Frakční počet - Fractional calculus

Frakční počet je pobočkou matematická analýza který studuje několik různých možností definování reálné číslo pravomoci nebo komplexní číslo pravomoci operátor diferenciace D

${ displaystyle Df (x) = { frac {d} {dx}} f (x) ,,}$

a integračního operátora J ^{[Poznámka 1]}

${ displaystyle Jf (x) = int _ {0} ^ {x} f (s) , ds ,,}$

a vývoj a počet pro takové operátory zobecňující klasický.

V této souvislosti termín pravomoci odkazuje na iterativní aplikaci lineárního operátoru D na funkci F, to znamená opakovaně skládání D sám se sebou, jako v ${ displaystyle D ^ {n} (f) = ( podpása {D cirkus D cirkus D cirkus cdots D} _ {n}) (f) = podprsenka {D (D (D cdots} _ {n} (f)}$.

Například lze požádat o smysluplný výklad výrazu

${ displaystyle { sqrt {D}} = D ^ { frac {1} {2}}}$

jako analog funkční odmocnina pro rozlišení operátor, tj. výraz pro nějaký lineární operátor, který se použije dvakrát na jakoukoli funkci bude mít stejný účinek jako diferenciace. Obecněji se lze podívat na otázku definice a lineární funkční

${ displaystyle D ^ {a}}$

za každé skutečné číslo A takovým způsobem, že když A bere celé číslo hodnota n ∈ ℤ, shoduje se s obvyklým n-násobná diferenciace D -li n > 0, a s - n-tá síla J když n < 0.

Jedna z motivací zavedení a studia těchto druhů rozšíření operátoru diferenciace D je to sady pravomocí operátora { D^A | A ∈ ℝ} takto definované jsou kontinuální poloskupiny s parametrem A, z toho originál oddělený poloskupina { Dⁿ | n ∈ ℤ} pro celé číslo n je započítatelný podskupina: protože spojité poloskupiny mají dobře rozvinutou matematickou teorii, lze je použít v jiných oborech matematiky.

Frakční diferenciální rovnice, známé také jako mimořádné diferenciální rovnice,^[1] jsou zobecněním diferenciální rovnice prostřednictvím použití zlomkového počtu.

Historické poznámky

v aplikovaná matematika a matematická analýza, a zlomkový derivát je derivát libovolného libovolného řádu, skutečného nebo komplexního. Jeho první vystoupení je v dopise zaslaném Guillaume de l'Hôpital podle Gottfried Wilhelm Leibniz v roce 1695.^[2] Přibližně ve stejnou dobu napsal Leibniz jednomu z bratrů Bernoulliho popis podobnosti mezi binomickou větou a Leibnizovým pravidlem pro zlomkovou derivaci součinu dvou funkcí.^{[Citace je zapotřebí ]} Frakční počet byl zaveden v jednom z Niels Henrik Abel Rané noviny^[3] kde lze nalézt všechny prvky: myšlenku integrace a diferenciace zlomkového řádu, vzájemně inverzní vztah mezi nimi, pochopení, že diferenciaci a integraci zlomkového řádu lze považovat za stejnou zobecněnou operaci, a dokonce i jednotnou notaci pro diferenciaci a integrace libovolného skutečného řádu.^[4]Nezávisle byly položeny základy subjektu Liouville v příspěvku z roku 1832.^[5]The samouk Oliver Heaviside představil praktické využití zlomkové diferenciální operátory v analýze elektrického přenosového vedení kolem roku 1890.^[6] Teorie a aplikace zlomkového počtu se v průběhu 19. století velmi rozšířily^th a 20^th století a řada přispěvatelů dala definice zlomkových derivací a integrálů.^[7]

Povaha zlomkového derivátu

The Ath derivace funkce F (X) v určitém okamžiku X je místní majetek pouze když A je celé číslo; toto není případ necelých derivátů výkonu. Jinými slovy, nečíselný zlomkový derivát funkce F (X) na x = a záleží na všech hodnotách F, i ti daleko od A. Očekává se proto, že operace s frakčními derivacemi zahrnuje nějaký druh okrajové podmínky, zahrnující informace o funkci dále.^[8]

Frakční derivace funkce na objednávku A je nyní často definována pomocí Fourier nebo Mellin integrální transformace.

Heuristika

Docela přirozenou otázkou je, zda existuje lineární operátor Hnebo poloviční derivát, takový

${ displaystyle H ^ {2} f (x) = Df (x) = { dfrac {d} {dx}} f (x) = f '(x) ,.}$

Ukazuje se, že takový operátor existuje, a opravdu pro každého A > 0, existuje operátor P takhle

${ displaystyle left (P ^ {a} f right) (x) = f '(x),}$

nebo jinak řečeno, definice dⁿy/dxⁿ lze rozšířit na všechny skutečné hodnoty n.

