Limit (matematika) - Limit (mathematics)

v matematika, a omezit je hodnota, kterou a funkce (nebo sekvence ) „přibližuje se“, protože vstup (nebo index) se „přibližuje“ některým hodnota.^[1] Limity jsou nezbytné pro počet a matematická analýza, a slouží k definování kontinuita, deriváty, a integrály.

Koncept a limit posloupnosti se dále zobecňuje na koncept limitu a topologická síť, a úzce souvisí s omezit a přímý limit v teorie kategorií.

Ve vzorcích je limit funkce obvykle zapsán jako

{ displaystyle lim _ {x až c} f (x) = L,}

a je čten jako "limit $F$ z $X$ tak jako $X$ přístupy $C$ rovná se $L$ Skutečnost, že funkce $F$ blíží se limitu $L$ tak jako $X$ přístupy $C$ je někdy označen šipkou doprava (→), jako v:

{ displaystyle f (x) to L { text {as}} x to c}

který zní „ ${ displaystyle f (x)}$ má sklony k ${ displaystyle L}$ tak jako ${ displaystyle x}$ má sklony k ${ displaystyle c}$ ".^[2]

Limit funkce

Kdykoli bod

X

je na dálku

δ

z

C

, hodnota

F (X)

je na dálku

ε

z

L

.

Pro všechny

X > S

, hodnota

F (X)

je na dálku

ε

z

L

.

Předpokládat $F$ je funkce se skutečnou hodnotou a $C$ je reálné číslo. Intuitivně řečeno, výraz

{ displaystyle lim _ {x až c} f (x) = L}

znamená, že $F (X)$ lze udělat tak blízko $L$ podle potřeby vytvořením $X$ dostatečně blízko $C$ .^[3] V takovém případě lze výše uvedenou rovnici číst jako „limit $F$ z $X$ , tak jako $X$ přístupy $C$ , je $L$ ".

Augustin-Louis Cauchy v roce 1821,^[4] následován Karl Weierstrass, formalizoval definici limitu funkce, která se stala známou jako (ε, δ) - definice limitu. Definice používá $ε$ (malé řecké písmeno epsilon)^[2] představovat jakékoli malé kladné číslo, takže „ $F (X)$ se libovolně přiblíží $L$ " znamená, že $F (X)$ nakonec leží v intervalu $(L - ε, L + ε)$ , které lze také zapsat pomocí znaménka absolutní hodnoty jako $| F (X) - L | <ε$ .^[4] Fráze „jako $X$ přístupy $C$ "pak označuje, že odkazujeme na hodnoty $X$ , jehož vzdálenost od $C$ je menší než nějaké kladné číslo $δ$ (malé řecké písmeno delta) - to znamená hodnoty $X$ uvnitř jednoho $(C - δ, C)$ nebo $(C, C + δ)$ , které lze vyjádřit pomocí $0 < | X - C | <5$ . První nerovnost znamená, že vzdálenost mezi $X$ a $C$ je větší než $0$ a to $X \neq C$ , zatímco druhá to naznačuje $X$ je na dálku $δ$ z $C$ .^[4]

Výše uvedená definice limitu je pravdivá, i když $F (C) \neq L$ . Vlastně funkce $F$ nemusí být ani definováno v $C$ .

Například pokud

{ displaystyle f (x) = { frac {x ^ {2} -1} {x-1}}}

pak $F (1)$ není definován (viz neurčité formy ), přesto jako $X$ pohybuje se libovolně blízko 1, $F (X)$ odpovídajícím způsobem se blíží 2:^[5]

F(0.9)	F(0.99)	F(0.999)	F(1.0)	F(1.001)	F(1.01)	F(1.1)
1.900	1.990	1.999	nedefinováno	2.001	2.010	2.100

Tím pádem, $F (X)$ lze libovolně dosáhnout hranice 2 - pouhým provedením $X$ dostatečně blízko $1$ .

Jinými slovy, ${ displaystyle lim _ {x až 1} { frac {x ^ {2} -1} {x-1}} = 2}$ .

To lze také vypočítat algebraicky, jako ${ displaystyle { frac {x ^ {2} -1} {x-1}} = { frac {(x + 1) (x-1)} {x-1}} = x + 1}$ pro všechna reálná čísla $X \neq 1$ .

Nyní, protože $X + 1$ je nepřetržitý v $X$ v 1, nyní můžeme připojit 1 pro $X$ , což vede k rovnici ${ displaystyle lim _ {x až 1} { frac {x ^ {2} -1} {x-1}} = 1 + 1 = 2}$ .

