Pseudoeuklidovský prostor - Pseudo-Euclidean space

v matematika a teoretická fyzika, a pseudoeuklidovský prostor je konečný-dimenzionální nemovitý $n$ -prostor společně sdegenerovat kvadratická forma $q$ . Taková kvadratická forma může být při vhodném výběru základ $(E 1, ..., E n)$ , být aplikován na vektor $X = X 1 E 1 + ... + X n E n$ dávat

{displaystyle q (x) = left (x_ {1} ^ {2} + ldots + x_ {k} ^ {2} ight) -left (x_ {k + 1} ^ {2} + ldots + x_ {n} ^ {2} ight)}

který se nazývá skalární čtverec vektoru

X

.^[1]^:3

Pro Euklidovské prostory, $k = n$ , což znamená, že kvadratická forma je kladně definitivní.^[2] Když $0 \neq k \neq n$ , $q$ je izotropní kvadratická forma. Všimněte si, že pokud $1 \leq i \leq k$ a $k < j \leq n$ , pak $q (E i + E j) = 0$ , aby $E i + E j$ je nulový vektor. V pseudoeuklidovském prostoru s $k \neq n$ , na rozdíl od euklidovského prostoru existují vektory s negativní skalární čtverec.

Stejně jako u termínu Euklidovský prostor, termín pseudoeuklidovský prostor lze použít k označení afinní prostor nebo a vektorový prostor v závislosti na autorovi, přičemž druhý je alternativně označován jako a pseudoeuklidovský vektorový prostor^[3] (vidět rozlišení bod-vektor ).

Geometrie

Geometrie pseudoeuklidovského prostoru je konzistentní navzdory tomu, že některé vlastnosti euklidovského prostoru neplatí, zejména že se nejedná o metrický prostor jak je vysvětleno níže. The afinní struktura se nemění, a tedy i koncepty čára, letadlo a obecně z afinní podprostor (byt ), stejně jako úsečky.

Kladné, nulové a záporné skalární čtverce

n = 3

,

k

je 1 nebo 2 v závislosti na výběru podepsat z

q

A nulový vektor je vektor, pro který je kvadratická forma nula. Na rozdíl od euklidovského prostoru může být takový vektor nenulový, v takovém případě je vlastníortogonální Pokud je kvadratická forma neurčitá, má pseudoeuklidovský prostor a lineární kužel nulových vektorů daných ${X : q (X) = 0 }$ . Když pseudoeuklidovský prostor poskytuje model pro vesmírný čas (vidět níže ), nulový kužel se nazývá světelný kužel původu.

Nulový kužel odděluje dva otevřené sady,^[4] respektive pro které $q (X) > 0$ a $q (X) < 0$ . Li $k \geq 2$ , pak sada vektorů, pro které $q (X) > 0$ je připojeno. Li $k = 1$ , pak se skládá ze dvou nesouvislých částí, jedné s $X 1 > 0$ a další s $X 1 < 0$ . Podobná prohlášení lze učinit pro vektory, pro které $q (X) < 0$ -li $k$ je nahrazen $n - k$ .

Interval

Kvadratická forma $q$ odpovídá čtverci vektoru v euklidovském případě. Definovat vektorová norma (a vzdálenost) v neměnný způsobem, jeden musí dostat odmocniny skalárních čtverců, což vede k možnému imaginární vzdálenosti; vidět druhá odmocnina ze záporných čísel. Ale i pro trojúhelník s kladnými skalárními čtverci všech tří stran (jejichž druhé odmocniny jsou skutečné a kladné), nerovnost trojúhelníku obecně neplatí.

Proto termíny norma a vzdálenost jsou vyloučeny v pseudoeuklidovské geometrii, kterou lze nahradit skalární čtverec a interval resp.

Ačkoli, pro křivka jehož tečné vektory všechny mají skalární čtverce se stejným znaménkem, délka oblouku je definováno. Má důležité aplikace: viz správný čas, například.