Nechat F (X) být funkcí definovanou pro X > 0. Vytvořte určitý integrál od 0 do X. Říkejte tomu

${ displaystyle (Jf) (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) , dt ,.}$

Opakování tohoto procesu dává

${ displaystyle left (J ^ {2} f right) (x) = int _ {0} ^ {x} (Jf) (t) , dt = int _ {0} ^ {x} left ( int _ {0} ^ {t} f (s) , ds right) , dt ,,}$

a toto lze libovolně prodloužit.

The Cauchyův vzorec pro opakovanou integraci, jmenovitě

${ displaystyle left (J ^ {n} f right) (x) = { frac {1} {(n-1)!}} int _ {0} ^ {x} left (xt right ) ^ {n-1} f (t) , dt ,,}$

vede přímým způsobem k skutečnému zobecnění n.

Za použití funkce gama Odstranit diskrétní povahu faktoriální funkce nám dává přirozeného kandidáta na zlomkové aplikace integrálního operátoru.

${ displaystyle left (J ^ { alpha} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {x} left (xt vpravo) ^ { alpha -1} f (t) , dt ,.}$

Toto je ve skutečnosti dobře definovaný operátor.

Je jednoduché ukázat, že J operátor vyhovuje

${ displaystyle left (J ^ { alpha} right) left (J ^ { beta} f right) (x) = left (J ^ { beta} right) left (J ^ { alpha} f right) (x) = left (J ^ { alpha + beta} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha + beta)}} int _ {0} ^ {x} left (xt right) ^ { alpha + beta -1} f (t) , dt ,.}$

Důkaz

${ displaystyle { begin {aligned} left (J ^ { alpha} right) left (J ^ { beta} f right) (x) & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {x} (xt) ^ { alpha -1} left (J ^ { beta} f right) (t) , dt & = { frac {1} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}} int _ {0} ^ {x} int _ {0} ^ {t} left (xt right) ^ { alpha - 1} left (ts right) ^ { beta -1} f (s) , ds , dt & = { frac {1} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)} } int _ {0} ^ {x} f (s) left ( int _ {s} ^ {x} left (xt right) ^ { alpha -1} left (ts right) ^ { beta -1} , dt right) , ds end {zarovnáno}}}$ kde jsme v posledním kroku vyměnili pořadí integrace a vytáhli F (s) faktor z t integrace. Změna proměnných na r definován t = s + (X − s)r, ${ displaystyle left (J ^ { alpha} right) left (J ^ { beta} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta )}} int _ {0} ^ {x} left (xs right) ^ { alpha + beta -1} f (s) left ( int _ {0} ^ {1} left ( 1-r right) ^ { alpha -1} r ^ { beta -1} , dr right) , ds}$ Vnitřní integrál je funkce beta který splňuje následující vlastnost: ${ displaystyle int _ {0} ^ {1} vlevo (1-r vpravo) ^ { alfa -1} r ^ { beta -1} , dr = B ( alfa, beta) = { frac { Gamma ( alfa) , Gamma ( beta)} { Gamma ( alfa + beta)}}}$ Nahrazení zpět do rovnice ${ displaystyle left (J ^ { alpha} right) left (J ^ { beta} f right) (x) = { frac {1} { Gamma ( alpha + beta)}} int _ {0} ^ {x} left (xs right) ^ { alpha + beta -1} f (s) , ds = left (J ^ { alpha + beta} f right )(X)}$ Zaměňovat α a β ukazuje, že pořadí, ve kterém J operátor je použit, je irelevantní a doplňuje důkaz.

Tento vztah se nazývá vlastnost poloskupiny frakční odlišný integrovaný operátory. Bohužel srovnatelný proces pro operátora derivátů D je podstatně složitější, ale lze to ukázat D není ani jedno komutativní ani přísada obecně.^[9]

Frakční derivace základní výkonové funkce

Polovina derivace (fialová křivka) funkce F (X) = X (modrá křivka) společně s první derivací (červená křivka).

Animace ukazuje derivační operátor kmitající mezi primitivní (α = −1: y = 1/2X²) a derivát (α = +1: y = 1) jednoduché funkce napájení y = X nepřetržitě.