Kromě limitů na konečné hodnoty mohou mít funkce také limity na nekonečno. Zvažte například funkci

{ displaystyle f (x) = {2x-1 nad x}}

kde:

F(100) = 1.9900
F(1000) = 1.9990
F(10000) = 1.9999

Tak jako $X$ se stává extrémně velkým, hodnota $F (X)$ přístupy 2 a hodnota $F (X)$ lze vyrobit tak blízko 2, jak by si člověk přál - vyrobením $X$ dostatečně velký. V tomto případě tedy limit $F (X)$ tak jako $X$ přiblížení k nekonečnu je 2, nebo v matematické notaci,

{ displaystyle lim _ {x to infty} { frac {2x-1} {x}} = 2.}

Limit posloupnosti

Zvažte následující posloupnost: 1,79, 1,799, 1,7999, ... Lze pozorovat, že čísla se „blíží“ 1,8, limitu posloupnosti.

Formálně předpokládejme $A 1, A 2, ...$ je sekvence z reálná čísla. Lze konstatovat, že skutečné číslo $L$ je omezit této sekvence, jmenovitě:

{ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = L}

který se čte jako

"Hranice A_n tak jako n se blíží nekonečnu rovná se L"

kdyby a jen kdyby

Pro každého reálné číslo

ε> 0

, existuje a přirozené číslo

N

takové, že pro všechny

n > N

, my máme

| A n - L | <ε

.^[6]

Intuitivně to znamená, že se nakonec všechny prvky sekvence libovolně přiblíží limitu, protože absolutní hodnota $| A n - L |$ je vzdálenost mezi $A n$ a $L$ . Ne každá sekvence má limit; pokud ano, je volána konvergentní, a pokud tomu tak není, pak je odlišný. Lze ukázat, že konvergentní sekvence má pouze jeden limit.

Mez posloupnosti a mez funkce úzce souvisí. Na jedné straně limit jako $n$ se blíží nekonečnu sekvence ${A n}$ je prostě limit na nekonečno funkce $A (n)$ —Definováno na přirozená čísla ${n}$ . Na druhou stranu, pokud $X$ je doménou funkce $F (X)$ a pokud je limit jako $n$ se blíží nekonečnu $F (X n)$ je $L$ pro každý libovolná posloupnost bodů ${X n}$ v ${X - {X 0}}$ který konverguje k $X 0$ , pak limit funkce $F (X)$ tak jako $X$ přístupy $X 0$ je $L$ .^[7] Jedna taková sekvence by byla ${X 0 + 1/ n}$ .

Omezit jako „standardní součást“

v nestandardní analýza (což zahrnuje a hyperrealistické zvětšení číselného systému), limit posloupnosti ${ displaystyle (a_ {n})}$ lze vyjádřit jako standardní součást hodnoty ${ displaystyle a_ {H}}$ přirozeného prodloužení posloupnosti v nekonečnu hyperpřirozené index n = H. Tím pádem,

{ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} = operatorname {st} (a_ {H})}

.

Zde standardní část funkce „st“ zaokrouhluje každé konečné hyperreálné číslo na nejbližší reálné číslo (rozdíl mezi nimi je infinitezimální ). To formalizuje přirozenou intuici, že pro „velmi velké“ hodnoty indexu jsou výrazy v posloupnosti „velmi blízké“ mezní hodnotě posloupnosti. Naopak standardní součást hyperrealistu ${ displaystyle a = [a_ {n}]}$ reprezentovaný v konstrukci ultrapoweru Cauchyovou sekvencí ${ displaystyle (a_ {n})}$ , je prostě limit této sekvence:

{ displaystyle operatorname {st} (a) = lim _ {n to infty} a_ {n}}

.

V tomto smyslu jsou převzetí limitu a převzetí standardní části rovnocennými postupy.

Konvergence a pevný bod

Formální definici konvergence lze uvést následovně. Předpokládejme ${ displaystyle {{p} _ {n}}}$ tak jako ${ displaystyle n}$ jde od ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle infty}$ je sekvence, která konverguje k ${ displaystyle p}$ , s ${ displaystyle {p} _ {n} neq p}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ . Pokud jsou kladné konstanty ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle alpha}$ existují s

{ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} { frac { left | {p} _ {n + 1} -p right |} {{ left | {p} _ {n} -p vpravo |} ^ { alpha}}} = lambda}

pak ${ displaystyle {{p} _ {n}}}$ tak jako ${ displaystyle n}$ jde od ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle infty}$ konverguje k ${ displaystyle p}$ řádu ${ displaystyle alpha}$ , s konstantou asymptotické chyby ${ displaystyle lambda}$ .

Vzhledem k funkci ${ displaystyle f}$ s pevným bodem ${ displaystyle p}$ , existuje pěkný kontrolní seznam pro kontrolu konvergence sekvence ${ displaystyle p_ {n}}$ .

