Elipsa - Ellipse

Elipsa (červená) získaná jako průsečík a kužel s nakloněnou rovinou.

Elipsa: notace

Elipsy: příklady se zvyšující se výstředností

v matematika, an elipsa je rovinná křivka okolní dva ústřední body, takže pro všechny body na křivce je součet dvou vzdáleností od ohniskových bodů konstantní. Jako takový zobecňuje a kruh, což je speciální typ elipsy, ve kterém jsou dva ohniska stejná. Prodloužení elipsy se měří její excentricita E, číslo od e = 0 ( omezující případ kruhu) do E = 1 (limitující případ nekonečného prodloužení, už ne elipsa, ale a parabola ).

Elipsa má pro svou plochu jednoduché algebraické řešení, ale pouze aproximace pro svůj obvod, pro které je pro získání přesného řešení nutná integrace.

Analyticky, rovnice standardní elipsy se středem v počátku se šířkou 2A a výška 2b je:

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}$

Za předpokladu A ≥ b, ohniska jsou (±C, 0) pro ${displaystyle c = {sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$. Standardní parametrická rovnice je:

${displaystyle (x, y) = (acos (t), bsin (t)) quad {ext {for}} quad 0leq tleq 2pi.}$

Elipsy jsou Zavřeno Typ kuželovitý řez: rovinná křivka sledující průsečík a kužel s letadlo (viz obrázek). Elipsy mají mnoho podobností s dalšími dvěma formami kuželoseček, paraboly a hyperboly, z nichž oba jsou otevřeno a neomezený. Úhlová průřez a válec je také elipsa.

Elipsu lze také definovat pomocí jednoho ohniska a čáry mimo elipsu zvané directrix: pro všechny body na elipsě poměr mezi vzdáleností k soustředit se a vzdálenost k přímé matici je konstantní. Tento konstantní poměr je výše uvedená výstřednost:

${displaystyle e = {frac {c} {a}} = {sqrt {1- {frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}}$.

Elipsy jsou běžné v fyzika, astronomie a inženýrství. Například obíhat každé planety v Sluneční Soustava je přibližně elipsa se Sluncem v jednom zaostřovacím bodě (přesněji ohnisko je barycentrum dvojice Slunce - planeta). Totéž platí pro měsíce obíhající kolem planet a všechny ostatní systémy dvou astronomických těles. Tvary planet a hvězd často dobře popisuje elipsoidy. Kruh při pohledu z bočního úhlu vypadá jako elipsa: to znamená, že elipsa je obrazem kruhu pod paralelní nebo perspektivní projekce. Elipsa je také nejjednodušší Lissajousova postava vznikají, když jsou vodorovné a svislé pohyby sinusoidy se stejnou frekvencí: podobný účinek vede k eliptická polarizace světla dovnitř optika.

Název, ἔλλειψις (elleipsis, "opomenutí"), bylo dáno Apollonius z Pergy v jeho Kuželosečka.

Definice jako lokus bodů

Elipsa: definice součtem vzdáleností k ohniskům

Elipsa: definice podle fokusu a kruhové directrix

Elipsu lze definovat geometricky jako množinu nebo místo bodů v euklidovské rovině:

Vzhledem k tomu, dva pevné body ${displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$ zavolal ohniska a vzdálenost ${displaystyle 2a}$ což je větší než vzdálenost mezi ložisky, elipsa je množina bodů ${displaystyle P}$ tak, že součet vzdáleností ${displaystyle | PF_ {1} |, | PF_ {2} |}$ je rovný ${displaystyle 2a}$:${displaystyle E = {Pin mathbb {R} ^ {2}, střední, | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a}.}$

Střed ${displaystyle C}$ úsečky spojující ohniska se nazývá centrum elipsy. Hranice procházející ohniskami se nazývá hlavní osaa čára kolmá k němu středem je vedlejší osa. Hlavní osa protíná elipsu na vrchol bodů ${displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$, které mají vzdálenost ${displaystyle a}$ do centra. Vzdálenost ${displaystyle c}$ ohnisek do středu se nazývá ohnisková vzdálenost nebo lineární výstřednost. Kvocient ${displaystyle e = {frac {c} {a}}}$ je excentricita.

Pouzdro ${displaystyle F_ {1} = F_ {2}}$ získá kruh a je zahrnut jako speciální typ elipsy.

Rovnice ${displaystyle | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a}$ lze zobrazit jiným způsobem (viz obrázek):

Li ${displaystyle c_ {2}}$ je kruh se středem ${displaystyle F_ {2}}$ a poloměr ${displaystyle 2a}$, pak vzdálenost bodu ${displaystyle P}$ do kruhu ${displaystyle c_ {2}}$ se rovná vzdálenosti k ohnisku ${displaystyle F_ {1}}$:

${displaystyle | PF_ {1} | = | Pc_ {2} |.}$

${displaystyle c_ {2}}$ se nazývá kruhová přímka (související se zaostřením ${displaystyle F_ {2}}$) elipsy.^[1][2] Tato vlastnost by neměla být zaměňována s definicí elipsy pomocí přímého řádku níže.

Použitím Dandelinové koule lze dokázat, že jakýkoli rovinný úsek kužele s rovinou je elipsa, za předpokladu, že rovina neobsahuje vrchol a má sklon menší než sklon čar na kuželu.

V kartézských souřadnicích

Parametry tvaru:

• A: poloviční hlavní osa,
• b: malá osa,
• C: lineární výstřednost,
• p: semi-latus rectum (obvykle ${displaystyle ell}$).

