Faà di Brunos vzorec - Faà di Brunos formula - Wikipedia

Vzorec Faà di Bruno je identita v matematika zobecňující řetězové pravidlo k vyšším derivátům. Ačkoli je pojmenován po Francesco Faà di Bruno  (1855, 1857 ), nebyl první, kdo uvedl nebo prokázal vzorec. V roce 1800, více než 50 let před Faà di Bruno, francouzským matematikem Louis François Antoine Arbogast uvedl vzorec v učebnici počtu,^[1] který je považován za první publikovanou referenci na toto téma.^[2]

Říká to snad nejznámější forma vzorce Faà di Bruno

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = součet { frac {n!} {m_ {1}! , 1! ^ {m_ {1} } , m_ {2}! , 2! ^ {m_ {2}} , cdots , m_ {n}! , n! ^ {m_ {n}}}} cdot f ^ {(m_ {1} + cdots + m_ {n})} (g (x)) cdot prod _ {j = 1} ^ {n} left (g ^ {(j)} (x) right) ^ {m_ {j}},}$

kde je součet nade vše n-n-tice nezáporných celých čísel (m₁, ..., m_n) splňující omezení

${ displaystyle 1 cdot m_ {1} +2 cdot m_ {2} +3 cdot m_ {3} + cdots + n cdot m_ {n} = n.}$

Někdy, abychom mu dali nezapomenutelný vzor, ​​je napsán takovým způsobem, že koeficienty, které mají níže popsanou kombinatorickou interpretaci, jsou méně explicitní:

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = součet { frac {n!} {m_ {1}! , m_ {2}! , cdots , m_ {n}!}} cdot f ^ {(m_ {1} + cdots + m_ {n})} (g (x)) cdot prod _ {j = 1} ^ {n} left ({ frac {g ^ {(j)} (x)} {j!}} right) ^ {m_ {j}}.}$

Kombinace výrazů se stejnou hodnotou m₁ + m₂ + ... + m_n = k a všiml si toho m_j musí být nula pro j > n − k + 1 vede k poněkud jednoduššímu vzorci vyjádřenému jako Polynomy zvonu B_n,k(X₁,...,X_n−k+1):

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = součet _ {k = 1} ^ {n} f ^ {(k)} (g (x)) cdot B_ {n, k} left (g '(x), g' '(x), dots, g ^ {(n-k + 1)} (x) right).}$

Kombinatorická forma

Vzorec má „kombinatorický“ tvar:

${ displaystyle {d ^ {n} nad dx ^ {n}} f (g (x)) = (f circ g) ^ {(n)} (x) = součet _ { pi v Pi} f ^ {( left | pi right |)} (g (x)) cdot prod _ {B in pi} g ^ {( left | B right |)} (x) }$

kde

• π proběhne množinou Π všech oddíly sady { 1, ..., n },
• "B ∈ π"znamená proměnnou." B prochází seznamem všech „bloků“ oddílu π, a
• |A| označuje mohutnost množiny A (tak, že |π| je počet bloků v oddílu π a |B| je velikost bloku B).

Příklad

Následuje konkrétní vysvětlení kombinatorické formy pro n = 4 případ.

${ displaystyle { begin {aligned} (f circ g) '' '(x) = {} & f' '' (g (x)) g '(x) ^ {4} + 6f' '' (g (x)) g '' (x) g '(x) ^ {2} [8pt] & {} + ; 3f' '(g (x)) g' '(x) ^ {2 } + 4f '' (g (x)) g '' '(x) g' (x) [8pt] & {} + ; f '(g (x)) g' '' (x) . end {zarovnáno}}}$

Vzor je:

