Tečkovaný produkt - Dot product

v matematika, Tečkovaný produkt nebo skalární součin^{[poznámka 1]} je algebraická operace který bere dvě sekvence čísel stejné délky (obvykle vektory souřadnic ) a vrátí jedno číslo. v Euklidovská geometrie, tečkovaný produkt Kartézské souřadnice ze dvou vektory je široce používán. Často se tomu říká „ vnitřní produkt (nebo zřídka projekční produkt) euklidovského prostoru, i když to není jediný vnitřní produkt, který lze v euklidovském prostoru definovat (viz Vnitřní prostor produktu více).

Algebraicky je součin tečky součtem produkty odpovídajících záznamů dvou posloupností čísel. Geometricky je výsledkem Euklidovské veličiny dvou vektorů a kosinus úhlu mezi nimi. Tyto definice jsou ekvivalentní při použití kartézských souřadnic. V moderní geometrie, Euklidovské prostory jsou často definovány pomocí vektorové prostory. V tomto případě se pro definování délek používá bodový součin (délka vektoru je odmocnina tečkového součinu vektoru samotného) a úhly (kosinus úhlu dvou vektorů je kvocient jejich tečkovaného produktu součinem jejich délek).

Název „dot product“ je odvozen od centrovaná tečka " · „, který se často používá k označení této operace;^[1][2] alternativní název „skalární součin“ zdůrazňuje, že výsledkem je a skalární, spíše než a vektor, jako je tomu v případě vektorový produkt v trojrozměrném prostoru.

Definice

Tečkový součin může být definován algebraicky nebo geometricky. Geometrická definice je založena na představách o úhlu a vzdálenosti (velikosti vektorů). Rovnocennost těchto dvou definic závisí na tom, že a Kartézský souřadnicový systém pro euklidovský prostor.

V moderních prezentacích Euklidovská geometrie, jsou vesmírné body definovány z hlediska jejich Kartézské souřadnice, a Euklidovský prostor sám o sobě je běžně identifikován s skutečný souřadnicový prostor Rⁿ. V takové prezentaci jsou pojmy délky a úhlů definovány pomocí tečkového součinu. Délka vektoru je definována jako odmocnina samotného tečkového produktu vektoru a kosinus (neorientovaného) úhlu dvou vektorů délky jeden je definován jako jejich bodový součin. Ekvivalence dvou definic tečkového součinu je tedy součástí ekvivalence klasické a moderní formulace euklidovské geometrie.

Algebraická definice

Tečkový produkt dvou vektorů A = [A₁, A₂, …, A_n] a b = [b₁, b₂, …, b_n] je definován jako:^[3]

${ displaystyle mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} = sum _ {i = 1} ^ {n} { color {red} a} _ {i} { color {blue} b} _ {i} = { color {red} a} _ {1} { color {blue} b} _ {1} + { color {red} a} _ {2} { color {blue} b} _ {2} + cdots + { color {red} a} _ {n} { color {blue} b} _ {n}}$

kde Σ označuje součet a n je dimenze z vektorový prostor. Například v trojrozměrný prostor, tečkový produkt vektorů [1, 3, −5] a [4, −2, −1] je:

${ displaystyle { begin {aligned} [{ color {red} 1,3, -5}] cdot [{ color {blue} 4, -2, -1}] & = ({ color { red} 1} times { color {blue} 4}) + ({ color {red} 3} times { color {blue} -2}) + ({ color {red} -5} times { color {blue} -1}) & = 4-6 + 5 & = 3 end {zarovnáno}}}$

Pokud jsou vektory identifikovány pomocí řádkové matice, bodový produkt lze také psát jako a maticový produkt

${ displaystyle mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} = mathbf { color {red} a} mathbf { color {blue} b} ^ { mathsf {T}},}$

kde ${ displaystyle mathbf { color {modrá} b} ^ { mathsf {T}}}$ označuje přemístit z ${ displaystyle mathbf { color {modrá} b}}$.

Vyjádření výše uvedeného příkladu tímto způsobem, matice 1 × 3 (řádek vektor ) se vynásobí maticí 3 × 1 (vektor sloupce ) získat matici 1 × 1, která je identifikována svým jedinečným záznamem:

${ displaystyle { begin {bmatrix} color {red} 1 & color {red} 3 & color {red} -5 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} color {blue} 4 color {blue} -2 color {blue} -1 end {bmatrix}} = color {purple} 3}$.

