Konkávní funkce - Concave function

v matematika, a konkávní funkce je negativní a konvexní funkce. Konkávní funkce je také synonymně volala konkávní směrem dolů, konkávní dolů, konvexní nahoru, konvexní víčko nebo horní konvexní.

Definice

Skutečná hodnota funkce ${ displaystyle f}$ na interval (nebo, obecněji, a konvexní sada v vektorový prostor ) se říká, že je konkávní pokud vůbec ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ v intervalu a pro všechny ${ displaystyle alpha v [0,1]}$,^[1]

${ Displaystyle f ((1- alpha) x + alpha y) geq (1- alpha) f (x) + alpha f (y)}$

Volá se funkce přísně konkávní -li

${ Displaystyle f ((1- alpha) x + alpha y)> (1- alpha) f (x) + alpha f (y) ,}$

pro všechny ${ displaystyle alpha v (0,1)}$ a ${ displaystyle x neq y}$.

Pro funkci ${ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}$tato druhá definice pouze uvádí, že pro všechny ${ displaystyle z}$ přísně mezi ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$, bod ${ displaystyle (z, f (z))}$ na grafu ${ displaystyle f}$ je nad přímkou ​​spojující body ${ displaystyle (x, f (x))}$ a ${ displaystyle (y, f (y))}$.

Funkce ${ displaystyle f}$ je kvazikonkávní pokud horní obrys nastaví funkci ${ displaystyle S (a) = {x: f (x) geq a }}$ jsou konvexní množiny.^[2]

Vlastnosti

Funkce jedné proměnné

1. A diferencovatelná funkce F je (přísně) konkávní na interval jen a jen pokud derivát funkce f ' je (přísně) monotónně klesá na tomto intervalu, to znamená, že konkávní funkce má nerostoucí (klesající) sklon.^[3][4]

2. Body kde se mění konkávnost (mezi konkávní a konvexní ) jsou inflexní body.^[5]

3. Pokud F je dvakrát-rozlišitelný, pak F je konkávní kdyby a jen kdyby f ′ ′ je není pozitivní (nebo neformálně, pokud „akcelerace „není pozitivní). Pokud je jeho druhá derivace negativní pak je přísně konkávní, ale obrácení není pravda, jak ukazuje F(X) = −X⁴.

4. Pokud F je konkávní a diferencovatelný, pak je výše ohraničen svým prvním řádem Taylorova aproximace:^[2]

${ displaystyle f (y) leq f (x) + f '(x) [y-x]}$

5. A Lebesgueova měřitelná funkce v intervalu C je konkávní kdyby a jen kdyby je to konkávní střed, tj. pro všechny X a y v C

${ displaystyle f left ({ frac {x + y} {2}} right) geq { frac {f (x) + f (y)} {2}}}$

6. Pokud funkce F je konkávní a F(0) ≥ 0, pak F je podaditivum na ${ displaystyle [0, infty)}$. Důkaz:

• Od té doby F je konkávní a 1 ≥ t ≥ 0, nechat y = 0 my máme ${ Displaystyle f (tx) = f (tx + (1-t) cdot 0) geq tf (x) + (1-t) f (0) geq tf (x).}$
• Pro ${ displaystyle a, b v [0, infty)}$:

${ displaystyle f (a) + f (b) = f left ((a + b) { frac {a} {a + b}} right) + f left ((a + b) { frac {b} {a + b}} vpravo) geq { frac {a} {a + b}} f (a + b) + { frac {b} {a + b}} f (a + b ) = f (a + b)}$

Funkce n proměnné

1. Funkce F je konkávní nad konvexní množinou kdyby a jen kdyby funkce −f je konvexní funkce přes sadu.

2. Součet dvou konkávních funkcí je sám konkávní, stejně jako bodové minimum dvou konkávních funkcí, tj. Množina konkávních funkcí na dané doméně tvoří a polopole.

3. Blízko a místní maximum ve vnitřku domény funkce musí být funkce konkávní; jako částečná konverze, pokud je derivace přísně konkávní funkce v určitém bodě nulová, pak je tento bod lokálním maximem.

4. Libovolné místní maximum konkávní funkce je také a globální maximum. A přísně konkávní funkce bude mít maximálně jedno globální maximum.

Příklady

• Funkce ${ displaystyle f (x) = - x ^ {2}}$ a ${ displaystyle g (x) = { sqrt {x}}}$ jsou konkávní na svých doménách jako jejich druhé deriváty ${ displaystyle f '' (x) = - 2}$ a ${ displaystyle g '' (x) = - { frac {1} {4x ^ {3/2}}}}$ jsou vždy negativní.
• The logaritmus funkce ${ displaystyle f (x) = log {x}}$ je konkávní ve své doméně ${ displaystyle (0, infty)}$, jako jeho derivát ${ displaystyle { frac {1} {x}}}$ je přísně klesající funkce.
• Žádný afinní funkce ${ displaystyle f (x) = sekera + b}$ je jak konkávní, tak konvexní, ale ani striktně konkávní ani striktně konvexní.
• The sinus funkce je konkávní na intervalu ${ displaystyle [0, pi]}$.
• Funkce ${ displaystyle f (B) = log | B |}$, kde ${ displaystyle | B |}$ je určující a nezáporně definitivní matice B, je konkávní.^[6]

Aplikace

• Paprsky ohýbání v výpočet útlumu rádiových vln v atmosféře zahrnovat konkávní funkce.
• v očekávaná užitečnost teorie pro volba za nejistoty, hlavní nástroj funkce averze k riziku osoby s rozhodovací pravomocí jsou konkávní.
• v mikroekonomická teorie, produkční funkce jsou obvykle považovány za konkávní nad některými nebo všemi jejich doménami, což má za následek klesající výnosy na vstupní faktory.^[7]

Viz také

• Konkávní mnohoúhelník
• Jensenova nerovnost
• Logaritmicky konkávní funkce
• Kvazikonkávní funkce
• Konkavifikace

Reference

Další odkazy

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Kvazi-konkávnost". In Durlauf, Steven N .; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Druhé vydání.). Palgrave Macmillan. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN  978-0-333-78676-5.
• Rao, Singiresu S. (2009). Inženýrská optimalizace: Teorie a praxe. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN  978-0-470-18352-6.