Rotace a koule

The rotace skupina takového prostoru je neurčitá ortogonální skupina $Ó(q)$ , označovaný také jako $Ó(k, n - k)$ bez odkazu na konkrétní kvadratickou formu.^[5] Taková „rotace“ zachovává formu $q$ a tedy skalární čtverec každého vektoru včetně toho, zda je kladný, nulový nebo záporný.

Zatímco euklidovský prostor má jednotková koule, pseudoeuklidovský prostor má hyperplochy ${X : q (X) = 1 }$ a ${X : q (X) = -1 }$ . Takový nadpovrch, zvaný a kvazi-koule, je chráněn příslušnou neurčitou ortogonální skupinou.

Symetrická bilineární forma

Kvadratická forma $q$ dává vzniknout a symetrická bilineární forma definováno takto:

{displaystyle langle x, yangle = {frac {1} {2}} [q (x + y) -q (x) -q (y)] = left (x_ {1} y_ {1} + ldots + x_ { k} y_ {k} ight) -left (x_ {k + 1} y_ {k + 1} + ldots + x_ {n} y_ {n} ight).}

Kvadratickou formu lze vyjádřit pomocí bilineární formy: $q (X) = ⟨ X, X ⟩$ .

Když $⟨ X, y ⟩ = 0$ , pak $X$ a $y$ jsou ortogonální vektory pseudoeuklidovského prostoru.

Tato bilineární forma se často označuje jako skalární součin, a někdy jako „vnitřní produkt“ nebo „tečkovaný produkt“, ale nedefinuje vnitřní produktový prostor a nemá vlastnosti Tečkovaný produkt euklidovských vektorů.

Li $X$ a $y$ jsou ortogonální a $q (X) q (y) < 0$ , pak $X$ je hyperbolicko-ortogonální na $y$ .

The standardní základ skutečný $n$ -prostor je ortogonální. Neexistují žádné orthonormální báze v pseudoeuklidovském prostoru, pro který je bilineární forma neurčitá, protože ji nelze použít k definování vektorová norma.

Podprostory a ortogonalita

Pro (pozitivně-dimenzionální) podprostor^[6] $U$ pseudoeuklidovského prostoru, když kvadratická forma $q$ je omezený na $U$ , jsou možné následující tři případy:

$q | U$ je buď pozitivní nebo negativní určitý. Pak, $U$ je v podstatě Euklidovský (až do znamení $q$ ).
$q | U$ je neurčitý, ale nedegenerovaný. Pak, $U$ je sám o sobě pseudoeuklidovský. Je to možné, pouze pokud $ztlumit U \geq 2$ ; -li $ztlumit U = 2$ , což znamená než $U$ je letadlo, pak se nazývá a hyperbolická rovina.
$q | U$ je zdegenerovaný.

Jednou z nejvíce nepříjemných vlastností (pro euklidovskou intuici) pseudo-euklidovských vektorů a ploch je jejich ortogonalita. Když dva nenulové Euklidovské vektory jsou ortogonální, nejsou kolineární. Křižovatky všech euklidovců lineární podprostor s jeho ortogonální doplněk je ${0}$ podprostor. Definice z předchozí podsekce však okamžitě znamená, že jakýkoli vektor $ν$ nulového skalárního čtverce je k sobě kolmý. Proto je izotropní linie $N = ⟨ ν ⟩$ generované a nulový vektor ν je podmnožinou svého ortogonálního doplňku $N ⊥$ .

Formální definice ortogonálního doplňku vektorového podprostoru v pseudoeuklidovském prostoru poskytuje dokonale přesně definovaný výsledek, který splňuje rovnost $ztlumit U + dim U ⊥ = n$ kvůli nedegeneraci kvadratické formy. Je to jen podmínka

U \cap U ⊥ = {0}

nebo ekvivalentně

U + U ⊥ =

celý prostor,

který může být rozbit, pokud je podprostor $U$ obsahuje nulový směr.^[7] Zatímco podprostory tvoří mříž, stejně jako v jakémkoli vektorovém prostoru, toto $⊥$ operace není ortokomplementace, na rozdíl od vnitřní produktové prostory.

