Seznam integrálů exponenciálních funkcí - List of integrals of exponential functions - Wikipedia

Následuje seznam integrály z exponenciální funkce. Úplný seznam integrálních funkcí najdete v části seznam integrálů.

Neurčitý integrál

Neomezené integrály jsou primitivní funkce. Konstanta ( konstanta integrace ) může být přidán na pravou stranu kteréhokoli z těchto vzorců, ale zde byl v zájmu stručnosti potlačen.

Integrály polynomů

${ displaystyle int xe ^ {cx} , dx = e ^ {cx} vlevo ({ frac {cx-1} {c ^ {2}}} vpravo)}$

${ displaystyle int x ^ {2} e ^ {cx} , dx = e ^ {cx} vlevo ({ frac {x ^ {2}} {c}} - { frac {2x} {c ^ {2}}} + { frac {2} {c ^ {3}}} vpravo)}$

${ displaystyle { begin {seřazeno} int x ^ {n} e ^ {cx} , dx & = { frac {1} {c}} x ^ {n} e ^ {cx} - { frac { n} {c}} int x ^ {n-1} e ^ {cx} , dx & = left ({ frac { částečný} { částečný c}} vpravo) ^ {n} { frac {e ^ {cx}} {c}} & = e ^ {cx} sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} { frac {n!} {(ni)! c ^ {i + 1}}} x ^ {ni} & = e ^ {cx} sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} { frac {n!} {i! c ^ {n-i + 1}}} x ^ {i} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {cx}} {x}} , dx = ln | x | + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(cx) ^ {n}} {n cdot n!}}}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {cx}} {x ^ {n}}} , dx = { frac {1} {n-1}} left (- { frac {e ^ { cx}} {x ^ {n-1}}} + c int { frac {e ^ {cx}} {x ^ {n-1}}} , dx right) qquad { text {( for}} n neq 1 { text {)}}}$

Integrály zahrnující pouze exponenciální funkce

${ displaystyle int f '(x) e ^ {f (x)} , dx = e ^ {f (x)}}$

${ displaystyle int e ^ {cx} , dx = { frac {1} {c}} e ^ {cx}}$

${ displaystyle int a ^ {cx} , dx = { frac {1} {c cdot ln a}} a ^ {cx} qquad { text {for}} a> 0, a neq 1}$

Integrály zahrnující exponenciální a trigonometrické funkce

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int e ^ {cx} sin bx , dx & = { frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c sin bx-b cos bx) & = { frac {e ^ {cx}} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} sin (bx- phi) qquad { text {kde}} cos ( phi) = { frac {c} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int e ^ {cx} cos bx , dx & = { frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c cos bx + b sin bx) & = { frac {e ^ {cx}} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} cos (bx- phi) qquad { text {kde}} cos ( phi) = { frac {c} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle int e ^ {cx} sin ^ {n} x , dx = { frac {e ^ {cx} sin ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c sin xn cos x) + { frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} int e ^ {cx} sin ^ { n-2} x , dx}$

${ displaystyle int e ^ {cx} cos ^ {n} x , dx = { frac {e ^ {cx} cos ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c cos x + n sin x) + { frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} int e ^ {cx} cos ^ {n-2} x , dx}$

Integrály zahrnující chybovou funkci

V následujících vzorcích erf je chybová funkce a Ei je exponenciální integrál.

${ displaystyle int e ^ {cx} ln x , dx = { frac {1} {c}} vlevo (e ^ {cx} ln | x | - operatorname {Ei} (cx) že jo)}$

${ displaystyle int xe ^ {cx ^ {2}} , dx = { frac {1} {2c}} e ^ {cx ^ {2}}}$

${ displaystyle int e ^ {- cx ^ {2}} , dx = { sqrt { frac { pi} {4c}}} operatorname {erf} ({ sqrt {c}} x)}$

${ displaystyle int xe ^ {- cx ^ {2}} , dx = - { frac {1} {2c}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x ^ {2}}} , dx = - { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x }} - { sqrt { pi}} operatorname {erf} (x)}$