Geometrická definice

Ilustrace ukazující, jak najít úhel mezi vektory pomocí bodového součinu

Výpočet vazebných úhlů symetrických čtyřboká molekulární geometrie pomocí tečkovaného produktu

v Euklidovský prostor, a Euklidovský vektor je geometrický objekt, který má velikost i směr. Vektor lze zobrazit jako šipka. Jeho velikost je jeho délka a jeho směr je směr, do kterého šipka ukazuje. Velikost vektoru A je označen ${ displaystyle left | mathbf {a} right |}$. Tečkový produkt dvou euklidovských vektorů A a b je definováno^[4][5][2]

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = | mathbf {a} | | mathbf {b} | cos theta,}$

kde θ je úhel mezi A a b.

Zejména pokud vektory A a b jsou ortogonální (tj. jejich úhel je π / 2 nebo 90 °) ${ displaystyle cos { frac { pi} {2}} = 0}$, což z toho vyplývá

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = 0.}$

Na druhém konci, pokud jsou codirectional, pak úhel mezi nimi je nulový s ${ displaystyle cos 0 = 1}$ a

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} right |}$

To znamená, že tečkový produkt vektoru A sama se sebou je

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a} = left | mathbf {a} right | ^ {2},}$

který dává

${ displaystyle left | mathbf {a} right | = { sqrt { mathbf {a} cdot mathbf {a}}},}$

vzorec pro Euklidovská délka vektoru.

Skalární projekce a první vlastnosti

Skalární projekce

The skalární projekce (nebo skalární složka) euklidovského vektoru A ve směru euklidovského vektoru b darováno

${ displaystyle a_ {b} = vlevo | mathbf {a} vpravo | cos theta,}$

kde θ je úhel mezi A a b.

Pokud jde o geometrickou definici tečkového produktu, lze to přepsat

${ displaystyle a_ {b} = mathbf {a} cdot { widehat { mathbf {b}}},}$

kde ${ displaystyle { widehat { mathbf {b}}} = mathbf {b} / left | mathbf {b} right |}$ je jednotkový vektor ve směru b.

Distribuční zákon pro bodový produkt

Tečkový produkt je tedy charakterizován geometricky pomocí^[6]

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = a_ {b} left | mathbf {b} right | = b_ {a} left | mathbf {a} right |.}$

Takto definovaný bodový produkt je v každé proměnné homogenní při změně měřítka, což znamená, že pro jakýkoli skalární α,

${ displaystyle ( alpha mathbf {a}) cdot mathbf {b} = alpha ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) = mathbf {a} cdot ( alpha mathbf { b}).}$

Splňuje také a distribuční právo, znamenající, že

${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} + mathbf {c}) = mathbf {a} cdot mathbf {b} + mathbf {a} cdot mathbf {c}. }$

Tyto vlastnosti lze shrnout slovy, že tečkovaný produkt je a bilineární forma. Navíc tato bilineární forma je pozitivní určitý, což znamená, že${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a}}$není nikdy záporné a je nulové, pokud a pouze pokud ${ displaystyle mathbf {a} = mathbf {0}}$- nulový vektor.

Tečkový součin je tedy ekvivalentem násobení normy (délky) b normou projekce A přes b.

Rovnocennost definic

Li E₁, ..., E_n jsou standardní základní vektory v Rⁿpak můžeme psát

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {a} & = [a_ {1}, dots, a_ {n}] = sum _ {i} a_ {i} mathbf {e} _ {i} mathbf {b} & = [b_ {1}, dots, b_ {n}] = sum _ {i} b_ {i} mathbf {e} _ {i}. end {aligned}} }$

Vektory E_i jsou ortonormální základ, což znamená, že mají jednotkovou délku a jsou navzájem kolmé. Proto, protože tyto vektory mají jednotkovou délku

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {i} = 1}$

a protože spolu navzájem tvoří pravý úhel, pokud i ≠ j,

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j} = 0.}$

Obecně tedy můžeme říci, že:

${ displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} _ {j} = delta _ {ij}.}$

Kde δ _ij je Kroneckerova delta.