Pro podprostor $N$ složen zcela nulových vektorů (což znamená, že skalární čtverec $q$ , omezeno na $N$ , rovná se $0$ ), vždy platí:

N \subset N ⊥

nebo ekvivalentně

N \cap N ⊥ = N

.

Takový podprostor může mít až $min (k, n - k)$ rozměry.^[8]

Pro (pozitivní) euklidovský $k$ -prostor jeho ortogonální doplněk je a $(n - k)$ -rozměrný záporný "euklidovský" podprostor a naopak. Obecně platí, že pro a $(d + + d - + d 0)$ -rozměrný podprostor $U$ skládající se z $d +$ pozitivní a $d -$ záporné rozměry (viz Sylvestrov zákon setrvačnosti pro objasnění), jeho ortogonální „doplněk“ $U ⊥$ má $(k - d + - d 0)$ pozitivní a $(n - k - d - - d 0)$ negativní rozměry, zatímco zbytek $d 0$ ty jsou zdegenerované a tvoří $U \cap U ⊥$ průsečík.

Paralelogramový zákon a Pytagorova věta

The paralelogramový zákon má formu

{displaystyle q (x) + q (y) = {frac {1} {2}} (q (x + y) + q (x-y))}}

Za použití čtverec součtu identity, pro libovolný trojúhelník lze vyjádřit skalární čtverec třetí strany ze skalárních čtverců dvou stran a jejich bilineární tvarový součin:

{displaystyle q (x + y) = q (x) + q (y) + 2jazyk x, jangle.}

To ukazuje, že pro ortogonální vektory je pseudoeuklidovským analogem Pythagorova věta drží:

{displaystyle langle x, yangle = 0 Rightarrow q (x) + q (y) = q (x + y).}

Úhel

Obecně absolutní hodnota $| ⟨ X, y ⟩ |$ bilineární formy na dvou vektorech může být větší než $\sqrt | q (X) q (y) |$ , rovno nebo méně. To způsobuje podobné problémy s definicí úhel (vidět Tečkový produkt § Geometrická definice ) tak jako objevil se výše na vzdálenosti.

Li $k = 1$ (pouze jeden pozitivní termín v roce 2006) $q$ ), pak pro vektory kladného skalárního čtverce:

{displaystyle | langle x, yangle | geq {sqrt {q (x) q (y)}} ,,}

který umožňuje definici hyperbolický úhel, analog úhlu mezi těmito vektory přes inverzní hyperbolický kosinus:

{displaystyle operatorname {arccosh} {frac {| langle x, yangle |} {sqrt {q (x) q (y)}}} ,.}

^[9]

Odpovídá vzdálenosti na a $(n - 1)$ -dimenzionální hyperbolický prostor. Toto je známé jako rychlost v kontextu diskutované teorie relativity níže. Na rozdíl od euklidovského úhlu přebírá hodnoty z $[0, +\infty)$ a rovná se 0 pro antiparalelní vektory.

Neexistuje žádná rozumná definice úhlu mezi nulovým vektorem a jiným vektorem (nulovým nebo nenulovým).

Algebra a tenzorový počet

Stejně jako euklidovské prostory generuje každý pseudoeuklidovský vektorový prostor a Cliffordova algebra. Na rozdíl od vlastností výše, kde nahrazení $q$ na $- q$ změnil čísla, ale ne geometrie, obrácení znaménka kvadratické formy má za následek zřetelnou Cliffordovu algebru, například $Cl 1,2 (R)$ a $Cl 2,1 (R)$ nejsou izomorfní.