Standardní rovnice

Standardní forma elipsy v kartézských souřadnicích předpokládá, že počátek je středem elipsy, X-os je hlavní osa a:

ohniska jsou body ${displaystyle F_ {1} = (c ,, 0), F_ {2} = (- c ,, 0)}$,

vrcholy jsou ${displaystyle V_ {1} = (a ,, 0), V_ {2} = (- a ,, 0)}$.

Pro libovolný bod ${displaystyle (x, y)}$ vzdálenost k ohnisku ${displaystyle (c, 0)}$ je ${displaystyle {sqrt {(x-c) ^ {2} + y ^ {2}}}}$ a do druhého zaměření ${displaystyle {sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}}}$. Proto jde o to ${displaystyle (x ,, y)}$ je na elipsě kdykoli:

${displaystyle {sqrt {(x-c) ^ {2} + y ^ {2}}} + {sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a.}$

Demontáž radikály vhodným čtvercem a použitím ${displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2}}$ vytvoří standardní rovnici elipsy: ^[3]

${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}$

nebo vyřešeno pro y:

${displaystyle y = pm {frac {b} {a}} {sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} = pm {sqrt {left (a ^ {2} -x ^ {2} ight) vlevo (1-e ^ {2} ight)}}.}$

Parametry šířky a výšky ${displaystyle a,; b}$ se nazývají polořadovky a polořadovky. Horní a dolní body ${displaystyle V_ {3} = (0,, b) ,; V_ {4} = (0 ,, - b)}$ jsou co-vrcholy. Vzdálenosti od bodu ${displaystyle (x ,, y)}$ na elipsě jsou levé a pravé ohnisko ${displaystyle a + ex}$ a ${displaystyle a-ex}$.

Z rovnice vyplývá, že elipsa je symetrický vzhledem k souřadným osám, a tedy vzhledem k počátku.

Parametry

Hlavní osy

V celém tomto článku polořadovky a polořadovky jsou označeny ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b}$, respektive, tj. ${displaystyle ageq b> 0.}$

V zásadě platí, že rovnice kanonické elipsy ${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ mohou mít ${displaystyle a$ (a proto by elipsa byla vyšší než široká). Tento formulář lze převést na standardní formulář převedením názvů proměnných ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$ a názvy parametrů ${displaystyle a}$ a ${displaystyle b.}$

Lineární výstřednost

Toto je vzdálenost od středu k ohnisku: ${displaystyle c = {sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$.

Excentricita

Výstřednost lze vyjádřit jako:

${displaystyle e = {frac {c} {a}} = {sqrt {1-left ({frac {b} {a}} ight) ^ {2}}}}$,

za předpokladu ${displaystyle a> b.}$ Elipsa se stejnými osami (${displaystyle a = b}$) má nulovou výstřednost a je to kruh.

Semi-latus rectum

Délka akordu jedním ohniskem, kolmým na hlavní osu, se nazývá latus rectum. Jedna polovina z toho je semi-latus rectum ${displaystyle ell}$. Výpočet ukazuje:

${displaystyle ell = {frac {b ^ {2}} {a}} = aleft (1-e ^ {2} ight).}$^[4]

Pololatý konečník ${displaystyle ell}$ se rovná poloměr zakřivení na vrcholech (viz část zakřivení ).

Tečna

Libovolný řádek ${displaystyle g}$ protíná elipsu v 0, 1 nebo 2 bodech, v tomto pořadí se nazývá an vnější linie, tečna a sekán. Prostřednictvím kteréhokoli bodu elipsy existuje jedinečná tečna. Tečna v bodě ${displaystyle (x_ {1} ,, y_ {1})}$ elipsy ${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ má souřadnicovou rovnici:

${displaystyle {frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + {frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = 1.}$

Vektor parametrická rovnice tečny je:

${displaystyle {vec {x}} = {egin {pmatrix} x_ {1} y_ {1} end {pmatrix}} + s {egin {pmatrix};! - y_ {1} a ^ {2} ; x_ {1} b ^ {2} konec {pmatrix}}}$ s ${displaystyle sin mathbb {R}.}$

Důkaz:Nechat ${displaystyle (x_ {1} ,, y_ {1})}$ být bodem na elipsě a ${extstyle {vec {x}} = {egin {pmatrix} x_ {1} y_ {1} end {pmatrix}} + s {egin {pmatrix} u vend {pmatrix}}}$ být rovnicí libovolné přímky ${displaystyle g}$ obsahující ${displaystyle (x_ {1} ,, y_ {1})}$. Vložení rovnice přímky do rovnice elipsy a respektování ${displaystyle {frac {x_ {1} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y_ {1} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ výnosy:

${displaystyle {frac {left (x_ {1} + suight) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {left (y_ {1} + svight) ^ {2}} {b ^ {2 }}} = 1 quad Longrightarrow quad 2sleft ({frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + {frac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} ight) + s ^ {2} vlevo ({frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {v ^ {2}} {b ^ {2}}} ight) = 0.}$

Pak existují případy:

1. ${displaystyle {frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + {frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} v = 0.}$ Pak řádek ${displaystyle g}$ a elipsa má jediný bod ${displaystyle (x_ {1} ,, y_ {1})}$ společné, a ${displaystyle g}$ je tečna. Směr tečny má kolmý vektor ${displaystyle {egin {pmatrix} {frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} a {frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} konec {pmatrix}}}$, takže tečna má rovnici ${extstyle {frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + {frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = k}$ pro některé ${displaystyle k}$. Protože ${displaystyle (x_ {1} ,, y_ {1})}$ je na tečně a elipsě, jeden získá ${displaystyle k = 1}$.
2. ${displaystyle {frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + {frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} veq 0.}$ Pak řádek ${displaystyle g}$ má druhý bod společný s elipsou a je sečenkou.