Předpokládejme to F (X) je monomiální formuláře

${ displaystyle f (x) = x ^ {k} ,.}$

První derivace je jako obvykle

${ displaystyle f '(x) = { frac {d} {dx}} f (x) = kx ^ {k-1} ,.}$

Opakováním tohoto získáte obecnější výsledek

${ displaystyle { frac {d ^ {a}} {dx ^ {a}}} x ^ {k} = { dfrac {k!} {(k-a)!}} x ^ {k-a} ,,}$

Což po výměně faktoriály s funkce gama, nás vede k

${ displaystyle { frac {d ^ {a}} {dx ^ {a}}} x ^ {k} = { dfrac { Gamma (k + 1)} { Gamma (k-a + 1)} } x ^ {ka}, qquad k geq 0}$

Pro k = 1 a A = 1/2, získáme poloviční derivaci funkce X tak jako

${ displaystyle { frac {d ^ { frac {1} {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}} x = { frac { Gamma (1 + 1)} { Gamma left (1 - { frac {1} {2}} + 1 right)}} x ^ {1 - { frac {1} {2}}} = { frac { Gamma (2) } { Gamma left ({ frac {3} {2}} right)}} x ^ { frac {1} {2}} = { frac {1} { frac { sqrt { pi }} {2}}} x ^ { frac {1} {2}}.}$

K prokázání, že se ve skutečnosti jedná o „poloviční derivaci“ (kde H²F (X) = Df (X)), postup opakujeme, abychom získali:

${ displaystyle { dfrac {d ^ { frac {1} {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}} { dfrac {2x ^ { frac {1} {2} }} { sqrt { pi}}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { dfrac { Gamma (1 + { frac {1} {2}})}} Gamma ({ frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} + 1)}} x ^ {{ frac {1} {2}} - { frac {1} {2 }}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac { Gamma vlevo ({ frac {3} {2}} vpravo)} { Gamma (1)}} x ^ {0} = { frac {2 { frac { sqrt { pi}} {2}} x ^ {0}} { sqrt { pi}}} = 1 ,,}$

(protože ${ textstyle Gamma left ({ frac {3} {2}} right) = { frac { sqrt { pi}} {2}}}$ a Γ (1) = 1) což je skutečně očekávaný výsledek

${ displaystyle left ({ frac {d ^ { frac {1} {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}} { frac {d ^ { frac {1} {2}}} {dx ^ { frac {1} {2}}}} vpravo) x = { frac {d} {dx}} x = 1 ,.}$

Pro záporný celočíselný výkon k je funkce gama nedefinovaná a musíme použít následující vztah:^[10]

${ displaystyle { frac {d ^ {a}} {dx ^ {a}}} x ^ {- k} = left (-1 right) ^ {a} { dfrac { Gamma (k + a )} { Gamma (k)}} x ^ {- (k + a)} quad { text {pro}} k geq 0}$

Toto rozšíření výše uvedeného diferenciálního operátoru nemusí být omezeno pouze na skutečné síly. Například (1 + i)th derivát (1 − i)tého derivátu se získá druhý derivát. Také nastavení záporných hodnot pro A dává integrály.

Pro obecnou funkci F (X) a 0 < α < 1, úplný zlomkový derivát je

${ displaystyle D ^ { alpha} f (x) = { frac {1} { Gamma (1- alpha)}} { frac {d} {dx}} int _ {0} ^ {x } { frac {f (t)} { left (xt right) ^ { alpha}}} , dt}$

Pro libovolné α, protože funkce gama není definována pro argumenty, jejichž skutečná část je záporné celé číslo a jejichž imaginární část je nula, je nutné po provedení celočíselné derivace použít zlomkovou derivaci. Například,

${ displaystyle D ^ { frac {3} {2}} f (x) = D ^ { frac {1} {2}} D ^ {1} f (x) = D ^ { frac {1} {2}} { frac {d} {dx}} f (x)}$

Laplaceova transformace

K otázce můžeme přijít také prostřednictvím Laplaceova transformace. To vím

${ displaystyle { mathcal {L}} vlevo {Jf vpravo } (s) = { mathcal {L}} vlevo { int _ {0} ^ {t} f ( tau) , d tau right } (s) = { frac {1} {s}} { bigl (} { mathcal {L}} left {f right } { bigr)} (s )}$

a

${ displaystyle { mathcal {L}} vlevo {J ^ {2} f vpravo } = { frac {1} {s}} { bigl (} { mathcal {L}} vlevo {Jf right } { bigr)} (s) = { frac {1} {s ^ {2}}} { bigl (} { mathcal {L}} left {f right } { bigr)} (s)}$

a tak dále, tvrdíme

${ displaystyle J ^ { alpha} f = { mathcal {L}} ^ {- 1} left {s ^ {- alpha} { bigl (} { mathcal {L}} {f } { bigr)} (s) vpravo }}$.

Například,

${ displaystyle J ^ { alpha} (t ^ {k}) = { mathcal {L}} ^ {- 1} left {{ frac { Gamma (k + 1)} {s ^ { alpha + k + 1}}} right } = { frac { Gamma (k + 1)} { Gamma ( alpha + k + 1)}} t ^ { alpha + k}}$

podle očekávání. Ve skutečnosti, vzhledem k konvoluce pravidlo

${ displaystyle { mathcal {L}} {f * g } = { bigl (} { mathcal {L}} {f } { bigr)} { bigl (} { mathcal {L }} {g } { bigr)}}$

a zkratka p(X) = X^{α − 1} pro jasnost to zjistíme

${ displaystyle { begin {aligned} left (J ^ { alpha} f right) (t) & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} { mathcal {L}} ^ {-1} left {{ bigl (} { mathcal {L}} {p } { bigr)} { bigl (} { mathcal {L}} {f } { bigr )} right } & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} (p * f) & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {t} p (t- tau) f ( tau) , d tau & = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {0 } ^ {t} left (t- tau right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau end {zarovnáno}}}$

což nám Cauchy dal výše.

