Integrace pomocí Eulersova vzorce - Integration using Eulers formula - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Integrace pomocí Eulerova vzorce“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Července 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v integrální počet, Eulerův vzorec pro komplexní čísla lze použít k vyhodnocení integrály zahrnující trigonometrické funkce. Pomocí Eulerova vzorce lze libovolnou trigonometrickou funkci zapsat z hlediska komplexních exponenciálních funkcí, konkrétně ${ displaystyle e ^ {ix}}$ a ${ displaystyle e ^ {- ix}}$ a poté integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrické identity nebo integrace po částech, a je dostatečně silný na to, aby všechny integroval racionální výraz zahrnující trigonometrické funkce.

Eulerův vzorec

Eulerův vzorec to říká ^[1]

${ displaystyle e ^ {ix} = cos x + i , sin x.}$

Střídání ${ displaystyle -x}$ pro ${ displaystyle x}$ dává rovnici

${ displaystyle e ^ {- ix} = cos x-i , sin x}$

protože kosinus je sudá funkce a sinus je lichý. Tyto dvě rovnice mohou být vyřešeny pro sinus a kosinus

${ displaystyle cos x = { frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} quad { text {a}} quad sin x = { frac {e ^ { ix} -e ^ {- ix}} {2i}}.}$

Příklady

První příklad

Zvažte integrál

${ displaystyle int cos ^ {2} x , dx.}$

Standardní přístup k tomuto integrálu je použít a vzorec polovičního úhlu zjednodušit integrand. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int cos ^ {2} x , dx , & = , int left ({ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} vpravo) ^ {2} dx [6pt] & = , { frac {1} {4}} int left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} vpravo) dx end {zarovnáno}}}$

V tomto okamžiku by bylo možné pomocí vzorce přepnout zpět na reálná čísla E^2ix + E^−2ix = 2 cos 2X. Alternativně můžeme integrovat složité exponenciály a neměníme se zpět na trigonometrické funkce až do konce:

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {4}} int left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} right) dx & = { frac {1} { 4}} left ({ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - { frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} right) + C [6pt] & = { frac {1} {4}} vlevo (2x + sin 2x vpravo) + C. end {zarovnáno}}}$

Druhý příklad

Zvažte integrál

${ displaystyle int sin ^ {2} x cos 4x , dx.}$

Tento integrál by bylo extrémně zdlouhavé vyřešit pomocí trigonometrických identit, ale použití Eulerovy identity je relativně bezbolestné:

${ displaystyle { begin {seřazeno} int sin ^ {2} x cos 4x , dx & = int left ({ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } right) ^ {2} left ({ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} right) dx [6pt] & = - { frac {1} {8}} int left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} right) left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} right) dx [6pt] & = - { frac {1} {8}} int left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} right) dx. end {zarovnáno}}}$

V tomto okamžiku můžeme buď integrovat přímo, nebo můžeme nejprve změnit integrand na 2 cos 6X - 4 cos 4X + 2 cos 2X a pokračujte odtud. Každá metoda dává

${ displaystyle int sin ^ {2} x cos 4x , dx = - { frac {1} {24}} sin 6x + { frac {1} {8}} sin 4x - { frac {1} {8}} sin 2x + C.}$

Používání skutečných dílů

Kromě Eulerovy identity může být užitečné rozumně využít skutečné části složitých výrazů. Zvažte například integrál

${ displaystyle int e ^ {x} cos x , dx.}$

Od té doby cos X je skutečnou součástí E^ix, víme, že

${ displaystyle int e ^ {x} cos x , dx = operatorname {Re} int e ^ {x} e ^ {ix} , dx.}$

Integrál vpravo lze snadno vyhodnotit:

${ displaystyle int e ^ {x} e ^ {ix} , dx = int e ^ {(1 + i) x} , dx = { frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i}} + C.}$

Tím pádem:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int e ^ {x} cos x , dx & = operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} right) + C [6pt] & = e ^ {x} operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} right) + C [6pt] & = e ^ {x} operatorname {Re} left ({ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} right) + C [6pt] & = e ^ {x} { frac { cos x + sin x} {2}} + C. end {zarovnáno}}}$

Zlomky

Obecně lze tuto techniku ​​použít k vyhodnocení jakýchkoli zlomků zahrnujících trigonometrické funkce. Zvažte například integrál

${ displaystyle int { frac {1+ cos ^ {2} x} { cos x + cos 3x}} , dx.}$

Použitím Eulerovy identity se tento integrál stává

${ displaystyle { frac {1} {2}} int { frac {6 + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {e ^ {ix} + e ^ {- ix} + e ^ {3ix} + e ^ {- 3ix}}} , dx.}$

Pokud nyní uděláme substituce u = E^ix, výsledkem je integrál a racionální funkce:

${ displaystyle - { frac {i} {2}} int { frac {1 + 6u ^ {2} + u ^ {4}} {1 + u ^ {2} + u ^ {4} + u ^ {6}}} , du.}$

Jeden může pokračovat v používání rozklad částečné frakce.

Viz také

• Trigonometrická substituce
• Střídání Weierstrassem
• Eulerovo střídání

Reference