Pomocí (1) to člověk zjistí ${displaystyle {egin {pmatrix} -y_ {1} a ^ {2} & x_ {1} b ^ {2} end {pmatrix}}}$ je tečný vektor v bodě ${displaystyle (x_ {1} ,, y_ {1})}$, což dokazuje vektorovou rovnici.

Li ${displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ a ${displaystyle (u, v)}$ jsou dva body elipsy takové, že ${extstyle {frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + {frac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} = 0}$, pak body leží na dvou průměry konjugátu (vidět níže ). (Li ${displaystyle a = b}$, elipsa je kruh a „konjugát“ znamená „ortogonální“.)

Posunutá elipsa

Pokud je standardní elipsa posunuta tak, aby měla střed ${displaystyle left (x_ {circ} ,, y_ {circ} ight)}$, jeho rovnice je

${displaystyle {frac {left (x-x_ {circ} ight) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {left (y-y_ {circ} ight) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}$

Osy jsou stále rovnoběžné s osami x a y.

Obecná elipsa

v analytická geometrie, elipsa je definována jako kvadrik: množina bodů ${displaystyle (X ,, Y)}$ z Kartézské letadlo které v nedegenerovaných případech uspokojí implicitní rovnice^[5][6]

${displaystyle AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DX + EY + F = 0}$

pokud ${displaystyle B ^ {2} -4AC <0.}$

Rozlišovat zvrhlé případy z nedegenerovaného případu, pojďme ∆ být určující

${displaystyle Delta = {egin {vmatrix} A & {frac {1} {2}} B & {frac {1} {2}} D {frac {1} {2}} B & C & {frac {1} {2}} E {frac {1} {2}} D & {frac {1} {2}} E & Fend {vmatrix}} = vlevo (AC- {frac {B ^ {2}} {4}} vpravo) F + {frac { BED} {4}} - {frac {CD ^ {2}} {4}} - {frac {AE ^ {2}} {4}}.}$

Pak je elipsa nedegenerovaná skutečná elipsa, právě když C∆ <0. Pokud C∆ > 0, máme imaginární elipsu, a pokud ∆ = 0, máme bodovou elipsu.^[7]:str.63

Koeficienty obecné rovnice lze získat ze známé poloviční hlavní osy ${displaystyle a}$, poloviční vedlejší osa ${displaystyle b}$, souřadnice středu ${displaystyle left (x_ {circ} ,, y_ {circ} ight)}$a úhel otočení ${displaystyle heta}$ (úhel od kladné vodorovné osy k hlavní ose elipsy) pomocí vzorců:

${displaystyle {egin {aligned} A & = a ^ {2} sin ^ {2} heta + b ^ {2} cos ^ {2} heta B & = 2left (b ^ {2} -a ^ {2} ight) sin heta cos heta C & = a ^ {2} cos ^ {2} heta + b ^ {2} sin ^ {2} heta D & = - 2Ax_ {circ} -By_ {circ} E & = - Bx_ {cir } -2Cy_ {circ} F & = Ax_ {circ} ^ {2} + Bx_ {circ} y_ {circ} + Cy_ {circ} ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2}. End {zarovnáno }}}$

Tyto výrazy lze odvodit z kanonické rovnice ${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ afinní transformací souřadnic ${displaystyle (x ,, y)}$:

${displaystyle {egin {aligned} x & = left (X-x_ {circ} ight) cos heta + left (Y-y_ {circ} ight) sin heta y & = - left (X-x_ {circ} ight) sin heta + vlevo (Y-y_ {circle} ight) protože heta. end {zarovnáno}}}$

Naopak parametry kanonického tvaru lze získat z obecných tvarových koeficientů pomocí rovnic:

${displaystyle {egin {aligned} a, b & = {frac {- {sqrt {2 {Big (} AE ^ {2} + CD ^ {2} -BDE + (B ^ {2} -4AC) F {Big)} left ((A + C) pm {sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} ight)}}} {B ^ {2} -4AC}} x_ {circ} & = {frac {2CD-BE} {B ^ {2} -4AC}} [3pt] y_ {circ} & = {frac {2AE-BD} {B ^ {2} -4AC}} [3pt] heta & = { egin {cases} arctan left ({frac {1} {B}} left (CA- {sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} ight) ight) & {ext {for}} Beq 0 0 & {ext {for}} B = 0, A C end {cases}} end {aligned}}}$

Parametrické znázornění

Konstrukce bodů na základě parametrické rovnice a interpretace parametru t, což je způsobeno de la Hire

Body elipsy vypočítané racionálním vyjádřením se stejnými parametry (${displaystyle Delta u = 0,2}$).

Standardní parametrické znázornění

Použitím trigonometrické funkce, parametrické vyjádření standardní elipsy ${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ je:

${displaystyle (x ,, y) = (acos t ,, bsin t), 0leq t <2pi.}$

Parametr t (volal excentrická anomálie v astronomii) není úhel ${displaystyle (x (t), y (t))}$ s X-osa, ale má geometrický význam kvůli Philippe de La Hire (vidět Kreslení elips níže).^[8]

Racionální reprezentace

Se střídáním ${extstyle u = an left ({frac {t} {2}} ight)}$ a trigonometrické vzorce, které člověk získá

${displaystyle cos t = {frac {1-u ^ {2}} {u ^ {2} +1}}, quad sin t = {frac {2u} {u ^ {2} +1}}}$

a Racionální parametrická rovnice elipsy

${displaystyle {egin {aligned} x (u) & = a {frac {1-u ^ {2}} {u ^ {2} +1}} y (u) & = {frac {2bu} {u ^ {2} +1}} end {aligned}} ;, quad -infty$

který pokrývá jakýkoli bod elipsy ${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ kromě levého vrcholu ${displaystyle (-a ,, 0)}$.

