Geometrická řada - Geometric series

Každý z fialových čtverců má 1/4 plochy dalšího většího čtverce (1/2 ×1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16 atd.). Součet ploch fialových čtverců je jedna třetina plochy velkého čtverce.

Další geometrická řada (společná stupnice a = 4/9 a společný poměr r = 1/9) zobrazená jako oblasti fialových čtverců. Celková fialová plocha je S = a / (1 - r) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, což lze potvrdit pozorováním, že vnější čtverec je rozdělen na nekonečno počet oblastí ve tvaru písmene L, každý se čtyřmi fialovými čtverci a čtyřmi žlutými čtverci, což je napůl fialové.

v matematika, a geometrické řady je série s konstantním poměrem mezi po sobě jdoucími podmínky. Například, série

${ displaystyle { frac {1} {2}} , + , { frac {1} {4}} , + , { frac {1} {8}} , + , { frac {1} {16}} , + , cdots}$

je geometrický, protože každý následující člen lze získat vynásobením předchozího členu 1/2.

Geometrické řady patří mezi nejjednodušší příklady nekonečná řada s konečnými součty, i když ne všechny mají tuto vlastnost. Historicky hrála geometrická řada důležitou roli v časném vývoji počet, a nadále hrají ústřední roli ve studiu konvergence série. Geometrické řady se používají v celé matematice a mají důležité aplikace v fyzika, inženýrství, biologie, ekonomika, počítačová věda, teorie front, a finance.

Společný poměr

Konvergence geometrické řady s r = 1/2 a = 1/2

Konvergence geometrické řady s r = 1/2 a a = 1

Pojmy geometrické řady tvoří a geometrický průběh, což znamená, že poměr po sobě jdoucích výrazů v řadě je konstantní. Tento vztah umožňuje reprezentaci geometrické řady pouze pomocí dvou členů, r a A. Termín r je společný poměr a A je první termín série. Jako příklad geometrická řada uvedená v úvodu,

${ displaystyle { frac {1} {2}} , + , { frac {1} {4}} , + , { frac {1} {8}} , + , { frac {1} {16}} , + , cdots}$

lze jednoduše napsat jako

${ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots}$ , s ${ displaystyle a = { frac {1} {2}}}$ a ${ displaystyle r = { frac {1} {2}}}$.

Následující tabulka ukazuje několik geometrických řad s různými počátečními podmínkami a společnými poměry:

Chování termínů závisí na společném poměru r:

Li r je mezi −1 a +1, podmínky řady se blíží nule v limitu (zmenšují se a zmenšují se v velikost ) a řada konverguje k součtu. Ve výše uvedeném případě, kde r je 1/2, řada konverguje k 1.

Li r je větší než jeden nebo méně než minus jedna podmínky série se zvětšují a zvětšují. Součet výrazů se také zvětšuje a zvětšuje a řada nemá žádný součet. (Série rozchází se.)

Li r je rovna jedné, všechny pojmy ze série jsou stejné. Série se rozchází.

Li r je minus jedna pojmy mají dvě hodnoty střídavě (například 2, −2, 2, −2, 2, ...). Součet podmínek osciluje mezi dvěma hodnotami (například 2, 0, 2, 0, 2, ...). Jedná se o jiný typ divergence a řada opět nemá součet. Viz například Grandiho série: 1 − 1 + 1 − 1 + ···.

Součet

The součet geometrické řady je konečná, pokud je absolutní hodnota poměru menší než 1; protože čísla se blíží nule, stávají se nevýznamně malými, což umožňuje vypočítat součet navzdory řadě obsahující nekonečně mnoho členů. Součet lze vypočítat pomocí sebepodobnost série.

Příklad

Vizuální odvození součtu nekonečných členů geometrické řady

Zvažte součet následujících geometrických řad:

${ displaystyle s ; = ; 1 , + , { frac {2} {3}} , + , { frac {4} {9}} , + , { frac {8 } {27}} , + , cdots.}$

Tato řada má společný poměr 2/3. Pokud se vynásobíme tímto společným poměrem, pak se počáteční 1 stane 2/3, 2/3 se stane 4/9 atd.:

${ displaystyle { frac {2} {3}} s ; = ; { frac {2} {3}} , + , { frac {4} {9}} , + , { frac {8} {27}} , + , { frac {16} {81}} , + , cdots.}$

Tato nová řada je stejná jako původní, až na to, že chybí první termín. Odečtení nové řady (2/3)s z původní série s zruší každý termín v originálu, ale první,

${ displaystyle s , - , { frac {2} {3}} s ; = ; 1, ; ; ; { mbox {so}} s = 3.}$

Podobnou techniku ​​lze použít k vyhodnocení jakékoli podobný výraz.