Laplace transformuje „práci“ na relativně málo funkcí, ale ano jsou často užitečné pro řešení zlomkových diferenciálních rovnic.

Frakční integrály

Riemann – Liouvilleův zlomkový integrál

Klasická forma zlomkového počtu je dána vztahem Riemann – Liouvilleův integrál, což je v podstatě to, co bylo popsáno výše. Teorie pro periodické funkce (tedy včetně "okrajové podmínky" opakování po období) je Weylův integrál. Je definován na Fourierova řada a vyžaduje, aby mizel konstantní Fourierův koeficient (tedy platí pro funkce na jednotkový kruh jehož integrály se hodnotí na nulu). Riemann-Liouvilleův integrál existuje ve dvou formách, horní a dolní. Vzhledem k intervalu [A,b], integrály jsou definovány jako

${ displaystyle _ {a} D_ {t} ^ {- alpha} f (t) = {} _ {a} I_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {a} ^ {t} left (t- tau right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau}$

${ displaystyle _ {t} D_ {b} ^ {- alpha} f (t) = {} _ {t} I_ {b} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {t} ^ {b} left ( tau -t right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau}$

Kde platí první t > A a toto platí pro t < b.^[11]

Naproti tomu Derivát Grünwald – Letnikov začíná derivací místo integrálu.

Hadamardův zlomkový integrál

The Hadamardův zlomkový integrál je představen Jacques Hadamard^[12] a je dán následujícím vzorcem,

${ displaystyle _ {a} mathbf {D} _ {t} ^ {- alpha} f (t) = { frac {1} { Gamma ( alpha)}} int _ {a} ^ { t} left ( log { frac {t} { tau}} right) ^ { alpha -1} f ( tau) { frac {d tau} { tau}}, qquad t > a ,.}$

Atangana – Baleanu zlomkový integrál

Nedávno Atangana a Baleanu pomocí zobecněné funkce Mittag-Leffler navrhli novou formulaci frakčního derivátu s nelokálním a nesingulárním jádrem. Integrál je definován jako:

${ displaystyle _ {a} ^ {AB} D_ {t} ^ {- alpha} f (t) = _ {a} ^ {AB} I_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {1- alpha} {AB ( alpha)}} f (t) + { frac { alpha} {AB ( alpha) Gamma ( alpha)}} int _ {a} ^ {t } left (t- tau right) ^ { alpha -1} f ( tau) , d tau,}$

kde AB(α) je normalizační funkce taková AB(0) = AB(1) = 1.^[13]

Frakční deriváty

Na rozdíl od klasických newtonovských derivátů je zlomkový derivát definován prostřednictvím zlomkového integrálu.

Frakční derivace Gaussian, interpolace kontinuálně mezi funkcí a její první derivací.

Riemann – Liouvilleův zlomkový derivát

Odpovídající derivát se vypočítá pomocí Lagrangeova pravidla pro diferenciální operátory. Výpočetní nderivace tého řádu nad integrálem řádu (n − α), α získá se derivát objednávky. Je důležité to poznamenat n je nejmenší celé číslo větší než α (to znamená, n = ⌈α⌉). Podobně jako definice Riemann-Liouvilleova integrálu má derivace horní a dolní variantu.^[14]

${ displaystyle _ {a} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {a} D_ {t} ^ {- (n- alpha)} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {a} I_ {t} ^ {n- alpha} f (t)}$

${ displaystyle _ {t} D_ {b} ^ { alpha} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {t} D_ {b} ^ {- (n- alpha)} f (t) = { frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} {} _ {t} I_ {b} ^ {n- alpha} f (t)}$

Frakční derivát Caputo

Další možností výpočtu zlomkových derivací je Caputoova zlomková derivace. To bylo představeno Michele Caputo v jeho 1967 papíru.^[15] Na rozdíl od Riemannova-Liouvilleova zlomkového derivátu není při řešení diferenciálních rovnic pomocí Caputovy definice nutné definovat počáteční podmínky ve zlomkovém pořadí. Caputova definice je ilustrována následovně, kde znovu n = ⌈α⌉:

${ displaystyle {} ^ {C} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} { gama (n- alpha)}} int _ {0} ^ {t} { frac {f ^ {(n)} ( tau) , d tau} { doleva (t- tau doprava) ^ { alpha + 1-n}}}}$

