cos ( theta), y (t) sin ( theta), x (t))}$ a ${ displaystyle (x (t) cos ( theta), x (t) sin ( theta), y (t))}$. Výše uvedené vzorce pro povrchovou plochu pak následují pomocí povrchový integrál konstantní funkce 1 přes povrch pomocí těchto parametrizací.

Geodetika na revoluční ploše

Meridiány jsou vždy geodetikou na revoluční ploše. Ostatní geodetika se řídí Clairautův vztah.^[8]

Toroidy

Toroid vygenerovaný ze čtverce

Rotační plocha s otvorem, kde osa otáčení neprotíná povrch, se nazývá toroid.^[9] Například když se obdélník otáčí kolem osy rovnoběžné s jedním z jeho okrajů, vytvoří se dutý prstenec čtvercového průřezu. Pokud je otočená figura a kruh, pak se objekt nazývá a torus.

Aplikace rotačních ploch

Použití revolučních povrchů je zásadní v mnoha oblastech fyziky a techniky. Když jsou určité objekty navrženy digitálně, lze pomocí těchto otáček určit povrchovou plochu bez použití měření délky a poloměru navrhovaného objektu.

Viz také

• Povrch kanálu, zobecnění revoluční plochy
• Gabrielův roh
• Zobecněný vrtulník
• Citron (geometrie), rotační plocha kruhového oblouku
• Povrch Liouville, další zobecnění revoluční plochy
• Solidní revoluce
• Sféroid
• Plošný integrál
• Překladová plocha (diferenciální geometrie)

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Povrch revoluce". MathWorld.
• „Surface de révolution“. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francouzsky).