Vzorec

Následuje geometrická derivace uzavřeného tvarového vzorce pro dílčí geometrickou řadu, S = r^m + r^{m + 1} + ... + r^n-1 + rⁿ když m 1. Každý člen řady rⁱ je reprezentována plochou překrývajícího se čtverce oblasti A_i které lze transformovat do nepřekrývající se oblasti ve tvaru písmene L._i = A_i - A_i-1 nebo ekvivalentně L_{i + 1} = A_{i + 1} - A_i. Vzhledem k tomu, že jde o geometrickou řadu, A_{i + 1} = r A_i. Proto L_{i + 1} = A_{i + 1} - A_i = (r - 1) A_i, nebo A._i = L_{i + 1} / (r - 1).

Slovy, každý čtverec je překrytý, ale může být transformován na nepřekrývající se oblast ve tvaru L na příštím větším čtverci (další síla r) a zmenšen o 1 / (r - 1), takže transformace z překrývajícího se čtverce na - překrývající se oblast ve tvaru písmene L udržuje stejnou oblast. Proto součet S = A_m + A_{m + 1} + ... + A_n-1 + A_n = (L._{m + 1} + L._{m + 2} + ... + L._n + L._{n + 1}) / (r - 1). Všimněte si, že nepřekrývající se oblasti ve tvaru L z oblasti ve tvaru L n + 1 do oblasti ve tvaru L m + 1 jsou přepážkou nepřekrývajícího se čtverce A_{n + 1} menší pravý čtvercový zářez A_m, protože neexistují žádné překrývající se menší čtverce, které by se mohly transformovat do zářezu oblasti A._m. Proto nahrazení A_i = rⁱ a použití společné stupnice a vede k uzavřené formě S = (r^{n + 1} - r^m) a / (r - 1), když m 1.

Ačkoli výše uvedený geometrický důkaz předpokládá r> 1, lze zobrazit stejný vzorec uzavřeného formuláře pro jakoukoli hodnotu r s možnou výjimkou r = 0 (v závislosti na tom, jak se rozhodnete definovat nula na sílu nula ). Například pro případ r = 1, S = (1^{n + 1} - 1^m) a / (1 - 1) = 0 / 0. Nicméně platí Pravidlo L'Hôpital vede k S = (n + 1 - m) a, když r = 1.

V případě 0 n + 1 - r^m) a / (r - 1) když m 1 a nechť m = -∞ a n = 0 tak S = ar / (r - 1) když r> 1. Vydělením čitatele a jmenovatele r dáme S = a / (1 - (1 / r)), když r> 1, což odpovídá S = a / (1 - r), když 0
Rozsah 0 2) + a r / (1 - r.)²) = a (1 + r) / ((1 + r) (1 - r)) = a / (1 - r).

Pro ${ displaystyle r neq 1}$, součet první n pojmy geometrické řady je

${ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1} = součet _ {k = 0} ^ {n-1} ar ^ {k} = a left ({ frac {1-r ^ {n}} {1-r}} right),}$

kde A je první člen série, a r je běžný poměr. Lze odvodit vzorec pro součet, s, jak následuje:

${ displaystyle { begin {aligned} s & = a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1}, rs & = ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + cdots + ar ^ {n-1} + ar ^ {n}, s-rs & = a-ar ^ {n}, s (1-r) & = a (1 -r ^ {n}), s & = a left ({ frac {1-r ^ {n}} {1-r}} right) quad { text {(if}} r neq 1 { text {)}}. End {zarovnáno}}}$

Tak jako n jde do nekonečna, absolutní hodnota r musí být menší než jedna, aby se řada sbíhala. Součet se pak stává

${ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + ar ^ {4} + cdots = sum _ {k = 0} ^ { infty} ar ^ {k} = { frac {a} {1-r}}, { text {for}} | r | <1.}$

Když A = 1, to lze zjednodušit na

${ displaystyle 1 , + , r , + , r ^ {2} , + , r ^ {3} , + , cdots ; = ; { frac {1} {1 -r}},}$

levá strana je geometrická řada se společným poměrem r.

Vzorec platí také pro komplex r, s odpovídajícím omezením, modul z r je přísně méně než jeden.