Pro ${displaystyle uin [0,, 1],}$ tento vzorec představuje pravou horní čtvrtinu elipsy pohybující se proti směru hodinových ručiček se zvyšováním ${displaystyle u.}$ Levý vrchol je limit ${displaystyle lim _ {u o pm infty} (x (u) ,, y (u)) = (- a ,, 0) ;.}$

Racionální reprezentace kuželoseček se běžně používají v Počítačem podporovaný design (vidět Bézierova křivka ).

Tangenciální sklon jako parametr

Parametrické vyjádření, které používá sklon ${displaystyle m}$ tečny v bodě elipsy lze získat z derivace standardní reprezentace ${displaystyle {vec {x}} (t) = (acos t ,, bsin t) ^ {mathsf {T}}}$:

${displaystyle {vec {x}} '(t) = (- asin t ,, bcos t) ^ {mathsf {T}} quad ightarrow quad m = - {frac {b} {a}} postýlka tquad ightarrow čtyřkolka t = - {frac {ma} {b}}.}$

S pomocí trigonometrické vzorce jeden získá:

${displaystyle cos t = {frac {cot t} {pm {sqrt {1 + cot ^ {2} t}}}} = {frac {-ma} {pm {sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}, quad quad sin t = {frac {1} {pm {sqrt {1 + cot ^ {2} t}}}} = {frac {b} {pm {sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}.}$

Výměna ${displaystyle cos t}$ a ${displaystyle sin t}$ standardních výtěžků reprezentace:

${displaystyle {vec {c}} _ {pm} (m) = left (- {frac {ma ^ {2}} {pm {sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}} }}},; {frac {b ^ {2}} {pm {sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} ight) ,, min mathbb {R}.}$

Tady ${displaystyle m}$ je sklon tečny v příslušném bodě elipsy, ${displaystyle {vec {c}} _ {+}}$ je horní a ${displaystyle {vec {c}} _ {-}}$ spodní polovina elipsy. Vrcholy${displaystyle (pm a ,, 0)}$, které mají svislé tečny, nejsou reprezentací pokryty.

Rovnice tečny v bodě ${displaystyle {vec {c}} _ {pm} (m)}$ má formu ${displaystyle y = mx + n}$. Stále neznámý ${displaystyle n}$ lze určit vložením souřadnic příslušného elipsového bodu ${displaystyle {vec {c}} _ {pm} (m)}$:

${displaystyle y = mxpm {sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}} ;.}$

Tento popis tečen elipsy je základním nástrojem pro stanovení ortoptické elipsy. Ortoptický článek obsahuje další důkaz, bez diferenciálního počtu a trigonometrických vzorců.

Obecná elipsa

Elipsa jako afinní obraz jednotkového kruhu

Další definice elipsy používá afinní transformace:

Žádný elipsa je afinní obraz jednotkové kružnice s rovnicí ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$.

parametrická reprezentace

Afinní transformace euklidovské roviny má formu ${displaystyle {vec {x}} mapsto {vec {f}}! _ {0} + A {vec {x}}}$, kde ${displaystyle A}$ je pravidelný matice (s nenulovou hodnotou určující ) a ${displaystyle {vec {f}}! _ {0}}$ je libovolný vektor. Li ${displaystyle {vec {f}}! _ {1}, {vec {f}}! _ {2}}$ jsou sloupcové vektory matice ${displaystyle A}$, jednotkový kruh ${displaystyle (cos (t), sin (t))}$, ${displaystyle 0leq tleq 2pi}$, je mapován na elipsu:

${displaystyle {vec {x}} = {vec {p}} (t) = {vec {f}}! _ {0} + {vec {f}}! _ {1} cos t + {vec {f}} ! _ {2} hřích t.}$

Tady ${displaystyle {vec {f}}! _ {0}}$ je střed a ${displaystyle {vec {f}}! _ {1},; {vec {f}}! _ {2}}$ jsou směry dvou průměry konjugátu, obecně ne kolmé.

vrcholy

Čtyři vrcholy elipsy jsou ${displaystyle {vec {p}} (t_ {0}),; {vec {p}} vlevo (t_ {0} pm {frac {pi} {2}} ight),; {vec {p}} vlevo ( t_ {0} + pi ight)}$, pro parametr ${displaystyle t = t_ {0}}$ definován:

${displaystyle cot (2t_ {0}) = {frac {{vec {f}}! _ {1} ^ {, 2} - {vec {f}}! _ {2} ^ {, 2}} {2 { vec {f}}! _ {1} cdot {vec {f}}! _ {2}}}.}$

(Li ${displaystyle {vec {f}}! _ {1} cdot {vec {f}}! _ {2} = 0}$, pak ${displaystyle t_ {0} = 0}$.) Toto je odvozeno následovně. Tečný vektor v bodě ${displaystyle {vec {p}} (t)}$ je:

${displaystyle {vec {p}}, '(t) = - {vec {f}}! _ {1} sin t + {vec {f}}! _ {2} cos t.}$

Na vrcholu parametr ${displaystyle t = t_ {0}}$, tečna je kolmá k hlavní / vedlejší ose, takže:

${displaystyle 0 = {vec {p}} '(t) cdot left ({vec {p}} (t) - {vec {f}}! _ {0} ight) = left (- {vec {f}} ! _ {1} sin t + {vec {f}}! _ {2} cos tight) cdot left ({vec {f}}! _ {1} cos t + {vec {f}}! _ {2} sin tight ).}$

Rozšíření a použití identit ${displaystyle cos ^ {2} t-sin ^ {2} t = cos 2t, 2sin tcos t = sin 2t}$ dává rovnici pro ${displaystyle t = t_ {0}}$.

implicitní reprezentace

Řešení parametrické reprezentace pro ${displaystyle; cos t, sin t;}$ podle Cramerovo pravidlo a pomocí ${displaystyle; cos ^ {2} t + sin ^ {2} t-1 = 0;}$, jeden získá implicitní zastoupení

${displaystyle det ({vec {x}}! -! {vec {f}}! _ {0}, {vec {f}}! _ {2}) ^ {2} + det ({vec {f}} ! _ {1}, {vec {x}}! -! {Vec {f}}! _ {0}) ^ {2} -det ({vec {f}}! _ {1}, {vec {f }}! _ {2}) ^ {2} = 0}$.

elipsa ve vesmíru

Definice elipsy v této části poskytuje parametrické znázornění libovolné elipsy, dokonce i v prostoru, pokud to umožňuje ${displaystyle {vec {f}}! _ {0}, {vec {f}}! _ {1}, {vec {f}}! _ {2}}$ být vektory v prostoru.

Polární formy

Polární forma vzhledem ke středu

Polární souřadnice na střed.

v polární souřadnice, s počátkem ve středu elipsy a s úhlovou souřadnicí ${displaystyle heta}$ měřeno od hlavní osy, rovnice elipsy je^{[7]:p. 75}

${displaystyle r (heta) = {frac {ab} {sqrt {(bcos heta) ^ {2} + (asin heta) ^ {2}}}} = {frac {b} {sqrt {1- (ecos heta) ^ {2}}}}}$

Polární forma vzhledem k ohnisku

Polární souřadnice soustředěné na ohnisko.

Pokud místo toho použijeme polární souřadnice s počátkem na jednom ohnisku, s úhlovou souřadnicí ${displaystyle heta = 0}$ stále měřeno od hlavní osy, rovnice elipsy je

${displaystyle r (heta) = {frac {a (1-e ^ {2})} {13:00 ecos heta}}}$

kde znaménko ve jmenovateli je záporné, pokud je referenční směr ${displaystyle heta = 0}$ body směrem ke středu (jak je znázorněno vpravo), a pozitivní, pokud tento směr směřuje od středu.

V trochu obecnějším případě elipsy s jedním zaostřením na počátku a druhým zaostřením na úhlovou souřadnici ${displaystyle phi}$, polární forma je

${displaystyle r = {frac {a (1-e ^ {2})} {1-ecos (heta -phi)}}.}$

Úhel ${displaystyle heta}$ v těchto vzorcích se nazývá skutečná anomálie bodu. Čitatelem těchto vzorců je semi-latus rectum ${displaystyle ell = a (1-e ^ {2})}$.

Výstřednost a vlastnost directrix

Elipsa: vlastnost directrix

Každá ze dvou linií rovnoběžně s vedlejší osou a ve vzdálenosti ${displaystyle d = {frac {a ^ {2}} {c}} = {frac {a} {e}}}$ z toho se nazývá a directrix elipsy (viz obrázek).

Pro libovolný bod ${displaystyle P}$ elipsy se kvocient vzdálenosti k jednomu ohnisku a odpovídající přímce (viz diagram) rovná excentricitě:

${displaystyle {frac {left | PF_ {1} ight |} {left | Pl_ {1} ight |}} = {frac {left | PF_ {2} ight |} {left | Pl_ {2} ight |}} = e = {frac {c} {a}}.}$

Důkaz pro pár ${displaystyle F_ {1}, l_ {1}}$ vyplývá ze skutečnosti, že ${displaystyle left | PF_ {1} ight | ^ {2} = (xc) ^ {2} + y ^ {2}, left | Pl_ {1} ight | ^ {2} = left (x- {frac {a ^ {2}} {c}} ight) ^ {2}}$ a ${displaystyle y ^ {2} = b ^ {2} - {frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} x ^ {2}}$ uspokojit rovnici

${displaystyle left | PF_ {1} ight | ^ {2} - {frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} left | Pl_ {1} ight | ^ {2} = 0.}$

Druhý případ je prokázán obdobně.

Konverzace je také pravdivá a lze ji použít k definování elipsy (podobným způsobem jako definice paraboly):

Pro jakýkoli bod ${displaystyle F}$ (focus), libovolný řádek ${displaystyle l}$ (directrix) ne skrz ${displaystyle F}$a jakékoli skutečné číslo ${displaystyle e}$ s ${displaystyle 0$ elipsa je lokus bodů, pro které je kvocient vzdáleností k bodu a k přímce ${displaystyle e,}$ to je:

${displaystyle E = left {P left | {frac {| PF |} {| Pl |}} = osmý večer}.}$

Volba ${displaystyle e = 0}$, což je výstřednost kruhu, není v této souvislosti povolena. Jeden může považovat přímku kruhu za přímku v nekonečnu.

(Volba ${displaystyle e = 1}$ výnosy a parabola, a pokud ${displaystyle e> 1}$, a hyperbola.)