${ displaystyle int {{ frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} e ^ {- { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2}}} , dx = { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x- mu} { sigma { sqrt {2}}}} vpravo)}$

Ostatní integrály

${ displaystyle int e ^ {x ^ {2}} , dx = e ^ {x ^ {2}} vlevo ( sum _ {j = 0} ^ {n-1} c_ {2j} { frac {1} {x ^ {2j + 1}}} vpravo) + (2n-1) c_ {2n-2} int { frac {e ^ {x ^ {2}}} {x ^ {2n }}} , dx quad { text {platné pro všechny}} n> 0,}$

kde ${ displaystyle c_ {2j} = { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2j-1)} {2 ^ {j + 1}}} = { frac {(2j)!} {j! 2 ^ {2j + 1}}} .}$

(Všimněte si, že hodnota výrazu je nezávislý hodnoty n, což je důvod, proč se neobjevuje v integrálu.)

${ displaystyle { int underbrace {x ^ {x ^ { cdot ^ { cdot ^ {x}}}}} _ {m} dx = sum _ {n = 0} ^ {m} { frac {(-1) ^ {n} (n + 1) ^ {n-1}} {n!}} Gamma (n + 1, - ln x) + sum _ {n = m + 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {mn} Gamma (n + 1, - ln x) qquad { text {(pro}} x> 0 { text {)}}}}$

kde ${ displaystyle a_ {mn} = { begin {cases} 1 & { text {if}} n = 0, { dfrac {1} {n!}} & { text {if}} m = 1, { dfrac {1} {n}} sum _ {j = 1} ^ {n} ja_ {m, nj} a_ {m-1, j-1} & { text { jinak}} end {cases}}}$

a Γ (X,y) je horní neúplná funkce gama.

${ displaystyle int { frac {1} {ae ^ { lambda x} + b}} , dx = { frac {x} {b}} - { frac {1} {b lambda}} ln left (ae ^ { lambda x} + b right)}$ když ${ displaystyle b neq 0}$, ${ displaystyle lambda neq 0}$, a ${ displaystyle ae ^ { lambda x} + b> 0.}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {2 lambda x}} {ae ^ { lambda x} + b}} , dx = { frac {1} {a ^ {2} lambda}} left [ae ^ { lambda x} + bb ln left (ae ^ { lambda x} + b right) right]}$ když ${ displaystyle a neq 0}$, ${ displaystyle lambda neq 0}$, a ${ displaystyle ae ^ { lambda x} + b> 0.}$

${ displaystyle int { frac {ae ^ {cx} -1} {be ^ {cx} -1}} , dx = { frac {(ab) log (1-be ^ {cx})} {bc}} + x.}$

Určité integrály

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int _ {0} ^ {1} e ^ {x cdot ln a + (1-x) cdot ln b} , dx & = int _ {0} ^ {1} left ({ frac {a} {b}} right) ^ {x} cdot b , dx & = int _ {0} ^ {1} a ^ {x} cdot b ^ {1-x} , dx & = { frac {ab} { ln a- ln b}} qquad { text {for}} a> 0, b> 0, a neq b end {zarovnáno}}}$

Posledním výrazem je logaritmický průměr.

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} , dx = { frac {1} {a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { pi přes a}} čtyřkolka (a> 0)}$ (dále jen Gaussův integrál )

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { sqrt { pi over a}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} e ^ {- { frac {b} {x ^ {2}}}} dx = { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ {- 2 { sqrt {ab}}} quad (a, b> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { sqrt { pi over a}} e ^ { tfrac {b ^ {2}} {4a}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} e ^ {- 2bx} , dx = { sqrt { frac { pi} {a}} } e ^ { frac {b ^ {2}} {a}} quad (a> 0)}$ (vidět Integrace Gaussovy funkce )