Důkaz konvergence

Můžeme dokázat, že geometrická řada konverguje pomocí vzorce součtu pro a geometrický průběh:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + cdots & = lim _ {n rightarrow infty} left (1 + r + r ^ { 2} + cdots + r ^ {n} right) & = lim _ {n rightarrow infty} { frac {1-r ^ {n + 1}} {1-r}}. konec {zarovnáno}}}$

Od (1 + r + r² + ... + rⁿ)(1−r)

= ((1-r) + (r - r²) + (r² - r³) + ... + (rⁿ - r^{n + 1}))

= ((1-r) + (r - r²) + (r² - r³) + ... + (rⁿ - r^{n + 1}))

= 1−rⁿ⁺¹ a rⁿ⁺¹ → 0 pro |r | < 1.

Konvergenci geometrické řady lze prokázat také přepsáním řady jako ekvivalentu teleskopická řada. Zvažte funkci,

${ displaystyle g (K) = { frac {r ^ {K}} {1-r}}.}$

Všimněte si, že

${ Displaystyle 1 = g (0) -g (1) , r = g (1) -g (2) , r ^ {2} = g (2) -g (3) , ldots) }$

Tím pádem,

${ displaystyle S = 1 + r + r ^ {2} + r ^ {3} + cdots = (g (0) -g (1)) + (g (1) -g (2)) + (g (2) -g (3)) + cdots.}$

Li

${ displaystyle | r | <1}$

pak

${ displaystyle g (K) longrightarrow 0 { text {as}} K do infty.}$

Tak S konverguje k

${ displaystyle g (0) = { frac {1} {1-r}}.}$

Aplikace

Opakující se desetinná místa

Opakující se desetinnou čárku lze považovat za geometrickou řadu, jejíž společný poměr je síla 1/10. Například:

${ displaystyle 0,7777 ldots ; = ; { frac {7} {10}} , + , { frac {7} {100}} , + , { frac {7} {1000} } , + , { frac {7} {10 000}} , + , cdots.}$

Vzorec pro součet geometrické řady lze použít k převodu desetinného místa na zlomek,

${ displaystyle 0,7777 ldots ; = ; { frac {a} {1-r}} ; = ; { frac {7/10} {1-1 / 10}} ; = ; { frac {7/10} {9/10}} ; = ; { frac {7} {9}}.}$

Vzorec funguje nejen pro jednu opakující se figuru, ale také pro opakující se skupinu figurek. Například:

${ displaystyle 0.123412341234 ldots ; = ; { frac {a} {1-r}} ; = ; { frac {1234/10000} {1-1 / 10 000}} ; = ; { frac {1234/10000} {9999/10000}} ; = ; { frac {1234} {9999}}.}$

Všimněte si, že každou sérii opakujících se desetinných míst lze pohodlně zjednodušit pomocí následujících:

${ displaystyle 0,09090909 ldots ; = ; { frac {09} {99}} ; = ; { frac {1} {11}}.}$

${ displaystyle 0,143814381438 ldots ; = ; { frac {1438} {9999}}.}$

${ displaystyle 0,9999 ldots ; = ; { frac {9} {9}} ; = ; 1.}$

To znamená opakující se desetinné místo s délkou opakování n se rovná kvocientu opakující se části (jako celé číslo) a 10ⁿ - 1.

Archimedova kvadratura paraboly

Archimédova disekce parabolického segmentu na nekonečně mnoho trojúhelníků

Archimedes použil součet geometrické řady k výpočtu oblasti ohraničené a parabola a přímka. Jeho metodou bylo členit oblast na nekonečné množství trojúhelníků.

Archimédova věta uvádí, že celková plocha pod parabolou je 4/3 plochy modrého trojúhelníku.

Archimedes určil, že každý zelený trojúhelník má 1/8 plochy modrého trojúhelníku, každý žlutý trojúhelník má 1/8 plochy zeleného trojúhelníku atd.

Za předpokladu, že modrý trojúhelník má plochu 1, je celková plocha nekonečným součtem:

${ displaystyle 1 , + , 2 left ({ frac {1} {8}} right) , + , 4 left ({ frac {1} {8}} right) ^ { 2} , + , 8 vlevo ({ frac {1} {8}} vpravo) ^ {3} , + , cdots.}$

První člen představuje oblast modrého trojúhelníku, druhý člen oblast dvou zelených trojúhelníků, třetí člen oblast čtyř žlutých trojúhelníků atd. Zjednodušení zlomků dává

${ displaystyle 1 , + , { frac {1} {4}} , + , { frac {1} {16}} , + , { frac {1} {64}} , + , cdots.}$

Toto je geometrická řada se společným poměrem 1/4 a zlomková část se rovná

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} 4 ^ {- n} = 1 + 4 ^ {- 1} +4 ^ {- 2} +4 ^ {- 3} + cdots = { 4 nad 3}.}$

Součet je

${ displaystyle { frac {1} {1-r}} ; = ; { frac {1} {1 - { frac {1} {4}}}}} ; = ; { frac { 4} {3}}.}$

Tento výpočet používá způsob vyčerpání, raná verze integrace. Použitím počet, stejnou oblast našel a určitý integrál.