Tužka kuželoseček se společným vrcholem a společným semi-latus konečníkem

Důkaz

Nechat ${displaystyle F = (f ,, 0), e> 0}$, a předpokládejme ${displaystyle (0,, 0)}$ je bod na křivce. Directrix ${displaystyle l}$ má rovnici ${displaystyle x = - {frac {f} {e}}}$. S ${displaystyle P = (x ,, y)}$vztah ${displaystyle | PF | ^ {2} = e ^ {2} | Pl | ^ {2}}$ produkuje rovnice

${displaystyle (x-f) ^ {2} + y ^ {2} = e ^ {2} vlevo (x + {frac {f} {e}} vpravo) ^ {2} = (ex + f) ^ {2}}$ a ${displaystyle x ^ {2} left (e ^ {2} -1ight) + 2xf (1 + e) ​​-y ^ {2} = 0.}$

Střídání ${displaystyle p = f (1 + e)}$ výnosy

${displaystyle x ^ {2} left (e ^ {2} -1ight) + 2px-y ^ {2} = 0.}$

Toto je rovnice elipsa (${displaystyle e <1}$), nebo a parabola (${displaystyle e = 1}$), nebo a hyperbola (${displaystyle e> 1}$). Všechny tyto nedegenerované kuželosečky mají společný původ jako vrchol (viz obrázek).

Li ${displaystyle e <1}$, zavést nové parametry ${displaystyle a ,, b}$ aby ${displaystyle 1-e ^ {2} = {frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}, {ext {and}} p = {frac {b ^ {2}} {a}}}$, a poté se stane výše uvedená rovnice

${displaystyle {frac {(x-a) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}$

což je rovnice elipsy se středem ${displaystyle (a ,, 0)}$, X- osa jako hlavní osa a hlavní / vedlejší poloosa ${displaystyle a ,, b}$.

Obecná elipsa

Pokud je zaměření ${displaystyle F = left (f_ {1} ,, f_ {2} ight)}$ a directrix ${displaystyle ux + vy + w = ​​0}$, jeden získá rovnici

${displaystyle left (x-f_ {1} ight) ^ {2} + left (y-f_ {2} ight) ^ {2} = e ^ {2} {frac {left (ux + vy + wight) ^ { 2}} {u ^ {2} + v ^ {2}}}.}$

(Pravá strana rovnice používá znak Hesse normální forma řádku pro výpočet vzdálenosti ${displaystyle | Pl |}$.)

Vlastnost reflexe zaostření na zaostření

Elipsa: tangenta půlí doplňkový úhel úhlu mezi čarami k ohniskům.

Paprsky z jednoho ohniska se odrážejí od elipsy, aby prošly druhým ohniskem.

Elipsa má následující vlastnost:

Normální v určitém okamžiku ${displaystyle P}$ půlí úhel mezi čarami ${displaystyle {overline {PF_ {1}}} ,, {overline {PF_ {2}}}}$.

Důkaz

Protože tečna je kolmá k normále, platí tvrzení také pro tečnu a pro doplňkový úhel úhlu mezi čarami k ohniskům (viz obrázek).

Nechat ${displaystyle L}$ být bodem na přímce ${displaystyle {overline {PF_ {2}}}}$ se vzdáleností ${displaystyle 2a}$ do ohniska ${displaystyle F_ {2}}$, ${displaystyle a}$ je poloviční hlavní osa elipsy. Nechte čáru ${displaystyle w}$ být půlící čarou doplňkového úhlu k úhlu mezi čarami ${displaystyle {overline {PF_ {1}}} ,, {overline {PF_ {2}}}}$. Aby to dokázal ${displaystyle w}$ je tečna v bodě ${displaystyle P}$jeden zkontroluje, zda je nějaký bod ${displaystyle Q}$ online ${displaystyle w}$ který se liší od ${displaystyle P}$ nemůže být na elipsě. Proto ${displaystyle w}$ má jen bod ${displaystyle P}$ společné s elipsou a je tedy tečna v bodě ${displaystyle P}$.

Ze schématu a nerovnost trojúhelníku jeden to uznává ${displaystyle 2a = left | LF_ {2} ight |$ drží, což znamená: ${displaystyle left | QF_ {2} ight | + left | QF_ {1} ight |> 2a}$. Ale pokud ${displaystyle Q}$ je bod elipsy, součet by měl být ${displaystyle 2a}$.

aplikace

Paprsky z jednoho ohniska se odrážejí elipsou do druhého ohniska. Tato vlastnost má optické a akustické aplikace podobné reflexní vlastnosti paraboly (viz šeptající galerie ).

Průměry konjugátu

Ortogonální průměry kruhu se čtvercem tečen, středy rovnoběžných akordů a afinním obrazem, což je elipsa s průměry konjugátu, rovnoběžník tečen a středů akordů.

Kruh má následující vlastnost:

Středy paralelních akordů leží na průměru.

Afinní transformace zachovává paralelismus a středy úseček, takže tato vlastnost platí pro jakoukoli elipsu. (Pamatujte, že rovnoběžné akordy a průměr již nejsou kolmé.)

Definice

Dva průměry ${displaystyle d_ {1} ,, d_ {2}}$ elipsy jsou sdružené pokud jsou středy akordů rovnoběžné s ${displaystyle d_ {1}}$ ležet na ${displaystyle d_ {2}.}$

Ze schématu jeden najde:

Dva průměry ${displaystyle {overline {P_ {1} Q_ {1}}} ,, {overline {P_ {2} Q_ {2}}}}$ elipsy jsou konjugované, kdykoli tečny v ${displaystyle P_ {1}}$ a ${displaystyle Q_ {1}}$ jsou rovnoběžné s ${displaystyle {overline {P_ {2} Q_ {2}}}}$.

Konjugované průměry v elipsě zobecňují ortogonální průměry v kruhu.