Stejně jako v jakémkoli vektorovém prostoru existují i pseudoeuklidovští tenzory. Stejně jako u euklidovské struktury existují zvyšování a snižování indexů operátory, ale na rozdíl od případu Euklidovské tenzory, tady je žádné báze, kde tyto operace nemění hodnoty komponent. Pokud existuje vektor $proti β$ , korespondence kovarianční vektor je:

{displaystyle v_ {alpha} = q_ {alpha eta} v ^ {eta} ,,}

a se standardním formulářem

{displaystyle q_ {alpha eta} = {egin {pmatrix} I_ {k imes k} & 0 0 & -I _ {(n-k) imes (n-k)} end {pmatrix}}}

první $k$ komponenty $proti α$ jsou numericky stejné jako ty z $proti β$ , ale zbytek $n - k$ mít opačné znaky.

Shoda mezi kontravariantními a kovariantními tenzory činí a tenzorový počet na pseudoriemanianské rozdělovače zobecnění jednoho na Riemannově potrubí.

Příklady

Velmi důležitý pseudoeuklidovský prostor je Minkowského prostor, což je matematické nastavení, ve kterém Albert Einstein teorie o speciální relativita je formulován. Pro Minkowského prostor, $n = 4$ a $k = 3$ ^[10] aby

{displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + x_ {3} ^ {2} -x_ {4} ^ {2},}

Geometrie spojená s touto pseudometrií byla zkoumána uživatelem Poincaré.^[11]^[12] Jeho rotační skupina je Skupina Lorentz. The Poincarého skupina zahrnuje také překlady a hraje stejnou roli jako Euklidovské skupiny obyčejných euklidovských prostorů.

Dalším pseudoeuklidovským prostorem je letadlo $z = X + yj$ skládající se z rozdělená komplexní čísla, vybavené kvadratickou formou

{displaystyle lVert zVert = zz ^ {*} = z ^ {*} z = x ^ {2} -y ^ {2}.}

Toto je nejjednodušší případ neurčitého pseudoeuklidovského prostoru ( $n = 2$ , $k = 1$ ) a jediný, kde nulový kužel členil prostor čtyři otevřené sady. Skupina $TAK + (1, 1)$ se skládá z takto pojmenovaných hyperbolické rotace.

Viz také

Poznámky pod čarou

^ Élie Cartan (1981), Theory of Spinors, Dover Publications, ISBN 0-486-64070-1
^ Euklidovské prostory jsou považovány za pseudoeuklidovské prostory - viz například Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Cliffordské algebry a spinorové struktury, Springer Science & Business Media, str. 32.
^ Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Cliffordské algebry a spinorové struktury, Springer Science & Business Media, str. 32 [1]
^ The standardní topologie na $R n$ předpokládá se.
^ Co je to "rotační skupina", záleží na přesné definici rotace. Skupiny „O“ obsahují nesprávné otáčení. Transformace, které zachovávají orientace tvoří skupinu $TAK(q)$ nebo $TAK(k, n - k)$ , ale také tomu tak není připojeno pokud obojí $k$ a $n - k$ jsou pozitivní. Skupina $TAK + (q)$ , který zachovává orientaci na kladných a záporných skalárních čtvercových částech samostatně, je (spojeným) analogem skupiny euklidovských rotací $TAK(n)$ . Ve skutečnosti všechny tyto skupiny jsou Lež skupiny dimenze $1 / 2 n (n - 1)$ .
^ A lineární podprostor Předpokládá se, ale stejné závěry platí i pro afinitu byt s jedinou komplikací, že kvadratická forma je vždy definována na vektorech, ne na bodech.
^ Vlastně, $U \cap U ⊥$ není nula, pouze pokud je kvadratická forma $q$ omezeno na $U$ je zdegenerovaný.
^ Thomas E. Cecil (1992) Geometrie Lie Sphere, strana 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3
^ Všimněte si, že $cos (i arccosh s) = s$ , tak pro $s > 0$ lze je chápat jako imaginární úhly.
^ Další dobře zavedená reprezentace používá $k = 1$ a koordinovat indexy počínaje od $0$ (odtud $q (X) = X 02 - X 12 - X 22 - X 32$ ), ale jsou rovnocenné až podepsat z $q$ . Vidět Konvence znaménka § Metrický podpis.
^ H. Poincaré (1906) O dynamice elektronu, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
^ B. A. Rosenfeld (1988) Historie neeuklidovské geometrie, strana 266, Studie z dějin matematiky a fyzikálních věd # 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