${ displaystyle { begin {array} {cccccc} g '(x) ^ {4} && leftrightarrow && 1 + 1 + 1 + 1 && leftrightarrow && f' '' (g (x)) && leftrightarrow && 1 [12pt] g '' (x) g '(x) ^ {2} && leftrightarrow && 2 + 1 + 1 && leftrightarrow && f' '' (g (x)) && leftrightarrow && 6 [12pt] g '' (x) ^ {2} && leftrightarrow && 2 + 2 && leftrightarrow && f '' (g (x)) && leftrightarrow && 3 [12pt] g '' '(x) g' (x) && leftrightarrow && 3 + 1 && leftrightarrow && f '' (g (x)) && leftrightarrow && 4 [12pt] g '' '(x) && leftrightarrow && 4 && leftrightarrow && f' (g (x)) && leftrightarrow && 1 end { pole}}}$

Faktor ${ displaystyle g '' (x) g '(x) ^ {2}}$ odpovídá logickému oddílu 2 + 1 + 1 celého čísla 4. Faktor ${ displaystyle f '' '(g (x))}$ to k tomu odpovídá, že existují tři summands v tomto oddílu. Koeficient 6, který jde s těmito faktory, odpovídá skutečnosti, že existuje přesně šest oddílů sady čtyř členů, které ji rozdělují na jednu část velikosti 2 a dvě části velikosti 1.

Podobně i faktor ${ displaystyle g '' (x) ^ {2}}$ ve třetím řádku odpovídá oddílu 2 + 2 celého čísla 4, (4, protože nacházíme čtvrtou derivaci), zatímco ${ displaystyle f '' (g (x))}$ odpovídá skutečnosti, že existují dva summands (2 + 2) v tomto oddílu. Koeficient 3 odpovídá skutečnosti, že existují ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} { tbinom {4} {2}} = 3}$ způsoby rozdělení 4 objektů do skupin po 2. Stejný koncept platí pro ostatní.

Zapamatovatelné schéma je následující:

${ displaystyle { begin {aligned} & { frac {D ^ {1} (f circ {} g)} {1!}} & = left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} [8pt] & { frac {D ^ {2} (f circ g)} {2!}} & = Left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + left (f ^ {(2)} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1!}} { frac {g ^ { (1)}} {1!}}} {2!}} [8pt] & { frac {D ^ {3} (f circ g)} {3!}} & = Left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} & {} + Left (f ^ {(2 )} circ {} g right) { frac { frac {g ^ {(1)}} {1!}} {1!}} { frac { frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + Left (f ^ {(3)} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1 !}} { frac {g ^ {(1)}} {1!}} { frac {g ^ {(1)}} {1!}}} {3!}} [8pt] & { frac {D ^ {4} (f circ g)} {4!}} & = left (f ^ {(1)} circ {} g right) { frac { frac {g ^ { (4)}} {4!}} {1!}} & {} + Left (f ^ {(2)} circ {} g right) left ({ frac { frac {g ^ { (1)}} {1!}} {1!}} { Frac { frac {g ^ {(3)}} {3!}} {1!}} + { Frac {{ frac {g ^ {(2)}} {2!}} { Frac {g ^ {(2)}} {2!}}} {2!}} Vpravo) a {} + doleva (f ^ {(3 )} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1!}} { frac {g ^ {(1)}} {1!}}} { 2!}} { Frac { frac {g ^ {(2)}} {2!}} {1!}} & {} + left (f ^ {(4)} circ {} g right) { frac {{ frac {g ^ {(1)}} {1!}} { Frac {g ^ {(1)}} {1!}} { Frac {g ^ {(1)}} {1!}} { Frac { g ^ {(1)}} {1!}}} {4!}} end {zarovnáno}}}$

Kombinatorika Faà di Bruno koeficientů

Tyto počítání oddílů Faà di Bruno koeficienty mít výraz „uzavřené formy“. Počet oddíly sady velikosti n odpovídající celočíselný oddíl

${ displaystyle displaystyle n = spodní výztuha {1+ cdots +1} _ {m_ {1}} , + , spodní výztuha {2+ cdots +2} _ {m_ {2}} , + , underbrace {3+ cdots +3} _ {m_ {3}} + cdots}$

celého čísla n je rovný

${ displaystyle { frac {n!} {m_ {1}! , m_ {2}! , m_ {3}! , cdots 1! ^ {m_ {1}} , 2! ^ {m_ {2}} , 3! ^ {M_ {3}} , cdots}}.}$

Tyto koeficienty také vznikají v Polynomy zvonu, které jsou relevantní pro studium kumulanty.