1) Nejprve zkontrolujte, zda p je skutečně pevný bod:

{ displaystyle f (p) = p}

2) Zkontrolujte lineární konvergenci. Začněte hledáním

{ displaystyle left | f ^ { prime} (p) right |}

. Li....

${ displaystyle left \| f ^ { prime} (p) right \| in (0,1)}$	pak existuje lineární konvergence
${ displaystyle left \| f ^ { prime} (p) right \|> 1}$	řada se rozchází
${ displaystyle left \| f ^ { prime} (p) right \| = 0}$	pak existuje alespoň lineární konvergence a možná něco lepšího, výraz by měl být zkontrolován na kvadratickou konvergenci

3) Pokud se zjistí, že existuje něco lepšího než lineární, měl by být výraz zkontrolován kvůli kvadratické konvergenci. Začněte hledáním

{ displaystyle left | f ^ { prime prime} (p) right |}

Li....

${ displaystyle left \| f ^ { prime prime} (p) right \| neq 0}$	pak existuje kvadratická konvergence za předpokladu, že ${ displaystyle f ^ { prime prime} (p)}$ je spojitý
${ displaystyle left \| f ^ { prime prime} (p) right \| = 0}$	pak existuje ještě něco lepšího než kvadratická konvergence
${ displaystyle left \| f ^ { prime prime} (p) right \|}$ neexistuje	pak existuje konvergence, která je lepší než lineární, ale stále ne kvadratická

^[8]

Vypočitatelnost limitu

Limity mohou být obtížné vypočítat. Existují limitní výrazy, jejichž modul konvergence je nerozhodnutelný. v teorie rekurze, omezit lemma dokazuje, že je možné zakódovat nerozhodnutelné problémy pomocí limitů.^[9]

Viz také

Asymptotická analýza: metoda popisu omezujícího chování
- Velká O notace: slouží k popisu omezujícího chování funkce, když argument směřuje k určité hodnotě nebo nekonečnu
Banachův limit definované na Banachově prostoru ${ displaystyle ell ^ { infty}}$ který rozšiřuje obvyklé limity.
Cauchyova posloupnost
- Kompletní metrický prostor
Konvergence náhodných proměnných
Konvergentní matice
Limit v teorii kategorií
- Přímý limit
- Inverzní limit
Limit funkce
- Jednostranný limit: některý ze dvou limitů funkcí reálné proměnné X, tak jako X se blíží k bodu shora nebo zdola
- Seznam limitů: seznam omezení pro běžné funkce
- Zmáčkněte větu: najde limit funkce porovnáním se dvěma dalšími funkcemi
Mezní bod
Limit nastaven
Limit superior a limit inferior
Režimy konvergence
- An anotovaný index
Míra konvergence: rychlost, s jakou se konvergentní sekvence blíží svému limitu

Poznámky

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. vydání). Brooks / Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ ^A ^b "Seznam symbolů kalkulu a analýzy". Matematický trezor. 2020-05-11. Citováno 2020-08-18.
^ Weisstein, Eric W. „Definice Epsilon-Delta“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.
^ ^A ^b ^C Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Počet jedné proměnné (Deváté vydání.). Brooks / Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
^ "limit | Definice, příklad a fakta". Encyklopedie Britannica. Citováno 2020-08-18.
^ Weisstein, Eric W. "Omezit". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.
^ Apostol (1974, s. 75–76)
^ Numerická analýza, 8. vydání, Burden and Faires, Oddíl 2.4 Analýza chyb pro iterační metody
^ Rekurzivně vyčíslitelné množiny a stupně, Soare, Robert I.

Reference

Apostol, Tom M. (1974), Matematická analýza (2. vyd.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473

externí odkazy

Mathwords: Limit

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6. vydání). Brooks / Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[:0-2] A ^b "Seznam symbolů kalkulu a analýzy". Matematický trezor. 2020-05-11. Citováno 2020-08-18.

[3] Weisstein, Eric W. „Definice Epsilon-Delta“. mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.

[Larson-4] A ^b ^C Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Počet jedné proměnné (Deváté vydání.). Brooks / Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.

[5] "limit | Definice, příklad a fakta". Encyklopedie Britannica. Citováno 2020-08-18.

[6] Weisstein, Eric W. "Omezit". mathworld.wolfram.com. Citováno 2020-08-18.

[7] Apostol (1974, s. 75–76)

[8] Numerická analýza, 8. vydání, Burden and Faires, Oddíl 2.4 Analýza chyb pro iterační metody

[9] Rekurzivně vyčíslitelné množiny a stupně, Soare, Robert I.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]