Existuje Caputův zlomkový derivát definovaný jako:

${ displaystyle {} D ^ { nu} f (t) = { frac {1} { Gamma (n- nu)}} int _ {0} ^ {t} (tu) ^ {(n - nu -1)} f ^ {(n)} (u) du qquad (n-1) < nu$

což má tu výhodu, že je nulová, když F (t) je konstantní a jeho Laplaceova transformace je vyjádřena pomocí počátečních hodnot funkce a její derivace. Kromě toho existuje Caputova zlomková derivace distribuovaného řádu definovaná jako

${ displaystyle {} _ {a} ^ {b} D ^ { nu} f (t) = int _ {a} ^ {b} phi ( nu) left [D ^ {( nu) } f (t) right] , d nu = int _ {a} ^ {b} left [{ frac { phi ( nu)} { Gamma (1- nu)}} int _ {0} ^ {t} left (tu right) ^ {- nu} f '(u) , du right] , d nu}$

kde φ(ν) je váhová funkce a která se používá k matematickému vyjádření přítomnosti více paměťových formalizmů.

Frakční derivát Caputo-Fabrizio

V článku z roku 2015 představili M. Caputo a M. Fabrizio definici frakční derivace s jiným než singulárním jádrem pro funkci ${ displaystyle f (t)}$ z ${ displaystyle C ^ {1}}$ dána:

${ displaystyle _ {a} ^ {CF} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {1} {1- alpha}} int _ {a} ^ {t} f ' ( tau) exp left (- alpha { frac {t- tau} {1- alpha}} right) d tau,}$

kde ${ displaystyle a <0, alpha in (0,1]}$^[16]

Derivát Atangana – Baleanu

Stejně jako integrál existuje i zlomková derivace používající jako jádro obecnou funkci Mittag-Leffler.^[13] Autoři představili dvě verze, derivát Atangana – Baleanu v Caputo smyslu (ABC), což je konvoluce lokálního derivátu dané funkce s generalizovanou Mittag-Lefflerovou funkcí, a Atangana – Baleanu ve smyslu Riemann – Liouville (ABR) ) derivace, což je derivace konvoluce dané funkce, která není diferencovatelná pomocí zobecněné Mittag-Lefflerovy funkce.^[17] Frakční derivát Atangana-Baleanu ve smyslu Caputo je definován jako:

${ displaystyle {} _ {a} ^ {ABC} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {AB ( alpha)} {1- alpha}} int _ {a} ^ {t} f '( tau) E _ { alpha} left (- alpha { frac { left (t- tau right) ^ { alpha}} {1- alpha}} right ) , d tau ,.}$

A frakční derivát Atangana – Baleanu v Riemann – Liouville je definován jako:

${ displaystyle {} _ {a} ^ {ABR} D_ {t} ^ { alpha} f (t) = { frac {AB ( alpha)} {1- alpha}} { frac {d} {dt}} int _ {a} ^ {t} f ( tau) E _ { alpha} left (- alpha { frac { left (t- tau right) ^ { alpha}} {1- alpha}} right) , d tau ,.}$

Rieszův derivát

${ displaystyle { mathcal {F}} vlevo {{ frac { částečné ^ { alfa} u} { částečné vlevo | x vpravo | ^ { alfa}}} vpravo } (k ) = - vlevo | k vpravo | ^ { alpha} { mathcal {F}} {u } (k)}$

kde F označuje Fourierova transformace.^[18][19]

Jiné typy

Klasické frakční deriváty zahrnují:

• Derivát Grünwald – Letnikov^[20][21]
• Derivát Sonin – Letnikov^[21]
• Liouvilleův derivát^[20]
• Caputo derivát^[20]
• Hadamardův derivát^[20][22]
• Marchaudův derivát^[20]
• Rieszův derivát^[21]
• Miller-Rossův derivát^[20]
• Weylův derivát^[23][24][20]
• Erdélyi – Koberův derivát^[20]

Nové frakční deriváty zahrnují:

• Coimbra derivát^[20]
• Derivát Katugampola^[25]
• Hilferův derivát^[20]
• Davidsonův derivát^[20]
• Chenův derivát^[20]
• Derivát Caputo Fabrizio^[26][27]
• Derivát Atangana – Baleanu^[26][28]

Zobecnění

Provozovatel Erdélyi – Kober

The Provozovatel Erdélyi – Kober je integrální operátor představený Arthur Erdélyi (1940).^[29] a Hermann Kober (1940)^[30] a je dán

${ displaystyle { frac {x ^ {- nu - alpha +1}} { Gamma ( alpha)}} int _ {0} ^ {x} vlevo (tx vpravo) ^ { alfa -1} t ^ {- alpha - nu} f (t) , dt ,,}$

který zobecňuje Riemann – Liouvilleův zlomkový integrál a Weylův integrál.