Fraktální geometrie

Interiér Sněhová vločka Koch je unie nekonečně mnoha trojúhelníků.

Ve studii o fraktály, geometrické řady často vznikají jako obvod, plocha nebo objem a podobný postava.

Například oblast uvnitř Sněhová vločka Koch lze popsat jako spojení nekonečně mnoha rovnostranné trojúhelníky (viz obrázek). Každá strana zeleného trojúhelníku má přesně 1/3 velikosti strany velkého modrého trojúhelníku, a proto má přesně 1/9 plochy. Podobně má každý žlutý trojúhelník 1/9 plochy zeleného trojúhelníku atd. Vezmeme-li modrý trojúhelník jako jednotku plochy, je celková plocha sněhové vločky

${ displaystyle 1 , + , 3 vlevo ({ frac {1} {9}} vpravo) , + , 12 vlevo ({ frac {1} {9}} vpravo) ^ { 2} , + , 48 vlevo ({ frac {1} {9}} vpravo) ^ {3} , + , cdots.}$

První člen této řady představuje plochu modrého trojúhelníku, druhý člen celkovou plochu tří zelených trojúhelníků, třetí člen celkovou plochu dvanácti žlutých trojúhelníků atd. Kromě počáteční 1 je tato řada geometrická s konstantním poměrem r = 4/9. První člen geometrické řady je A = 3 (1/9) = 1/3, takže součet je

${ displaystyle 1 , + , { frac {a} {1-r}} ; = ; 1 , + , { frac { frac {1} {3}} {1 - { frac {4} {9}}}} ; = ; { frac {8} {5}}.}$

Sněhová vločka Koch má tedy 8/5 plochy základního trojúhelníku.

Zenonovy paradoxy

Konvergence geometrické řady odhaluje, že součet zahrnující nekonečný počet součtů může být skutečně konečný, a tak umožňuje vyřešit mnoho z Zeno paradoxy. Například paradox Zenoova dichotomie tvrdí, že pohyb je nemožný, protože lze rozdělit jakoukoli konečnou cestu na nekonečný počet kroků, přičemž každý krok je považován za polovinu zbývající vzdálenosti. Zenova chyba spočívá v předpokladu, že součet nekonečného počtu konečných kroků nemůže být konečný. To samozřejmě není pravda, o čemž svědčí konvergence geometrické řady s ${ displaystyle r = 1/2}$.

To však není úplné vyřešení paradoxu dichotomie Zeno. Přísně vzato, pokud si nenecháme čas na reverzní pohyb, kde velikost kroku začíná ${ displaystyle r = 1/2}$ a blíží se k nule jako limit, jinak by tato nekonečná řada musela začínat nekonečně malým krokem. Zacházení s nekonečně malými čísly tímto způsobem obvykle není něco, co je mimo matematiku důsledně definováno Nestandardní počet. I když je pravda, že celý nekonečný součet přináší konečné číslo, nemůžeme vytvořit jednoduché řazení výrazů, když vycházíme z nekonečně malého čísla, a proto nemůžeme adekvátně popsat první krok jakékoli dané akce.

Euklid

Kniha IX, Proposition 35^[1] z Euklidova Elementy vyjadřuje dílčí součet geometrické řady z hlediska členů řady. Je to ekvivalentní modernímu vzorci.

Ekonomika

v ekonomika, geometrické řady se používají k reprezentaci současná hodnota z anuita (částka, která se má platit v pravidelných intervalech).

Předpokládejme například, že vlastníkovi anuity bude provedena platba 100 $ jednou ročně (na konci roku) v věčnost. Získání 100 $ ročně od nynějška má hodnotu nižší než okamžitých 100 $, protože jeden nemůže investovat peníze, dokud je nedostanete. Zejména současná hodnota 100 USD jeden rok v budoucnu je 100 USD / (1 +${ displaystyle I}$ ), kde ${ displaystyle I}$ je roční úroková sazba.