Vektorové komponenty na ortonormálním základě

Také podle geometrické definice pro jakýkoli vektor E_i a vektor A, poznamenáváme

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {e} _ {i} = levý | mathbf {a} pravý | , levý | mathbf {e} _ {i} pravý | cos theta _ {i} = left | mathbf {a} right | cos theta _ {i} = a_ {i},}$

kde A_i je složka vektoru A ve směru E_i. Poslední krok v rovnosti je patrný z obrázku.

Nyní aplikujeme distributivitu geometrické verze tečkovaného produktu

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = mathbf {a} cdot sum _ {i} b_ {i} mathbf {e} _ {i} = sum _ {i} b_ {i} ( mathbf {a} cdot mathbf {e} _ {i}) = sum _ {i} b_ {i} a_ {i} = sum _ {i} a_ {i} b_ {i },}$

což je přesně algebraická definice tečkového součinu. Geometrický bodový součin se tedy rovná algebraickému bodovému součinu.

Vlastnosti

Tečkovaný produkt splňuje následující vlastnosti, pokud A, b, a C jsou skutečné vektory a r je skalární.^[3][4]

1. Komutativní:

   ${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = mathbf {b} cdot mathbf {a},}$

   který vyplývá z definice (θ je úhel mezi A a b):^[7]

   ${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = left | mathbf {a} right | left | mathbf {b} right | cos theta = left | mathbf {b} right | left | mathbf {a} right | cos theta = mathbf {b} cdot mathbf {a}.}$

2. Distribuční nad vektorovým přidáním:

   ${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} + mathbf {c}) = mathbf {a} cdot mathbf {b} + mathbf {a} cdot mathbf {c}. }$

3. Bilineární:

   ${ displaystyle mathbf {a} cdot (r mathbf {b} + mathbf {c}) = r ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) + ( mathbf {a} cdot mathbf {c}).}$

4. Skalární násobení:

   ${ displaystyle (c_ {1} mathbf {a}) cdot (c_ {2} mathbf {b}) = c_ {1} c_ {2} ( mathbf {a} cdot mathbf {b}) .}$

5. Ne asociativní protože tečkový součin mezi skalárem (a ⋅ b) a vektor (C) není definován, což znamená, že výrazy obsažené v asociativní vlastnosti, (a ⋅ b) ⋅ C nebo A ⋅ (b ⋅ c) jsou špatně definované.^[8] Všimněte si však, že dříve zmíněná vlastnost skalárního násobení se někdy nazývá „asociativní zákon pro skalární a tečkový součin“^[9] nebo lze říci, že „tečkový součin je asociativní s ohledem na skalární násobení“, protože C (A ⋅ b) = (C A) ⋅ b = A ⋅ (C b).^[10]
6. Ortogonální:

   Dva nenulové vektory A a b jsou ortogonální kdyby a jen kdyby A ⋅ b = 0.

7. Ne zrušení:

   Na rozdíl od násobení běžných čísel, kde pokud ab = ac, pak b vždy se rovná C ledaže A je nula, bodový produkt se neřídí zrušovací zákon:

   Li A ⋅ b = A ⋅ C a A ≠ 0, pak můžeme napsat: A ⋅ (b − C) = 0 podle distribuční právo; výsledek výše říká, že to znamená jen to A je kolmá na (b − C), což stále umožňuje (b − C) ≠ 0, a proto umožňuje b ≠ C.

8. Pravidlo produktu:

   Li A a b jsou (s vektorovou hodnotou) diferencovatelné funkce, pak derivát (označeno prvočíslem ′) Z A ⋅ b je dáno pravidlem (A ⋅ b)′ = A′ ⋅ b + A ⋅ b′.

Aplikace na kosinový zákon

Trojúhelník s vektorovými hranami A a b, oddělené úhlem θ.

