Sklon pole - Slope field

Pole sklonu dy / dx = x²-x-2, přičemž modré, červené a tyrkysové čáry jsou (x³/ 3) - (x²/ 2) -2x + 4, (x³/ 3) - (x²/ 2) -2x a (x³/ 3) - (x²/ 2) -2x-4.

Řešení prvního řádu diferenciální rovnice^[1] skalární funkce y (x) lze nakreslit v 2-dimenzionálním prostoru s x v horizontálním a y ve vertikálním směru. Možná řešení jsou funkce y (x) nakreslené jako plné křivky. Někdy je příliš obtížné řešit diferenciální rovnici analyticky. Pak lze ještě nakreslit tečny funkčních křivek, např. na pravidelné mřížce. Tečny se dotýkají funkcí v bodech mřížky. Směrové pole je však dosti chaotické ohledně chaotických aspektů diferenciální rovnice.

Definice

Standardní pouzdro

Pole sklonu lze definovat pro následující typ diferenciálních rovnic

{ displaystyle y '= f (x, y)}

,

což lze geometricky interpretovat tak, že dává sklon z tečna do graf řešení diferenciální rovnice (integrální křivka ) v každém bodě (X, y) jako funkce souřadnic bodů.^[2]

Lze jej považovat za kreativní způsob vykreslení funkce dvou reálných proměnných se skutečnou hodnotou ${ displaystyle f (x, y)}$ jako rovinný obraz. Konkrétně pro daný pár ${ displaystyle x, y}$ , vektor s komponentami ${ displaystyle [1, f (x, y)]}$ je nakreslen v bodě ${ displaystyle x, y}$ na ${ displaystyle x, y}$ -letadlo. Někdy vektor ${ displaystyle [1, f (x, y)]}$ je normalizováno, aby děj lépe hledal lidské oko. Sada párů ${ displaystyle x, y}$ pro kreslení se obvykle používá vytvoření obdélníkové mřížky.

An isocline (řada čar se stejným sklonem) se často používá k doplnění pole svahu. V rovnici tvaru ${ displaystyle y '= f (x, y)}$ , isocline je čára v ${ displaystyle x, y}$ -rovina získaná nastavením ${ displaystyle f (x, y)}$ rovná se konstanta.

Obecný případ systému diferenciálních rovnic

Vzhledem k systému diferenciálních rovnic

{ displaystyle { frac {dx_ {1}} {dt}} = f_ {1} (t, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}

{ displaystyle { frac {dx_ {2}} {dt}} = f_ {2} (t, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}

{ displaystyle vdots}

{ displaystyle { frac {dx_ {n}} {dt}} = f_ {n} (t, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}

pole sklonu je pole značek sklonu v fázový prostor (v libovolném počtu dimenzí v závislosti na počtu relevantních proměnných; například dvě v případě lineárního řádu prvního řádu ÓDA, jak je vidět vpravo). Každá značka sklonu je vycentrována v bodě ${ displaystyle (t, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$ a je rovnoběžná s vektorem

{ displaystyle { begin {pmatrix} 1 f_ {1} (t, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) f_ {2} (t, x_ {1} , x_ {2}, ldots, x_ {n}) vdots f_ {n} (t, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) end {pmatrix} }}

.

Počet, poloha a délka značek sklonu mohou být libovolné. Pozice jsou obvykle voleny tak, aby body ${ displaystyle (t, x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$ vytvořit jednotnou mřížku. Standardní případ, popsaný výše, představuje ${ displaystyle n = 1}$ . Obecný případ svahového pole pro systémy diferenciálních rovnic není snadné vizualizovat ${ displaystyle n> 2}$ .

Obecná aplikace

U počítačů lze složitá pole se sklonem rychle vytvořit bez únavy, a tak teprve nedávno praktickou aplikací je jejich použití pouze k získání pocitu, jaké by mělo být řešení, než bude hledáno explicitní obecné řešení. Počítače samozřejmě mohou vyřešit pouze jeden, pokud existuje.

Pokud neexistuje žádné explicitní obecné řešení, mohou počítače použít pole sklonu (i když nejsou zobrazena) k numerickému nalezení grafických řešení. Příklady takových rutin jsou Eulerova metoda, nebo lépe, Metody Runge – Kutta.

Software pro vykreslování svahových polí

Různé softwarové balíčky mohou vykreslovat pole sklonu.

Kód směrového pole v GNU oktáva /MATLAB

funn = @(X,y)y-X;                        % funkce f (x, y) = y-x[X,y]=mřížka(-5:0.5:5);                % intervaly pro x a ysvahy=funn(X,y);                        % matice hodnot sklonudy=svahy./čtv(1+svahy.^2);            % normalizuje prvek čáry ...dx=ty(délka(dy))./čtv(1+svahy.^2);  % ... velikosti pro dy a dxh=toulec(X,y,dx,dy,0.5);                 % vykreslí směrové polesoubor (h, "maxheadsize", 0.1);             % mění velikost hlavy

Příklad kódu pro Maxima

/ * pole pro y '= xy (kliknutím na bod získáte integrální křivku) * / plotdf (x * y, [x, -2,2], [y, -2,2]);

Příklad kódu pro Mathematica

(* pole pro y '= xy *)VectorPlot[{1,X*y},{X,-2,2},{y,-2,2}]

Příklad kódu pro SageMath^[3]

var ('x, y') plot_slope_field (x * y, (x, -2,2), (y, -2,2))

Příklady

y '= x / y
Sklon pole
Integrální křivky
Isoclines (modrá), sklon pole (černá), a některé křivky řešení (červená)

Viz také

Reference

^ Vladimir A. Dobrushkin (2014). Aplikované diferenciální rovnice: primární kurz. CRC Press. p. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.
^ Andrei D. Polyanin; Alexander V. Manžirov (2006). Příručka matematiky pro inženýry a vědce. CRC Press. p. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.
^ https://doc.sagemath.org/html/cs/reference/plotting/sage/plot/plot_field.html

Blanchard, Paul; Devaney, Robert L.; a Hall, Glen R. (2002). Diferenciální rovnice (2. vyd.). Brooks / Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1

externí odkazy

[1] Vladimir A. Dobrushkin (2014). Aplikované diferenciální rovnice: primární kurz. CRC Press. p. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.

[2] Andrei D. Polyanin; Alexander V. Manžirov (2006). Příručka matematiky pro inženýry a vědce. CRC Press. p. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.

[3] ttps://doc.sagemath.org/html/cs/reference/plotting/sage/plot/plot_field.html

[1]

[2]

[3]