Funkční počet

V kontextu funkční analýza, funkce F (D) obecnější než pravomoci jsou studovány v EU funkční kalkul z spektrální teorie. Teorie pseudo-diferenciální operátory také umožňuje uvažovat o pravomocích D. Vznikající operátory jsou příklady singulární integrální operátory; a zobecnění klasické teorie na vyšší dimenze se nazývá teorie Rieszovy potenciály. Existuje tedy řada současných teorií, ve kterých zlomkový počet lze diskutovat. Viz také Provozovatel Erdélyi – Kober, důležité v speciální funkce teorie (Kober 1940 ), (Erdélyi 1950–51 ).

Aplikace

Frakční zachování hmoty

Jak popsali Wheatcraft a Meerschaert (2008),^[31] pro modelování proudění kapaliny je zapotřebí dílčí zachování rovnice hmotnosti, když ovládání hlasitosti není dostatečně velký ve srovnání s měřítkem heterogenita a když je tok v řídicím objemu nelineární. V referovaném článku je dílčí zachování rovnice hmotnosti pro tok tekutin:

${ displaystyle - rho left ( nabla ^ { alpha} cdot { vec {u}} right) = Gamma ( alpha +1) Delta x ^ {1- alpha} rho vlevo ( beta _ {s} + phi beta _ {w} vpravo) { frac { částečné p} { částečné t}}}$

Problém proudění podzemní vody

V letech 2013–2014 Atangana et al. popsal některé problémy s prouděním podzemní vody pomocí konceptu derivace ve zlomkovém pořadí.^[32][33] V těchto dílech The Classic Darcyho zákon je zobecněn tím, že vodní tok je považován za funkci derivace nečíselného řádu piezometrické hlavy. Tento zobecněný zákon a zákon zachování hmoty se poté používají k odvození nové rovnice pro tok podzemní vody.

Rovnice pro rozptyl frakční advekční disperze

Tato rovnice^{[je zapotřebí objasnění ]} Ukázalo se, že je užitečné pro modelování toku kontaminantů v heterogenních porézních médiích.^[34][35][36]

Atangana a Kilicman rozšířili rovnici rozptylu rozptylu částečné advekce na rovnici proměnného řádu. Ve své práci byla rovnice hydrodynamické disperze zobecněna pomocí konceptu a derivace variačního řádu. Upravená rovnice byla numericky vyřešena pomocí Metoda Crank – Nicolson. Stabilita a konvergence v numerických simulacích ukázaly, že upravená rovnice je spolehlivější v predikci pohybu znečištění v deformovatelných kolektorech pod vodou než rovnice s konstantními zlomkovými a celočíselnými derivacemi^[37]

Modely rovnice frakční difúze v časoprostoru

Anomální difúzní procesy ve složitých médiích lze dobře charakterizovat pomocí modelů difúzní rovnice frakčního řádu.^[38][39] Termín derivace času odpovídá dlouhodobému rozpadu těžkého ocasu a prostorové derivaci pro difúzní nelokalitu. Časoprostorovou frakční difúzi řídící rovnici lze zapsat jako

${ displaystyle { frac { částečné ^ { alfa} u} { částečné t ^ { alfa}}} = - K (- Delta) ^ { beta} u.}$

Jednoduchým rozšířením frakční derivace je frakční derivace proměnného řádu, α a β se mění na α(X, t) a β(X, t). Jeho aplikace v anomálním difúzním modelování lze nalézt v odkazu.^[37][40][41]

Modely strukturálního tlumení

K modelování se používají frakční deriváty viskoelastický tlumení v určitých typech materiálů, jako jsou polymery.^[42]

PID regulátory

Zobecňující PID regulátory používání zlomkových objednávek může zvýšit jejich stupeň volnosti. Nová rovnice vztahující se k kontrolní proměnná u(t) z hlediska měřeného chybová hodnota E(t) lze psát jako

${ displaystyle u (t) = K _ { mathrm {p}} e (t) + K _ { mathrm {i}} D_ {t} ^ {- alpha} e (t) + K _ { mathrm {d }} D_ {t} ^ { beta} e (t)}$

kde α a β jsou kladné zlomkové objednávky a K._p, K._i, a K._d, všechny nezáporné, označují koeficienty pro úměrný, integrální, a derivát termíny, respektive (někdy označovány P, Já, a D).^[43]

Akustické vlnové rovnice pro komplexní média

Šíření akustických vln ve složitých médiích, například v biologických tkáních, obvykle znamená útlum, který se řídí frekvenčním zákonem. Tento druh jevu lze popsat pomocí kauzální vlnové rovnice, která zahrnuje derivace zlomkového času:

${ displaystyle nabla ^ {2} u - { dfrac {1} {c_ {0} ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné t ^ {2}}} + tau _ { sigma} ^ { alpha} { dfrac { částečné ^ { alpha}} { částečné t ^ { alpha}}} nabla ^ {2} u - { dfrac { tau _ { epsilon} ^ { beta}} {c_ {0} ^ {2}}} { dfrac { částečné ^ { beta +2} u} { částečné t ^ { beta +2}}} = 0 ,.}$

Viz také Holm & Näsholm (2011)^[44] a odkazy v nich uvedené. Takové modely jsou spojeny s běžně uznávanou hypotézou, že mnohočetné relaxační jevy vedou k útlumu měřenému ve složitých médiích. Tento odkaz je dále popsán v Näsholm & Holm (2011b)^[45] a v anketě^[46] stejně jako akustický útlum článek. Viz Holm & Nasholm (2013)^[47] pro článek, který porovnává rovnice frakčních vln, které modelují útlum zákonem síly. Tato kniha o útlumu zákonů moci se rovněž podrobněji věnuje tomuto tématu.^[48]

Pandey a Holm dali fyzikální význam frakčním diferenciálním rovnicím tím, že je odvodili z fyzikálních principů a interpretovali frakční řád z hlediska parametrů akustického média, například v granulovaných nekonsolidovaných mořských sedimentech nasycených tekutinami.^[49] Zajímavé je, že to odvodili Pandey a Holm Lomnitzův zákon v seismologie a Nuttingův zákon v nenewtonská reologie pomocí rámce zlomkového počtu.^[50] K modelování šíření vln v mořských sedimentech pomocí frakčních derivátů byl použit Nuttingův zákon.^[49]

Frakční Schrödingerova rovnice v kvantové teorii

The zlomková Schrödingerova rovnice, základní rovnice frakční kvantová mechanika, má následující podobu:^[51][52]

${ displaystyle i hbar { frac { částečné psi ( mathbf {r}, t)} { částečné t}} = D _ { alfa} vlevo (- hbar ^ {2} Delta vpravo ) ^ { frac { alpha} {2}} psi ( mathbf {r}, t) + V ( mathbf {r}, t) psi ( mathbf {r}, t) ,.}$

kde řešení rovnice je vlnová funkce ψ(r, t) - kvantová mechanika amplituda pravděpodobnosti aby částice měla daný vektor polohy r kdykoliv t, a ħ je snížená Planckova konstanta. The potenciální energie funkce PROTI(r, t) záleží na systému.

Dále, Δ = ∂²/∂r² je Operátor Laplace, a D_α je konstanta stupnice s fyzickou dimenze [D_α] = J^{1 − α}· M^α· S^−α = kg^{1 − α}· M^{2 − α}· S^{α − 2}, (na α = 2, D₂ = 1/2m pro částici hmoty m) a provozovatel (−ħ²Δ)^α/2 je 3-dimenzionální frakční kvantová Rieszova derivace definovaná

${ displaystyle (- hbar ^ {2} Delta) ^ { frac { alpha} {2}} psi ( mathbf {r}, t) = { frac {1} {(2 pi hbar) ^ {3}}} int d ^ {3} pe ^ {{ frac {i} { hbar}} mathbf {p} cdot mathbf {r}} | mathbf {p} | ^ { alpha} varphi ( mathbf {p}, t) ,.}$

Index α ve zlomkové Schrödingerově rovnici je Lévyho index, 1 < α ≤ 2.

Frakční Schrödingerova rovnice proměnného řádu

Jako přirozené zobecnění zlomková Schrödingerova rovnice, frakční Schrödingerova rovnice proměnného řádu byla využita ke studiu frakčních kvantových jevů:^[53]

${ displaystyle i hbar { frac { částečné psi ^ { alfa ( mathbf {r})} ( mathbf {r}, t)} { částečné t ^ { alfa ( mathbf {r} )}}} = left (- hbar ^ {2} Delta right) ^ { frac { beta (t)} {2}} psi ( mathbf {r}, t) + V ( mathbf {r}, t) psi ( mathbf {r}, t),}$

kde Δ = ∂²/∂r² je Operátor Laplace a operátor (−ħ²Δ)^β(t)/2 je frakční kvantová Rieszova derivace s proměnným řádem.

Viz také

Další zlomkové teorie

• Frakční dynamika
• Frakční Fourierova transformace
• Frakční kvantová mechanika

Poznámky

Reference

Zdroje

• Kilbas, Anatolii Aleksandrovich; Srivastava, Hari Mohan; Trujillo, Juan J. (2006). Teorie a aplikace zlomkových diferenciálních rovnic. Amsterdam, Nizozemsko: Elsevier. ISBN  978-0-444-51832-3.