Vzhledem k tomu, dva vektory A a b oddělené úhlem θ (viz obrázek vpravo), tvoří trojúhelník se třetí stranou C = A − b. Tečkovaný produkt tohoto je sám o sobě:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf { color {zlato} c} cdot mathbf { color {gold} c} & = ( mathbf { color {red} a} - mathbf { color {blue} b}) cdot ( mathbf { color {red} a} - mathbf { color {blue} b}) & = mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {red} a} - mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} - mathbf { color {blue} b} cdot mathbf { color {red } a} + mathbf { color {blue} b} cdot mathbf { color {blue} b} & = { color {red} a} ^ {2} - mathbf { color {red } a} cdot mathbf { color {blue} b} - mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} + { color {blue} b} ^ {2 } & = { color {red} a} ^ {2} -2 mathbf { color {red} a} cdot mathbf { color {blue} b} + { color {blue} b} ^ {2} { color {gold} c} ^ {2} & = { color {red} a} ^ {2} + { color {blue} b} ^ {2} -2 { color {red} a} { color {blue} b} cos { color {purple} theta} end {align}}}$

který je zákon kosinů.

Trojitý produkt

Existují dva ternární operace zahrnující tečkovaný produkt a křížový produkt.

The skalární trojitý produkt tří vektorů je definována jako

${ displaystyle mathbf {a} cdot ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} cdot ( mathbf {c} times mathbf {a}) = mathbf { c} cdot ( mathbf {a} times mathbf {b}).}$

Jeho hodnota je určující matice, jejíž sloupce jsou Kartézské souřadnice ze tří vektorů. Je to podepsané objem z Rovnoběžnostěn definované třemi vektory.

The vektorový trojitý produkt je definováno^[3][4]

${ displaystyle mathbf {a} times ( mathbf {b} times mathbf {c}) = mathbf {b} ( mathbf {a} cdot mathbf {c}) - mathbf {c} ( mathbf {a} cdot mathbf {b}).}$

Tato identita, známá také jako Lagrangeův vzorec, lze si pamatovat jako „BAC minus CAB“, mějte na paměti, které vektory jsou tečkované společně. Tento vzorec má aplikace pro zjednodušení vektorových výpočtů v fyzika.

Fyzika

v fyzika, vektorová velikost je a skalární ve fyzickém smyslu (tj Fyzické množství nezávisle na souřadnicovém systému), vyjádřeno jako produkt a číselná hodnota a a fyzická jednotka, nejen číslo. Tečkový součin je v tomto smyslu také skalární, daný vzorcem, nezávisle na souřadnicovém systému. Například:^[11][12]

• Mechanické práce je tečkovým produktem platnost a přemístění vektory,
• Napájení je tečkovým produktem platnost a rychlost.

Zobecnění

Složité vektory

Pro vektory s komplex záznamů, použití dané definice tečkového produktu by vedlo k zcela odlišným vlastnostem. Například tečkový produkt vektoru, který je sám o sobě, by byl libovolným komplexním číslem a mohl by být nulový, aniž by vektor byl nulovým vektorem (takové vektory se nazývají izotropní ); to by zase mělo důsledky pro pojmy jako délka a úhel. Vlastnosti, jako je kladně definitivní norma, lze zachránit za cenu vzdání se symetrických a bilineárních vlastností skalárního součinu prostřednictvím alternativní definice^[13][3]

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = sum {a_ {i} { overline {b_ {i}}}}}}$

kde b_i je komplexní konjugát z b_i. Lze jej vyjádřit také pomocí konjugovat transponovat (označeno horním indexem H):

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = mathbf {a} mathbf {b} ^ {H}.}$

kde se předpokládalo, že vektory jsou reprezentovány jako řádkové vektory. Skalární součin libovolného vektoru je tedy nezáporné reálné číslo a je nenulový, s výjimkou nulového vektoru. Tímto skalárním součinem však je sesquilinear spíše než bilineární: je konjugát lineární a ne lineární A, a skalární součin není symetrický, protože

${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} = { overline { mathbf {b} cdot mathbf {a}}}.}$

Úhel mezi dvěma komplexními vektory je pak dán vztahem

${ displaystyle cos theta = { frac { operatorname {Re} ( mathbf {a} cdot mathbf {b})} { left | mathbf {a} right | , left | mathbf {b} vpravo |}}.}$

Tento typ skalárního součinu je přesto užitečný a vede k představám o Poustevnická forma a obecně vnitřní produktové prostory Produkt s vlastním bodem komplexního vektoru ${ displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {a}}$ je zobecněním absolutní čtverec komplexního skaláru.