V parametrické rovnici pro obecnou elipsu uvedenou výše,

${displaystyle {vec {x}} = {vec {p}} (t) = {vec {f}}! _ {0} + {vec {f}}! _ {1} cos t + {vec {f}} ! _ {2} hřích,}$

jakýkoli pár bodů ${displaystyle {vec {p}} (t), {vec {p}} (t + pi)}$ patří k průměru a dvojici ${displaystyle {vec {p}} vlevo (t + {frac {pi} {2}} vpravo), {vec {p}} vlevo (t- {frac {pi} {2}} vpravo)}$ patří k jeho průměru konjugátu.

Věta o Apolloniovi o průměrech konjugátu

Elipsa: Apolloniova věta o průměrech konjugátu

Pro elipsu s poloosami ${displaystyle a ,, b}$ platí to:

Nechat ${displaystyle c_ {1}}$ a ${displaystyle c_ {2}}$ být polovinami dvou průměrů konjugátu (viz diagram)

1. ${displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$,
2. the trojúhelník tvořil ${displaystyle c_ {1} ,, c_ {2}}$ má konstantní plochu ${extstyle A_ {Delta} = {frac {1} {2}} ab}$
3. rovnoběžník tečen sousedících s danými průměry konjugátu má ${displaystyle {ext {Area}} _ {12} = 4ab.}$

Důkaz

Nechte elipsu mít v kanonickém tvaru s parametrickou rovnicí

${displaystyle {vec {p}} (t) = (acos t ,, bsin t)}$.

Tyto dva body ${displaystyle {vec {c}} _ {1} = {vec {p}} (t), {vec {c}} _ {2} = {vec {p}} vlevo (t + {frac {pi} {2 }} hned)}$ jsou na průměrech konjugátu (viz předchozí část). Z trigonometrických vzorců se získá ${displaystyle {vec {c}} _ {2} = (- asin t ,, bcos t) ^ {mathsf {T}}}$ a

${displaystyle left | {vec {c}} _ {1} ight | ^ {2} + left | {vec {c}} _ {2} ight | ^ {2} = cdots = a ^ {2} + b ^ {2}.}$

Plocha trojúhelníku generovaná ${displaystyle {vec {c}} _ {1} ,, {vec {c}} _ {2}}$ je

${displaystyle A_ {Delta} = {frac {1} {2}} det left ({vec {c}} _ {1} ,, {vec {c}} _ {2} ight) = cdots = {frac {1 } {2}} ab}$

a ze schématu je vidět, že plocha rovnoběžníku je 8krát větší než plocha ${displaystyle A_ {Delta}}$. Proto

${displaystyle {ext {Area}} _ {12} = 4ab.}$

Ortogonální tečny

Elipsa s její ortoptikou

Pro elipsu ${displaystyle {frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ průsečíky ortogonální tečny leží na kruhu ${displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$.

Tento kruh se nazývá ortoptické nebo režisérský kruh elipsy (nezaměňovat s kruhovou přímkou ​​definovanou výše).

Kreslení elips

Centrální projekce kruhů (brána)

Elipsy se objevují v deskriptivní geometrie jako obrazy (paralelní nebo centrální projekce) kruhů. Existují různé nástroje pro kreslení elipsy. Počítače poskytují nejrychlejší a nejpřesnější metodu kreslení elipsy. Technické nástroje (elipsografy ) nakreslit elipsu bez počítače. Princip elipsografů byl znám řeckým matematikům jako např Archimedes a Proklos.

Pokud není k dispozici žádný elipsograf, lze nakreslit elipsu pomocí aproximace čtyřmi kruhy s oscilací na vrcholech.

U jakékoli níže popsané metody je nutná znalost os a poloos (nebo ekvivalentně: ohniska a poloviční hlavní osa). Pokud tento předpoklad není splněn, je třeba znát alespoň dva průměry konjugátu. S pomocí Rytzova konstrukce lze načíst osy a poloosy.

de La Hireova bodová konstrukce

Následující konstrukce jednotlivých bodů elipsy je způsobena de La Hire.^[9] Je založen na standardní parametrické znázornění ${displaystyle (acos t ,, bsin t)}$ elipsy:

1. Nakreslete ty dva kruhy ve středu elipsy s poloměry ${displaystyle a, b}$ a osy elipsy.
2. Nakresli čára středem, který protíná dva kruhy v bodě ${displaystyle A}$ a ${displaystyle B}$, resp.
3. Nakresli čára přes ${displaystyle A}$ to je rovnoběžné s vedlejší osou a čára přes ${displaystyle B}$ to je rovnoběžné s hlavní osou. Tyto čáry se setkávají v elipsovém bodě (viz obrázek).
4. Opakujte kroky (2) a (3) s různými čarami středem.

• 

  de La Hireova metoda

• 

  Animace metody

Elipsa: metoda zahradníka

Metoda pinů a řetězců

Charakterizace elipsy jako lokusu bodů, takže součet vzdáleností k ohniskám je konstantní, vede k metodě kreslení jedné pomocí dvou napínáčky, délka provázku a tužka. V této metodě jsou kolíky vtlačeny do papíru ve dvou bodech, které se stávají ohnisky elipsy. Na obou koncích je na obou koncích uvázána šňůra; jeho délka po vázání je ${displaystyle 2a}$. Špička tužky poté sleduje elipsu, pokud se s ní pohne, zatímco struna zůstane napnutá. Pomocí dvou kolíků a lana zahradníci tímto postupem nastínili eliptický záhon - proto se tomu říká elipsa zahradníka.

Podobná metoda kreslení konfokální elipsy s Zavřeno řetězec je kvůli irskému biskupovi Charles Graves.