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} xe ^ {- a (xb) ^ {2}} , dx = b { sqrt { frac { pi} {a}}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} xe ^ {- ax ^ {2} + bx} , dx = { frac {{ sqrt { pi}} b} {2a ^ { 3/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { pi over a ^ {3}}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { frac {{ sqrt { pi} } (2a + b ^ {2})} {4a ^ {5/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0 )}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {3} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { frac {{ sqrt { pi} } (6a + b ^ {2}) b} {8a ^ {7/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { begin {cases} { dfrac { Gamma left ({ frac {n + 1} {2}} right)} {2 left (a ^ { frac {n + 1} {2}} right)}} & (n> -1, a> 0) { dfrac {(2k-1) !!} {2 ^ {k + 1} a ^ {k}}} { sqrt { dfrac { pi} {a}}} & (n = 2k, k { text {integer}}, a> 0) { text {(!! je dvojitý faktoriál)}} { dfrac {k!} {2 (a ^ {k +1})}} & (n = 2k + 1, k { text {integer}}, a> 0) end {cases}}}$

(operátor ${ displaystyle !!}$ je Dvojitý faktoriál )

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- sekera} , dx = { begin {cases} { dfrac { Gamma (n + 1)} {a ^ {n + 1}}} & (n> -1, operatorname {Re} (a)> 0) { dfrac {n!} {a ^ {n + 1}}} & (n = 0,1,2, ldots, operatorname {Re} (a)> 0) end {cases}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {n} e ^ {- sekera} , dx = { frac {n!} {a ^ {n + 1}}} vlevo [1- e ^ {- a} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {a ^ {i}} {i!}} doprava]}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {b} x ^ {n} e ^ {- sekera} , dx = { frac {n!} {a ^ {n + 1}}} vlevo [1- e ^ {- ab} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {(ab) ^ {i}} {i!}} vpravo]}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {b}} dx = { frac {1} {b}} a ^ {- { frac {1} {b} }} Gamma vlevo ({ frac {1} {b}} vpravo)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {b}} dx = { frac {1} {b}} a ^ {- { frac { n + 1} {b}}} Gamma vlevo ({ frac {n + 1} {b}} vpravo)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} quad ( a> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} quad ( a> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} xe ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {2ab} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2 }}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} xe ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} sin bx} {x}} , dx = arctan { frac {b} {a}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} , dx = ln { frac {b} {a }}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} sin px , dx = arctan { frac {b } {p}} - arctan { frac {a} {p}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} cos px , dx = { frac {1} { 2}} ln { frac {b ^ {2} + p ^ {2}} {a ^ {2} + p ^ {2}}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} (1- cos x)} {x ^ {2}}} , dx = operatorname {arccot} a - { frac {a} {2}} ln (a ^ {2} +1)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta} d theta = 2 pi I_ {0} (x)}$ (Já₀ je upravená Besselova funkce prvního druhu)

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta + y sin theta} d theta = 2 pi I_ {0} left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} vpravo)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1}} {e ^ {x} / z-1}} , dx = operatorname {Li} _ {s } (z) Gama (y),}$

kde ${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z)}$ je Polylogaritmus.

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin mx} {e ^ {2 pi x} -1}} , dx = { frac {1} {4}} coth { frac {m} {2}} - { frac {1} {2m}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} ln x , dx = - gamma,}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta což se rovná hodnotě řady určitých integrálů.

Konečně známý výsledek,

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {i (m-n) phi} d phi = 2 pi delta _ {m, n}}$ (Pro celé číslo m, n)

kde ${ displaystyle delta _ {m, n}}$ je Kroneckerova delta.

Viz také

• Gradshteyn a Ryzhik

Další čtení

• Moll, Victor Hugo (12. 11. 2014). Speciální integrály Gradshteyn a Ryzhik: Důkazy - svazek I. Edice: Monografie a poznámky k výzkumu v matematice. Já (1. vyd.). Chapman a Hall /CRC Press. ISBN  978-1-48225-651-2. Citováno 2016-02-12.
• Moll, Victor Hugo (2015-10-27). Speciální integrály Gradshteyn a Ryzhik: Důkazy - svazek II. Edice: Monografie a poznámky k výzkumu v matematice. II (1. vyd.). Chapman a Hall /CRC Press. ISBN  978-1-48225-653-6. Citováno 2016-02-12.

externí odkazy

• Wolfram Mathematica Online integrátor
• Moll, Victor Hugo. "Seznam s formulemi a důkazy v GR". Citováno 2016-02-12.