Linearita diferenciace - Linearity of differentiation

v počet, derivát ze všech lineární kombinace z funkce rovná se stejné lineární kombinaci derivací funkcí;^[1] tato vlastnost je známá jako linearita diferenciace, pravidlo linearity,^[2] nebo pravidlo superpozice pro diferenciaci.^[3] Jedná se o základní vlastnost derivace, která zapouzdřuje do jednoho pravidla dvě jednodušší pravidla diferenciace, pravidlo součtu (derivace součtu dvou funkcí je součtem derivací) a pravidlo konstantního faktoru (derivace konstantního násobku funkce je stejný konstantní násobek derivace).^[4][5] Dá se tedy říci, že akt diferenciace je lineární, nebo operátor diferenciálu je lineární operátor.^[6]

Prohlášení a odvození

Nechat F a G být funkce, s α a β konstanty. Nyní zvažte:

${ displaystyle { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} x}} ( alpha cdot f (x) + beta cdot g (x))}$

Podle pravidlo součtu v diferenciaci, tohle je:

${ displaystyle { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} x}} ( alpha cdot f (x)) + { frac { mbox {d}} {{ mbox { d}} x}} ( beta cdot g (x))}$

Podle pravidlo konstantního faktoru v diferenciaci, to se redukuje na:

${ displaystyle alpha cdot f '(x) + beta cdot g' (x)}$

To zase vede k:

${ displaystyle { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} x}} ( alpha cdot f (x) + beta cdot g (x)) = alpha cdot f ' (x) + beta cdot g '(x)}$

Vynechání závorky, toto se často píše jako:

${ displaystyle ( alpha cdot f + beta cdot g) '= alpha cdot f' + beta cdot g '}$

Reference