Další čtení

Articles regarding the history of fractional calculus

• Ross, B. (1975). "A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus". Fractional Calculus and Its Applications. Fractional Calculus and Its Applications. Přednášky z matematiky. Přednášky z matematiky. 457. s. 1–36. doi:10.1007/BFb0067096. ISBN  978-3-540-07161-7.
• Debnath, L. (2004). "A brief historical introduction to fractional calculus". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 35 (4): 487–501. doi:10.1080/00207390410001686571. S2CID  122198977.
• Tenreiro Machado, J.; Kiryakova, V.; Mainardi, F. (2011). "Recent history of fractional calculus". Komunikace v nelineární vědě a numerická simulace. 16 (3): 1140–1153. Bibcode:2011CNSNS..16.1140M. doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027. hdl:10400.22/4149.
• Tenreiro Machado, J.A.; Galhano, A.M.; Trujillo, J.J. (2013). "Science metrics on fractional calculus development since 1966". Frakční kalkul a aplikovaná analýza. 16 (2): 479–500. doi:10.2478/s13540-013-0030-y. hdl:10400.22/3773. S2CID  122487513.
• Tenreiro Machado, J.A.; Galhano, A.M.S.F.; Trujillo, J.J. (2014). "On development of fractional calculus during the last fifty years". Scientometrie. 98 (1): 577–582. doi:10.1007/s11192-013-1032-6. hdl:10400.22/3769. S2CID  16501850.

Knihy

• Oldham, Keith B .; Spanier, Jerome (1974). The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. Matematika ve vědě a inženýrství. PROTI. Akademický tisk. ISBN  978-0-12-525550-9.
• Miller, Kenneth S .; Ross, Bertram, eds. (1993). Úvod do frakčního počtu a frakčních diferenciálních rovnic. John Wiley & Sons. ISBN  978-0-471-58884-9.
• Samko, S .; Kilbas, A.A .; Marichev, O. (1993). Frakční integrály a deriváty: teorie a aplikace. Taylor & Francis Books. ISBN  978-2-88124-864-1.
• Carpinteri, A.; Mainardi, F., eds. (1998). Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Springer-Verlag Telos. ISBN  978-3-211-82913-4.
• Igor Podlubny (27 October 1998). Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Elsevier. ISBN  978-0-08-053198-4.
• West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Physics of Fractal Operators. Fyzika dnes. 56. Springer Verlag. str. 65. Bibcode:2003PhT....56l..65W. doi:10.1063/1.1650234. ISBN  978-0-387-95554-4.
• Mainardi, F. (2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press. Archivovány od originál dne 19. 5. 2012. Citováno 2014-01-31.
• Tarasov, V.E. (2010). Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Nonlinear Physical Science. Springer. ISBN  9783642140037.
• Zhou, Y. (2010). Basic Theory of Fractional Differential Equations. Singapur: World Scientific. doi:10.1142/9069. ISBN  978-981-4579-89-6.
• Uchaikin, V.V. (2012). Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers: Background and Theory. Nonlinear Physical Science. Higher Education Press. Bibcode:2013fdpe.book.....U. doi:10.1007/978-3-642-33911-0. ISBN  9783642339103.
• Daftardar-gejji, Varsha (2013). Fractional Calculus: Theory and Applications. Nakladatelství Narosa. ISBN  978-8184873337.

• Srivastava, Hari M (2014). Special Functions in Fractional Calculus and Related Fractional Differintegral Equations. Singapur: World Scientific. doi:10.1142/8936. ISBN  978-981-4551-10-6.
• Li, C P; Zeng, F H (2015). Numerical Methods for Fractional Calcuus. USA: CRC Press.

• Umarov, S. (2015). Introduction to Fractional and Pseudo-Differential Equations with Singular Symbols. Vývoj v matematice. 41. Švýcarsko: Springer. doi:10.1007/978-3-319-20771-1. ISBN  978-3-319-20770-4.

• Herrmann, R. (2018). Frakční kalkul - úvod pro fyziky (3. vyd.). Singapur: World Scientific. doi:10.1142/11107. ISBN  978-981-3274-57-0.

externí odkazy

• Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." Z MathWorld — A Wolfram Web Resource.
• MathWorld – Fractional calculus
• MathWorld – Fractional derivative
• Fractional Calculus na MathPages
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998–2014) a Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015)
• Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
• Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN  2218-3892 )
• Specialized journal: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• www.nasatech.com
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• GigaHedron – Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc.
• s.dugowson.free.fr
• History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF ), by Adam Loverro, University of Notre Dame
• Fractional Calculus Modelling
• Introductory Notes on Fractional Calculus
• Power Law & Fractional Dynamics
• The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable
• Závada, Petr (1998). "Operator of Fractional Derivative in the Complex Plane". Komunikace v matematické fyzice. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an/9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. doi:10.1007/s002200050299. S2CID  1201395.
• Závada, Petr (2002). "Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators". Journal of Applied Mathematics. 2 (4): 163–197. arXiv:hep-th/0003126. doi:10.1155/S1110757X02110102. S2CID  6647936.