Podobně má platba 100 $ dva roky v budoucnosti současnou hodnotu 100 $ / (1 +${ displaystyle I}$)² (na druhou, protože úroky za dva roky jsou ztraceny tím, že právě teď peníze nedostanete). Současná hodnota příjmu 100 $ ročně na neurčito je proto

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {n}}},}$

což je nekonečná řada:

${ displaystyle { frac { $ 100} {(1 + I)}} , + , { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {2}}} , + , { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {3}}} , + , { frac { $ 100} {(1 + I) ^ {4}}} , + , cdots.}$

Toto je geometrická řada se společným poměrem 1 / (1 +${ displaystyle I}$ ). Součet je první člen dělený (jeden minus společný poměr):

${ displaystyle { frac { $ 100 / (1 + I)} {1-1 / (1 + I)}} ; = ; { frac { $ 100} {I}}.}$

Například pokud je roční úroková sazba 10% (${ displaystyle I}$ = 0,10), poté má celá anuita současnou hodnotu 100 USD / 0,10 = 1000 USD.

Tento druh výpočtu se používá k výpočtu APR půjčky (např hypotéka ). Lze jej také použít k odhadu současné očekávané hodnoty akciové dividendy, nebo konečná hodnota a bezpečnostní.

Geometrická výkonová řada

Vzorec pro geometrickou řadu

${ displaystyle { frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + x ^ {4} + cdots}$

lze interpretovat jako a výkonová řada v Taylorova věta smysl, konvergující kde ${ displaystyle | x | <1}$. Z toho lze extrapolovat a získat další výkonové řady. Například,

${ displaystyle { begin {seřazeno} tan ^ {- 1} (x) & = int { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} & = int { frac {dx } {1 - (- x ^ {2})}} & = int left (1+ left (-x ^ {2} right) + left (-x ^ {2} right) ^ {2} + left (-x ^ {2} right) ^ {3} + cdots right) dx & = int left (1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + cdots right) dx & = x - { frac {x ^ {3}} {3}} + { frac {x ^ {5}} {5}} - { frac {x ^ {7}} {7}} + cdots & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1 }} x ^ {2n + 1}. end {zarovnáno}}}$

Diferenciací geometrické řady získáme variantu^[2]

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} nx ^ {n-1} = { frac {1} {(1-x) ^ {2}}} quad { text {pro} } | x | <1.}$

Podobně jsou získány:

${ displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} n (n-1) x ^ {n-2} = { frac {2} {(1-x) ^ {3}}} quad { text {for}} | x | <1,}$ a

${ displaystyle sum _ {n = 3} ^ { infty} n (n-1) (n-2) x ^ {n-3} = { frac {6} {(1-x) ^ {4 }}} quad { text {pro}} | x | <1.}$

Viz také

• 0.999... - Alternativní desetinné rozšíření čísla 1
• Asymptota - V geometrii limit tečny v bodě, který má sklon k nekonečnu
• Odlišné geometrické řady
• Zobecněná hypergeometrická funkce
• Geometrický průběh
• Neumannova série
• Poměrový test
• Kořenový test
• Seriál (matematika) - Nekonečný součet

Specifická geometrická řada

• Grandiho série: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
• Geometrická řada je jednotková řada (součet řady konverguje k jedné) právě tehdy, když | r | <1 a a + r = 1 (ekvivalent k známějšímu tvaru S = a / (1-r) = 1, když | r | <1). Proto an střídavé řady je také jednotková řada, když -1
• Termíny geometrické řady jsou také termíny generalizované Fibonacciho sekvence (F_n = F_n-1 + F_n-2 ale bez požadavku F₀ = 0 a F₁ = 1) když společný poměr geometrické řady r splňuje omezení 1 + r = r², který podle kvadratický vzorec je, když společný poměr r se rovná Zlatý řez (tj. společný poměr r = (1 ± √5) / 2).
• Jediná geometrická řada, která je jednotkovou řadou a má také termíny zobecněné Fibonacciho sekvence má Zlatý řez jako jeho společná stupnice a a konjugát Zlatý řez jako společný poměr r (tj. a = (1 + √5) / 2 ar = (1 - √5) / 2). Jedná se o jednotkovou řadu, protože a + r = 1 a | r | <1, je to zobecněný Fibonacciho sekvence protože 1 + r = r²a je to střídavé řady protože r <0.

Reference

externí odkazy

• "Geometrický postup", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Geometrická řada". MathWorld.
• Geometrická řada na PlanetMath.
• Peppard, Kim. „Výukový program College Algebra na geometrické posloupnosti a řady“. West Texas A&M University.
• Casselman, Bille. „Geometrická interpretace geometrické řady“. Archivovány od originál (Applet) dne 29. 9. 2007.
• "Geometrická řada" Michael Schreiber, Demonstrační projekt Wolfram, 2007.