Vnitřní produkt

Vnitřní produkt zobecňuje bodový produkt na abstraktní vektorové prostory přes pole z skaláry, přičemž buď pole reálná čísla ${ displaystyle mathbb {R}}$ nebo pole komplexní čísla ${ displaystyle mathbb {C}}$. Obvykle se označuje pomocí hranaté závorky podle ${ displaystyle left langle mathbf {a} ,, mathbf {b} right rangle}$.^[1]

Vnitřní produkt dvou vektorů nad polem komplexních čísel je obecně komplexní číslo a je sesquilinear místo bilineární. Vnitřní produktový prostor je a normovaný vektorový prostor a vnitřní produkt vektoru je sám o sobě skutečný a kladně definitivní.

Funkce

Tečkový produkt je definován pro vektory, které mají konečný počet záznamů. Tyto vektory lze tedy považovat za diskrétní funkce: délkan vektor u je tedy funkce s doména {k ∈ ℕ ∣ 1 ≤ k ≤ n}, a u_i je zápis pro obraz i funkcí / vektorem u.

Tuto představu lze zobecnit na spojité funkce: stejně jako vnitřní produkt na vektorech používá součet přes odpovídající komponenty, vnitřní produkt na funkcích je definován jako integrál nad některými interval A ≤ X ≤ b (také označeno [A, b]):^[3]

${ displaystyle left langle u, v right rangle = int _ {a} ^ {b} u (x) v (x) dx}$

Zobecněno dále na komplexní funkce ψ(X) a χ(X), analogicky s komplexním vnitřním produktem výše, dává^[3]

${ displaystyle left langle psi, chi right rangle = int _ {a} ^ {b} psi (x) { overline { chi (x)}} dx.}$

Funkce hmotnosti

Vnitřní výrobky mohou mít a váhová funkce (tj. funkce, která váží každý člen vnitřního produktu hodnotou). Explicitně, vnitřní produkt funkcí ${ displaystyle u (x)}$ a ${ displaystyle v (x)}$ s ohledem na hmotnostní funkci ${ displaystyle r (x)> 0}$ je

${ displaystyle left langle u, v right rangle = int _ {a} ^ {b} r (x) u (x) v (x) dx.}$

Dyadics a matice

Matice mít Vnitřní produkt Frobenius, což je analogické s vektorovým vnitřním produktem. Je definována jako součet produktů odpovídajících složek dvou matic A a B mají stejnou velikost:

${ displaystyle mathbf {A}: mathbf {B} = sum _ {i} sum _ {j} A_ {ij} { overline {B_ {ij}}} = mathrm {tr} ( mathbf {B} ^ { mathrm {H}} mathbf {A}) = mathrm {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} ^ { mathrm {H}}).}$

${ displaystyle mathbf {A}: mathbf {B} = součet _ {i} součet _ {j} A_ {ij} B_ {ij} = mathrm {tr} ( mathbf {B} ^ { mathrm {T}} mathbf {A}) = mathrm {tr} ( mathbf {A} mathbf {B} ^ { mathrm {T}}) = mathrm {tr} ( mathbf {A} ^ { mathrm {T}} mathbf {B}) = mathrm {tr} ( mathbf {B} mathbf {A} ^ { mathrm {T}}).}$ (Pro skutečné matice)

Dyadics mít na nich definovaný bodový produkt a „dvojitý“ produkt, viz Dyadics § Produkt dyadic a dyadic pro jejich definice.

Tenzory

Vnitřní produkt mezi a tenzor řádu n a tenzor řádu m je tenzor řádu n + m − 2viz Kontrakce tenzoru pro detaily.

Výpočet

Algoritmy

Přímý algoritmus pro výpočet bodového produktu s plovoucí desetinnou čárkou vektorů může trpět katastrofické zrušení. Aby se tomu zabránilo, přístupy, jako je Kahanův součtový algoritmus Jsou používány.

Knihovny

Funkce bodového produktu je součástí BLAS úroveň 1.

Viz také

• Cauchy – Schwarzova nerovnost
• Křížový produkt
• Dotová produktová reprezentace grafu
• Euklidovská norma, druhá odmocnina produktu s vlastní tečkou
• Násobení matic
• Metrický tenzor
• Násobení vektorů
• Vnější produkt

Poznámky

Reference

externí odkazy

• „Vnitřní produkt“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Vysvětlení tečkového produktu včetně komplexních vektorů
• "Tečkovaný produkt" Bruce Torrence, Demonstrační projekt Wolfram, 2007.