Variace

Verze s více proměnnými

Nechat y = G(X₁, ..., X_n). Pak platí následující identita bez ohledu na to, zda n proměnné jsou všechny odlišné nebo všechny identické nebo jsou rozděleny do několika odlišitelných tříd nerozlišitelných proměnných (pokud se to zdá neprůhledné, viz velmi konkrétní příklad níže):^[3]

${ displaystyle { částečné ^ {n} nad částečné x_ {1} cdots částečné x_ {n}} f (y) = součet _ { pi v Pi} f ^ {( vlevo | pi right |)} (y) cdot prod _ {B in pi} { partial ^ { left | B right |} y over prod _ {j in B} částečné x_ {j}}}$

kde (jak je uvedeno výše)

• π proběhne množinou Π všech oddíly sady { 1, ..., n },
• "B ∈ π"znamená proměnnou." B prochází seznamem všech „bloků“ oddílu π, a
• |A| označuje mohutnost množiny A (tak, že |π| je počet bloků v oddílu π a |B| je velikost bloku B).

Obecnější verze platí pro případy, kdy jsou všechny funkce vektorové a sudé Banachova vesmírná hodnota. V tomto případě je třeba vzít v úvahu Fréchetův derivát nebo Gateaux derivát.

Příklad

Pět výrazů v následujícím výrazu zjevným způsobem odpovídá pěti oddílům množiny {1, 2, 3} a v každém případě pořadí derivace F je počet dílů v oddílu:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { částečné ^ {3} nad částečné x_ {1} , částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} f (y) = {} & f ' (y) { částečné ^ {3} y nad částečné x_ {1} , částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} [10 bodů] & {} + f '' (y ) left ({ částečné y nad částečné x_ {1}} cdot { částečné ^ {2} y nad částečné x_ {2} , částečné x_ {3}} + { částečné y přes částečné x_ {2}} cdot { částečné ^ {2} y přes částečné x_ {1} , částečné x_ {3}} + { částečné y přes částečné x_ {3}} cdot { částečné ^ {2} y nad částečné x_ {1} , částečné x_ {2}} vpravo) [10 bodů] & {} + f '' '(y) { částečné y přes částečné x_ {1}} cdot { částečné y přes částečné x_ {2}} cdot { částečné y přes částečné x_ {3}}. end {zarovnáno}}}$

Pokud jsou tři proměnné nerozlišitelné od sebe navzájem, pak tři z pěti výše uvedených výrazů jsou také nerozeznatelné od sebe navzájem a pak máme klasický vzorec jedné proměnné.

Formální verze výkonové řady

Předpokládat ${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} {a_ {n}} x ^ {n}}$a ${ displaystyle g (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} {b_ {n}} x ^ {n}}$jsou formální mocenské řady a ${ displaystyle b_ {0} = 0}$.

Pak složení ${ displaystyle f circ g}$ je opět formální mocenská řada,

${ displaystyle f (g (x)) = součet _ {n = 0} ^ { infty} {c_ {n}} x ^ {n},}$

kde C₀ = A₀ a druhý koeficient C_n pro n ≥ 1 lze vyjádřit jako součet složení z n nebo jako ekvivalentní součet oddíly z n:

${ displaystyle c_ {n} = součet _ { mathbf {i} in { mathcal {C}} _ ​​{n}} a_ {k} b_ {i_ {1}} b_ {i_ {2}} cdots b_ {i_ {k}},}$

kde

${ displaystyle { mathcal {C}} _ ​​{n} = {(i_ {1}, i_ {2}, tečky, i_ {k}) ,: 1 leq k leq n, i_ {1} + i_ {2} + cdots + i_ {k} = n }}$

je soubor skladeb n s k označující počet dílů,

nebo

${ displaystyle c_ {n} = součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} součet _ { mathbf { pi} v { mathcal {P}} _ {n, k}} { binom {k} { pi _ {1}, pi _ {2}, ..., pi _ {n}}} b_ {1} ^ { pi _ {1}} b_ {2} ^ { pi _ {2}} cdots b_ {n} ^ { pi _ {n}},}$

kde

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {n, k} = {( pi _ {1}, pi _ {2}, tečky, pi _ {n}) ,: pi _ {1} + pi _ {2} + cdots + pi _ {n} = k, pi _ {1} cdot 1+ pi _ {2} cdot 2+ cdots + pi _ {n} cdot n = n }}$

je sada oddílů n do k části, ve formě frekvence dílů.

První formulář se získá výběrem koeficientu Xⁿv ${ displaystyle (b_ {1} x + b_ {2} x ^ {2} + cdots) ^ {k}}$ "inspekcí" a druhý formulář je poté získán sbíráním podobných výrazů nebo alternativně použitím multinomická věta.

Zvláštní případ F(X) = E^X, G(X) = ∑_{n ≥ 1} A_n/n! Xⁿ dává exponenciální vzorec Zvláštní případ F(X) = 1/(1 − X), G(X) = ∑_{n ≥ 1} (−A_n) Xⁿ dává výraz pro reciproční formální mocenské řady ∑_{n ≥ 0} A_n Xⁿ v případě A₀ = 1.

Stanley ^[4]dává verzi pro exponenciální výkonové řady formální mocenské řady

${ displaystyle f (x) = součet _ {n} { frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

máme nth derivát v 0:

${ displaystyle f ^ {(n)} (0) = a_ {n}.}$

To by nemělo být vykládáno jako hodnota funkce, protože tyto řady jsou čistě formální; v této souvislosti neexistuje nic jako konvergence nebo divergence.

Li

${ displaystyle g (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {b_ {n}} {n!}} x ^ {n}}$

a

${ displaystyle f (x) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {n!}} x ^ {n}}$

a

${ displaystyle g (f (x)) = h (x) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {c_ {n}} {n!}} x ^ {n},}$

pak koeficient C_n (což by bylo nth derivát h hodnoceno na 0, pokud máme co do činění s konvergentními řadami spíše než s formálními mocninnými řadami) je dáno

${ displaystyle c_ {n} = součet _ { pi = levý {B_ {1}, ldots, B_ {k} pravý }} a _ { levý | B_ {1} pravý |} cdots a _ { left | B_ {k} right |} b_ {k}}$

kde π prochází sadou všech oddílů sady {1, ..., n} a B₁, ..., B_k jsou bloky oddílu πa |B_j | je počet členů jth blok, proj = 1, ..., k.

Tato verze vzorce je zvláště vhodná pro účely kombinatorika.

Můžeme také psát s ohledem na výše uvedený zápis

${ displaystyle g (f (x)) = b_ {0} + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { součet _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} B_ {n, k} (a_ {1}, ldots, a_ {n-k + 1})} {n!}} x ^ {n},}$

kde B_n,k(A₁,...,A_n−k+1) jsou Polynomy zvonu.

Zvláštní případ

Li F(X) = E^X, pak všechny deriváty F jsou stejné a jsou faktorem společným pro každý termín. V případě G(X) je funkce generující kumulant, pak F(G(X)) je funkce generující momenty a polynom v různých derivátech G je polynom, který vyjadřuje momenty jako funkce kumulanty.