Metody papírového proužku

Dvě následující metody se spoléhají na parametrické vyjádření (viz část parametrická reprezentace, výše):

${displaystyle (acos t ,, bsin t)}$

Tuto reprezentaci lze technicky modelovat dvěma jednoduchými metodami. V obou případech střed, osy a poloosy ${displaystyle a ,, b}$ musí být známy.

Metoda 1

První metoda začíná

proužek papíru o délce ${displaystyle a + b}$.

Bod, kde se setkávají poloosy, je označen ${displaystyle P}$. Pokud se proužek posouvá s oběma konci po osách požadované elipsy, pak bod P sleduje elipsu. Pro důkaz jeden ukazuje ten bod ${displaystyle P}$ má parametrické vyjádření ${displaystyle (acos t ,, bsin t)}$, kde parametr ${displaystyle t}$ je úhel sklonu papírového pásu.

Technické realizace pohybu papírového pásu lze dosáhnout a Tusi pár (viz animace). Zařízení dokáže nakreslit jakoukoli elipsu pomocí a pevný součet ${displaystyle a + b}$, což je poloměr velké kružnice. Toto omezení může být v reálném životě nevýhodou. Pružnější je druhá metoda papírového pásu.

• 

  Konstrukce elipsy: metoda papírového pásu 1

• 

  Elipsy s párem Tusi. Dva příklady: červený a azurový.

Varianta metody 1 papírového proužku využívá pozorování, že střed ${displaystyle N}$ papírového proužku se pohybuje na kruhu se středem ${displaystyle M}$ (elipsy) a poloměr ${displaystyle {frac {a + b} {2}}}$. Papírový proužek lze tedy bodově oříznout ${displaystyle N}$ na poloviny, opět spojené kloubem v ${displaystyle N}$ a posuvný konec ${displaystyle K}$ pevně ve středu ${displaystyle M}$ (viz schéma). Po této operaci se pohyb nezměněné poloviny papírového proužku nezmění.^[10] Tato varianta vyžaduje pouze jednu posuvnou botu.

• 

  Variace metody papírového pásu 1

• 

  Animace variace metody papírového pásu 1

Konstrukce elipsy: metoda papírového pásu 2

Metoda 2

Druhá metoda začíná

proužek papíru o délce ${displaystyle a}$.

Jeden označí bod, který rozdělí proužek na dva dílčí proužky délky ${displaystyle b}$ a ${displaystyle a-b}$. Pás je umístěn na osách, jak je popsáno v diagramu. Poté volný konec pásu sleduje elipsu, zatímco se pás pohybuje. U důkazu lze rozpoznat, že sledovací bod lze popsat parametricky pomocí ${displaystyle (acos t ,, bsin t)}$, kde parametr ${displaystyle t}$ je úhel sklonu papírového pásu.

Tato metoda je základem pro několik elipsografy (viz část níže).

Podobně jako variace metody papírového pásu 1 a variace metody papírového pásu 2 lze stanovit (viz obrázek) rozřezáním části mezi osami na poloviny.

• 

  Trammel of Archimedes (zásada)

• 

  Elipsograf kvůli Benjamin Bramer

• 

  Variace metody papírového pásu 2

Většina elipsografů sepisování nástroje jsou založeny na druhé metodě papírového pásu.

Aproximace elipsy s oscilačními kružnicemi

Aproximace oscilací kružnic

Z Metrické vlastnosti níže jeden získá:

• Poloměr zakřivení na vrcholech ${displaystyle V_ {1} ,, V_ {2}}$ je: ${displaystyle {frac {b ^ {2}} {a}}}$
• Poloměr zakřivení v co-vrcholech ${displaystyle V_ {3} ,, V_ {4}}$ je: ${displaystyle {frac {a ^ {2}} {b}}.}$

Diagram ukazuje snadný způsob, jak najít středy zakřivení ${displaystyle C_ {1} = left (a- {frac {b ^ {2}} {a}}, 0ight) ,, C_ {3} = left (0, b- {frac {a ^ {2}} { smyčka provazu)}$ na vrcholu ${displaystyle V_ {1}}$ a ko-vrchol ${displaystyle V_ {3}}$, respektive:

1. mark the auxiliary point ${displaystyle H=(a,,b)}$ and draw the line segment ${displaystyle V_{1}V_{3} ,}$
2. draw the line through ${displaystyle H}$, which is perpendicular to the line ${displaystyle V_{1}V_{3} ,}$
3. the intersection points of this line with the axes are the centers of the osculating circles.

(proof: simple calculation.)

The centers for the remaining vertices are found by symmetry.

With help of a French curve one draws a curve, which has smooth contact to the osculating circles.

Steinerova generace

Ellipse: Steiner generation

Ellipse: Steiner generation

The following method to construct single points of an ellipse relies on the Steiner generation of a conic section:

Vzhledem k tomu dva tužky ${displaystyle B(U),,B(V)}$ čar ve dvou bodech ${displaystyle U,,V}$ (všechny řádky obsahující ${displaystyle U}$ a ${displaystyle V}$, respectively) and a projective but not perspective mapping ${displaystyle pi}$ z ${displaystyle B(U)}$ na ${displaystyle B(V)}$, then the intersection points of corresponding lines form a non-degenerate projective conic section.

For the generation of points of the ellipse ${displaystyle { frac {x^{2}}{a^{2}}}+{ frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ one uses the pencils at the vertices ${displaystyle V_{1},,V_{2}}$. Nechat ${displaystyle P=(0,,b)}$ be an upper co-vertex of the ellipse and ${displaystyle A=(-a,,2b),,B=(a,,2b)}$.