Reference

Cartan, Élie (1981) [1938], Theory of Spinors, New York: Dover Publications, str. 3, ISBN 978-0-486-64070-9, PAN 0631850
Werner Greub (1963) Lineární algebra, 2. vydání, §12.4 Pseudo-Euclidean Spaces, str. 237–49, Springer-Verlag.
Walter Noll (1964) „Euklidovská geometrie a Minkowskianská chronometrie“, Americký matematický měsíčník 71:129–44.
Novikov, S. P .; Fomenko, A.T .; [z ruštiny přeložil M. Tsaplina] (1990). Základní prvky diferenciální geometrie a topologie. Dordrecht; Boston: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1009-8.
Szekeres, Peter (2004). Kurz moderní matematické fyziky: skupiny, Hilbertův prostor a diferenciální geometrie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-82960-7.
Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012). Lineární algebra a geometrie. Springer. ISBN 978-3-642-30993-9.

externí odkazy

D.D. Sokolov (původce), Pseudoeuklidovský prostor, Encyclopedia of Mathematics

[1] Élie Cartan (1981), Theory of Spinors, Dover Publications, ISBN 0-486-64070-1

[2] Euklidovské prostory jsou považovány za pseudoeuklidovské prostory - viz například Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Cliffordské algebry a spinorové struktury, Springer Science & Business Media, str. 32.

[3] Rafal Ablamowicz; P. Lounesto (2013), Cliffordské algebry a spinorové struktury, Springer Science & Business Media, str. 32 [1]

[4] The standardní topologie na $R n$ předpokládá se.

[5] Co je to "rotační skupina", záleží na přesné definici rotace. Skupiny „O“ obsahují nesprávné otáčení. Transformace, které zachovávají orientace tvoří skupinu $TAK(q)$ nebo $TAK(k, n - k)$ , ale také tomu tak není připojeno pokud obojí $k$ a $n - k$ jsou pozitivní. Skupina $TAK + (q)$ , který zachovává orientaci na kladných a záporných skalárních čtvercových částech samostatně, je (spojeným) analogem skupiny euklidovských rotací $TAK(n)$ . Ve skutečnosti všechny tyto skupiny jsou Lež skupiny dimenze $1 / 2 n (n - 1)$ .

[6] A lineární podprostor Předpokládá se, ale stejné závěry platí i pro afinitu byt s jedinou komplikací, že kvadratická forma je vždy definována na vektorech, ne na bodech.

[7] Vlastně, $U \cap U ⊥$ není nula, pouze pokud je kvadratická forma $q$ omezeno na $U$ je zdegenerovaný.

[8] Thomas E. Cecil (1992) Geometrie Lie Sphere, strana 24, Universitext Springer ISBN 0-387-97747-3

[9] Všimněte si, že $cos (i arccosh s) = s$ , tak pro $s > 0$ lze je chápat jako imaginární úhly.

[10] Další dobře zavedená reprezentace používá $k = 1$ a koordinovat indexy počínaje od $0$ (odtud $q (X) = X 02 - X 12 - X 22 - X 32$ ), ale jsou rovnocenné až podepsat z $q$ . Vidět Konvence znaménka § Metrický podpis.

[11] H. Poincaré (1906) O dynamice elektronu, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo

[12] B. A. Rosenfeld (1988) Historie neeuklidovské geometrie, strana 266, Studie z dějin matematiky a fyzikálních věd # 12, Springer ISBN 0-387-96458-4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]