Poznámky

Reference

Historické průzkumy a eseje

• Brigaglia, Aldo (2004), „L'Opera Matematica“, Giacardi, Livia (ed.), Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione, Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino (v italštině), XII, Turín: Deputazione Subalpina di Storia Patria, str. 111–172. "Matematická práce„je esej o matematické činnosti popisující výzkumnou i pedagogickou činnost Francesca Faà di Bruna.
• Craik, Alex D. D. (únor 2005), „Pravěk vzorce Faà di Bruno“, Americký matematický měsíčník, 112 (2): 217–234, doi:10.2307/30037410, JSTOR  30037410, PAN  2121322, Zbl  1088.01008.
• Johnson, Warren P. (březen 2002), „The Curious History of Faà di Bruno's Formula“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 109 (3): 217–234, CiteSeerX  10.1.1.109.4135, doi:10.2307/2695352, JSTOR  2695352, PAN  1903577, Zbl  1024.01010.

Výzkumné práce

• Arbogast, L. F. A. (1800), Du calcul des derivations [Na počtu derivátů] (ve francouzštině), Štrasburk: Levrault, s. xxiii + 404, Zcela volně dostupné z Knihy Google.
• Faà di Bruno, F. (1855), „Sullo sviluppo delle funzioni“ [O vývoji funkcí], Annali di Scienze Matematiche e Fisiche (v italštině), 6: 479–480, LCCN  06036680. Zcela volně dostupné z Knihy Google. Známý článek, kde Francesco Faà di Bruno představuje dvě verze vzorce, který nyní nese jeho jméno, publikovaný v časopise založeném Barnaba Tortolini.
• Faà di Bruno, F. (1857), „Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel“ [Na novém vzorci diferenciálního počtu], Čtvrtletní deník čisté a aplikované matematiky (francouzsky), 1: 359–360. Zcela volně dostupné z Knihy Google.
• Faà di Bruno, Francesco (1859), Théorie générale de l'élimination [Obecná teorie eliminace] (ve francouzštině), Paříž: Leiber et Faraguet, str. x + 224. Zcela volně dostupné z Knihy Google.
• Flandry, Harley (2001) „Od Fordu k Faa“, Americký matematický měsíčník 108(6): 558–61 doi:10.2307/2695713
• Fraenkel, L. E. (1978), "Formule pro vysoké deriváty složených funkcí", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 83 (2): 159–165, doi:10.1017 / S0305004100054402, PAN  0486377, Zbl  0388.46032.
• Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2002), Primer skutečných analytických funkcí, Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher (druhé vydání), Boston: Birkhäuser Verlag, str. xiv + 205, ISBN  978-0-8176-4264-8, PAN  1916029, Zbl  1015.26030
• Porteous, Ian R. (2001), „Odstavec 4.3: Vzorec Faà di Bruno“, Geometrická diferenciace (Druhé vydání), Cambridge: Cambridge University Press, str. 83–85, ISBN  978-0-521-00264-6, PAN  1871900, Zbl  1013.53001.
• T. A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1850), „Sur la différentiation des fonctions de fonctions“ [O odvození funkcí], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (ve francouzštině), 9: 119–125, Dostupné v NUMDAM. Tento dokument, podle Johnson (2002, str. 228) je jedním z předchůdců Faà di Bruno 1855: Všimněte si, že autor podepisuje pouze jako „T.A.“ a přičítání J. F. C. Tiburce Abadie je opět způsobeno Johnsonem.
• A., (Tiburce Abadie, J. F. C.) (1852), „Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski“ [O odvození funkcí. Série Burmann, Lagrange a Wronski.], Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale, Série 1 (ve francouzštině), 11: 376–383, Dostupné v NUMDAM. Tento dokument, podle Johnson (2002, str. 228) je jedním z předchůdců Faà di Bruno 1855: Všimněte si, že autor podepisuje pouze jako „A.“ a přičítání J. F. C. Tiburce Abadie je opět způsobeno Johnsonem.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Vzorec Faa di Bruno“. MathWorld.